Die Formel für die Mantelfläche eines Zylinders. So finden Sie die Fläche eines Zylinders. Vollständige Oberfläche eines Zylinders

Betrachten Sie einen Rotationszylinder mit Radius R und Höhe h (Abb. 383). Beschriften Sie die Basis dieses Zylinders regelmäßiges Vieleck(in Abb. 383 - ein Sechseck) und mit seiner Hilfe werden wir ein regelmäßiges Prisma konstruieren, das in einen Zylinder eingeschrieben ist. Auf die gleiche Weise können regelmäßige Prismen beliebig um den Zylinder herum beschrieben werden eine große Anzahl Seitenkanten.

Per Definition wird die Fläche der Seitenfläche des Zylinders als die Grenze angesehen, zu der die Flächen der Seitenflächen der um ihn herum eingeschriebenen und beschriebenen regelmäßigen Prismen tendieren, wenn sich die Anzahl ihrer Seitenflächen verdoppelt (bzw sogar erhöht) auf unbestimmte Zeit.

Die Gesamtoberfläche des Zylinders. Für Studierende weiterführende Schule Bei Kindern, die keine wirklichen „Fans“ des Geometrieobjekts sind, treten Probleme auf, wie z. B. das Finden der Oberfläche eines Zylinders, was oft dazu führt, dass Kinder ihre Lehrbücher schließen und aufgeben oder die Geometrie finden.

Verwendung bekannter Objekte zum Rendern geometrischer Formen

Geometrie ist, wie viele Arten der Mathematik, oft viel einfacher zu verstehen, wenn sie in mundgerechte Teile zerlegt wird. Dieses Geometrie-Tutorial wird genau das tun – die Gleichung zum Ermitteln der Oberfläche eines Zylinders in leicht verständliche Teile zerlegen. Zugegebenermaßen ist die Formel für die Oberfläche eines Zylinders nicht sehr gut. Versuchen wir also, die Formel in verständliche Teile zu zerlegen. Ein guter Mathe-Tipp besteht darin, zu versuchen, die geometrische Form mit einem Objekt zu visualisieren, mit dem Sie bereits vertraut sind.

Dass eine solche Grenze existiert, werden wir nun beweisen. Wenn wir ein beschriftetes regelmäßiges Prisma nehmen, das auf einem regelmäßigen -Eck wie auf der Basis aufgebaut ist, dann erhalten wir für seine Seitenfläche den Ausdruck: wobei der Umfang eines regelmäßigen -Ecks ist, das in den Kreis der Basis des Zylinders eingeschrieben ist. Bei . Genau die gleiche Berechnung für das beschriebene Prisma liefert das gleiche Ergebnis. Die Fläche der Mantelfläche eines Rotationszylinders wird also durch die Formel ausgedrückt

Welche Gegenstände in Ihrem Haus sind Zylinder? Die Bank besteht aus Ober-, Unter- und Seitenflächen. Wenn man die Seite der Dose aufklappen könnte, wäre sie tatsächlich ein Rechteck. Jetzt können Sie die Gesamtoberfläche des Zylinders visualisieren.

Mit anderen Worten, Sie können sich die Gleichung für die Gesamtfläche eines Zylinders wie folgt vorstellen: Um die Oberfläche eines Zylinders zu berechnen, müssen Sie daher die Fläche eines Kreises und die Fläche eines Rechtecks ​​berechnen. Schauen wir uns noch einmal die Gesamtoberfläche der Zylindergleichung an und zerlegen sie in leicht verständliche Teile.

Die Mantelfläche des Zylinders ist gleich dem Produkt aus der Länge der Erzeugenden und dem Umfang (d. h. dem Umfang) der Grundfläche.

Aufgabe 1. Das Segment, das die diametral gegenüberliegenden Punkte A und B der oberen und unteren Basis des Zylinders verbindet (Abb. 384), beträgt 10 cm und ist in einem Winkel von 60° zur Basisebene geneigt. Finden Sie die Fläche der Mantelfläche des Zylinders.

Online-Hilfe zur Geometrie: Oberfläche eines Zylinders

Teil 2: Der zweite Teil der Gleichung gibt uns die Fläche des Rechtecks, das sich um das Glas krümmt. Warum wird die Breite im zweiten Teil der Gleichung als geschrieben? Zeichnen Sie erneut das Etikett. Beachten Sie, dass die Breite des um das Glas gerollten Rechtecks ​​genau dem Umfang des Glases entspricht. Multiplizieren Sie die Zeit und Sie erhalten die Fläche des rechteckigen Teils des Zylinders.

  • Teil 1: Der erste Teil der Zylindergleichung bezieht sich auf die Fläche zweier Kreise.
  • Der erste Teil der Zylindergleichung gibt uns also die Fläche zweier Kreise.
  • Wir wissen, dass die Fläche eines Rechtecks ​​einfach der Breite seiner Höhe entspricht.
Überprüfen Sie drei allgemeiner Typ Geometrieprobleme zur Bestimmung der Oberfläche eines Zylinders für verschiedene Messungen.

Lösung. Zeichnen wir den Vorkommen durch das Segment A durch eine Ebene senkrecht zur Basis des Zylinders. Aus dem Dreieck haben wir

woraus wir für die Mantelfläche des Zylinders finden

Finden Sie den Neigungswinkel zur gleichen Ebene der Diagonale des Parallelepipeds.

2. Bei einem geraden Parallelepiped ist der spitze Winkel der Basis gleich a und eine der Seiten der Basis ist gleich a. Der durch diese Seite und die gegenüberliegende Kante der oberen Basis gezogene Schnitt hat die Fläche Q und seine Ebene ist in einem Winkel zur Ebene der Basis geneigt. Finden Sie das Volumen und die Gesamtfläche des Parallelepipeds.

#1 Finden Sie die Oberfläche des Zylinders mit gegebenem Radius und Höhe

Lösung.

#2 Ermitteln Sie die Oberfläche eines Zylinders mit gegebenem Durchmesser und Höhe

Problem: Wie groß ist die Gesamtoberfläche eines Zylinders mit einem Durchmesser von 4 Zoll und einer Höhe von 10 Zoll? Antwort: Die Oberfläche eines Zylinders mit einem Durchmesser von 4 Zoll und einer Höhe von 10 Zoll beträgt 72 Zoll.

#3 Ermitteln Sie die Oberfläche eines Zylinders anhand der Fläche eines Endes und der Höhe

Problem: Die Fläche eines Endes des Zylinders beträgt 26 Quadratmeter. Fuß und seine Höhe beträgt 10 Fuß. Wie groß ist die Gesamtoberfläche des Zylinders? Machen Sie sich mit der Definition, den Formeln und den Beispielfragen vertraut. Ein Zylinder ist ein Rohr, dessen zwei flache Enden Kreise sind.

3. Die Basis eines geneigten dreieckigen Prismas ist ein gleichschenkliges Prisma rechtwinkliges Dreieck, und die Projektion einer der Seitenkanten auf die Grundebene fällt mit dem Median m eines der Schenkel des Dreiecks zusammen. Ermitteln Sie den Neigungswinkel der Seitenkanten zur Grundebene, wenn das Volumen des Prismas V beträgt.

4. In einem regelmäßigen sechseckigen Prisma werden zwei Abschnitte durch die Seite der Basis gezeichnet: 1) enthaltend die gegenüberliegende Seite der oberen Basis, 2) enthaltend die Mitte der oberen Basis. Auf welcher Höhe des Prismas hat der Winkel zwischen den Schnittebenen den größten Wert und wie groß ist er in diesem Fall?

Um die Oberfläche eines Zylinders zu berechnen, müssen Sie den Radius des Kreises kennen, aus dem die flache Seite besteht, sowie den Abstand vom Zylinder zur anderen flachen Seite, dieser wird als Höhe definiert. Oberfläche = \\. Um das Volumen eines Zylinders zu berechnen, ermitteln Sie das Raumvolumen im Zylinder.

Um einen zylindrischen, sich nicht verjüngenden Eimer aus Blech herzustellen, muss Tony die zu verwendende Blechfläche bestimmen. Wenn der Eimer keinen Deckel hätte, also etwa genauso viele Quadratzentimeter Blech, wie viel müsste Tony dann mit diesem Eimer anfangen? Die Fläche der zylindrischen Seite des Eimers beträgt π = 400π. Die Fläche des Eimerbodens beträgt π 2 = 25π.

Ein Zylinder hat drei Oberflächen: eine Oberseite, eine Unterseite und eine Seitenfläche.

Die Ober- und Unterseite des Zylinders sind kreisförmig und leicht zu erkennen.

Es ist bekannt, dass die Fläche eines Kreises gleich πr2 ist. Daher sieht die Formel für die Fläche zweier Kreise wie folgt aus: πr2 + πr2 = 2πr2.

Mantelfläche des Zylinders

Die dritte Seitenfläche des Zylinders ist die gekrümmte Wand des Zylinders. Um diese Oberfläche besser darzustellen, versuchen wir, sie so umzuwandeln, dass sie eine erkennbare Form erhält. Stellen Sie sich vor, dass ein Zylinder eine gewöhnliche Blechdose ist, die keinen oberen Deckel und keinen Boden hat. Machen wir einen vertikalen Einschnitt an der Seitenwand von oben bis unten im Glas und versuchen wir, die resultierende Figur zu maximieren.

Wie viel Mal ist das Volumen des zweiten rechten Kreiszylinders so groß wie das Volumen des ersten rechten Kreiszylinders? Rationale Formeln und Variationen. Lösen Sie die Formel für einen bestimmten Buchstaben. Definieren Sie direkte, inverse und gemeinsame Variation. Finden Sie das Unbekannte im Variationsproblem.

Lösen Sie Anwendungsprobleme, die direkte Änderungen erfordern. Lösen Sie Anwendungsprobleme mit inverser Variation. Lösen Sie Anwendungsprobleme, die mit gemeinschaftlichen Änderungen verbunden sind. Sie können nützliche Werkzeuge sein, um reale Situationen darzustellen und Lösungen für alltägliche Probleme zu finden. Gleichungen, die direkte, inverse und gemeinsame Variationen darstellen, sind Beispiele für rationale Formeln, die reale Situationen modellieren. Wie Sie sehen, können Sie normalerweise ein Gefühl für die Situation bekommen, wenn Sie die Formel finden.

Nach der vollständigen Öffnung des resultierenden Glases sehen wir eine bekannte Figur, dies ist ein Rechteck. Die Fläche eines Rechtecks ​​lässt sich leicht berechnen. Aber kehren wir vorher noch einmal kurz zum Originalzylinder zurück. Der Scheitelpunkt des ursprünglichen Zylinders ist ein Kreis, und wir wissen, dass der Umfang eines Kreises nach der Formel berechnet wird: L = 2πr. Es ist in der Abbildung rot markiert.

Beim Lösen von Problemen mit rationalen Formeln ist es sinnvoll, zunächst die Formel für eine bestimmte Variable zu analysieren. Bei Arbeitsproblemen müssen Sie beispielsweise berechnen, wie viel Zeit dafür benötigt wird unterschiedliche Leute mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten laufen, um die Arbeit zu erledigen. Der Umfang der geleisteten Arbeit ergibt sich aus der Arbeitsgeschwindigkeit und der für die Arbeit aufgewendeten Zeit.

Mithilfe der Algebra können Sie die Arbeitsformel auf drei Arten schreiben. Finde Zeit. Geschwindigkeit finden. Schauen wir uns nun ein Beispiel mit der Zylindervolumenformel an. Variationsgleichungen sind Beispiele für rationale Formeln und werden zur Beschreibung der Beziehung zwischen Variablen verwendet. Stellen Sie sich zum Beispiel einen Parkplatz voller Autos vor. Die Gesamtzahl der Reifen auf dem Parkplatz hängt von der Gesamtzahl der Autos ab. Algebraisch können Sie diesen Zusammenhang mit einer Gleichung darstellen.

Wenn die Seitenwand des Zylinders vollständig ausgedehnt ist, sehen wir, dass der Umfang der Länge des resultierenden Rechtecks ​​entspricht. Die Seiten dieses Rechtecks ​​entsprechen dem Umfang und der Höhe des Zylinders. Die Fläche eines Rechtecks ​​ist gleich dem Produkt seiner Seiten – S = Länge x Breite = L x h = 2πr x h = 2πrh. Als Ergebnis haben wir eine Formel zur Berechnung der Mantelfläche eines Zylinders erhalten.

Anzahl der Autos = 4 Anzahl der Autos. Die Zahl 4 gibt Ihnen das Verhältnis von Wagen zu Reifen an. Es handelt sich um eine Konstante, da sich diese Zahl nicht ändert. Da die Anzahl der Drehgestelle und die Anzahl der Reifen konstant sind, führt eine Änderung der Anzahl der Wagen zu einer proportionalen Änderung der Anzahl der Reifen. Dies ist ein Beispiel, bei dem die Anzahl der Reifen von der Anzahl der Autos abhängt.

Sie können die Auto- und Reifengleichung als Grundlage für das Schreiben allgemeiner Texte verwenden algebraische Gleichungen, die für alle Beispiele direkter Variation dienen. Im Beispiel ist die Anzahl der Reifen die Ausgabe, 4 die Konstante und die Anzahl der Autos die Eingabe. Lassen Sie uns diese gebräuchlichen Begriffe in die Gleichung einbeziehen.

Die Formel für die Fläche der Mantelfläche eines Zylinders
Seite = 2prh

Vollständige Oberfläche eines Zylinders

Wenn wir schließlich die Fläche aller drei Flächen addieren, erhalten wir die Formel für die Gesamtfläche...
Zylinderoberfläche. Die Oberfläche des Zylinders ist gleich der Fläche der Oberseite des Zylinders + der Fläche der Basis des Zylinders + der Fläche der Seitenfläche des Zylinders, oder S = πr2 + πr2 + 2πrh = 2πr2 + 2πrh. Manchmal wird dieser Ausdruck durch die identische Formel 2πr geschrieben.

Mantelfläche des Zylinders

Anzahl der Räder = 4 Anzahl der Autos. Finden Sie einen gemeinsamen Weg, um direkte Veränderungen darzustellen. Wenn wir über Eingabe und Ausgabe in einer Gleichung sprechen, bezeichnen wir diese Gleichung normalerweise als Funktion. Nun setzen wir diese Symbole in eine Gleichung ein. Schauen wir uns ein weiteres Beispiel einer direkten Variation an. Wenn Kunden viel kaufen Kartons Ab und zu muss sie die Summen mit Papier und Bleistift addieren und hat Angst, einen Fehler zu machen. Zum Glück für Mary ist dies ein Vorwärtsänderungsfaktor, der Output entspricht dem Input durch eine Konstante.

Die Formel für die Gesamtoberfläche eines Zylinders
S = 2πr2 + 2πrh = 2πr
r ist der Radius des Zylinders, h ist die Höhe des Zylinders

Beispiele zur Berechnung der Oberfläche eines Zylinders

Um die obigen Formeln zu verstehen, versuchen wir anhand von Beispielen die Oberfläche eines Zylinders zu berechnen.

1. Der Radius der Basis des Zylinders beträgt 2, die Höhe beträgt 3. Bestimmen Sie die Fläche der Seitenfläche des Zylinders

Die Gesamtoberfläche wird nach der Formel berechnet: Sside. = 2prh

Sie kann eine direkte Variationsgleichung verwenden, um eine Preistabelle zu erstellen und diese als Abkürzung zu verwenden. In diesem Fall sind die Gesamtkosten = Kosten pro Kartonmenge an Kartons. Gesamtkosten = 99 Anzahl Kartons. Dieses Merkmal besteht aus einzelnen Punkten, da die Post nur einzelne Kartons verkauft. Aber Sie können sehen, dass alle Punkte gleichmäßig verteilt sind und eine Linie zu bilden scheinen. Sie können auch sehen, dass die Kosten für 0 Kartons 0 $ betragen, solange er nicht im Diagramm enthalten ist und der Punkt die Funktion erfüllt.

Seite = 2 * 3,14 * 2 * 3

Seite = 6,28 * 6

Seite = 37,68

Die Mantelfläche des Zylinders beträgt 37,68.

2. Wie finde ich die Oberfläche eines Zylinders, wenn die Höhe 4 und der Radius 6 beträgt?

Die Gesamtoberfläche wird nach der Formel berechnet: S = 2πr2 + 2πrh

S = 2 * 3,14 * 62 + 2 * 3,14 * 6 * 4

S = 2 * 3,14 * 36 + 2 * 3,14 * 24

S = 226,08 + 150,72

Die Oberfläche des Zylinders beträgt 376,8.

Schauen wir uns nun den Graphen der Gleichung der direkten Variation an und beobachten wir den Unterschied zum vorherigen Graphen. Stellen Sie sich einen Wasserhahn vor, der eine Wanne mit einer Geschwindigkeit von 5 Gallonen pro Minute füllt. Die Wassermenge im Bad hängt von der Öffnungszeit der Wasserhähne ab. Mit der folgenden Formel können Sie sich den Zusammenhang zwischen Zeit und Badewasser veranschaulichen.

Lassen Sie uns ein Diagramm erstellen, um den zeitlichen Zusammenhang mit der Wassermenge im Badezimmer aufzuzeichnen. Nach 1 Minute sind 5 Gallonen in der Wanne. Nach 2 Minuten beträgt die Gesamtmenge 5 Gallonen und so weiter. Um jederzeit die Gesamtwassermenge im Bad zu ermitteln, können Sie die Zeit mit 5 Gallonen pro Minute multiplizieren. Sechs Minuten sollten Ihnen genug Punkte geben, um das Diagramm nützlich zu machen.

3 Die Mantelfläche eines geraden Kreiszylinders beträgt 24π und der Basisdurchmesser beträgt 3. Ermitteln Sie die Höhe des Zylinders.

Aus der Formel zur Berechnung der Fläche der Mantelfläche des Zylinders Sbok. = 2πrh daraus folgt, dass die Höhe ist:

H = Sside/2πr

Der Radiuswert ergibt sich aus der Formel: d = 2r

Die Höhe des Zylinders beträgt 8.


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