1 natural son yoki yo'q. Aniq mavzuni o'rganish: natural sonlar - bu qanday raqamlar, misollar va xususiyatlar

Matematika umumiy falsafadan miloddan avvalgi VI asrda paydo bo'lgan. e. va shu paytdan boshlab uning butun dunyo bo'ylab g'alabali yurishi boshlandi. Rivojlanishning har bir bosqichi yangi narsalarni kiritdi - elementar hisoblash rivojlandi, differentsial va integral hisoblarga aylandi, asrlar o'zgardi, formulalar tobora chalkash bo'ldi va "eng murakkab matematika boshlangan - barcha raqamlar undan g'oyib bo'lgan" payt keldi. Lekin asos nima edi?

Vaqtning boshlanishi

Natural sonlar birinchi matematik amallar bilan birga paydo bo'ldi. Bir marta umurtqa pog'onasi, ikkita umurtqa pog'onasi, uchta umurtqa pog'onasi ... Ular birinchi pozitsiyani aniqlagan hind olimlari tufayli paydo bo'ldi.

"Pozitsiyalilik" so'zi raqamdagi har bir raqamning joylashuvi qat'iy belgilanganligini va uning toifasiga mos kelishini anglatadi. Misol uchun, 784 va 487 raqamlari bir xil raqamlar, lekin raqamlar ekvivalent emas, chunki birinchisida 7 yuz, ikkinchisida esa atigi 4. Arablar raqamlarni shaklga keltirgan hindlarning yangiligini oldilar. Biz hozir bilamiz.

Qadim zamonlarda raqamlar berilgan mistik ma'no, Pifagorlar dunyoning yaratilishida asosiy elementlar - olov, suv, er, havo bilan birga raqam yotadi, deb hisoblagan. Agar biz hamma narsani faqat matematik tomondan ko'rib chiqsak, unda natural son nima? Natural sonlar maydoni N bilan belgilanadi va butun va musbat sonlarning cheksiz qatoridir: 1, 2, 3, … + ∞. Nol bundan mustasno. U asosan narsalarni sanash va tartibni ko'rsatish uchun ishlatiladi.

Matematikada nima bor? Peano aksiomalari

N maydoni elementar matematika tayanadigan asosiy maydondir. Vaqt o'tishi bilan, butun sonlar maydonlari, ratsional,

Italiyalik matematik Juzeppe Peanoning ishi arifmetikaning keyingi tuzilishiga imkon berdi, uning rasmiyatchiligiga erishdi va N sohasidan tashqariga chiqadigan keyingi xulosalar uchun yo'l ochdi.

Natural son nima, u avvalroq aniqlangan oddiy til, Peano aksiomalariga asoslangan matematik ta'rif quyida ko'rib chiqiladi.

  • Bittasi natural son hisoblanadi.
  • Natural sondan keyin keladigan son natural sondir.
  • Bittadan oldin natural son yo'q.
  • Agar b soni c soniga ham, d soniga ham ergashsa, c=d.
  • Induksiya aksiomasi, bu o'z navbatida natural son nima ekanligini ko'rsatadi: agar parametrga bog'liq bo'lgan ba'zi bir bayonot 1 raqami uchun to'g'ri bo'lsa, u holda N natural sonlar maydonidan n soni uchun ham ishlaydi deb faraz qilamiz. gap N natural sonlar maydonidan n =1 uchun ham to'g'ri.

Natural sonlar maydoni uchun asosiy amallar

N maydoni matematik hisob-kitoblar uchun birinchi bo'lganligi sababli, ta'rif sohalari ham, quyidagi operatsiyalarning qiymatlari diapazonlari ham unga tegishli. Ular yopiq va yo'q. Asosiy farq shundaki, yopiq operatsiyalar qanday raqamlar ishtirok etishidan qat'i nazar, N to'plam ichida natija qoldirishi kafolatlanadi. Ularning tabiiy bo'lishi kifoya. Qolgan sonli o'zaro ta'sirlarning natijasi endi unchalik aniq emas va to'g'ridan-to'g'ri ifodada qanday raqamlar ishtirok etishiga bog'liq, chunki u asosiy ta'rifga zid bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yopiq operatsiyalar:

  • qo'shish - x + y = z, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan;
  • ko'paytirish - x * y = z, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan;
  • eksponentatsiya - x y , bu erda x, y N maydoniga kiritilgan.

"Natural son nima" ta'rifi kontekstida natijasi bo'lmasligi mumkin bo'lgan qolgan operatsiyalar quyidagilardir:


N maydoniga tegishli sonlarning xossalari

Keyingi barcha matematik mulohazalar quyidagi xususiyatlarga asoslanadi, eng ahamiyatsiz, ammo muhim emas.

  • Qo'shishning kommutativ xossasi x + y = y + x bo'lib, bu erda x, y raqamlari N maydoniga kiritilgan. Yoki hammaga ma'lum bo'lgan "ayrimlarning joylari o'zgarishidan yig'indi o'zgarmaydi".
  • Ko'paytirishning kommutativ xususiyati x * y = y * x bo'lib, bu erda x, y raqamlari N maydoniga kiritilgan.
  • Qo'shishning assotsiativ xossasi (x + y) + z = x + (y + z) bo'lib, bu erda x, y, z N maydoniga kiradi.
  • Ko'paytirishning assotsiativ xususiyati (x * y) * z = x * (y * z) bo'lib, bu erda x, y, z raqamlari N maydoniga kiritilgan.
  • taqsimot xossasi - x (y + z) = x * y + x * z, bu erda x, y, z raqamlari N maydoniga kiritilgan.

Pifagor stoli

Maktab o'quvchilarining boshlang'ich matematikaning butun tuzilishini bilishlaridagi birinchi qadamlardan biri, ular o'zlari uchun qaysi raqamlar tabiiy deb atalishini tushunganlaridan so'ng, bu Pifagor jadvalidir. Uni nafaqat ilm-fan nuqtai nazaridan, balki qimmatli ilmiy yodgorlik sifatida ham qarash mumkin.

Vaqt o'tishi bilan bu ko'paytirish jadvali bir qator o'zgarishlarga duch keldi: undan nol olib tashlandi va 1 dan 10 gacha raqamlar buyurtmalarni hisobga olmagan holda (yuzlab, minglab ...) o'zlarini bildiradi. Bu jadval bo'lib, unda satrlar va ustunlar sarlavhalari raqamlardan iborat bo'lib, ularning kesishgan kataklari tarkibi ularning mahsulotiga teng bo'ladi.

So'nggi o'n yilliklarda o'qitish amaliyotida Pifagor jadvalini "tartibda" yodlash zarurati paydo bo'ldi, ya'ni yodlash birinchi o'ringa chiqdi. 1 ga ko'paytirish chiqarib tashlandi, chunki natija 1 yoki undan ko'p edi. Ayni paytda, yalang'och ko'z bilan jadvalda siz naqshni ko'rishingiz mumkin: raqamlar mahsuloti bir bosqichga o'sadi, bu chiziq sarlavhasiga teng. Shunday qilib, ikkinchi omil bizga kerakli mahsulotni olish uchun birinchisini necha marta olishimiz kerakligini ko'rsatadi. Bu tizim O'rta asrlarda qo'llanilganidan ancha qulayroq: hatto natural son nima ekanligini va u qanchalik ahamiyatsiz ekanligini tushunib, odamlar ikkining kuchiga asoslangan tizim yordamida kundalik hisoblashni murakkablashtirishga muvaffaq bo'lishdi.

Matematikaning beshigi sifatida kichik to'plam

Yoniq bu daqiqa natural sonlar maydoni N faqat kompleks sonlarning kichik to'plamlaridan biri sifatida ko'rib chiqiladi, ammo bu ularni fanda kamroq qimmatli qilmaydi. Tabiiy son - bu bolaning o'zini o'rganish orqali o'rganadigan birinchi narsa va dunyo. Bir barmoq, ikki barmoq ... Unga rahmat, inson shakllanadi mantiqiy fikrlash, shuningdek, sababni aniqlash va natijani xulosa qilish qobiliyati buyuk kashfiyotlar uchun yo'l ochib beradi.

Nima tabiiy va yo'q butun sonlar? Bolaga qanday tushuntirish kerak, yoki bolaga emas, balki ularning orasidagi farq nima? Keling, buni aniqlaylik. Bizga ma'lumki, tabiiy bo'lmagan va natural sonlar 5-sinfda o'rganiladi va bizning maqsadimiz o'quvchilarga haqiqatan ham nima va qanday ekanligini tushunishlari va o'rganishlari uchun tushuntirishdir.

Hikoya

Natural sonlar eng qadimgi tushunchalardan biridir. Uzoq vaqt oldin, odamlar hali ham hisoblashni bilmaganlarida va raqamlar haqida tasavvurga ega bo'lmaganlarida, biror narsani, masalan, baliqlarni, hayvonlarni hisoblashlari kerak bo'lganda, ular turli xil narsalarga nuqta yoki tirelarni qoqib qo'yishgan, chunki arxeologlar keyinchalik aniqladilar. . O'sha paytda ular uchun yashash juda qiyin edi, lekin tsivilizatsiya avval Rim sanoq tizimiga, keyin esa o'nlik sanoq tizimiga o'tdi. Hozir deyarli hamma arab raqamlaridan foydalanadi.

Hammasi natural sonlar haqida

Natural sonlar - kundalik hayotimizda miqdor va tartibni aniqlash uchun ob'ektlarni sanashda foydalaniladigan tub sonlar. Biz hozirda raqamlarni yozish uchun o'nlik sanoq tizimidan foydalanamiz. Har qanday raqamni yozish uchun biz o'nta raqamdan foydalanamiz - noldan to'qqizgacha.

Natural sonlar - biz ob'ektlarni sanashda yoki biror narsaning seriya raqamini ko'rsatishda foydalanadigan raqamlar. Misol: 5, 368, 99, 3684.

Raqamlar qatori natural sonlar deb ataladi, ular ortib boruvchi tartibda joylashtirilgan, ya'ni. birdan cheksizgacha. Bunday qator eng kichik raqam - 1 bilan boshlanadi va eng katta natural son yo'q, chunki raqamlar qatori shunchaki cheksizdir.

Umuman olganda, nol natural son hisoblanmaydi, chunki u biror narsaning yo'qligini anglatadi, shuningdek, ob'ektlarni hisoblash ham yo'q.

Arab raqamlar tizimi biz har kuni foydalanadigan zamonaviy tizimdir. Bu hind (o'nlik) variantlaridan biridir.

Bu sanoq sistemasi arablar tomonidan ixtiro qilingan 0 raqami tufayli zamonaviy bo'lib qoldi. Bungacha u Hindiston tizimida yo'q edi.

natural bo'lmagan sonlar. Nima bu?

Natural sonlar manfiy sonlarni va butun bo'lmagan sonlarni o'z ichiga olmaydi. Shunday qilib, ular - tabiiy bo'lmagan sonlar

Quyida misollar keltirilgan.

Tabiiy bo'lmagan sonlar:

  • Salbiy raqamlar, masalan: -1, -5, -36.. va hokazo.
  • Ratsional sonlar, ular o'nli kasrlarda ifodalanadi: 4,5, -67, 44,6.
  • Oddiy kasr shaklida: 1/2, 40 2/7 va boshqalar.

    • Irratsional sonlar, masalan, e = 2,71828, √2 = 1,41421 va shunga o'xshashlar.

Umid qilamizki, biz sizga tabiiy bo'lmagan va natural sonlar bilan ko'p yordam berdik. Endi siz uchun bu mavzuni bolangizga tushuntirish osonroq bo'ladi va u buni buyuk matematiklar kabi o'rganadi!

Eng oddiy raqam natural son. Ular ichida ishlatiladi Kundalik hayot hisoblash uchun buyumlar, ya'ni. ularning soni va tartibini hisoblash uchun.

Natural son nima: natural sonlar uchun ishlatiladigan raqamlarni ayting ob'ektlarni hisoblash yoki barcha bir hil buyumning seriya raqamini ko'rsatish uchun buyumlar.

Butun sonlarbirdan boshlanadigan raqamlardir. Ular hisoblashda tabiiy ravishda hosil bo'ladi.Masalan, 1,2,3,4,5... -birinchi natural sonlar.

eng kichik natural son- bitta. Eng katta natural son yo'q. Raqamni hisoblashda nol ishlatilmaydi, shuning uchun nol natural sondir.

tabiiy sonlar qatori barcha natural sonlar ketma-ketligidir. Natural sonlarni yozing:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 ...

Natural sonlarda har bir son oldingisidan bittaga ko'p bo'ladi.

Natural qatorda nechta son bor? Tabiiy qator cheksiz, eng katta natural son yo'q.

O'nlik, chunki har qanday toifadagi 10 birlik eng yuqori tartibdagi 1 birlikni tashkil qiladi. pozitsion shunday raqamning qiymati uning raqamdagi o'rniga qanday bog'liq, ya'ni. qayd qilingan toifadan.

Natural sonlar sinflari.

Har qanday natural sonni 10 yordamida yozish mumkin Arab raqamlari:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Natural sonlarni o'qish uchun ular o'ngdan boshlab, har biri 3 raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi. 3 birinchi o'ngdagi raqamlar - birliklar sinfi, keyingi 3 - minglar sinfi, keyin millionlar, milliardlar vava boshqalar. Sinf raqamlarining har biri uning deyiladitushirish.

Natural sonlarni solishtirish.

2 ta natural sondan sanashda oldin chaqirilgan son kamroq. Masalan, raqam 7 Ozroq 11 (bunday yozilgan:7 < 11 ). Qachon bitta raqam soniyadan ko'proq, u shunday yozilgan:386 > 99 .

Raqamlar jadvali va raqamlar sinflari.

1-sinf birligi

1-raqam birligi

2-o'rin o'n

3-darajali yuzliklar

2-sinf ming

Minglarning 1-raqamli birliklari

2-raqam o'n minglar

3-o'rin - yuz minglab

3-sinf millionlar

1-raqamli birliklar million

2-raqam o'n millionlar

3-raqam - yuzlab millionlar

4-sinf milliardlar

1-raqam birliklari milliard

2-raqam o'nlab milliardlar

3-raqam - yuzlab milliardlar

5-sinf va undan yuqori raqamlar katta raqamlardir. 5-sinf birliklari - trillion, 6-chi sinf - kvadrilionlar, 7-sinf - kvintillionlar, 8-sinf - sekstilionlar, 9-sinf - epitilyonlar.

Natural sonlarning asosiy xossalari.

  • Qo'shishning kommutativligi . a + b = b + a
  • Ko'paytirishning kommutativligi. ab=ba
  • Qo'shishning assotsiativligi. (a + b) + c = a + (b + c)
  • Ko'paytirishning assotsiativligi.
  • Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:

Natural sonlar ustida amallar.

4. Natural sonlarni bo‘lish ko‘paytirishga teskari amaldir.

Agar b ∙ c \u003d a, Bu

Bo'linish formulalari:

a: 1 = a

a: a = 1, a ≠ 0

0: a = 0, a ≠ 0

(A∙ b) : c = (a:c) ∙ b

(A∙ b) : c = (b:c) ∙ a

Raqamli ifodalar va sonli tengliklar.

Raqamlar harakat belgilari bilan bog'langan belgi raqamli ifoda.

Masalan, 10∙3+4; (60-2∙5):10.

Tenglik belgisi 2 ta sonli ifodani birlashtirgan yozuvlar raqamli tengliklar. Tenglikning chap tomoni va o'ng tomoni bor.

Arifmetik amallarni bajarish tartibi.

Sonlarni qo‘shish va ayirish birinchi darajali amallar, ko‘paytirish va bo‘lish esa ikkinchi darajali amallardir.

Qachon raqamli ifoda faqat bir darajadagi harakatlardan iborat bo'lib, keyin ular ketma-ket bajariladi chapdan o'ngga.

Agar ifodalar faqat birinchi va ikkinchi darajali harakatlardan iborat bo'lsa, u holda birinchi navbatda harakatlar bajariladi ikkinchi darajali, keyin esa - birinchi darajali harakatlar.

Ifodada qavslar mavjud bo'lganda, birinchi navbatda qavs ichidagi amallar bajariladi.

Masalan, 36:(10-4)+3∙5= 36:6+15 = 6+15 = 21.

Ta'rif

Natural sonlar jismlarni sanash uchun mo'ljallangan sonlar deyiladi. Natural sonlarni yozish uchun matematik hisoblar uchun umumiy qabul qilingan oʻnlik sanoq sistemasining asosini tashkil etuvchi 10 ta arab raqamlari (0–9) qoʻllaniladi.

Natural sonlar ketma-ketligi

Natural sonlar 1 dan boshlanuvchi va barcha musbat sonlar to‘plamini qamrab oluvchi qatorni tashkil qiladi. Bunday ketma-ketlik 1,2,3, ... raqamlaridan iborat. Bu shuni anglatadiki, tabiiy seriyalarda:

  1. Eng kichik raqam bor va eng kattasi yo'q.
  2. Har bir keyingi raqam avvalgisidan 1 ga katta (istisno birlikning o'zi).
  3. Raqamlar cheksizlikka borgan sari, ular cheksiz o'sib boradi.

Ba'zan natural sonlar qatoriga 0 ham kiritiladi.Bu joiz, keyin ular haqida gapirishadi kengaytirilgan tabiiy seriyalar.

Natural sonlar sinflari

Natural sonning har bir raqami ma'lum bir raqamni ifodalaydi. Oxirgisi har doim sondagi birliklar soni, undan oldingisi o'nlar soni, oxiridan uchinchisi yuzlar soni, to'rtinchisi minglar soni va hokazo.

  • 276 raqamida: 2 yuzlik, 7 o'nlik, 6 birlik
  • 1098 raqamida: 1 ming, 9 o'nlik, 8 birlik; Bu yerda yuzlar oʻrinlari yoʻq, chunki u nol sifatida ifodalangan.

Katta va juda katta raqamlar uchun siz barqaror tendentsiyani ko'rishingiz mumkin (agar siz raqamni o'ngdan chapga, ya'ni oxirgi raqamdan birinchisiga qarab tekshirsangiz):

  • sondagi oxirgi uchta raqam birliklar, o'nliklar va yuzliklardir;
  • oldingi uchtasi birliklar, o'nliklar va yuz minglar;
  • ularning oldidagi uchtasi (ya'ni, sonning 7, 8 va 9-raqamlari, oxiridan boshlab) birliklar, o'nlab va yuzlab millionlar va boshqalar.

Ya'ni, har safar biz uchta raqam bilan ishlaymiz, ya'ni birliklar, o'nlab va yuzlab kattaroq nomlar. Bunday guruhlar sinflarni tashkil qiladi. Va agar siz kundalik hayotda birinchi uchta sinf bilan tez-tez yoki kamroq shug'ullanishingiz kerak bo'lsa, unda boshqalar ro'yxatga olinishi kerak, chunki hamma ham o'z ismlarini yoddan eslamaydi.

  • Millionlar sinfidan keyingi va 10-12 raqamli raqamlarni ifodalovchi 4-sinf milliard (yoki milliard) deb ataladi;
  • 5-sinf - trillion;
  • 6-sinf - kvadrillion;
  • 7-sinf - kvintillion;
  • 8-sinf - sekstilion;
  • 9-sinf - septillion.

Natural sonlarni qo'shish

Natural sonlarni qo'shish arifmetik amal bo'lib, u qo'shilgan sonlarda qancha birlik bo'lsa, shuncha birlikdan iborat sonni olish imkonini beradi.

Qo'shish belgisi "+" belgisidir. Qo'shilgan sonlar atamalar deb ataladi, natija yig'indi deb ataladi.

Kichik raqamlar og'zaki qo'shiladi (jamlanadi), yozma ravishda bunday harakatlar qatorga yoziladi.

Ongda qo'shish qiyin bo'lgan ko'p xonali raqamlar odatda ustunga qo'shiladi. Buning uchun raqamlar birin-ketin yoziladi, oxirgi raqam bilan tekislanadi, ya'ni birliklar raqamini birliklar raqami ostiga, yuzliklar raqamini yuzliklar raqami ostiga yozadi va hokazo. Keyinchalik, raqamlarni juftlikda qo'shishingiz kerak. Agar raqamlar qo'shilishi o'nlikdan o'tish bilan sodir bo'lsa, unda bu o'nlik chapdagi raqamdan (ya'ni undan keyin) birlik sifatida o'rnatiladi va bu raqamning raqamlari bilan birga qo'shiladi.

Agar ustun 2 emas, balki qo'shilsa ko'proq raqamlar, keyin toifadagi raqamlarni yig'ishda 1 o'nlab emas, balki bir nechta ortiqcha bo'lishi mumkin. Bunday holda, bunday o'nliklar soni keyingi raqamga o'tkaziladi.

Natural sonlarni ayirish

Ayirish - bu arifmetik operatsiya bo'lib, qo'shishning teskarisi, bu miqdor va shartlardan birini hisobga olgan holda, siz boshqasini - noma'lum atamani topishingiz kerakligiga olib keladi. Ayirilayotgan son minuend deb ataladi; ayirilayotgan son ayirma hisoblanadi. Ayirma natijasi ayirma deb ataladi. Ayirish amalini bildiruvchi belgi "-".

Qo'shishga o'tishda ayirma va ayirma atamaga, kamaytirilgan esa yig'indiga aylanadi. Qo'shish odatda bajarilgan ayirishning to'g'riligini tekshiradi va aksincha.

Bu erda 74 - minuend, 18 - ayirish, 56 - farq.

Natural sonlarni ayirishning zaruriy sharti quyidagilardan iborat: minuend, albatta, ayirishdan katta bo'lishi kerak. Faqat bu holda olingan farq ham natural son bo'ladi. Agar ayirish harakati kengaytirilgan tabiiy qator uchun bajarilsa, minuend ayirishga teng bo'lishiga ruxsat beriladi. Va bu holda ayirish natijasi 0 bo'ladi.

Eslatma: agar ayirish nolga teng bo'lsa, ayirish operatsiyasi minuendning qiymatini o'zgartirmaydi.

Ko'p xonali raqamlarni ayirish odatda ustunda amalga oshiriladi. Raqamlarni qo'shish bilan bir xil tarzda yozing. Tegishli raqamlar uchun ayirish amalga oshiriladi. Agar minuend subtrahenddan kichik bo'lib chiqsa, u holda oldingi (chap tomonda joylashgan) raqamdan biri olinadi, u ko'chirilgandan keyin tabiiy ravishda 10 ga aylanadi. Bu o'nlik qisqartirilgan raqam bilan umumlashtiriladi. raqam berilgan va keyin ayiriladi. Bundan tashqari, keyingi raqamni ayirishda, kamaytirilgan raqam 1 ga kam bo'lganligini hisobga olish kerak.

Natural sonlar hosilasi

Natural sonlarning ko'paytmasi (yoki ko'payishi) arifmetik amal bo'lib, u bir xil atamalarning ixtiyoriy sonining yig'indisini topadi. Ko'paytirish amalini yozish uchun "·" (ba'zan "×" yoki "*") belgisidan foydalaning. Masalan: 3 5=15.

Ko'paytirish harakati qo'shish kerak bo'lganda ajralmas hisoblanadi katta miqdorda shartlari. Misol uchun, agar siz 4 raqamini 7 marta qo'shishingiz kerak bo'lsa, unda 4 ni 7 ga ko'paytirish bu qo'shimchani bajarishdan ko'ra osonroqdir: 4+4+4+4+4+4+4.

Ko'paytiriladigan raqamlar omillar deb ataladi, ko'paytirish natijasida hosil bo'ladi. Shunga ko'ra, "ish" atamasi kontekstga qarab, ko'paytirish jarayonini ham, uning natijasini ham ifodalashi mumkin.

Ko'p xonali raqamlar ustunda ko'paytiriladi. Bu raqam uchun qo'shish va ayirish bilan bir xil tarzda yoziladi. Avval (yuqorida) 2 ta raqamdan qaysi biri uzunroq ekanligini yozish tavsiya etiladi. Bunday holda, ko'paytirish jarayoni oddiyroq va shuning uchun yanada oqilona bo'ladi.

Ustunga ko'paytirishda ikkinchi raqamning har bir raqamining raqamlari uning oxiridan boshlab 1-sonning raqamlariga ketma-ket ko'paytiriladi. Birinchi bunday ishni topib, ular birliklar sonini yozadilar va o'nlab sonlarni yodda tutadilar. 2-sonning raqamini 1-sonning keyingi raqamiga ko'paytirganda, hisobga olingan raqam mahsulotga qo'shiladi. Va yana ular olingan natija birliklari sonini yozadilar va o'nlab sonlarni eslaydilar. 1-sonning oxirgi raqamiga ko'paytirilganda, shu tarzda olingan raqam to'liq yoziladi.

Ikkinchi raqamning 2 raqamining raqamlarini ko'paytirish natijalari ikkinchi qatorga yoziladi, uni 1 katak o'ngga siljitadi. Va hokazo. Natijada, "narvon" olinadi. Olingan barcha raqamlar qatorlari qo'shilishi kerak (ustundagi qo'shish qoidasiga muvofiq). Bo'sh hujayralar nol bilan to'ldirilgan deb hisoblanishi kerak. Olingan summa yakuniy mahsulot hisoblanadi.

Eslatma
  1. Har qanday natural sonning 1 ga (yoki 1 ga) koʻpaytmasi sonning oʻziga teng. Masalan: 376 1=376; 1 86=86.
  2. Faktorlardan biri yoki ikkala omil 0 ga teng bo'lsa, ko'paytma 0 ga teng bo'ladi.Masalan: 32·0=0; 0 845=845; 0 0=0.

Natural sonlarning bo'linishi

Bo'lish arifmetik operatsiya deb ataladi, uning yordamida ma'lum ko'paytma va omillardan biriga ko'ra, boshqa - noma'lum - omilni topish mumkin. Bo'linish ko'paytirishning teskarisi bo'lib, ko'paytirishning to'g'ri bajarilganligini tekshirish uchun ishlatiladi (va aksincha).

Bo'linayotgan songa bo'linuvchi deyiladi; u bo'linadigan son bo'luvchidir; bo'lish natijasi bo'lak deyiladi. Bo'linish belgisi ":" (ba'zan, kamroq - "÷").

Bu erda 48 - dividend, 6 - bo'luvchi va 8 - qism.

Hamma natural sonlarni bir-biriga bo'lish mumkin emas. Bunday holda, bo'linish qoldiq bilan amalga oshiriladi. Bu shuni anglatadiki, bo'luvchi uchun shunday koeffitsient tanlanadi, shunda uning bo'linuvchi tomonidan mahsuloti dividendga imkon qadar yaqin, ammo undan kam bo'lgan raqam bo'ladi. Bo'luvchi bu koeffitsientga ko'paytiriladi va dividenddan chiqariladi. Farqi bo'linishning qolgan qismi bo'ladi. Bo'luvchining ko'paytmaga ko'paytmasiga to'liq bo'lmagan qism deyiladi. Diqqat: qoldiq tanlangan multiplikatordan kam bo'lishi kerak! Qolgan kattaroq bo'lsa, bu multiplikator noto'g'ri tanlanganligini anglatadi va uni oshirish kerak.

Biz 7. In uchun multiplikatorni tanlaymiz bu holat bu son 5. Toʻliq boʻlmagan qismni toping: 7 5=35. Qolganini hisoblang: 38-35=3. 3 yildan beri<7, то это означает, что число 5 было подобрано верно. Результат деления следует записать так: 38:7=5 (остаток 3).

Ko'p xonali raqamlar ustunga bo'linadi. Buning uchun dividend va bo'luvchi yonma-yon yoziladi, bo'luvchi vertikal va gorizontal chiziq bilan ajratiladi. Dividendda birinchi raqam yoki birinchi bir necha raqam (o'ngda) tanlanadi, ular bo'luvchiga bo'lish uchun minimal etarli bo'lgan raqam bo'lishi kerak (ya'ni, bu raqam bo'luvchidan katta bo'lishi kerak). Bu raqam uchun qoldiq bilan bo'lish qoidasida ta'riflanganidek, to'liq bo'lmagan qism tanlanadi. Bo'luvchi ostida qisman qismni topish uchun ishlatiladigan ko'paytiruvchining soni yoziladi. To'liq bo'lmagan qism bo'lingan, o'ngga tekislangan raqam ostida yoziladi. Ularning farqini toping. Dividendning keyingi raqami bu farqning yoniga yozish orqali buziladi. Olingan son uchun, bo'luvchi ostidagi oldingi ko'rsatkich yonidagi tanlangan koeffitsientning raqamini yozish orqali yana to'liq bo'lmagan qism topiladi. Va hokazo. Bunday harakatlar dividendlar soni tugamaguncha amalga oshiriladi. Shundan so'ng, bo'linish tugallangan deb hisoblanadi. Agar dividend va bo'luvchi to'liq (qoldiqsiz) bo'lingan bo'lsa, unda oxirgi farq nolga teng bo'ladi. Aks holda, qolgan raqam qaytariladi.

Ko'rsatkichlar

Ekponentsiya - bu bir xil sonlarning ixtiyoriy sonini ko'paytirishdan iborat bo'lgan matematik operatsiya. Masalan: 2 2 2 2.

Bunday iboralar quyidagicha yoziladi: a x,

Qayerda a o'ziga ko'paytiriladigan sondir x bu kabi omillar soni.

Bosh va kompozit natural sonlar

Har qanday natural son, 1 dan tashqari, kamida 2 ta songa bo'linishi mumkin - bitta va o'zi. Ushbu mezonga asoslanib, natural sonlar tub va qo'shma sonlarga bo'linadi.

Tub sonlar faqat 1 ga va o'ziga bo'linadigan sonlardir. Bu 2 tadan ortiq songa boʻlinadigan sonlar kompozit sonlar deyiladi. Faqatgina o'ziga bo'linadigan birlik tub ham, birikma ham emas.

Sonlar tub sonlar: 2,3,5,7,11,13,17,19 va hokazo. Kompozit sonlarga misollar: 4 (1,2,4 ga bo'linadi), 6 (1,2,3,6 ga bo'linadi), 20 (1,2,4,5,10,20 ga bo'linadi).

Har qanday kompozit sonni tub omillarga ajratish mumkin. Bunda tub omillar deb uning bo'luvchilari tushuniladi, ular tub sonlardir.

Asosiy omillarga faktorizatsiyaga misol:

Natural sonlarning bo'luvchilari

Bo'luvchi - berilgan sonni qoldiqsiz bo'lish mumkin bo'lgan son.

Ushbu ta'rifga ko'ra, oddiy natural sonlar 2 bo'luvchiga, qo'shma sonlar esa 2 dan ortiq bo'luvchiga ega.

Ko'p sonlarning umumiy bo'luvchilari bor. Umumiy bo'luvchi - berilgan sonlar qoldiqsiz bo'linadigan son.

  • 12 va 15 raqamlari umumiy bo'luvchi 3 ga ega
  • 20 va 30 raqamlarining umumiy bo'luvchilari 2,5,10

Eng katta umumiy bo'luvchi (GCD) alohida ahamiyatga ega. Bu raqam, xususan, kasrlarni kamaytirish uchun topish uchun foydalidir. Uni topish uchun berilgan sonlarni tub omillarga ajratish va ularni eng kichik darajalarda olingan umumiy tub omillarning mahsuloti sifatida taqdim etish kerak.

36 va 48 raqamlarining GCD ni topish talab qilinadi.

Natural sonlarning bo‘linuvchanligi

Bir raqam boshqasiga qoldiqsiz bo'linishini "ko'z bilan" aniqlash har doim ham mumkin emas. Bunday hollarda tegishli bo'linish testi foydalidir, ya'ni bir necha soniya ichida siz raqamlarni qoldiqsiz bo'lish mumkinligini aniqlashingiz mumkin bo'lgan qoidadir. "" belgisi bo'linishni ko'rsatish uchun ishlatiladi.

Eng kichik umumiy ko'plik

Bu qiymat (LCM bilan belgilanadi) berilganlarning har biriga bo'linadigan eng kichik sondir. LCM ni natural sonlarning ixtiyoriy to'plami uchun topish mumkin.

LCM, GCD kabi, muhim amaliy ma'noga ega. Shunday qilib, oddiy kasrlarni umumiy maxrajga qisqartirish orqali LCMni topish kerak.

LCM berilgan sonlarni tub omillarga ajratish orqali aniqlanadi. Uning shakllanishi uchun maksimal darajada ifodalangan har bir sodir bo'lgan (kamida 1 raqam uchun) tub omillardan iborat mahsulot olinadi.

14 va 24 raqamlarining LCM ni topish talab qilinadi.

O'rta arifmetik

Ixtiyoriy (lekin chekli) natural sonlarning oʻrtacha arifmetik qiymati bu barcha sonlarning yigʻindisi atamalar soniga boʻlinadi:

Arifmetik o'rtacha raqamlar to'plami uchun o'rtacha qiymatdir.

2,84,53,176,17,28 raqamlari berilgan. Ularning o'rtacha arifmetik qiymatini topish talab qilinadi.

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: