Alle Zahlensysteme. Positionszahlensystem

Sobald die Menschen mit dem Zählen begannen, mussten sie Zahlen aufschreiben. Archäologen haben an den Stätten von Naturvölkern Beweise dafür gefunden, dass ursprünglich fast jede Menge einfach durch die gleiche Anzahl von Symbolen geschrieben wurde: Stäbchen, Punkte, Striche. Ein solches System heißt Einheit (unär). Jede Zahl in diesem System wird durch die Wiederholung eines Zeichens geschrieben, das eins symbolisiert.

Trotz der Antike dieses Systems wird es bis heute verwendet; Erstklässlern wird beigebracht, mit Stöcken zu zählen, und um den Kurs zu bestimmen, in dem ein Kadett einer Militärschule gerade studiert, sollte man die Anzahl der aufgenähten Streifen zählen Ärmel.

Das unäre System ist nicht das Beste bequeme Weise Beim Aufzeichnen von Zahlen nimmt die Aufzeichnung viel Platz ein und die Monotonie der Aufzeichnung führt zu Fehlern, sodass im Laufe der Zeit bequemere Zahlensysteme auftauchten.

Altägyptisches Dezimalzahlensystem

Die alten Ägypter hatten ein sehr praktisches Zahlensystem mit Hinweisschildern Schlüsselzahlen: 1, 10, 100 usw. Die restlichen Zahlen wurden durch Addition geschrieben. Die Bezeichnungen einiger Nummern sind in Abbildung 1 dargestellt.

Das System wird derzeit nicht verwendet.

Römisches Zahlensystem

Dieses System ist bis heute unverändert geblieben. Es erschien vor mehr als zweieinhalbtausend Jahren Antikes Rom. Es basierte auf den Zeichen I (Finger) für die Zahl 1, V (fünf) für die Zahl 5, X (zwei Hände) für die Zahl 10. Und um 100, 500 und 1000 zu bezeichnen, die Anfangsbuchstaben der lateinischen Namen verwendet wurden (Centum – einhundert, Demilille – ein halbes Tausend, Mille – ein Tausend). Um Zahlen aufzuschreiben, verwendeten die Römer nicht nur Summen, wie die Ägypter, sondern auch Differenzen. Dazu wurde eine einfache Regel angewendet: Jedes kleinere Zeichen, das nach einem größeren steht, wird zu seinem Wert addiert, und die davor stehenden großes Zeichen wird von seiner Bedeutung abgezogen. Somit steht IX für 9 und XI für 11.

Römische Ziffern werden bis heute verwendet und dienen zur Bezeichnung von Abschnitten, Unterabschnitten von Büchern, Jahrhunderten und werden auch oft auf Uhren geschrieben.

Alphabetische Zahlensysteme

Zu diesen Systemen gehören: Griechisch, Slawisch, Finnisch und andere. Dabei wurden die Zahlen von 1 bis 9, von 10 bis 90 und von 100 bis 900 durch Buchstaben des Alphabets bezeichnet. IN Antikes Griechenland Zahlen wurden mit den ersten neun Buchstaben des griechischen Alphabets bezeichnet. Zahlen von 10 bis 90 sind die nächsten neun. Und von 100 bis 900 – mit den letzten neun Buchstaben des römischen Alphabets. Unter den Slawen numerische Werte ordnete die Buchstaben der Reihe nach zu. Zunächst wurde hierfür das glagolitische Alphabet verwendet, dann das kyrillische Alphabet. In Russland blieb diese Nummerierung bis zum Ende des 17. Jahrhunderts erhalten. Dann brachte Peter I. die arabische Nummerierung aus dem Ausland mit, die wir bis heute verwenden.

Notation - Dies ist eine Möglichkeit zur Darstellung von Zahlen und den entsprechenden Regeln für die Verarbeitung von Zahlen. Die verschiedenen Zahlensysteme, die es in der Vergangenheit gab und die heute verwendet werden, lassen sich in einteilen nicht positionell Und positionell. Zeichen, die beim Schreiben von Zahlen verwendet werden, werden genannt in Zahlen.

IN nicht-positionale Zahlensysteme Die Bedeutung einer Ziffer hängt nicht von ihrer Position in der Zahl ab.

Ein Beispiel für ein nicht-positionelles Zahlensystem ist das römische System (römische Zahlen). Im römischen System werden lateinische Buchstaben als Zahlen verwendet:

Beispiel 1. Die Zahl CCXXXII besteht aus zweihundert, drei Zehnern und zwei Einheiten und ist gleich zweihundertzweiunddreißig.

Bei römischen Ziffern werden die Ziffern von links nach rechts in absteigender Reihenfolge geschrieben. In diesem Fall werden ihre Werte addiert. Wird links eine kleinere Zahl und rechts eine größere Zahl geschrieben, dann werden deren Werte subtrahiert.

Beispiel 2.

VI = 5 + 1 = 6; IV = 5 – 1 = 4.

Beispiel 3.

MCMXCVIII = 1000 + (–100 + 1000) +

+ (–10 + 100) + 5 + 1 + 1 + 1 = 1998.

IN Positionszahlensysteme Der Wert, den eine Ziffer in einer Zahlenschreibweise angibt, hängt von ihrer Position ab. Die Anzahl der verwendeten Ziffern wird als Basis des Positionszahlensystems bezeichnet.

Das in der modernen Mathematik verwendete Zahlensystem ist Positionsdezimalsystem. Seine Basis ist zehn, weil Alle Zahlen werden mit zehn Ziffern geschrieben:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Die Positionsnatur dieses Systems lässt sich am Beispiel einer beliebigen mehrstelligen Zahl leicht verstehen. Beispielsweise bedeuten in der Zahl 333 die ersten drei drei Hunderter, die zweiten drei Zehner und die dritte drei Einsen.

Zahlen in einem Positionssystem mit einer Basis schreiben N Haben müssen Alphabet aus N Zahlen Normalerweise dafür N < 10 используют N die ersten arabischen Ziffern und wann N> 10 bis zehn arabische Ziffern Buchstaben hinzufügen. Hier sind Beispiele für Alphabete verschiedener Systeme:

Wenn Sie die Basis des Systems angeben müssen, zu dem eine Nummer gehört, wird dieser Nummer ein Index zugewiesen. Zum Beispiel:

101101 2, 3671 8, 3B8F 16.

In einem Zahlensystem mit Basis Q(Q-äres Zahlensystem) Die Einheiten der Ziffern sind aufeinanderfolgende Potenzen einer Zahl Q.Q Einheiten einer beliebigen Kategorie bilden eine Einheit der nächsten Kategorie. Um eine Zahl einzugeben Q-äres Zahlensystem erforderlich Q verschiedene Zeichen (Ziffern), die die Zahlen 0, 1, ... darstellen, Q– 1. Eine Zahl schreiben Q V Q-äres Zahlensystem hat die Form 10.

Erweiterte Schreibweise einer Zahl

Lassen Aq- Nummer im Basissystem Q, ai - Ziffern eines bestimmten Zahlensystems, die im Zahlendatensatz vorhanden sind A, N+ 1 - die Anzahl der Ziffern des ganzzahligen Teils der Zahl, M- Anzahl der Ziffern des Bruchteils der Zahl:

Erweiterte Form der Zahl A wird als Datensatz in der Form bezeichnet:

Beispiel für eine Dezimalzahl:

Die folgenden Beispiele zeigen die erweiterte Form von Hexadezimal- und Binärzahlen:

In jedem Zahlensystem wird die Basis als 10 geschrieben.

Wenn alle Terme in der erweiterten Form einer nichtdezimalen Zahl im Dezimalsystem dargestellt werden und der resultierende Ausdruck nach den Regeln der Dezimalarithmetik berechnet wird, erhält man eine Zahl im Dezimalsystem, die der angegebenen entspricht. Dieses Prinzip dient der Umrechnung vom Nichtdezimalsystem in das Dezimalsystem. Die Umrechnung der oben genannten Zahlen in das Dezimalsystem erfolgt beispielsweise folgendermaßen:

Dezimalzahlen in andere Zahlensysteme umwandeln

Ganzzahlkonvertierung

Ganze Dezimalzahl X muss in ein System mit einer Basis umgewandelt werden Q:X= (A N A n-1 …A 1 A 0)q. Ich muss finden bedeutende Zahlen Zahlen: . Stellen wir die Zahl in erweiterter Form dar und führen die identische Transformation durch:

Daraus geht hervor, dass A 0 Beim Teilen einer Zahl entsteht ein Rest X pro Nummer Q. Der Ausdruck in Klammern ist der ganzzahlige Quotient dieser Division. Bezeichnen wir es mit X 1. Wenn wir ähnliche Transformationen durchführen, erhalten wir:

Somit, A 1 ist der Rest der Division X 1 pro Q. Wenn wir die Division mit dem Rest fortsetzen, erhalten wir eine Ziffernfolge der gewünschten Zahl. Nummer ein In dieser Divisionskette wird der letzte Quotient kleiner sein Q.

Formulieren wir die resultierende Regel: dafür Um eine ganzzahlige Dezimalzahl in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis umzuwandeln, benötigen Sie:

1) die Grundlagen des neuen Zahlensystems im Dezimalzahlensystem ausdrücken und alle weiteren Aktionen nach den Regeln der Dezimalarithmetik ausführen;

2) Teilen Sie nacheinander die gegebene Zahl und die resultierenden unvollständigen Quotienten durch die Basis des neuen Zahlensystems, bis wir einen unvollständigen Quotienten erhalten, der kleiner als der Teiler ist;

3) die resultierenden Salden, das sind die Ziffern der Zahl in neues System Zahlen, bringen Sie sie mit dem Alphabet des neuen Zahlensystems in Einklang;

4) Bilden Sie eine Zahl im neuen Zahlensystem, indem Sie sie beginnend mit dem letzten Quotienten aufschreiben.

Beispiel 1. Wandeln Sie die Zahl 37 10 in eine Binärzahl um.

Um Ziffern in einer Zahl zu bezeichnen, verwenden wir die Symbolik: A 5 A 4 A 3 A 2 A 1 A 0

Von hier: 37 10 = l00l0l 2

Beispiel 2. Wandeln Sie die Dezimalzahl 315 in Oktal- und Hexadezimalsysteme um:

Daraus folgt: 315 10 = 473 8 = 13B 16. Denken Sie daran, dass 11 10 = B 16.

Dezimalbruch X< 1 требуется перевести в систему с основаниемQ:X= (0,A –1 A –2 …A–m+1 A–m)q. Wir müssen die signifikanten Ziffern der Zahl finden: A –1 ,A –2 , …,A-M. Stellen wir uns die Zahl in erweiterter Form vor und multiplizieren wir sie mit Q:

Daraus geht hervor, dass A–1 Es gibt einen ganzen Teil der Arbeit X pro Nummer Q. Bezeichnen wir mit X 1 Bruchteil des Produkts und multipliziere es mit Q:

Somit, A –2 Es gibt einen ganzen Teil der Arbeit X 1 pro Nummer Q. Wenn wir die Multiplikation fortsetzen, erhalten wir eine Zahlenfolge. Lassen Sie uns nun eine Regel formulieren: Um einen Dezimalbruch in ein Zahlensystem mit einer anderen Basis umzuwandeln, benötigen Sie:

1) Multiplizieren Sie nacheinander die gegebene Zahl und die resultierenden Bruchteile der Produkte mit der Basis des neuen Zahlensystems, bis der Bruchteil des Produkts gleich Null wird oder die erforderliche Genauigkeit der Darstellung der Zahl im neuen Zahlensystem erreicht ist;

2) die resultierenden ganzzahligen Teile der Werke, die Ziffern der Zahl im neuen Zahlensystem sind, in Übereinstimmung mit dem Alphabet des neuen Zahlensystems bringen;

3) Bilden Sie den Bruchteil der Zahl im neuen Zahlensystem, beginnend mit dem ganzzahligen Teil des ersten Produkts.

Beispiel 3. Konvertieren Sie den Dezimalbruch 0,1875 in Binär-, Oktal- und Hexadezimalsysteme.

Dabei enthält die linke Spalte den ganzzahligen Teil der Zahlen und die rechte Spalte den Bruchteil.

Daher: 0,1875 · 10 = 0,0011 · 2 = 0,14 · 8 = 0,3 · 16

Gemischte Zahlen umwandeln mit ganzzahligen und gebrochenen Teilen erfolgt in zwei Stufen. Die ganzzahligen und gebrochenen Teile der ursprünglichen Zahl werden mithilfe geeigneter Algorithmen separat übersetzt. Bei der endgültigen Erfassung einer Zahl im neuen Zahlensystem wird der ganzzahlige Teil vom gebrochenen Teil durch ein Komma (Punkt) getrennt.

Binäre Berechnungen

Nach dem Prinzip von John von Neumann führt ein Computer Berechnungen durch binäres System Abrechnung. Im Rahmen des Grundkurses reicht es aus, sich auf die Betrachtung von Berechnungen mit binären ganzen Zahlen zu beschränken. Um Berechnungen mit mehrstelligen Zahlen durchführen zu können, müssen Sie die Additionsregeln und die Multiplikationsregeln einstelliger Zahlen kennen. Das sind die Regeln:

Das Prinzip der Vertauschbarkeit von Addition und Multiplikation funktioniert in allen Zahlensystemen. Die Techniken zur Durchführung von Berechnungen mit mehrstelligen Zahlen im Binärsystem ähneln denen im Dezimalsystem. Mit anderen Worten: Die Prozeduren Addition, Subtraktion und Multiplikation mit einer „Spalte“ und Division mit einer „Ecke“ werden im Binärsystem auf die gleiche Weise durchgeführt wie im Dezimalsystem.

Schauen wir uns die Regeln zum Subtrahieren und Dividieren von Binärzahlen an. Die Subtraktionsoperation ist die Umkehrung der Addition. Aus der obigen Additionstabelle ergeben sich die Subtraktionsregeln:

0 - 0 = 0; 1 - 0 = 1; 10 - 1 = 1.

Hier ist ein Beispiel für das Subtrahieren mehrstelliger Zahlen:

Das erhaltene Ergebnis kann durch Addition der Differenz mit dem Subtrahend überprüft werden. Das Ergebnis sollte eine abnehmende Zahl sein.

Division ist die Umkehroperation der Multiplikation. In keinem Zahlensystem kann man durch 0 dividieren. Das Ergebnis der Division durch 1 ist gleich der Dividende. Das Teilen einer Binärzahl durch 10 2 verschiebt die Dezimalstelle um eine Stelle nach links, ähnlich wie das Teilen einer Dezimalzahl durch zehn. Zum Beispiel:

Division durch 100 verschiebt den Dezimalpunkt um 2 Stellen nach links usw. Im Grundkurs müssen Sie sich nicht mit komplexen Beispielen zur Division mehrstelliger Binärzahlen befassen. Obwohl fähige Schüler mit ihnen zurechtkommen, wenn sie die allgemeinen Prinzipien verstehen.

Die Darstellung von im Computerspeicher gespeicherten Informationen in ihrer echten Binärform ist aufgrund der großen Anzahl von Ziffern recht umständlich. Dabei handelt es sich um das Aufzeichnen solcher Informationen auf Papier oder deren Anzeige auf dem Bildschirm. Für diese Zwecke ist es üblich, gemischte Binär-Oktal- oder Binär-Hexadezimal-Systeme zu verwenden.

Es gibt einen einfachen Zusammenhang zwischen binärer und hexadezimaler Darstellung einer Zahl. Bei der Umrechnung einer Zahl von einem System in ein anderes entspricht eine hexadezimale Ziffer einem vierstelligen Binärcode. Diese Entsprechung spiegelt sich in der binär-hexadezimalen Tabelle wider:

Binäre Hexadezimaltabelle

Dieser Zusammenhang basiert auf der Tatsache, dass 16 = 2 · 4 und die Anzahl der verschiedenen vierstelligen Kombinationen der Zahlen 0 und 1 16 beträgt: von 0000 bis 1111. Daher Die Umwandlung von Zahlen von Hexadezimalzahlen in Binärzahlen und umgekehrt erfolgt durch formale Konvertierunggemäß binärer Hexadezimaltabelle.

Hier ist ein Beispiel für die Konvertierung von 32-Bit-Binärdaten in Hexadezimalzahlen:

1011 1100 0001 0110 1011 1111 0010 1010 BC16BF2A

Wenn eine hexadezimale Darstellung interner Informationen vorliegt, ist es einfach, diese in Binärcode umzuwandeln. Der Vorteil der hexadezimalen Darstellung besteht darin, dass sie viermal kürzer ist als die binäre Darstellung. Den Schülern wird empfohlen, sich die Binär-Hexadezimal-Tabelle einzuprägen. Dann wird für sie tatsächlich die hexadezimale Darstellung äquivalent zur binären Darstellung.

Im binären Oktalsystem entspricht jede Oktalziffer einer Triade von Binärziffern. Mit diesem System können Sie den Binärcode um das Dreifache reduzieren.

Laborarbeit 1. „Zahlensysteme“

Das Zahlensystem sind die Regeln zum Schreiben von Zahlen unter Verwendung eines bestimmten Satzes von Sonderzeichen – Zahlen.

Die Menschen haben verschiedene Schreibweisen für Zahlen verwendet, die in mehrere Gruppen zusammengefasst werden können: unäre, nicht-positionelle und positionelle.

Die ersten beiden sind von eher historischem Interesse, da ihre Anwendung derzeit nur sehr begrenzt ist.

Unäres Zahlensystem

Einstellig Notation ist ein Zahlensystem, bei dem nur ein Zeichen zur Aufzeichnung von Zahlen verwendet wird – 1 („Stab“).

Die nächste Zahl ergibt sich aus der vorherigen, indem man eine neue 1 hinzufügt; ihre Zahl (Summe) ist gleich der Zahl selbst.

Genau dieses System wird für den anfänglichen Zählunterricht für Kinder verwendet (Sie erinnern sich an „Zählstäbe“).

Mit anderen Worten: Die Verwendung des unären Systems erweist sich als wichtige pädagogische Technik, um Kinder mit ihnen in die Welt der Zahlen und deren Operationen einzuführen.

Nicht positionell Notation

Nichtpositionelles Zahlensystem - ein System, bei dem Symbole, die eine bestimmte Größe bezeichnen, ihre Bedeutung nicht abhängig von der Position (Position) im Bild der Zahl ändern.

Aus nicht positionell Am gebräuchlichsten ist das römische Zahlensystem.

Darin sind einige Grundzahlen in lateinischen Großbuchstaben angegeben:

1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.

Alle anderen Zahlen bestehen aus Kombinationen von Grundzahlen und:

    wenn die Ziffer links kleiner als die Ziffer rechts ist, wird die linke Ziffer von der rechten subtrahiert;

    wenn die Zahl auf der rechten Seite kleiner oder gleich der Zahl auf der linken Seite ist, werden diese Zahlen addiert;

Das Schreiben von Zahlen in einem solchen System ist umständlich und unbequem, aber noch unbequemer ist es, selbst die einfachsten arithmetischen Operationen darin auszuführen.

Schließlich erlaubt das Fehlen von Null und Vorzeichen für Zahlen größer als M nicht, dass eine Zahl (auch keine natürliche Zahl) in römischen Ziffern geschrieben wird. Dieses System wird zur Nummerierung verwendet.

Positionszahlensysteme

Positionszahlensysteme sind solche, bei denen der Wert jeder Ziffer im Bild einer Zahl durch ihre Position (Position) in einer Reihe anderer Ziffern bestimmt wird.

Geordneter Zeichensatz (Zahlen) (A 0 , A v ..., A P ), wird zur Darstellung beliebiger Zahlen in einem gegebenen Positionszahlensystem verwendet Alphabet, Anzahl der Zeichen (Ziffern) des Alphabets R= n + 1 - sie Basis, und das Zahlensystem selbst heißt R-reich.

Base Positionszahlensystem – die Anzahl der verschiedenen Ziffern, die zur Darstellung von Zahlen in einem bestimmten Zahlensystem verwendet werden.

Das für uns bekannteste Zahlensystem ist das Dezimalzahlensystem. Sein Alphabet ist (0, 1, 2, 3, 4, 5, b, 7, 8, 9) und die Basis p = 10, d. h. in diesem System werden zum Schreiben beliebiger Zahlen nur zehn verschiedene Symbole (Ziffern) verwendet. Das Dezimalzahlensystem basiert auf der Tatsache, dass 10 Einheiten jeder Ziffer zu einer Einheit der benachbarten höchsten Ziffer zusammengefasst werden, sodass jede Ziffer ein Gewicht hat, das einer Zehnerpotenz entspricht. Daher wird der Wert derselben Ziffer bestimmt durch seine Position im Zahlenbild, gekennzeichnet durch eine Potenz von 10. Beispielsweise wird im Bild der Zahl 222,22 die Zahl 2 fünfmal wiederholt, während die erste Zahl 2 auf der linken Seite die Hunderterzahl bedeutet (ihr Gewicht beträgt 10 2); Die zweite ist die Anzahl der Zehner (ihr Gewicht ist 10 1), die dritte ist die Anzahl der Einheiten (ihr Gewicht ist 10 0), die vierte ist die Anzahl der Zehntel einer Einheit (ihr Gewicht ist 10 -1) und die Die fünfte Ziffer ist die Anzahl der Hundertstel einer Einheit (ihr Gewicht beträgt 10 -2), d. h. die Zahl 222,22 kann in Potenzen der Zahl 10 erweitert werden:

222,22 = 2 10 2 + 2 10 1 + 2 10° + 2 10 -1 + 2 10 -2.

Ebenso 725 = 7 10 2 + 2 10 1 + 5 10°;

1304,5 = 1 10 3 + 3 10 2 + 0 10 1 + 4 10° + 5 10 -1 ,

50328,15 = 5 10 4 + 0 10 3 + 3 10 2 + 2 10 1 + 8 10° + 1 10 -1 + 5 10 -2.

Im Allgemeinen für die Aufgabe R-reiches Zahlensystem ist es notwendig, die Basis zu bestimmen R und ein Alphabet bestehend aus R verschiedene Zeichen (Zahlen) A R ich = 1,...,R.

Irgendeine Nummer X P kann als Polynom dargestellt werden, indem man es in Zahlenpotenzen erweitert P:

eine Folge von Koeffizienten, die eine abgekürzte Form einer Zahl darstellt X P :

Der Punkt, der den ganzzahligen Teil der Zahl vom gebrochenen Teil trennt, dient zur Festlegung der spezifischen Werte jeder Position in dieser Zahlenfolge und ist der Ausgangspunkt.

Methoden zum Konvertieren von Zahlen. Darstellung von Zahlen in verschiedene Systeme Koppelnavigation

ÜbersetzungZahlen von einem Zahlensystem in ein anderes

Die gleiche Zahl kann in verschiedenen Zahlensystemen geschrieben werden.

AlgorithmusKonvertieren von ganzen Zahlen aus Q -reiches System in P -reich, für q > p

Um die ursprüngliche Nummer zu ersetzenX Q gleiche AnzahlX P nach den Regeln notwendigQ-reiche arithmetische Division einer ganzen ZahlX Q auf neuer BasisP. Die Divisionsergebnisse, in der Reihenfolge vom letzten zum ersten geschrieben, sind die Zahlen X P .

Da die Koeffizienten des Polynoms unbekannt sind, bezeichnen wir sie mit a i ; wir bekommen:

Üblicherweise wird das beschriebene Vorgehen in Form einer aus der Schule bekannten Teilungsoperation dargestellt:

Somit erhalten wir X 5 =443.

Wir überprüfen die Richtigkeit der Übersetzung: 4*5 2 +4*5 1 +3*5 0 =100+20+3=123 10.

Das zweite, worauf Sie achten müssen, ist Alle Operationen wurden gemäß den Rechenregeln des Zahlensystems durchgeführt, aus dem die Übersetzung durchgeführt wurde(im betrachteten Beispiel - dezimal).

Algorithmus zum Konvertieren von ganzen Zahlen aus Q -reiches System in P -reich, für q< p

Zum Übersetzen müssen Sie eine Nummer angebenX Q P-reiche Arithmetik.

X 6  X 10 , X = 234 6

234 6 = 26 2 +36 1 +46 0 = 236+36+41 = 94 10

Die oben genannten Algorithmen sind praktisch, wenn Sie eine Zahl von einem Dezimalsystem in ein anderes oder umgekehrt konvertieren.

Sie funktionieren auch für die Übersetzung zwischen beliebigen anderen Zahlensystemen. Eine solche Übersetzung wird jedoch dadurch erschwert, dass alle arithmetischen Operationen gemäß den Regeln der Quelle (im ersten Algorithmus) oder der endgültigen Regeln (im zweiten Algorithmus) ausgeführt werden müssen ) System.

Aus diesem Grund ist der Übergang, zum Beispiel X 3  X 8, einfacher durch einen Zwischenübergang zum 10. System X 3  X 10  X 8 durchzuführen.

Algorithmus zur Umwandlung echter Brüche für q > p

Das Ergebnis der Umwandlung des echten Bruchs 0,X q ist auch der echte Bruch 0,X p , der erhält man durch Multiplikation des ursprünglichen Bruchs mit der neuen BasisPnach den RegelnQ-reiche Arithmetik; der ganzzahlige Teil des resultierenden Produkts ist die höchste Ziffer des neuen Bruchs; Der Bruchteil des resultierenden Produkts sollte erneut mit multipliziert werdenPusw.

Beispiel: 0,X 10  0,X 2. 0,X=0,375 10

Um dann 0,X 2 zu erhalten:

0,375*2 = 0 ,750

0,75*2 = 1 ,50

0,5*2 = 1 ,0

Somit ist 0,375 10 = 0,011 2.

Überprüfen Sie 0,011=0*2 -1 +1*2 -2 +1*2 -3 =0,25+1,125=0,375 10

Algorithmus zur Umwandlung echter Brüche für q< p

Zum ÜbersetzenX Q X P Die Nummer muss angegeben werdenX Q in Polynomform und führen Sie alle Operationen gemäß den Regeln ausP-reiche Arithmetik.

Beispiel: X 6  X 10, X 6 =0,234 6

Dafür

0,234 6 = 26 -1 +36 -2 +46 -3 =0,33(3)+0,083(3)+0,01(851)= 0,43517 10

Wir überprüfen:

0, 43517*6=2 ,61102

0, 61102*6=3, 66612

0,66612*6=3,99672 4 ,0 (Berechnungsfehler bei Erhalt von ir Rationale Zahlen}

Beispiel: X 2  X 10, X=0,10101 2

Dafür

0, 10101 2 = 12 -1 +02 -2 +12 -3 +02 -4 +12 -5 = 0,5+0,125+0,03125= 0,65625 10.

Wir überprüfen:

0,65625*2=1 ,3125

0,3125*2=0, 625

0,625*2=1 ,25

0,25*2=0 ,5

0,5*2=1 ,0 . Alles ist richtig

Konvertieren von Zahlen zwischen den Zahlensystemen 2 – 8 – 16

Beispiele für die Darstellung von Zahlen in diesen Zahlensystemen sind in Tabelle 1 aufgeführt

Tabelle 1. Zahlensysteme

Dezimal

binär

Dezimal

binär

Konvertieren einer ganzzahligen Binärzahl in ein BasiszahlensystemP = 2 R Es reicht aus, die gegebene Binärzahl, beginnend mit der niedrigstwertigen Ziffer, in Gruppen zu unterteilenRÜbersetzen Sie jede Zahl und jede Gruppe unabhängig voneinander in das SystemP.

Um beispielsweise die Zahl 110001 2 in das Zahlensystem p=8 umzuwandeln, müssen Sie die ursprüngliche Zahl von rechts nach links in Gruppen von drei Ziffern aufteilen (8 = 2 3, also r = 3) und sie in das umwandeln Oktalzahlensystem: 110001 2 =61 8 . Wir prüfen 110001 2 =32+16+1=49 10, 6*8 1 +1*8 0 =49 10

In ähnlicher Weise erhalten wir 110001 2 = 31 16, wenn wir Binärziffern in Vierergruppen aufteilen.

So konvertieren Sie eine ganze Zahl, die in einem Basiszahlensystem geschrieben istP = 2 R Im Binärsystem reicht es aus, jede Ziffer der ursprünglichen Zahl einzeln durch die entsprechende zu ersetzenR-Bit-Binärzahl, gegebenenfalls ergänzt durch unbedeutende Nullen zu einer Gruppe inRZahlen

Beispiel: Stellen Sie sich die Zahl D3 16 im Binärzahlensystem vor:

Beispiel: 123 8 = 001010011 2 = 53 16.

Aufgaben zur selbstständigen Bearbeitung

    Wandeln Sie die Zahl X p des p-ären Zahlensystems in X q des q-ären Zahlensystems um

    X 5  X 10, wobei X 5 =123

    X 3  X 10, wobei X 3 =102

    X 10  X 4, wobei X 10 =123

    X 10  X 6, wobei X 10 =548

    X 5  X 3, wobei X 3 =421

    X 2  X 6, wobei X 2 =0111001

    X 2  X 16, wobei X 2 =10011

    X 2  X 8, wobei X 2 =101010

    X 16  X 2, wobei X 16 =AD3

    X 8  X 2, wobei X 8 =5470

II. Dezimalzahl in Binärzahl umwandeln:

    743 10 , b) 334,12 10 , c) 61,375, d) 160,25 10 , e) 131,82 10

III. Dezimalzahl in Hexadezimalzahl umwandeln:

    445 10 , b) 334,12 10 , c) 261,375, d) 160,25 10 , e) 131,82 10

Einheitliches (unäres) Zahlensystem Liste der Zahlensysteme

Notation:

  • gibt Darstellungen einer Reihe von Zahlen (Ganzzahlen und/oder reelle Zahlen) an;
  • gibt jeder Zahl eine eindeutige Darstellung (oder zumindest eine Standarddarstellung);
  • spiegelt die algebraische und arithmetische Struktur von Zahlen wider.

Zahlensysteme sind unterteilt in positionell, nicht positionell Und gemischt.

Positionszahlensysteme

In Positionszahlensystemen hat die Notation einer Zahl das gleiche numerische Vorzeichen (Ziffer). unterschiedliche Bedeutungen abhängig vom Ort (Kategorie), an dem es sich befindet. Die Erfindung der Positionsnummerierung, basierend auf der Ortsbedeutung von Ziffern, wird den Sumerern und Babyloniern zugeschrieben; Eine solche Nummerierung wurde von den Hindus entwickelt und hatte unschätzbare Konsequenzen für die Geschichte der menschlichen Zivilisation. Zu diesen Systemen gehört das moderne Dezimalzahlensystem, dessen Entstehung mit dem Zählen an den Fingern verbunden ist. IN mittelalterliches Europa Es erschien durch italienische Kaufleute, die es wiederum von den Muslimen entlehnten.

Das Positionszahlensystem bezieht sich normalerweise auf das -reiche Zahlensystem, das durch eine ganze Zahl namens bestimmt wird Basis Zahlensysteme. Eine ganze Zahl ohne Vorzeichen im -ären Zahlensystem wird als endliche lineare Kombination von Potenzen einer Zahl dargestellt:

, wobei ganze Zahlen aufgerufen werden in Zahlen, wodurch die Ungleichung erfüllt wird.

Jeder Grad in einer solchen Notation wird als Ranggewicht bezeichnet. Der Rang der Ziffern und ihrer entsprechenden Ziffern wird durch den Wert des Indikators (Ziffernnummer) bestimmt. Normalerweise werden bei Zahlen ungleich Null die linken Nullen weggelassen.

Wenn es keine Abweichungen gibt (z. B. wenn alle Zahlen in Form eindeutiger geschriebener Zeichen dargestellt werden), wird die Zahl als Folge ihrer alphanumerischen Ziffern geschrieben, die in absteigender Reihenfolge der Ziffernpriorität von links nach rechts aufgeführt sind:

Zum Beispiel Zahl einhundertunddrei im Dezimalzahlensystem dargestellt als:

Die derzeit am häufigsten verwendeten Positionssysteme sind:

In Positionssystemen gilt: Je größer die Basis des Systems, desto weniger Ziffern (d. h. geschriebene Ziffern) sind zum Schreiben einer Zahl erforderlich.

Gemischte Zahlensysteme

Gemischtes Zahlensystem ist eine Verallgemeinerung des -reichen Zahlensystems und bezieht sich häufig auch auf Positionszahlensysteme. Die Grundlage des gemischten Zahlensystems ist eine aufsteigende Zahlenfolge, und jede Zahl darin wird als Linearkombination dargestellt:

, wobei die Koeffizienten wie zuvor aufgerufen werden in Zahlen Es gelten einige Einschränkungen.

Beim Schreiben einer Zahl in einem gemischten Zahlensystem werden ihre Ziffern in absteigender Indexreihenfolge aufgelistet, beginnend mit der ersten Zahl ungleich Null.

Abhängig von der Art und Weise können gemischte Zahlensysteme Potenz-, Exponential- usw. sein. Für manche stimmt das gemischte Zahlensystem mit dem exponentiellen Zahlensystem überein.

Das bekannteste Beispiel eines gemischten Zahlensystems ist die Darstellung der Zeit als Anzahl von Tagen, Stunden, Minuten und Sekunden. In diesem Fall entspricht der Wert „Tage, Stunden, Minuten, Sekunden“ dem Wert von Sekunden.

Faktorielles Zahlensystem

IN faktorielles Zahlensystem Die Basen sind eine Folge von Fakultäten, und jede natürliche Zahl wird dargestellt als:

, Wo .

Das Fakultätszahlensystem wird verwendet, wenn Dekodierung von Permutationen anhand von Inversionslisten: Wenn Sie die Nummer der Permutation haben, können Sie sie wie folgt reproduzieren: Eine Zahl, die um eins kleiner ist als die Zahl (Nummerierung beginnt bei Null), wird in das faktorielle Zahlensystem geschrieben, und der Koeffizient der Zahl i! bezeichnet die Anzahl der Inversionen für das Element i+1 in der Menge, in der die Permutationen vorgenommen werden (die Anzahl der Elemente, die kleiner als i+1 sind, sich aber in der gewünschten Permutation rechts davon befinden).

Beispiel: Betrachten Sie eine Reihe von Permutationen aus 5 Elementen, es gibt insgesamt 5! = 120 (von Permutation Nummer 0 - (1,2,3,4,5) bis Permutation Nummer 119 - (5,4,3,2,1)), finden wir die 101. Permutation: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; Sei ti der Koeffizient für die Zahl i!, dann ist t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, dann: Die Anzahl der Elemente, die kleiner als 5 sind, sich aber rechts befinden, beträgt 4; die Anzahl der Elemente kleiner als 4, die sich aber rechts befinden, ist 0; die Anzahl der Elemente, die kleiner als 3 sind, sich aber rechts befinden, beträgt 2; die Anzahl der Elemente kleiner als 2, die sich aber rechts befinden, ist 0 (das letzte Element in der Permutation wird an der einzigen verbleibenden Stelle „eingefügt“) – daher sieht die 101. Permutation wie folgt aus: (5,3,1,2 ,4) Die Überprüfung dieser Methode kann durch direktes Zählen der Inversionen für jedes Element der Permutation erfolgen.

Fibonacci-Zahlensystem basierend auf Fibonacci-Zahlen. Jede natürliche Zahl wird in der Form dargestellt:

, wobei die Fibonacci-Zahlen stehen und die Koeffizienten endlich viele Einsen haben und es keine zwei Einsen hintereinander gibt.

Nichtpositionelle Zahlensysteme

In nicht-positionalen Zahlensystemen hängt der Wert, den eine Ziffer bezeichnet, nicht von ihrer Position in der Zahl ab. In diesem Fall kann das System beispielsweise Beschränkungen hinsichtlich der Position der Zahlen vorsehen, sodass diese in absteigender Reihenfolge angeordnet werden.

Binomiales Zahlensystem

Darstellung mit Binomialkoeffizienten

, Wo .

Restklassensystem (RSS)

Die Darstellung der Zahl im Residuenklassensystem basiert auf dem Residuenkonzept und dem chinesischen Restsatz. RNS wird durch eine Menge relativer Primzahlen bestimmt Module mit dem Produkt so, dass jeder ganzen Zahl aus dem Segment eine Menge von Resten zugeordnet ist, wobei

…

Gleichzeitig garantiert der chinesische Restsatz die Eindeutigkeit der Darstellung für Zahlen aus dem Intervall.

In RNS werden arithmetische Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Division) komponentenweise ausgeführt, wenn bekannt ist, dass das Ergebnis eine ganze Zahl ist und auch in liegt.

Die Nachteile von RNS sind die Möglichkeit, nur eine begrenzte Anzahl von Zahlen darzustellen, sowie das Fehlen effektiver Algorithmen zum Vergleich der in RNS dargestellten Zahlen. Der Vergleich erfolgt normalerweise durch die Übersetzung von Argumenten von RNS in ein gemischtes Basiszahlensystem.

Stern-Brocot-Zahlensystem– eine Methode zum Schreiben positiver rationaler Zahlen, basierend auf dem Stern-Brocot-Baum.

Zahlensysteme verschiedener Nationen

Einheitennummernsystem

Anscheinend chronologisch gesehen das erste Zahlensystem jeder Nation, die das Zählen beherrschte. Natürliche Zahl dargestellt durch die Wiederholung des gleichen Zeichens (Strich oder Punkt). Um beispielsweise die Zahl 26 darzustellen, müssen Sie 26 Linien zeichnen (oder 26 Kerben in einen Knochen, Stein usw. machen). Anschließend der besseren Wahrnehmung halber große Zahlen Diese Zeichen sind in Dreier- oder Fünfergruppen gruppiert. Dann beginnen gleich große Zeichengruppen durch neue Zeichen ersetzt zu werden – so entstehen Prototypen zukünftiger Zahlen.

Altägyptisches Zahlensystem

Babylonisches Zahlensystem

Alphabetische Zahlensysteme

Alphabetische Zahlensysteme wurden von den alten Armeniern, Georgiern, Griechen (ionisches Zahlensystem), Arabern (Abjadia), Juden (siehe Gematria) und anderen Völkern des Nahen Ostens verwendet. In slawischen liturgischen Büchern wurde das griechische Alphabetsystem in kyrillische Buchstaben übersetzt.

Jüdisches Zahlensystem

Griechisches Zahlensystem

Römisches Zahlensystem

Das kanonische Beispiel für ein nahezu nicht-positionelles Zahlensystem ist das römische, das lateinische Buchstaben als Zahlen verwendet:
I steht für 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Zum Beispiel II = 1 + 1 = 2
hier steht das Symbol I für 1, unabhängig von seiner Stelle in der Zahl.

Tatsächlich ist das römische System nicht völlig nichtpositional, da die kleinere Ziffer, die vor der größeren steht, von dieser subtrahiert wird, zum Beispiel:

IV = 4, während:
VI = 6

Maya-Zahlensystem

siehe auch

Anmerkungen

Links

  • Gashkov S. B. Zahlensysteme und ihre Anwendungen. - M.: MTsNMO, 2004. - (Bibliothek „Mathematische Bildung“).
  • Fomin S.V. Zahlensysteme. - M.: Nauka, 1987. - 48 S. - (Beliebte Vorlesungen über Mathematik).
  • Yaglom I. Zahlensysteme // Quantum. - 1970. - Nr. 6. - S. 2-10.
  • Zahlen und Zahlensysteme. Online-Enzyklopädie rund um die Welt.
  • Stakhov A. Die Rolle von Zahlensystemen in der Geschichte der Computer.
  • Mikushin A. V. Zahlensysteme. Vorlesungsreihe „Digitale Geräte und Mikroprozessoren“
  • Butler J. T., Sasao T. Redundante mehrwertige Zahlensysteme Der Artikel behandelt Zahlensysteme, die Ziffern größer als eins verwenden und Redundanz bei der Darstellung von Zahlen ermöglichen

Wikimedia-Stiftung. 2010.



 

Es könnte nützlich sein zu lesen: