Barcha hisoblash tizimlari. Pozitsion sanoq sistemasi

Odamlar hisoblashni boshlashlari bilanoq, raqamlarni yozishga ehtiyoj paydo bo'ldi. Arxeologlar ibtidoiy odamlarning yashash joylarida dastlab deyarli har qanday raqam shunchaki unga o'xshash piktogramma soni bo'yicha yozilganligi haqida dalillarni topdilar: tayoqlar, nuqtalar, chiziqlar. Bunday tizim yagona (unary) deb ataladi. Ushbu tizimdagi har qanday raqam birlikni ramziy qiluvchi bitta belgini takrorlash orqali yoziladi.

Ushbu tizimning qadimiyligiga qaramay, u bugungi kungacha qo'llanilmoqda, birinchi sinf o'quvchilariga tayoq bilan hisoblash va harbiy maktab kursanti hozirda o'qiyotgan kursni aniqlash uchun tikilgan chiziqlar sonini hisoblash kerak. uning yengini.

Unar tizim eng ko'p emas qulay usul raqamlarni yozish, yozish juda ko'p joy egallaydi va yozishning monotonligi xatolarga olib keladi, shuning uchun vaqt o'tishi bilan yanada qulayroq raqam tizimlari paydo bo'la boshladi.

Qadimgi Misrning o'nlik sanoq tizimi

Qadimgi misrliklar juda qulay sanoq tizimiga ega bo'lib, unda belgilovchi belgilar mavjud edi asosiy raqamlar: 1, 10, 100, va hokazo. Qolgan raqamlar qo'shish yordamida yozilgan. Ba'zi raqamlarning belgilari 1-rasmda keltirilgan.

Tizim hozirda ishlatilmayapti.

Rim raqamlar tizimi

Ushbu tizim bugungi kungacha o'zgarmagan. U ikki yarim ming yildan ko'proq vaqt oldin paydo bo'lgan Qadimgi Rim. U 1 raqami uchun I (barmoq), 5 raqami uchun V (besh), 10 raqami uchun X (ikki qo'l) belgilariga asoslangan edi. 100, 500 va 1000 ni belgilash uchun lotincha nomlarning birinchi harflari edi. ishlatilgan (centum - yuz, demimille - yarim ming, mille - ming). Raqamni yozish uchun rimliklar misrliklar kabi faqat summalarni emas, balki farqni ham ishlatishgan. Buning uchun oddiy qoida qo'llanildi: kattasidan keyin har bir kichikroq belgi uning qiymatiga qo'shiladi va oldingisi. buyuk belgi qiymatidan ayiriladi. Shunday qilib, IX - 9 ni, XI esa 11 ni anglatadi.

Rim raqamlari bugungi kungacha qo'llaniladi va ular bo'limlar, kitoblarning kichik bo'limlari, asrlarni nomlash uchun ishlatiladi, ular ko'pincha soatlarda ham yoziladi.

Alifbo tartibidagi sanoq sistemalari

Ushbu tizimlarga quyidagilar kiradi: yunon, slavyan, fin va boshqalar. Bu erda 1 dan 9 gacha, 10 dan 90 gacha va 100 dan 900 gacha raqamlar alifbo harflari bilan belgilangan. IN Qadimgi Gretsiya raqamlar yunon alifbosining birinchi to'qqizta harfi bilan belgilangan. 10 dan 90 gacha bo'lgan raqamlar keyingi to'qqiztadir. Va 100 dan 900 gacha - Rim alifbosining oxirgi to'qqizta harfi. slavyanlar raqamli qiymatlar harflarni tartibda moslashtiring. Buning uchun dastlab glagolit alifbosi, keyin esa kirill alifbosi ishlatilgan. Rossiyada bu raqamlash 17-asr oxirigacha saqlanib qolgan. Keyin Pyotr I xorijdan arab raqamlarini olib keldi, biz hozirgacha ishlatamiz.

Belgilash - bu raqamlarni ifodalash usuli va raqamlar ustida ishlashning tegishli qoidalari. Ilgari mavjud bo'lgan va hozirda qo'llaniladigan turli xil sanoq tizimlarini ajratish mumkin pozitsiyali bo'lmagan Va pozitsion. Raqamlarni yozishda ishlatiladigan belgilar, deyiladi raqamlar.

IN nopozitsion sanoq sistemalari raqamning qiymati uning raqamdagi o'rniga bog'liq emas.

Nopozitsion sanoq sistemasiga rim sistemasini misol qilib keltirish mumkin (rim raqamlari). Rim tizimida lotin harflari raqamlar sifatida ishlatiladi:

1-misol CCXXXII raqami ikki yuz, uch o'nlik va ikki birlikdan iborat va ikki yuz o'ttiz ikkiga teng.

Rim raqamlari chapdan o'ngga kamayish tartibida yoziladi. Bunday holda, ularning qiymatlari qo'shiladi. Agar chap tomonda kichikroq raqam va o'ngda katta raqam yozilsa, ularning qiymatlari ayiriladi.

2-misol

VI = 5 + 1 = 6; IV \u003d 5 - 1 \u003d 4.

3-misol

MCMXCVIII = 1000 + (-100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

IN pozitsion sanoq sistemalari raqam yozuvidagi raqam bilan belgilangan qiymat uning pozitsiyasiga bog'liq. Amaldagi raqamlar soni pozitsion sanoq sistemasining asosi deyiladi.

Zamonaviy matematikada qo'llaniladigan sanoq tizimi pozitsion o'nli sistema. Uning asosi o'nta, chunki Har qanday raqamlar o'nta raqam yordamida yoziladi:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Ushbu tizimning pozitsion tabiatini har qanday ko'p xonali son misolida tushunish oson. Masalan, 333 raqamida birinchi uchtasi uch yuz, ikkinchisi - uch o'nlik, uchinchisi - uchta birlikni anglatadi.

Pozitsion sistemada sonlarni asosi bilan yozish n Bo'lishi shart alifbo dan n raqamlar. Buning uchun odatda n < 10 используют n birinchi arab raqamlari va n> 10 dan o'ngacha Arab raqamlari harflar qo'shing. Mana bir nechta tizimlardan alifbo misollari:

Agar raqam tegishli bo'lgan tizim bazasini ko'rsatish talab etilsa, u holda ushbu raqamga subscript beriladi. Masalan:

1011012, 36718, 3B8F16.

Bazaviy sanoq sistemasida q(q-ariy sanoq sistemasi) raqamlar birliklari sonning ketma-ket darajalari q.q har qanday turkumdagi birliklar keyingi turkum birligini tashkil qiladi. Raqam yozish uchun q-ariy sanoq sistemasi talab qilinadi q 0, 1, ... raqamlarini ifodalovchi turli belgilar (raqamlar), q– 1. Raqamni yozish q V q-ariy sanoq sistemasi 10 ko'rinishga ega.

Raqam yozishning kengaytirilgan shakli

Mayli Aq- bazaviy tizimdagi raqam q, ai - raqam yozuvida mavjud berilgan sanoq tizimining raqamlari A, n+ 1 - sonning butun qismining raqamlari soni, m- sonning kasr qismining raqamlari soni:

Raqamning kengaytirilgan shakli A shakldagi yozuv deyiladi:

Masalan, kasrli son uchun:

Quyidagi misollar o'n oltilik va ikkilik raqamlarning kengaytirilgan shaklini ko'rsatadi:

Har qanday sanoq sistemasida uning asosi 10 sifatida yoziladi.

Agar o'nlik bo'lmagan sonning kengaytirilgan ko'rinishidagi barcha hadlar o'nli tizimda taqdim etilsa va natijada olingan ifoda o'nlik arifmetika qoidalariga muvofiq hisoblansa, o'nlik tizimdagi berilganga teng son olinadi. Ushbu tamoyilga ko'ra, o'nlik bo'lmagan tizimdan o'nlik tizimga o'tkazish amalga oshiriladi. Masalan, yuqorida yozilgan sonlarni o'nlik sanoq tizimiga o'tkazish quyidagicha amalga oshiriladi:

O'nlik sonlarni boshqa sanoq sistemalariga o'tkazish

Butun son tarjimasi

butun kasrli son X bazaga ega bo'lgan tizimga o'tkazish kerak q:X= (a n a n-1 …a 1 a 0) q . Topish kerak muhim raqamlar raqamlar: . Raqamni kengaytirilgan shaklda ifodalaymiz va bir xil o'zgartirishni bajaramiz:

Bu erdan ma'lum bo'ladi a 0 songa bo'lingandan keyingi qoldiqdir X raqam uchun q. Qavslar ichidagi ifoda bu bo'linishning butun son qismidir. deb belgilaymiz X 1. Shunga o'xshash o'zgarishlarni amalga oshirib, biz quyidagilarni olamiz:

Demak, a 1 - bo'linishning qolgan qismi X 1 da q. Qoldiq bilan bo'linishni davom ettirsak, biz kerakli raqamning raqamlari ketma-ketligini olamiz. Raqam a bu bo'linishlar zanjirida oxirgi xususiy, kichikroq bo'ladi q.

Olingan qoidani tuzamiz: Buning uchun butun kasrli sonni boshqa asosli sanoq tizimiga aylantirish uchun sizga kerak:

1) o‘nlik sanoq sistemasida yangi sanoq tizimining asosini ifodalash va keyingi barcha amallarni o‘nlik arifmetika qoidalariga muvofiq bajarish;

2) berilgan sonni va hosil bo‘lgan qisman bo‘laklarni bo‘luvchidan kichik to‘liq bo‘lmagan bo‘lak olinmaguncha yangi sanoq sistemasi asosida ketma-ket bo‘ling;

3) sonning raqamlari bo'lgan natijada qoldiqlar yangi tizim hisoblash, uni yangi sanoq sistemasi alifbosiga moslashtirish;

4) yangi sanoq sistemasidagi sonni oxirgi shaxsiy raqamdan boshlab yozib, tuzing.

1-misol 37 10 sonini ikkilik sistemaga o'tkazing.

Raqamning yozuvida raqamlarni belgilash uchun biz simvolizmdan foydalanamiz: a 5 a 4 a 3 a 2 a 1 a 0

Bu yerdan: 37 10 = l00l0l 2

2-misol 315 o'nlik sonini sakkizlik va o'n oltilik tizimlarga o'tkazing:

Bu erdan kelib chiqadi: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Eslatib o'tamiz, 11 10 = B 16.

O'nlik X< 1 требуется перевести в систему с основаниемq:X= (0,a –1 a –2 …a–m+1 a–m) q . Raqamning muhim raqamlarini toping: a –1 ,a –2 , …,a-m. Biz raqamni kengaytirilgan shaklda ifodalaymiz va uni ko'paytiramiz q:

Bu erdan ma'lum bo'ladi a–1 ishning butun bir qismi bor X raqam uchun q. tomonidan belgilang X 1 mahsulotning kasr qismi va uni ko'paytiring q:

Demak, a –2 ishning butun bir qismi bor X Har bir raqam uchun 1 ta q. Ko'paytirishni davom ettirsak, biz raqamlar ketma-ketligini olamiz. Endi qoidani tuzamiz: o'nlik kasrni boshqa asosli sanoq tizimiga aylantirish uchun sizga kerak:

1) ko'paytmaning kasr qismi nolga teng bo'lgunga qadar yoki yangi sanoq tizimida raqamni ko'rsatishning talab qilinadigan aniqligiga erishilgunga qadar yangi tizim asosida ko'paytmalarning berilgan sonini va hosil bo'lgan kasr qismlarini ketma-ket ko'paytiring;

2) ko‘paytmalarning yangi sanoq sistemasidagi sonning raqamlari bo‘lgan natijali butun qismlari ularni yangi sanoq sistemasi alifbosiga moslashtiradi;

3) birinchi ko‘paytmaning butun qismidan boshlab, yangi sanoq sistemasidagi sonning kasr qismini tashkil qiling.

3-misol 0,1875 kasrni ikkilik, sakkizlik va o‘n oltilik sanoqlarga o‘zgartiring.

Bu erda sonlarning butun qismi chap ustunda, kasr qismi esa o'ng ustunda joylashgan.

Demak: 0,1875 10 = 0,0011 2 = 0,14 8 = 0,3 16

Aralash raqamlarning tarjimasi, butun va kasr qismlarini o'z ichiga olgan, ikki bosqichda amalga oshiriladi. Asl sonning butun va kasr qismlari tegishli algoritmlarga muvofiq alohida tarjima qilinadi. Yangi sanoq sistemasidagi sonning yakuniy yozuvida butun qism kasr verguldan (nuqta) ajratiladi.

Ikkilik hisoblash

Jon fon Neyman printsipiga ko'ra, kompyuter hisob-kitoblarni amalga oshiradi ikkilik tizim hisoblash. Asosiy kurs doirasida ikkilik butun sonlar bilan hisob-kitoblarni ko'rib chiqish bilan cheklanib qolish kifoya. Ko'p xonali raqamlar bilan hisob-kitoblarni amalga oshirish uchun siz qo'shish qoidalarini va bir xonali raqamlarni ko'paytirish qoidalarini bilishingiz kerak. Mana qoidalar:

Qo'shish va ko'paytirishni almashtirish printsipi barcha sanoq tizimlarida ishlaydi. Ikkilik tizimda ko'p xonali sonlar bilan hisob-kitoblarni bajarish texnikasi o'nli kasrga o'xshaydi. Boshqacha qilib aytganda, ikkilik sistemada qo'shish, ayirish va "ustun" ga ko'paytirish va "burchak" ga bo'lish tartiblari o'nlik sanoq tizimidagi kabi bajariladi.

Ikkilik sonlarni ayirish va bo'lish qoidalarini ko'rib chiqing. Ayirish amali qo'shishga teskari hisoblanadi. Yuqoridagi qo'shish jadvalidan ayirish qoidalari quyidagicha:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Mana ko'p sonli ayirish misoli:

Olingan natijani farqni subtrahend bilan qo'shish orqali tekshirish mumkin. Bu kamayib borayotgan raqam bo'lishi kerak.

Bo'lish - ko'paytirishning teskari amalidir. Har qanday sanoq sistemasida 0 ga bo‘linib bo‘lmaydi. 1 ga bo'lish natijasi dividendga teng. Ikkilik sonni 102 ga bo'lish o'nli kasrni o'nga bo'lish kabi bir o'rin chapga siljitadi. Masalan:

100 ga bo'lish kasr nuqtasini 2 o'ringa chapga siljitadi va hokazo. Asosiy kursda siz ko'p qiymatli ikkilik raqamlarni bo'lishning murakkab misollarini ko'rib chiqa olmaysiz. Garchi qobiliyatli o'quvchilar umumiy tamoyillarni tushungan holda, ularni engishlari mumkin.

Kompyuter xotirasida saqlangan ma'lumotni haqiqiy ikkilik ko'rinishda ko'rsatish juda ko'p sonli raqamlar tufayli juda qiyin. Bu shunday ma'lumotlarni qog'ozga yozish yoki uni ekranda ko'rsatishni anglatadi. Ushbu maqsadlar uchun aralash ikkilik-sakkizlik yoki ikkilik-on oltilik tizimlardan foydalanish odatiy holdir.

Sonning ikkilik va oʻn oltilik koʻrinishi oʻrtasida oddiy bogʻliqlik mavjud. Raqamni bir tizimdan ikkinchisiga o'tkazishda bitta o'n oltilik raqam to'rt bitli ikkilik kodga mos keladi. Bu yozishmalar ikkilik-on oltilik jadvalda aks ettirilgan:

Ikkilik o'n oltilik jadval

Bunday munosabat 16 = 2 4 va 0 va 1 raqamlarining turli xil to'rt xonali birikmalari soni 16 ga teng ekanligiga asoslanadi: 0000 dan 1111. Shuning uchun. sonlarni oʻn oltilik sistemadan ikkilik tizimga va aksincha oʻzgartirish rasmiy konvertatsiya orqali amalga oshiriladiikkilik o'n oltilik jadval bo'yicha.

Mana 32 bitli ikkilik kodni o'n oltilik tizimga tarjima qilish misoli:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Agar ichki ma'lumotlarning o'n oltilik ko'rinishi berilgan bo'lsa, uni ikkilik kodga tarjima qilish oson. O'n oltilik ko'rinishning afzalligi shundaki, u ikkilikdan 4 marta qisqa. Talabalar ikkilik-on oltilik jadvalni yod olishlari maqsadga muvofiqdir. Haqiqatan ham ular uchun o'n oltilik vakillik binarga ekvivalent bo'ladi.

Ikkilik sakkizlikda har bir sakkizlik raqam ikkilik raqamlarning triadasiga mos keladi. Ushbu tizim ikkilik kodni 3 barobar kamaytirish imkonini beradi.

Laboratoriya ishi 1. “Raqam tizimlari”

Sanoq tizimi - bu berilgan maxsus belgilar to'plami - raqamlar yordamida raqamlarni yozish qoidalari.

Odamlar raqamlarni yozishning turli usullaridan foydalanganlar, ularni bir nechta guruhlarga birlashtirish mumkin: unar, nopozitsion va pozitsion.

Birinchi ikkitasi tarixiy qiziqish uyg'otadi, chunki ular hozirda juda cheklangan.

Unar sanoq sistemasi

Birlik yozuv - Bu raqamlarni yozish uchun faqat bitta belgi qo'llaniladigan sanoq tizimi - 1 ("tayoq").

Keyingi raqam oldingi raqamdan yangi 1 qo'shish orqali olinadi; ularning soni (sum) sonning o'ziga teng.

Aynan shu tizim bolalarni hisoblashni dastlabki o'rgatish uchun ishlatiladi (siz "sanoq tayoqchalarini" eslashingiz mumkin).

Boshqacha qilib aytganda, unar tizimdan foydalanish bolalarni raqamlar va ular bilan harakatlar dunyosi bilan tanishtirishning muhim pedagogik usuli bo'lib chiqadi.

pozitsiyali bo'lmagan yozuv

Nopozitsion sanoq sistemasi - ma'lum miqdorni bildiruvchi belgilar sonning tasviridagi joylashuviga (pozitsiyasiga) qarab o'z ma'nosini o'zgartirmaydigan tizim.

Kimdan pozitsiyali bo'lmagan Eng keng tarqalgani Rim raqamlar tizimidir.

Unda ba'zi asosiy raqamlar bosh lotin harflari bilan ko'rsatilgan:

1 - I, 5 - V, 10 - X, 50 - L, 100 - C, 500 - D, 1000 - M.

Boshqa barcha raqamlar asosiy raqamlar kombinatsiyasidan tuzilgan va:

agar chapdagi raqam o'ngdagi raqamdan kichik bo'lsa, u holda chap raqam o'ngdan chiqariladi;

agar o'ngdagi raqam chapdagi raqamdan kichik yoki teng bo'lsa, u holda bu raqamlar qo'shiladi;

Bunday tizimda raqamlarni yozish mashaqqatli va noqulay, ammo undagi eng oddiy arifmetik amallarni ham bajarish yanada noqulaydir.

Nihoyat, M dan katta raqamlar uchun nol va belgilarning yo'qligi hech qanday raqamni (hatto natural sonni ham) rim raqamlarida yozishga imkon bermaydi. Ushbu tizim raqamlash uchun ishlatiladi.

Pozitsion sanoq sistemalari

Pozitsion sanoq sistemalari deyiladi, ularda raqam tasviridagi har bir raqamning qiymati uning boshqa bir qator raqamlardagi o'rni (pozitsiyasi) bilan belgilanadi.

Belgilangan belgilar to'plami (raqamlar) (A 0 , a v ..., A P ), berilgan pozitsion sanoq sistemasidagi istalgan sonlarni ifodalash uchun ishlatiladi, uni chaqiring alifbo, alifbodagi belgilar (raqamlar) soni R= n+ 1 - u poydevor, va sanoq sistemasining o'zi deyiladi R-ric.

Baza pozitsion sanoq sistemasi - berilgan sanoq sistemasidagi raqamlarni ifodalash uchun foydalaniladigan turli raqamlar soni.

Bizga eng tanishi o'nlik sanoq sistemasidir. Uning alifbosi (0, 1, 2, 3, 4, 5, b, 7, 8, 9) va asosi p = 10, ya'ni bu tizimda har qanday raqamlarni yozish uchun faqat o'n xil belgilar (raqamlar) ishlatiladi. O'nlik sanoq tizimi har bir raqamning 10 birligi qo'shni eng yuqori raqamning bir birligiga birlashtirilganligiga asoslanadi, shuning uchun har bir raqam 10 ning kuchiga teng vaznga ega. Shuning uchun bir xil raqamning qiymati quyidagicha aniqlanadi. uning 10 ning kuchi bilan tavsiflangan raqam tasviridagi joylashuvi. Masalan, 222.22 raqami tasvirida 2 raqami 5 marta takrorlanadi, chapdagi birinchi raqam 2 yuzlar sonini bildiradi (uning vazni 10 2); ikkinchisi - o'nliklar soni (uning og'irligi 10 1), uchinchisi - birliklar soni (uning og'irligi 10 0), to'rtinchisi - birlikning o'ndan birlari soni (uning og'irligi 10 -1) va beshinchi raqam - birlikning yuzdan birliklari soni (uning og'irligi 10 -2), ya'ni 222,22 raqami 10 ga kengaytirilishi mumkin:

222,22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2.

Xuddi shunday, 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10 °;

1304,5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10° + 5 10 -1 ,

50328.15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10° + 1 10 -1 + 5 10 -2.

Umuman olganda, ish uchun R-ariy sanoq sistemasi, asosini aniqlash kerak R va dan iborat alifbo R turli belgilar (raqamlar) A R i = 1,...,R.

Har qanday raqam X p ko'phad sifatida uni sonning darajalarida kengaytirish orqali ifodalanishi mumkin p:

koeffitsientlar ketma-ketligi raqamning qisqartirilgan belgisidir X p :

Raqamning butun qismini kasrdan ajratib turuvchi nuqta bu raqamlar ketma-ketligidagi har bir pozitsiyaning o'ziga xos qiymatlarini aniqlash uchun xizmat qiladi va boshlang'ich nuqtadir.

Raqamlarni tarjima qilish usullari. Raqamlarning ichida ifodalanishi turli tizimlar hisoblash

Tarjimaraqamlar bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o'tkaziladi

Xuddi shu sonni turli sanoq sistemalarida yozish mumkin.

Algoritmdan butun sonlarni aylantirish q -ariy tizimida p -ary, q > p uchun

Asl raqamni almashtirish uchunX q teng raqamX p qoidalari bilan talab qilinadiq-ary arifmetik butun sonlarni bo'lishX q yangi asosdap. Oxirgidan birinchisigacha tartibda yozilgan bo'linish natijalari X raqamlari bo'lib chiqadi p .

Ko'phadning koeffitsientlari noma'lum bo'lgani uchun ularni a i deb belgilaymiz; olamiz:

Odatda, tavsiflangan protsedura maktabga tanish bo'lgan bo'linish operatsiyasi shaklida taqdim etiladi:

Shunday qilib, biz X 5 = 443 ni oldik.

Tarjimaning to‘g‘riligini tekshirish: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10 .

E'tibor berish kerak bo'lgan ikkinchi narsa barcha amallar ko'chirish amalga oshirilgan sanoq tizimining arifmetika qoidalariga muvofiq bajarildi(ko'rib chiqilgan misolda - o'nlik).

dan butun sonlarni aylantirish algoritmi q -ariy tizimida p -ary, q uchun< p

Tarjima qilish uchun raqamni ko'rsatishingiz kerakX q p- arifmetika.

X 6  X 10, X \u003d 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

Yuqoridagi algoritmlar sonni o'nlik sistemadan boshqasiga yoki aksincha o'zgartirishda foydalanish uchun qulaydir.

Ular boshqa har qanday sanoq tizimlari o'rtasida tarjima qilish uchun ham ishlaydi, ammo bunday tarjima qilish qiyin bo'ladi, chunki barcha arifmetik amallar asl (birinchi algoritmda) yoki yakuniy (ikkinchi algoritmda) tizim qoidalariga muvofiq amalga oshirilishi kerak.

Shu sababli, o'tishni, masalan, X 3  X 8, 10-chi X 3  X 10  X 8 tizimiga oraliq o'tish orqali amalga oshirish osonroq.

q > p uchun to'g'ri kasrni aylantirish algoritmi

0,X q to'g'ri kasrni tarjima qilish natijasi ham 0,X p to'g'ri kasr bo'ladi, bu asl kasrni yangi asosga ko'paytirish orqali olinadipqoidalarga muvofiqq-ariy arifmetika; olingan mahsulotning butun qismi yangi kasrning yuqori tartibli raqami bo'ladi; olingan mahsulotning kasr qismi yana ko'paytirilishi kerakpva hokazo.

Misol: 0.X 10  0.X 2 . 0,X=0,375 10

Keyin 0, X 2 ni olish uchun:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

Shunday qilib, 0,375 10 \u003d 0,011 2.

Tekshirish 0,011=0*2 -1 +1*2 -2 +1*2 -3 =0,25+1,125=0,375 10

q uchun to'g'ri kasrni aylantirish algoritmi< p

Tarjima uchunX q  X p raqam berish kerakX q polinom shaklida va barcha amallarni qoidalarga muvofiq bajaringp- arifmetika.

Misol: X 6  X 10, X 6 \u003d 0,234 6

Buning uchun

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

Biz tekshiramiz:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0,66612*6=3,99672 4 ,0 (u olingan taqdirda hisoblash xatosi ratsional sonlar}

Misol: X 2  X 10, X \u003d 0,10101 2

Buning uchun

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

Biz tekshiramiz:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 ,0. Hammasi to'g'ri

2 - 8 - 16 sanoq sistemalari orasidagi raqamlarni tarjima qilish

Ushbu sanoq sistemalarida raqamlar tasviriga misollar 1-jadvalda keltirilgan

1-jadval. Sanoq tizimlari

kasr	ikkilik	kasr	ikkilik

Ikkilik butun sonni asosli sanoq sistemasiga aylantirish uchunp = 2 r bu ikkilik sonni eng muhim raqamdan boshlab guruhlarga bo'lish kifoyarraqamlar har bir va har bir guruh mustaqil ravishda tizimga tarjima qilinadip.

Masalan, 110001 2 sonini p=8 sanoq sistemasiga aylantirish uchun asl sonni o‘ngdan chapga (8 = 2 3 , demak, r = 3) uchta raqamdan iborat guruhlarga bo‘lish va sakkizlik songa aylantirish kerak. sanoq sistemasi: 110001 2 =61 8 . Tekshirish 110001 2 =32+16+1=49 10 , 6*8 1 +1*8 0 =49 10

Xuddi shunday, 4 ta ikkilik raqamdan iborat guruhlarga bo'linib, biz 110001 2 = 31 16 ni olamiz.

Sanoq sistemasida yozilgan butun sonni asosi bilan tarjima qilishp = 2 r , ikkilik tizimda asl raqamning har bir raqamini mustaqil ravishda mos keladigan raqam bilan almashtirish kifoyar-bitli ikkilik raqam, agar kerak bo'lsa, uni bir guruhgacha ahamiyatsiz nollar bilan to'ldiring.rraqamlar.

Misol: D3 16 sonini ikkilik sistemada ifodalaylik:

Masalan, 123 8 = 001010011 2 = 53 16 .

O'z-o'zini bajarish uchun vazifalar

p-ar sanoq sistemasining X p sonini q-ar sanoq sistemasining X q soniga aylantiring

X 5  X 10, bu erda X 5 \u003d 123

X 3  X 10, bu erda X 3 \u003d 102

X 10  X 4, bu erda X 10 \u003d 123

X 10  X 6, bu erda X 10 \u003d 548

X 5  X 3, bu erda X 3 \u003d 421

X 2  X 6, bu erda X 2 \u003d 0111001

X 2  X 16, bu erda X 2 \u003d 10011

X 2  X 8, bu erda X 2 \u003d 101010

X 16  X 2, bu erda X 16 \u003d AD3

X 8  X 2, bu erda X 8 \u003d 5470

II. O'nlik sanoqli tizimga o'tkazish:

743 10 , b) 334,12 10 , c) 61,375, d) 160,25 10 , e) 131,82 10

III. O'nli o'nlik sanoqli sanoqli kasrga aylantirish:

445 10 , b) 334,12 10 , c) 261,375, d) 160,25 10 , e) 131,82 10

Birlik (unar) sanoq sistemasi Sanoq tizimlari ro'yxati

Belgilash:

raqamlar to'plamining (butun va/yoki real) tasvirlarini beradi;
har bir raqamning o'ziga xos ko'rinishini (yoki hech bo'lmaganda standart vakillikni) beradi;
sonlarning algebraik va arifmetik tuzilishini aks ettiradi.

Sanoq tizimlari quyidagilarga bo'linadi pozitsion, pozitsiyali bo'lmagan Va aralashgan.

Pozitsion sanoq sistemalari

Pozitsion sanoq sistemalarida son yozuvida bir xil son belgisi (raqam) mavjud turli ma'nolar joylashgan joyiga (oqimiga) qarab. Raqamlarning mahalliy ma'nosiga asoslangan pozitsion raqamlashning ixtirosi shumerlar va bobilliklarga tegishli; bunday raqamlash hindular tomonidan ishlab chiqilgan va insoniyat sivilizatsiyasi tarixida bebaho oqibatlarga olib kelgan. Bu tizimlarga zamonaviy o'nlik sanoq sistemasi kiradi, uning paydo bo'lishi barmoqlarda sanash bilan bog'liq. IN o'rta asr Evropasi italyan savdogarlari orqali paydo bo'lgan, ular o'z navbatida musulmonlardan qarz olgan.

Pozitsion sanoq sistemasi deganda odatda -ary sanoq sistemasi tushuniladi, u butun son bilan aniqlanadi. asos sanoq tizimlari. -ary sanoq sistemasidagi ishorasiz butun son son darajalarining cheklangan chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi:

, butun sonlar qayerda deyiladi raqamlar, tengsizlikni qondirish.

Bunday rekorddagi har bir daraja toifaning vazn koeffitsienti deb ataladi. Raqamlar va ularga mos keladigan raqamlarning kattaligi indikatorning (raqamli raqam) qiymati bilan belgilanadi. Odatda, nolga teng bo'lmagan raqamlarda chap nollar qoldiriladi.

Agar nomuvofiqliklar bo'lmasa (masalan, barcha raqamlar noyob yozma belgilar shaklida taqdim etilganda), raqam chapdan o'ngga raqamlar ustunligining kamayish tartibida keltirilgan alifbo raqamlari ketma-ketligi sifatida yoziladi:

Masalan, raqam bir yuz uch kasrli yozuvda quyidagicha ifodalanadi:

Eng ko'p ishlatiladigan pozitsion tizimlar:

Pozitsion tizimlarda sistemaning asosi qanchalik katta bo‘lsa, raqam yozishda shunchalik kam bit (ya’ni yoziladigan raqamlar) talab qilinadi.

Aralash sanoq sistemalari

Aralash sanoq sistemasi-ary sanoq sistemasining umumlashmasi bo'lib, ko'pincha pozitsion sanoq sistemalariga ham tegishli. Aralash sanoq sistemasining asosi sonlarning ortib borayotgan ketma-ketligidir va undagi har bir raqam chiziqli birikma sifatida ifodalanadi:

, bu erda koeffitsientlar avvalgidek chaqiriladi raqamlar, ba'zi cheklovlar qo'llaniladi.

Raqamni aralash sanoq sistemasida yozish uning raqamlarini indeksning kamayish tartibida birinchi nolga teng bo‘lmagandan boshlab sanab o‘tishdir.

Turiga qarab aralash sanoq sistemalarining funksiyasi sifatida kuch, ko'rsatkichli va hokazo bo'lishi mumkin. Ba'zilar uchun aralash sanoq sistemasi ko'rsatkichli -ariy sanoq sistemasiga to'g'ri keladi.

Aralash sanoq sistemasining eng mashhur namunasi vaqtni kunlar, soatlar, daqiqalar va soniyalar soni sifatida tasvirlashdir. Bu holda "kunlar, soatlar, daqiqalar, soniyalar" qiymati soniyalar qiymatiga mos keladi.

Faktoriy sanoq sistemasi

IN faktoriy sanoq sistemasi asoslar faktoriallar ketma-ketligidir va har bir natural son quyidagicha ifodalanadi:

, Qayerda.

Faktoriy sanoq sistemasi qachon ishlatiladi inversiyalar ro'yxati bo'yicha almashtirishlarni dekodlash: almashtirish raqamiga ega bo'lgan holda, siz uni quyidagicha ko'paytirishingiz mumkin: raqamdan bir kichik raqam (raqamlash noldan boshlanadi) faktoriy sanoq tizimida yoziladi, i sonining koeffitsienti esa! almashtirishlar amalga oshirilgan to'plamdagi i + 1 elementi uchun inversiyalar sonini bildiradi (i + 1 dan kichik elementlar soni, lekin kerakli almashtirishda uning o'ng tomonida)

Misol: 5 ta elementning almashtirishlar to'plamini ko'rib chiqing, jami 5 tasi bor! = 120 (0 - (1,2,3,4,5) almashtirish raqamidan 119 - (5,4,3,2,1) almashtirish), 101- almashtirishni toping: 100 = 4!* 4 + 3 !*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; ti - koeffitsientni i! soniga qo'yamiz, keyin t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, keyin: elementlar soni 5 dan kichik, lekin o'ng tomonda turgan 4; elementlar soni 4 dan kichik, lekin o'ngda 0; elementlar soni 3 dan kam, lekin o'ngda 2; elementlar soni 2 dan kichik, lekin o'ng tomonda 0 (o'zgartirishdagi oxirgi element yagona qolgan joyga "qo'yiladi") - shuning uchun 101-o'rin almashtirish quyidagicha ko'rinadi: (5,3,1,2, 4) Ushbu usulni tekshirish har bir almashtirish elementi uchun inversiyalarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash orqali amalga oshirilishi mumkin.

Fibonachchi sanoq tizimi Fibonachchi raqamlariga asoslangan. Undagi har bir natural son quyidagicha ifodalanadi:

, Fibonachchi raqamlari qayerda, , koeffitsientlar esa chekli sonli birliklarga ega va ketma-ket ikkita birlik yo'q.

Nopozitsion sanoq sistemalari

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemalarida raqamni bildiradigan qiymat sondagi o'ringa bog'liq emas. Bunday holda, tizim raqamlarning joylashuviga cheklovlar qo'yishi mumkin, masalan, ular kamayish tartibida joylashtiriladi.

Binam sanoq sistemasi

Binom koeffitsientlari yordamida tasvirlash

, Qayerda.

Qoldiq sinf tizimi (SOC)

Qolgan sinf tizimida sonning tasviri qoldiq tushunchasiga va xitoycha qoldiq teoremasiga asoslanadi. RNS koprimlar to'plami bilan aniqlanadi modullar mahsulot bilan shunday qilib segmentdagi har bir butun son qoldiqlar to'plami bilan bog'liq bo'ladi , qaerda

…

Shu bilan birga, xitoycha qoldiq teoremasi intervalgacha bo'lgan raqamlarni ko'rsatishning o'ziga xosligini kafolatlaydi.

RNS da arifmetik amallar (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish) komponentlar bo'ylab bajariladi, agar natija butun son ekanligi ma'lum bo'lsa va unda ham yotsa.

RNS ning kamchiliklari faqat cheklangan sonli raqamlarni ifodalash qobiliyati, shuningdek, RNSda ifodalangan raqamlarni solishtirish uchun samarali algoritmlarning yo'qligi. Taqqoslash odatda argumentlarni RNS dan bazalarda aralash sanoq tizimiga aylantirish orqali amalga oshiriladi.

Stern-Brokot sanoq tizimi Stern-Brokko daraxti asosida musbat ratsional sonlarni yozish usulidir.

Turli xalqlarning sanoq tizimlari

Birlik sanoq tizimi

Ko'rinishidan, xronologik jihatdan, hisobni o'zlashtirgan har bir xalqning birinchi sanoq tizimi. Natural son bir xil belgini takrorlash orqali tasvirlangan (tire yoki nuqta). Masalan, 26 raqamini tasvirlash uchun siz 26 ta chiziq chizishingiz kerak (yoki suyak, tosh va boshqalarga 26 ta tirqish). Keyinchalik, qulaylik uchun katta raqamlar, bu belgilar uch yoki beshta guruhlangan. Keyin teng hajmli belgilar guruhlari qandaydir yangi belgi bilan almashtirila boshlaydi - kelajakdagi raqamlarning prototiplari shunday paydo bo'ladi.

Qadimgi Misr sanoq tizimi

Bobil sanoq tizimi

Alifbo tartibidagi sanoq sistemalari

Qadimgi armanlar, gruzinlar, yunonlar (ionik sanoq sistemasi), arablar (abjadiya), yahudiylar (qarang Gematriya) va boshqa Yaqin Sharq xalqlari alifbo sanoq sistemalaridan foydalanganlar. Slavyan liturgik kitoblarida yunon alifbosi tizimi kirill harflariga tarjima qilingan.

Ibroniy raqamlar tizimi

Yunon sanoq tizimi

Rim raqamlar tizimi

Deyarli pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimining kanonik misoli lotin harflari raqam sifatida ishlatiladigan Rim tizimidir:
Men 1 ga turaman,
V - 5,
X - 10,
L-50
C-100
D-500
M-1000

Masalan, II = 1 + 1 = 2
bu yerda I belgisi raqamdagi o'rnidan qat'iy nazar 1 ni bildiradi.

Aslida, Rim tizimi to'liq pozitsiyali emas, chunki undan kattasidan oldin keladigan kichikroq raqam ayiriladi, masalan:

IV = 4 esa:
VI = 6

Mayya sanoq tizimi

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Havolalar

Gashkov S.B. Sanoq tizimlari va ularning qo‘llanilishi. - M .: MTsNMO, 2004. - ("Matematik ta'lim" kutubxonasi).
Fomin S.V. Sanoq tizimlari. - M .: Nauka, 1987. - 48 b. - (Matematika bo'yicha mashhur ma'ruzalar).
Yaglom I. Raqam tizimlari // Kvant. - 1970. - No 6. - S. 2-10.
Raqamlar va sanoq tizimlari. Dunyo bo'ylab onlayn ensiklopediya.
Staxov A. Hisoblash tizimlarining kompyuterlar tarixidagi o‘rni.
Mikushin A.V. Sanoq tizimlari. "Raqamli qurilmalar va mikroprotsessorlar" ma'ruza kursi
Butler J. T., Sasao T. Ortiqcha ko'p qiymatli sanoq tizimlari Maqolada birdan katta raqamlardan foydalanadigan va raqamlarni ifodalashda ortiqcha bo'lishga imkon beruvchi sanoq tizimlari haqida gap boradi.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

O'qish foydali bo'lishi mumkin: