Qaysi son 12 va 7 ga bo'linadi.Qo'shma songa bo'linish belgilari

6-sinfda matematika bo‘linuvchanlik tushunchasi va bo‘linuvchanlik belgilarini o‘rganishdan boshlanadi. Ko'pincha bunday raqamlarga bo'linish belgilari bilan cheklangan:

Yoniq 2 : oxirgi raqam 0, 2, 4, 6 yoki 8 bo'lishi kerak;
Yoniq 3 : son raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linishi kerak;
Yoniq 4 : oxirgi ikki raqamdan hosil bo'lgan son 4 ga bo'linishi kerak;
Yoniq 5 : oxirgi raqam 0 yoki 5 bo'lishi kerak;
Yoniq 6 : sonning 2 va 3 ga boʻlinish belgilari boʻlishi kerak;
ga boʻlinish belgisi 7 tez-tez o'tkazib yuborilgan;
Kamdan-kam hollarda ular bo'linish testi haqida gapirishadi 8 , garchi u 2 va 4 ga boʻlinish belgilariga oʻxshash boʻlsa-da. Son 8 ga boʻlinishi uchun uch xonali oxiri 8 ga boʻlinishi zarur va yetarli.
ga boʻlinish belgisi 9 hamma biladi: raqamning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linishi kerak. Biroq, bu numerologlar ishlatadigan sanalar bilan har qanday hiyla-nayranglarga qarshi immunitetni rivojlantirmaydi.
ga boʻlinish belgisi 10 , ehtimol, eng oddiy: raqam nol bilan tugashi kerak.
Ba'zan oltinchi sinf o'quvchilariga bo'linish belgisi haqida ham aytiladi 11 . Raqamning raqamlarini juft joylarga qo'shishingiz kerak, natijadan toq joylardagi raqamlarni ayirishingiz kerak. Agar natija 11 ga bo'linadigan bo'lsa, unda sonning o'zi 11 ga bo'linadi.

Keling, 7 ga bo'linish belgisiga qaytaylik. Agar ular bu haqda gapirsalar, u 13 ga bo'linish belgisi bilan birlashtiriladi va uni shunday ishlatish tavsiya etiladi.

Biz raqamni olamiz. Biz uni har biri 3 ta raqamdan iborat bloklarga ajratamiz (eng chap blokda bitta yoki 2 ta raqam bo'lishi mumkin) va navbat bilan bu bloklarni qo'shamiz / ayitamiz.

Agar natija 7, 13 (yoki 11) ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 7, 13 (yoki b 11) ga bo'linadi.

Bu usul, shuningdek, bir qator matematik hiylalarga asoslanadi, 7x11x13 \u003d 1001. Biroq, bo'linish masalasini ba'zan bo'linmasdan hal qilib bo'lmaydigan uch xonali raqamlar bilan nima qilish kerak.

Umumjahon bo'linish testidan foydalanib, nisbatan qurish mumkin oddiy algoritmlar sonning 7 ga va boshqa "noqulay" raqamlarga bo'linishini aniqlash.

7 ga bo'linish uchun yaxshilangan test
Raqamning 7 ga bo'linishini tekshirish uchun siz raqamdan oxirgi raqamni olib tashlashingiz va olingan natijadan bu raqamni ikki marta ayirishingiz kerak. Agar natija 7 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 7 ga bo'linadi.

1-misol:
238 soni 7 ga bo'linadimi?
23-8-8 = 7. Demak, 238 soni 7 ga bo'linadi.
Darhaqiqat, 238 = 34x7

Ushbu harakat bir necha marta bajarilishi mumkin.
2-misol:
65835 soni 7 ga bo'linadimi?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 soni 7 ga bo'linadi (agar biz buni sezmagan bo'lsak, yana 1 qadam tashlashimiz mumkin edi: 6-3-3 = 0 va 0 aniq 7 ga bo'linadi).

Demak, 65835 soni ham 7 ga bo'linadi.

Umumjahon bo'linish mezoniga asoslanib, bo'linish mezonlarini 4 ga va 8 ga yaxshilash mumkin.

4 ga bo'linish uchun yaxshilangan test
Agar birliklar sonining yarmi plyus o'nlar soni juft son bo'lsa, bu raqam 4 ga bo'linadi.

3-misol
52 soni 4 ga bo'linadimi?
5+2/2 = 6, son juft, shuning uchun raqam 4 ga bo'linadi.

4-misol
134 soni 4 ga bo'linadimi?
3+4/2 = 5, toq son, shuning uchun 134 4 ga bo'linmaydi.

8 ga bo'linish uchun yaxshilangan test
Agar yuzlar sonini, o'nliklarni va birliklarning yarmini ikki marta qo'shsangiz va natija 4 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 8 ga bo'linadi.

5-misol
512 soni 8 ga bo'linadimi?
5*2+1+2/2 = 12, son 4 ga bo'linadi, shuning uchun 512 8 ga bo'linadi.

6-misol
1984 raqami 8 ga bo'linadimi?
9*2+8+4/2 = 28, son 4 ga bo'linadi, shuning uchun 1984 8 ga bo'linadi.

12 ga bo'linish belgisi 3 ga va 4 ga boʻlinuvchanlik belgilarining birlashuvidir. p va q koʻpaytmasi boʻlgan har qanday n uchun ham xuddi shunday ishlaydi. Son n ga bo'linishi uchun (bu pq ko'paytmasiga teng, gcd(p,q)=1 bo'ladi) uchun bir vaqtning o'zida p va q ga bo'linishi kerak.

Biroq, ehtiyot bo'ling! Bo'linuvchanlikning kompozit belgilari ishlashi uchun sonning omillari aniq ko'p bo'lishi kerak. Agar raqam 2 va 4 ga bo'linsa, u 8 ga bo'linadi deb ayta olmaysiz.

13 ga bo'linish testi yaxshilandi
Raqam 13 ga bo'linishini tekshirish uchun siz raqamdan oxirgi raqamni olib tashlashingiz va olingan natijaga to'rt marta qo'shishingiz kerak. Agar natija 13 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 13 ga bo'linadi.

7-misol
65835 soni 8 ga bo'linadimi?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

43 soni 13 ga bo'linmaydi, ya'ni 65835 soni ham 13 ga bo'linmaydi.

8-misol
715 soni 13 ga bo'linadimi?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 soni 13 ga bo'linadi, shuning uchun 715 soni ham 13 ga bo'linadi.

14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 ga boʻlinish belgilari va tub sonlarning darajalari bo'lmagan boshqa qo'shma sonlar 12 ga bo'linish mezonlariga o'xshashdir. Biz bu sonlarning bo'linuvchanligini ko'paytirish ko'rsatkichlari orqali tekshiramiz.

14 uchun: 2 va 7 uchun;
15 uchun: 3 ga va 5 ga;
18 uchun: 2 va 9;
21 uchun: 3 va 7 da;
20 uchun: 4 ga va 5 ga (yoki boshqacha qilib aytganda, oxirgi raqam nolga teng bo'lishi kerak va oxirgi raqam juft bo'lishi kerak);
24 uchun: 3 va 8;
26 uchun: 2 va 13;
28: 4 va 7 uchun.

16 ga bo'linish testi yaxshilandi.
4 xonali oxiri 16 ga boʻlinishini tekshirish oʻrniga, birlik raqamini oʻn barobar koʻp, yuzlik sonini toʻrt barobar va
ming raqamini sakkiz marta ko'paytiring va natija 16 ga bo'linishini tekshiring.

9-misol
1984 yil 16 ga bo'linadimi?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 soni 16 ga bo'linmaydi, shuning uchun 1984 yil ham 16 ga bo'linmaydi.

10-misol
1526 soni 16 ga bo'linadimi?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 soni 16 ga bo'linmaydi, shuning uchun 1526 soni ham 16 ga bo'linadi.

17 ga bo'linish testi yaxshilandi.
Raqamning 17 ga bo'linishini tekshirish uchun siz raqamdan oxirgi raqamni olib tashlashingiz va natijada olingan natijadan bu raqamni besh marta ayirishingiz kerak. Agar natija 13 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 13 ga bo'linadi.

11-misol
59772 soni 17 ga bo'linadimi?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 17 ga bo'linadi, shuning uchun 59772 ham 17 ga bo'linadi.

12-misol
4913 soni 17 ga bo'linadimi?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 soni 17 ga bo'linadi, shuning uchun 4913 soni ham 17 ga bo'linadi.

19 ga bo'linish testi yaxshilandi.
Raqam 19 ga bo'linishini tekshirish uchun oxirgi raqamni tashlaganingizdan keyin qolgan songa oxirgi raqamni ikki marta qo'shishingiz kerak.

13-misol
9044 raqami 19 ga bo'linadimi?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 19 ga bo'linadi, shuning uchun 9044 ham 19 ga bo'linadi.

23 ga bo'linish testi yaxshilandi.
Raqamning 23 ga bo'linishini tekshirish uchun oxirgi raqamni tashlab ketgandan keyin qolgan raqamga 7 marta ko'paygan oxirgi raqamni qo'shishingiz kerak.

14-misol
208012 soni 23 ga bo'linadimi?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Aslida, siz allaqachon 253 ning 23 ekanligini ko'rishingiz mumkin,

Natural sonlarni bo'lish jarayonini soddalashtirish uchun 1 dan 10 gacha raqamlarga, shuningdek, 11 va 25 ga bo'lish qoidalari ishlab chiqilgan. 2, 4, 6, 8, 0 bilan tugaydiganlar juft hisoblanadi.

Bo'linish belgilari qanday?

Aslida, bu raqam oldindan o'rnatilgan raqamga bo'linish yoki bo'linmasligini tezda aniqlash imkonini beruvchi algoritmdir. Agar bo'linish belgisi bo'linishning qolgan qismini ham aniqlashga imkon beradigan bo'lsa, u teng qarshilik belgisi deb ataladi.

2 raqamiga bo'linish belgisi

Agar oxirgi raqam juft yoki nol bo'lsa, sonni ikkiga bo'lish mumkin. Boshqa hollarda, ajratish mumkin bo'lmaydi.

Masalan:

52734 2 ga bo'linadi, chunki uning oxirgi raqami 4 - ya'ni juft. 7693 soni 2 ga bo'linmaydi, chunki 3 ta toq. 1240 soni bo'linadi, chunki oxirgi raqam nolga teng.

3 ga bo'linish belgilari

3-raqam faqat yig'indisi 3 ga bo'linadigan raqamlarning ko'paytmasidir

Misol:

17 814 ni 3 ga bo'lish mumkin, chunki uning raqamlari yig'indisi 21 ga teng va 3 ga bo'linadi.

4 raqamiga bo'linish belgisi

Raqamni 4 ga bo'lish mumkin, agar uning oxirgi ikki raqami nolga teng bo'lsa yoki 4 ga karrali bo'lsa. Boshqa barcha hollarda bo'linish ishlamaydi.

Misollar:

31 800 ni 4 ga bo'lish mumkin, chunki uning oxirida ikkita nol bor. 4 846 854 4 ga bo'linmaydi, chunki oxirgi ikki raqam 4 ga bo'linmaydigan 54 raqamini tashkil qiladi. 16604 4 ga bo'linadi, chunki 04 ning oxirgi ikki raqami 4 ga bo'linadigan 4 raqamini tashkil qiladi.

5 raqamiga bo'linish belgisi

5 - oxirgi raqami nol yoki besh bo'lgan raqamlarning karrali. Qolganlarning hammasi baham ko'rmaydi.

Misol:

245 soni 5 ning karrali, chunki oxirgi raqam 5. 774 soni 5 ga karrali emas, chunki oxirgi raqam to'rt.

6 raqamiga bo'linish belgisi

Raqamni bir vaqtning o'zida 2 va 3 ga bo'lish mumkin bo'lsa, uni 6 ga bo'lish mumkin.Boshqa barcha hollarda u bo'linmaydi.

Masalan:

216 ni 6 ga bo'lish mumkin, chunki u ikkiga ham, uchga ham karrali.

7 ga bo'linish belgisi

7 ning karrali soni, agar bu raqamdan oxirgi ikkilangan raqamni ayirish paytida, lekin usiz (oxirgi raqamsiz) 7 ga bo'linadigan qiymat olinsa.

Masalan, 637 soni 7 ga karrali, chunki 63-(2 7)=63-14=49. 49 ga bo'lish mumkin.

8 raqamiga bo'linish belgisi

Bu 4 raqamiga boʻlinish belgisiga oʻxshaydi. Agar uchta (toʻrttadagi kabi ikkita emas) oxirgi raqam nolga teng boʻlsa yoki 8 ga karrali boʻlsa, sonni 8 ga boʻlish mumkin. Boshqa barcha hollarda, u bo'linmaydi.

Misollar:

456 000 ni 8 ga bo'lish mumkin, chunki uning oxirida uchta nol bor. 160 003 ni 8 ga bo'lish mumkin emas, chunki oxirgi uchta raqam 4 ni tashkil qiladi, bu 8 ga karrali emas. 111 640 soni 8 ga karrali, chunki oxirgi uchta raqam 640 ni tashkil qiladi, uni 8 ga bo'lish mumkin.

Ma'lumot uchun: 16, 32, 64 va hokazo raqamlarga bo'lish uchun bir xil belgilarni nomlashingiz mumkin. Ammo amalda ular muhim emas.

9 ga bo'linish belgisi

Raqamlari yig'indisini 9 ga bo'lish mumkin bo'lgan raqamlar 9 ga bo'linadi.

Masalan:

111499 raqami 9 ga bo'linmaydi, chunki (25) raqamlar yig'indisini 9 ga bo'lish mumkin emas. 51 633 raqamini 9 ga bo'lish mumkin, chunki uning raqamlari (18) yig'indisi 9 marta.

10 ga, 100 ga va 1000 ga boʻlinish belgilari

Oxirgi raqami 0 bo'lgan raqamlarni 10 ga, oxirgi ikki raqami nolga teng bo'lganlarni 100 ga, oxirgi uchta raqami nol bo'lganlarni 1000 ga bo'lishingiz mumkin.

Misollar:

4500 ni 10 va 100 ga bo'lish mumkin. 778 000 10, 100 va 1000 ning ko'paytmasidir.

Endi siz raqamlarning bo'linuvchanligining qanday belgilari mavjudligini bilasiz. Muvaffaqiyatli hisob-kitoblar va asosiy narsani unutmang: bu qoidalarning barchasi matematik hisoblarni soddalashtirish uchun berilgan.

Kimdan maktab o'quv dasturi ko'pchilik bo'linish belgilari borligini eslaydi. Bu iborada to'g'ridan-to'g'ri arifmetik amalni bajarmasdan, raqam berilganga karrali yoki yo'qligini tezda aniqlash imkonini beruvchi qoidalar tushuniladi. Bu usul pozitsion yozuvdagi raqamlarning bir qismi bilan bajariladigan harakatlarga asoslanadi

Ko'p odamlar maktab o'quv dasturidan bo'linishning eng oddiy belgilarini eslashadi. Masalan, barcha raqamlar 2 ga bo'linishi, yozuvdagi oxirgi raqam juft bo'lishi. Bu xususiyatni eslab qolish va amalda qo'llash eng osondir. Agar biz 3 ga bo'lish usuli haqida gapiradigan bo'lsak, unda ko'p xonali raqamlar uchun quyidagi qoida qo'llaniladi, uni bunday misolda ko'rsatish mumkin. 273 ning uchga karrali ekanligini aniqlashingiz kerak. Buning uchun quyidagi amalni bajaring: 2+7+3=12. Olingan yig'indi 3 ga bo'linadi, shuning uchun 273 3 ga bo'linadi, natijada butun son bo'ladi.

5 va 10 ga bo'linish belgilari quyidagicha bo'ladi. Birinchi holda, yozuv 5 yoki 0 raqamlari bilan tugaydi, ikkinchi holatda faqat 0. Bo'linuvchi to'rtga karrali yoki yo'qligini bilish uchun quyidagi amallarni bajaring. Oxirgi ikki raqamni ajratish kerak. Agar u ikkita nol yoki 4 ga qoldiqsiz bo'linadigan son bo'lsa, bo'linadigan hamma narsa bo'linuvchining karrali bo'ladi. Shuni ta'kidlash kerakki, sanab o'tilgan belgilar faqat o'nli tizimda qo'llaniladi. Ular boshqa hisoblash usullariga taalluqli emas. Bunday hollarda tizimning asosiga bog'liq bo'lgan o'z qoidalari olinadi.

6 ga bo'linish belgilari quyidagicha. 6, agar u 2 va 3 ning karrali bo'lsa. Raqam 7 ga bo'linish yoki bo'linmasligini aniqlash uchun uning yozuvidagi oxirgi raqamni ikki barobarga oshirish kerak. Olingan natija asl raqamdan chiqariladi, unda oxirgi raqam hisobga olinmaydi. Bu qoida quyidagi misolda ko‘rish mumkin. 364 ning karrali ekanligini aniqlash kerak. Buning uchun 4 ni 2 ga ko'paytirsak, 8 chiqadi. keyingi harakat: 36-8=28. Olingan natija 7 ga ko'paytiriladi va shuning uchun asl 364 raqamini 7 ga bo'lish mumkin.

8 ga bo'linish belgilari quyidagicha. Agar sondagi oxirgi uchta raqam sakkizga karrali sonni tashkil qilsa, u holda sonning o'zi berilgan bo'luvchiga bo'linadi.

Ko'p xonali sonning 12 ga bo'linish yoki bo'linmasligini quyidagicha bilib olishingiz mumkin. Yuqorida sanab o'tilgan bo'linish mezonlaridan foydalanib, sonning 3 va 4 ga karrali ekanligini aniqlashingiz kerak. Agar ular bir vaqtning o'zida raqam uchun bo'linuvchi vazifasini bajara olsa, berilgan bo'linuvchi bilan siz ham 12 ga bo'lishingiz mumkin. Shunga o'xshash qoida boshqa murakkab sonlar uchun amal qiladi, masalan, o'n besh. Bu holda, bo'luvchilar 5 va 3 bo'lishi kerak. Raqam 14 ga bo'linish yoki bo'linmasligini bilish uchun uning 7 va 2 ga karrali ekanligini ko'rishingiz kerak. Demak, buni quyidagi misolda ko'rib chiqishingiz mumkin. 658 ni 14 ga bo'lish mumkinmi yoki yo'qligini aniqlash kerak. Yozuvdagi oxirgi raqam juft, shuning uchun raqam ikkiga karrali. Keyinchalik, biz 8 ni 2 ga ko'paytiramiz, biz 16 ni olamiz. 65 dan 16 ni olib tashlashingiz kerak. Natijada 49 butun son kabi 7 ga bo'linadi. Shuning uchun 658 ni 14 ga bo'lish ham mumkin.

Agar oxirgi ikki raqam kiritilsa berilgan raqam 25 ga bo'linadigan bo'lsa, ularning hammasi bu bo'luvchining karrali bo'ladi. Ko'p xonali sonlar uchun 11 ga bo'linish belgisi quyidagicha eshitiladi. Uning yozuvida toq va juft joylarda bo'lgan raqamlar yig'indisi o'rtasidagi farq berilgan bo'luvchiga karrali yoki yo'qligini aniqlash kerak.

Shuni ta'kidlash kerakki, raqamlarning bo'linuvchanlik belgilari va ularning bilimlari nafaqat matematikada, balki matematikada ham uchraydigan ko'plab muammolarni juda soddalashtiradi. Kundalik hayot. Raqamning boshqasiga karrali ekanligini aniqlash qobiliyati tufayli siz turli xil vazifalarni tezda bajarishingiz mumkin. Bundan tashqari, matematika darslarida ushbu usullardan foydalanish talabalar yoki maktab o'quvchilarining rivojlanishiga yordam beradi, muayyan qobiliyatlarni rivojlantirishga yordam beradi.

Etkareva Alina

6-sinf uchun tadqiqot loyihasi

Yuklab oling:

Ko‘rib chiqish:

Talabalarning tuman ilmiy konferensiyasi

"Matematika" bo'limi

"Natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilari"

Etkareva Alina,

6-sinf o'quvchisi

GBOU SOSH temir yo'l stantsiyasi yuklash

Ilmiy maslahatchi:

Stepanova Galina Alekseevna

matematika o'qituvchisi

GBOU SOSH temir yo'l stantsiyasi yuklash

C. mushuklar

Kirish…………………………………………………………………………3

1. 1-bob. Biroz tarix …………………………………………….4 -5

2. 2-bob. Bo‘linuvchanlik belgilari

5-6

2.2. Mustaqil ravishda olingan natural sonlarning 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ga boʻlinuvchanlik belgilari………………………………………………………………………………………..6- 7

2.3. Turli manbalarda tasvirlangan 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ga boʻlinish belgilari .......................... ................................................................ 8-11

3.3-bob. Natural sonlarning bo‘linuvchanlik belgilarini masalalar yechishda qo‘llash ................................. ................................................................ ............ ............11-14

Xulosa. ………………………………………………………..15

Foydalanilgan adabiyotlar ro‘yxati………………………………………16

Kirish

Muvofiqligi: “Natural sonlarning 2, 3, 5, 9, 10 ga bo‘linuvchanlik belgilari” mavzusini o‘rganayotganda meni sonlarning bo‘linuvchanligi haqidagi savol qiziqtirdi. Ma'lumki, bu har doim ham bir xil emas natural son boshqa natural songa qoldiqsiz bo'linadi. Natural sonlarni bo'lishda biz qoldiqni olamiz, xato qilamiz va natijada vaqtni yo'qotamiz. Bo'linish mezonlari bo'linmasdan, bitta natural sonning boshqasiga bo'linishini aniqlashga yordam beradi. Men yozishga qaror qildim tadqiqot ishi ushbu mavzu bo'yicha.

Gipoteza: Agar natural sonlarning 2, 3, 5, 9, 10 ga boʻlinuvchanligini aniqlash mumkin boʻlsa, natural sonlarning boshqa sonlarga boʻlinuvchanligini aniqlash mumkin boʻlgan belgilar boʻlishi kerak.

O'rganish ob'ekti:Natural sonlarning bo‘linuvchanligi.

O'rganish mavzusi:Natural sonlarning bo'linuvchanlik belgilari.

Maqsad: Men o'rgangan natural sonlarning bo'linuvchanligining allaqachon ma'lum bo'lgan belgilarini to'ldiring.

Vazifalar:

Muammoning tarixshunosligini o'rganing.
Men maktabda o‘qigan 2, 3, 5, 9, 10 ga bo‘linish belgilarini takrorlang.
Natural sonlarning 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ga boʻlinuvchanlik belgilarini mustaqil oʻrganing.
Natural sonlarning boshqa boʻlinuvchanlik belgilarining mavjudligi va men aniqlagan boʻlinish belgilarining toʻgʻriligi haqidagi gipotezaning toʻgʻriligini tasdiqlovchi qoʻshimcha adabiyotlarni oʻrganish.
Qo‘shimcha adabiyotlardan topilgan natural sonlarning 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ga bo‘linuvchanlik belgilarini yozing.
Xulosa qiling.
“Bo‘linuvchanlik belgilari” mavzusida slayd taqdimot qiling.
“Natural sonlarning bo‘linuvchanlik belgilari” risolasini tuzing.

Yangilik:

Loyiha jarayonida natural sonlarning bo‘linuvchanlik belgilari haqidagi bilimlarimni to‘ldirdim.

Tadqiqot usullari:Materiallarni to'plash, ma'lumotlarni qayta ishlash, kuzatish, taqqoslash, tahlil qilish, umumlashtirish.

1-bob. Bir oz tarix.

Bo'linish mezoni - bu qoida bo'lib, unga ko'ra, bo'linmasdan, bitta natural sonning boshqasiga bo'linishini aniqlash mumkin. Bo'linish belgilari doimo olimlarni qiziqtirgan turli mamlakatlar va vaqtlar.

2, 3, 5, 9, 10 ga boʻlinish belgilari qadim zamonlardan beri maʼlum. 2 ga boʻlinish belgisi qadimgi misrliklarga eramizdan avvalgi 2 ming yillikda maʼlum boʻlgan, 2, 3, 5 ga boʻlinish belgilarini esa italyan matematigi Leonardo Fibonachchi (1170-1228) batafsil bayon qilgan.

Mavzuni o'rganayotganda: "Bosh va qo'shma sonlar" meni tub sonlar jadvalini tuzish masalasi qiziqtirdi, chunki tub sonlar boshqa barcha raqamlarni o'rganishda muhim rol o'ynaydi. Ma’lum bo‘lishicha, miloddan avvalgi 3-asrda yashagan iskandariyalik olim Eratosfen ham xuddi shu savol haqida o‘ylagan. Uning tub sonlar ro'yxatini tuzish usuli "Eratosfen elak" deb nomlangan. 100 gacha bo'lgan barcha tub sonlarni topish kerak bo'lsin. 100 gacha bo'lgan barcha sonlarni ketma-ket yozamiz.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

2 raqamini qoldirib, boshqa barcha juft raqamlarni kesib tashlang. 2 dan keyin qolgan birinchi raqam 3 bo'ladi. Endi 3 raqamini qoldirib, 3 ga bo'linadigan sonlarni kesib tashlaymiz. Keyin 5 ga bo'linadigan sonlarni kesib tashlaymiz. Natijada barcha kompozit raqamlar chiziladi va faqat tub sonlar bo'ladi. raqamlar qoladi: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, katta 100.

Raqamlarning bo'linishi masalalari Pifagorchilar tomonidan ko'rib chiqildi. Sonlar nazariyasida ular natural sonlar tipologiyasi ustida katta ish olib bordilar. Pifagorchilar ularni sinflarga bo'lishdi. Sinflar ajralib turdi: mukammal sonlar (o'z bo'luvchilari yig'indisiga teng son, masalan: 6=1+2+3), do'stona sonlar (har biri ikkinchisining bo'luvchilari yig'indisiga teng, masalan. 220 va 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), jingalak sonlar (uchburchak son, kvadrat son) , tub sonlar va boshqalar.

Blez Paskal Pifagor. Pizalik Leonardo Eratosthenes

(Fibonachchi)

Sonlarning boʻlinuvchanlik belgilarini oʻrganishga Blez Paskal (1623-1662) katta hissa qoʻshgan. Yosh Blez juda erta ajoyib matematik qobiliyatlarini namoyon etdi, o'qishdan oldin hisoblashni o'rgandi. Umuman olganda, uning misoli bolalar matematik dahosining klassik holatidir. U oʻzining birinchi matematik risolasini 24 yoshida “Konus kesimlari nazariyasi tajribasi” ni yozgan. Taxminan bir vaqtning o'zida u qo'shish mashinasining prototipi bo'lgan mexanik qo'shish mashinasini yaratdi. O'z ishining dastlabki davrida (1640-1650) ko'p qirrali olim har qanday butun sonning boshqa har qanday butun songa bo'linish belgilarini topish algoritmini topdi, undan barcha alohida belgilar kelib chiqadi. Uning belgisi quyidagicha: Natural son A boshqa natural songa boʻlinadi b faqat raqamlarning ko'paytmalari yig'indisi bo'lsa a bit birliklarini raqamga bo'lish orqali olingan mos keladigan qoldiqlarga b, bu raqamga bo'linadi.

Shunday qilib, bo'linish belgilari qadim zamonlardan beri ma'lum bo'lgan va matematiklarni qiziqtirgan.

2-bob

2.1.Maktabda o`rganiladigan natural sonlarning bo`linuvchanlik belgilari.

Ushbu mavzuni o'rganishda siz bo'linuvchi, karrali, tub va qo'shma sonlar tushunchalarini bilishingiz kerak.

Natural sonning bo'luvchisi A natural son deb ataladi b , buning ustiga a qoldiqsiz bo'linadi.

Ko'pincha sonning bo'linuvchanligi haqidagi bayonot A b raqami bo'yicha boshqa ekvivalent so'zlar bilan ifodalanadi: a - b ning karrali, b - a ning bo'luvchisi, b - a bo'linadi.

Oddiy sonlar ikki bo'luvchiga ega bo'lgan natural sonlardir: 1 va sonning o'zi. Masalan, 5,7,19 sonlari tubdir, chunki 1 ga va o'ziga bo'linadi.

Ikki dan ortiq koeffitsientga ega bo'lgan sonlar kompozit sonlar deyiladi. Masalan, 14 sonining 4 ta bo'luvchisi bor: 1, 2, 7, 14, ya'ni u kompozitsion.

Bu…..

2.2.Natural sonlarning mustaqil ravishda olingan 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ga boʻlinuvchanlik belgilari..

Bo'lish, natural sonlarni ko'paytirish amallarini bajarish, harakatlar natijalarini kuzatish, men naqshlarni topdim va quyidagi bo'linish belgilarini oldim.

4 ga bo'linish belgisi.

25 4=1 00; 56 4=2 24 ; 123 4=4 92; 125 4=5 00; 2345 4=93 80; 2500 4=100 00 ;

Natural sonlarni 4 ga ko‘paytirib, sonning oxirgi ikki raqamidan hosil bo‘lgan sonlar 4 ga qoldiqsiz bo‘linishini payqadim.

4 ga bo'linish belgisi quyidagicha o'qiladi: tabiiy h

6 ga bo'linish belgisi.

E'tibor bering, 6=2 3 6 ga bo'linish belgisi: Agar natural son bir vaqtning o'zida 2 va 3 ga bo'linsa, u 6 ga bo'linadi.

Misollar:

216 soni 2 ga (tugashi 6 ga) va 3 ga boʻlinadi (8+1+6=15, 15b3), shuning uchun son 6 ga boʻlinadi.

8 ga bo'linish belgisi.

Natural sonni 8 ga ko'paytirib, men shunday naqshga e'tibor qaratdim, raqamlar uchta 0-la bilan tugaydi yoki oxirgi uchta raqam 8 ga bo'linadigan sonni tashkil qiladi.

Demak, bu belgi. tabiiy h

15 ga bo'linish belgisi.

E'tibor bering, 15 = 3 5

Misollar:

25 ga bo'linish belgisi.

Tabiiyni ko'paytirish turli raqamlar 25 yoshda men ushbu naqshni ko'rdim: ishlar 00, 25, 50, 75 bilan tugaydi.

Shunday tabiiy Agar raqam 00, 25, 50, 75 bilan tugasa, u 25 ga bo'linadi.

50 ga bo'linish belgisi.

Raqamlar 50 ga bo'linadi: 50, 1

Ma'nosi, Natural son ikki nol yoki 50 bilan tugasagina 50 ga bo'linadi.

Agar natural sonning oxirida bit birligida qancha nol bo'lsa, u holda bu son shu bit birligiga bo'linadi.

Misollar:

25600 100 ga bo'linadi, chunki raqamlar bir xil sonli nollar bilan tugaydi. 8975000 1000 ga bo'linadi, chunki ikkala raqam ham 000 bilan tugaydi.

Shunday qilib, raqamlar bilan harakatlarni bajarib, naqshlarni payqab, men bo'linish belgilarini tuzdim va qo'shimcha adabiyotlardan men natural sonlarning 4, 6, 8, 15, 25, 50 ga bo'linishi uchun tuzilgan belgilarning to'g'riligini tasdiqladim. 100, 1000.

2.3.Turli manbalarda tasvirlangan natural sonlarning 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ga boʻlinuvchanlik belgilari.

Qo'shimcha adabiyotlardan men natural sonlarning 7 ga bo'linish belgilarini topdim.

P 7 ga bo'linish belgilari:

Misollar:

479345 7 ga bo'linmaydi, chunki 479-345=134, 134 7 ga bo'linmaydi.

Misollar:

4592 soni 7 ga bo'linadi, chunki 45 2=90, 90+92=182, 182 7 ga boʻlinadi.

57384 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 573 2=1146, 1146+84=1230,1230 7 ga boʻlinmaydi

aba

Misollar:

baa

Misollar:

aab

Misollar:

baa

Misollar:

10a7=1 (qolgan 3)

100a7=14 (qolgan 2)

1000a7=142 (qolgan 6)

10000a7=1428 (osti 4)

100000a7=14285 (qolgan 5)

6 +3 2 +1 3 +6=21, 21/7

354722 raqami 7 ga bo'linmaydi, chunki 3 5+5 4+4 6+7 2+2 3+2=81, 81 7 ga boʻlinmaydi 7; 6-1000 ni 7 ga boʻlishdan 6-qoldiq, 2-100 ni 7 ga boʻlishdan 3-boʻlishdan qolgan qoldiq 10 dan 7 gacha).

11 ga bo'linish belgilari.

Misol:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Misollar:

12 ga bo'linish belgisi.

Misollar:

13 ga bo'linish belgilari.

Misollar:

14 ga bo'linish belgisi.

Misollar:

35882 soni 2 va 7 ga bo'linadi, shuning uchun u 14 ga bo'linadi.

19 ga bo'linish belgisi.

Misollar:

153 4

182 4 182+4 2=190, 190/19, demak, raqam 1824/19.

37 ga bo'linish belgilari.

Misol:

Shunday qilib, in Natural sonlarning boʻlinuvchanligining barcha sanab oʻtilgan belgilarini 4 guruhga boʻlish mumkin:

1 guruh - raqamlarning bo'linuvchanligi oxirgi raqam (lar) bilan aniqlanganda - bu 2 ga, 5 ga, bit birligiga, 4 ga, 8 ga, 25 ga, 50 ga bo'linish belgilari;

2-guruh - sonlarning bo'linuvchanligi son raqamlari yig'indisi bilan aniqlanganda - bu 3 ga, 9 ga, 7 ga (1 belgi), 11 ga, 37 ga bo'linish belgilari;

3-guruh - sonning raqamlarida ba'zi harakatlar bajarilgandan so'ng, sonlarning bo'linuvchanligi aniqlanganda - bu 7 ga, 11 ga, 13 ga, 19 ga bo'linish belgilari;

4-guruh - sonning bo'linuvchanligini aniqlash uchun boshqa bo'linuvchanlik belgilaridan foydalanilganda - bular 6 ga, 12 ga, 14 ga, 15 ga bo'linish belgilaridir.

3-bob. Natural sonlarning bo‘linuvchanlik belgilarini masalalar yechishda qo‘llash.

Bo'linish mezonlari GCD va LCM ni topishda, shuningdek GCD va LCM yordamida so'zli masalalarni hal qilishda qo'llaniladi.

1-topshiriq:

5-sinf o‘quvchilari 203 dona darslik sotib oldi. Hamma bir xil miqdordagi kitob sotib oldi. U yerda nechta beshinchi sinf o‘quvchisi bor edi va ularning har biri nechtadan darslik sotib oldi?

Yechim: Aniqlanishi kerak bo'lgan ikkala miqdor ham butun son bo'lishi kerak, ya'ni. 203 sonining bo'luvchilari qatorida bo'ling. 203 ni ko'paytiruvchilarga ajratsak, olamiz: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Amaliy sabablarga ko'ra.

Javob:

Vazifa 2.

Yechim:

Javob:

3-topshiriq: 9-sinfda o'quvchilarning 1/7 qismi test uchun besh, 1/3 - to'rt, 1/2 - uch marta oldi. Ishning qolgan qismi qoniqarsiz edi. Bunday ish o'rinlari qancha edi?

Yechim:

Muammoning matematik munosabatlari sinfdagi o'quvchilar soni 84, 126 va boshqalarni tashkil qiladi. Inson. Ammo sog'lom fikrga ko'ra, eng maqbul javob 42 raqamidir.

Javob: 1 ta ish.

Vazifa 4.

Yechim: Bu sinflarning birinchisida quyidagilar bo'lishi mumkin: 17, 34, 51 ... - 17 ga karrali sonlar. Ikkinchi sinfda: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - ko'paytmali sonlar. 9. Biz birinchi ketma-ketlikdan 1 ta raqamni tanlashimiz kerak va 2 ikkinchidan raqam bo'lib, ular qo'shilib 70 ga etadi. Bundan tashqari, bu ketma-ketliklarda faqat oz sonli atamalar bolalarning mumkin bo'lgan sonini ifodalashi mumkin. sinf. Ushbu e'tibor variantlarni sanab o'tishni sezilarli darajada cheklaydi. Mumkin bo'lgan yagona variant juftlik edi (34, 36).

Javob:

Vazifa 5.

Yechim:

Javob:

Vazifa 6. Ikkita avtobus bitta maydondan turli yo'nalishlarda jo'naydi. Avtobuslardan biri uchun ikki tomonga parvoz 48 daqiqa, ikkinchisiga esa 1 soat 12 daqiqa davom etadi. Avtobuslar qancha vaqtdan keyin yana o'sha maydonda uchrashadi?

Yechim:

Javob:

7-topshiriq. Berilgan jadval:

Javob:

Vazifa 8.

Javob:

Vazifa 9.

Javob:

Shunday qilib, masalalar yechishda natural sonlarning bo‘linuvchanlik belgilaridan foydalanishga amin bo‘ldik.

Xulosa.

Ish jarayonida bo'linish belgilarining rivojlanish tarixi bilan tanishdim. Uning o'zi natural sonlarning 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ga bo'linish belgilarini to'g'ri shakllantirgan, buning tasdig'ini qo'shimcha adabiyotlardan topdi. Turli manbalar bilan ishlaganimda, natural sonlarning bo‘linuvchanligining boshqa belgilari ham mavjudligiga (7, 11, 12, 13, 14, 19, 37) amin bo‘ldim.gipotezaning to‘g‘riligini tasdiqladinatural sonlarning bo'linuvchanligining boshqa mezonlari mavjudligi haqida.

Qo'shimcha adabiyotlardan men muammolarni topdim, ularni hal qilishda natural sonlarning bo'linish belgilari qo'llaniladi.

Natural sonlarning yuqoridagi boʻlinuvchanlik belgilarini bilish va ulardan foydalanish koʻplab hisob-kitoblarni ancha osonlashtiradi, vaqtni tejaydi; bo'linish operatsiyasini bajarishda yuzaga kelishi mumkin bo'lgan hisoblash xatolarini istisno qiladi. Shuni ta'kidlash kerakki, ba'zi xususiyatlarning so'zlari ancha murakkab. Balki shuning uchun ham ular maktabda o'qimaydilar.

Men to‘plagan materialimni matematika darslarida, matematika to‘garagi darslarida foydalanish mumkin bo‘lgan risola shaklida loyihalashtirdim. Matematika o'qituvchilari ushbu mavzuni o'rganishda undan foydalanishlari mumkin. Men oddiy o'quvchidan ko'ra matematika haqida ko'proq bilishni xohlaydigan tengdoshlarga mening ishim bilan tanishishni tavsiya qilaman.

Qo'shimcha savollarni ko'rib chiqish mumkin:

Bo'linuvchanlik belgilarini chiqarish;

Hali ham bo'linish belgilari bor yoki yo'qligini bilib oling, ularni o'rganish uchun men hali etarli bilimga ega emasman?

Foydalanilgan adabiyotlar roʻyxati (manbalar):

Galkin V.A. "Bo'linuvchanlik belgilari" mavzusi bo'yicha topshiriqlar.// Matematika, 1999.-№5.-S.9.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.L. 6-8-sinflarda matematika bo'yicha sinfdan tashqari ishlar - M .: Ta'lim, 1984 yil.
Kaplun L.M. Vazifalarda GCD va LCM. // Matematika, 1999.- №7. - B. 4-6.
Pelman Ya.I. Matematika qiziqarli! - M .: TERRA - Kitob klubi, 2006 yil.
Yosh matematikning entsiklopedik lug'ati. / Komp. Savin A.P. - M .: Pedagogika, 1989. - S. 352.
Internet

Bo'linish belgilari

5 da.

Agar raqam 0,5 bilan tugasa.

2 da.

Agar raqam 0, 2, 4, 6, 8 bilan tugasa

10 da.

Agar raqam 0 bilan tugasa

3 (9) da.

Agar raqamning raqamlari yig'indisi 3 ga (9) bo'linadigan bo'lsa.

Ko‘rib chiqish:

Javob:

Vazifa 8.

Qayta takrorlanuvchi raqamlar boʻlmagan (barcha raqamlar har xil) va 11 ga qoldiqsiz boʻlinadigan toʻqqiz xonali sonni yozing. Shu sonlarning eng kattasini, eng kichigini yozing.

Javob: Eng kattasi 987652413, eng kichigi 102347586.

Vazifa 9.

Vanya oddiy uch xonali raqamni o'ylab topdi, ularning barcha raqamlari boshqacha. Agar uning oxirgi raqami birinchi ikkitasining yig'indisiga teng bo'lsa, u qaysi raqam bilan tugashi mumkin. Bunday raqamlarga misollar keltiring.

Javob: U faqat 7 raqami bilan tugashi mumkin. Bunday 4 ta raqam mavjud: 167, 257, 347, 527.

2 ga bo'linish belgisi

Agar natural son 2, 4, 6, 8, 0 bilan tugasa, u 2 ga qoldiqsiz boʻlinadi.

5 ga bo'linish belgisi.

Agar raqam 0 yoki 5 bilan tugasa, u 5 ga qoldiqsiz bo'linadi.

3 ga bo'linish belgisi

Agar raqamning raqamlari yig'indisi 3 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda raqam ham 3 ga bo'linadi.

Misollar

684: 3, chunki 6+ 8 + 4=18, 18: 3, shuning uchun raqam: 3 ga.

763 emas: on3, chunki 7+6+3=16, 16 emas: 3 ga, shuning uchun 763 emas: 3 ga.

9 ga bo'linish belgisi

Agar raqamning raqamlari yig'indisi 9 ga bo'linadigan bo'lsa, u holda sonning o'zi 9 ga bo'linadi.

Misollar

765: 9, chunki 7+6+5=18, 18: 9, shuning uchun 765: 9

881 emas: on9, chunki 8+8+1=17, 17 emas: 9 ga, shuning uchun 881 emas: 9 ga.

4 ga bo'linish belgisi.

25 4=1 00; 56 4=2 24 ; 123 4=4 92; 125 4=5 00; 2345 4=93 80; 2500 4=100 00 ; …

tabiiy h Raqam 4 ga bo'linadi, agar uning oxirgi ikki raqami 0 bo'lsa yoki 4 ga bo'linadi.

6 ga bo'linish belgisi.

E'tibor bering, 6=2 3 6 ga bo'linish belgisi:

Agar natural son 2 ga ham, 3 ga ham boʻlinadigan boʻlsa, u 6 ga boʻlinadi.

Misollar:

816 soni 2 ga (tugashi 6 ga) va 3 ga boʻlinadi (8+1+6=15, 15b3), shuning uchun son 6 ga boʻlinadi.

625 soni 2 yoki 3 ga bo'linmaydi, shuning uchun u 6 ga bo'linmaydi.

2120 soni 2 ga boʻlinadi (0 bilan tugaydi), lekin 3 ga boʻlinmaydi (2+1+2+0=5, 5 3 ga boʻlinmaydi), shuning uchun son 6 ga boʻlinmaydi.

279 soni 3 ga boʻlinadi (2+7+9=18, 18:3), lekin 2 ga boʻlinmaydi (toq son bilan tugaydi), shuning uchun son 6 ga boʻlinmaydi.

7 ga bo'linish belgisi.

men. Natural son 7 ga bo'linadi, agar minglar soni va oxirgi uchta raqam bilan ifodalangan son o'rtasidagi farq 7 ga bo'linsa.

Misollar:

478009 soni 7 ga bo'linadi, chunki 478-9=469, 469 7 ga bo'linadi.

475341 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 475-341=134, 134 7 ga bo'linmaydi.

men. Agar natural son 7 ga bo'linadi, agar o'nlikgacha bo'lgan sonning ikki barobari va qolgan son 7 ga bo'linsa.

Misollar:

4592 soni 7 ga bo'linadi, chunki 45 2=90, 90+92=182, 182/7.

min, qolgan 1 soat 12 min. Avtobuslar qancha vaqtdan keyin yana o'sha maydonda uchrashadi?

Yechim: LCM (48, 72) = 144 (min). 144 min = 2 soat 24 min.

Javob: 2 soat 24 daqiqadan so'ng avtobuslar yana o'sha maydonda uchrashadi.

7-topshiriq. Berilgan jadval:

Bo'sh kataklarga quyidagi raqamlarni kiriting: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Javob: Birinchi sinfda 34 nafar, ikkinchi sinfda 36 nafar o‘quvchi o‘qiydi.

Vazifa 5.

320 ta yong'oq, 240 ta shirinlik, 200 ta olmadan qancha bir xil sovg'a yasash mumkin? Har bir sovg'ada nechta yong'oq, konfet va olma bo'ladi?

Yechim: GCD (320, 240, 200) = 40 (sovg'alar), keyin har bir sovg'a bo'ladi: 320:40 = 8 (yong'oq); 240: 40 = 6 (konfet); 200:40 = 5 (olma).

Javob: Har bir sovg'ada 8 ta yong'oq, 6 ta konfet, 5 ta olma bor.

Vazifa 6.

Ikkita avtobus bitta maydondan turli yo'nalishlarda jo'naydi. Avtobuslardan birida 48 tagacha bo'lgan qatnov mavjud

57384 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 573 2=1146, 1146+84=1230, 1230 7 ga boʻlinmaydi.

Men. Shaklning uch xonali natural soni aba a+b 7 ga bo'linsa, 7 ga bo'linadi.

Misollar:

252 soni 7 ga bo'linadi, chunki 2+5=7, 7/7.

636 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 6+3=9, 9 7 ga bo‘linmaydi.

IV. Shaklning uch xonali natural soni baa agar son raqamlari yig'indisi 7 ga bo'linsa, 7 ga bo'linadi.

Misollar:

455 soni 7 ga bo'linadi, chunki 4+5+5=14, 14/7.

244 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 2+4+4=12, 12 7 ga boʻlinmaydi.

V. Shaklning uch xonali natural soni aab 2a-b 7 ga bo'linsa, 7 ga bo'linadi.

Misollar:

882 soni 7 ga bo'linadi, chunki 8+8-2=14, 14/7.

996 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 9+9-6=12, 12 7 ga boʻlinmaydi.

VI. Shaklning to'rt xonali natural soni baa , bu erda b ikki xonali son, agar b+2a 7 ga bo'linadigan bo'lsa, 7 ga bo'linadi.

Misollar:

2744 soni 7 ga bo'linadi, chunki 27+4+4=35, 35/7.

1955 yil 7 ga bo'linmaydi, chunki 19+5+5=29, 29 7 ga boʻlinmaydi.

VII. Natural son 7 ga bo'linadi, agar oxirgi raqamdan oxirgi raqamni ikki marta ayirish natijasi 7 ga bo'linadigan bo'lsa.

Misollar:

483 soni 7 ga bo'linadi, chunki 48-3 2=42, 42/7.

564 soni 7 ga bo'linmaydi, chunki 56-4 2=48, 48 7 ga bo'linmaydi.

VIII. Bit birliklarini 7 raqamiga bo'lish natijasida olingan raqamlar va tegishli qoldiqlarning ko'paytmalari yig'indisi 7 ga bo'linsa, natural son 7 ga bo'linadi.

Misollar:

10a7=1 (qolgan 3)

100a7=14 (qolgan 2)

1000a7=142 (qolgan 6)

10000a7=1428 (osti 4)

100000a7=14285 (qolgan 5)

1000000a7=142857 (dam olish 1) va qolganlar yana takrorlanadi.

1316 soni 7 ga bo'linadi, chunki 1· 6 +3 2 +1 3 +6=21, 21/7 (6 - 1000 ning 7 ga bo'lingan qoldig'i; 2 - 100 ning qoldig'i 7 ga bo'lingan; 3 - 10 ning 7 ga bo'lingan qoldig'i).

354722 raqami 7 ga bo'linmaydi, chunki 3 5+5 4+4 6+7 2+2 3+2=81, 81 7 ga boʻlinmaydi(5 100 000 ning 7 ga boʻlingan qoldigʻi; 4 10 000 ning 7 ga boʻlingan qoldigʻi; 6 ta qoldiq 1000 ning 7 ga bo'linishi; 2 - 100 ning qoldig'i 7 ga bo'lingan; 3 - 10 ning qolgan qismi 7 ga bo'lingan).

Sovg'alar soni apelsin, shirinliklar va yong'oqlar sonini ifodalovchi raqamlarning har birining bo'linuvchisi va bu raqamlarning eng kattasi bo'lishi kerak. Shuning uchun biz ushbu raqamlarning GCD ni topishimiz kerak. GCD (60, 175, 225) = 15. Har bir sovg'a quyidagilarni o'z ichiga oladi: 60: 15 = 4 - apelsin,175: 15 = 11 yong'oq va 225: 15 = 15 konfet.

Javob: Bitta sovg'ada - 4 apelsin, 11 yong'oq, 15 shirinlik.

3-topshiriq: 9-sinfda o'quvchilarning 1/7 qismi test uchun besh, 1/3 - to'rt, ½ - uch ball oldi. Ishning qolgan qismi qoniqarsiz edi. Bunday ish o'rinlari qancha edi?

Yechim: Masalaning yechimi sonlarning karrali bo‘lishi kerak: 7, 3, 2. Keling, avval shu sonlarning eng kichigini topamiz. LCM (7, 3, 2) = 42. Muammoning shartiga ko'ra ifoda yaratishingiz mumkin: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 muvaffaqiyatsiz.

Masala munosabatining matematik munosabati sinfdagi o’quvchilar soni 84, 126 va hokazo deb hisoblanadi. Inson. Ammo sog'lom fikrga ko'ra, eng maqbul javob 42 raqamidir.

Javob: 1 ta ish.

Vazifa 4.

Ikki sinfda birga 70 nafar o‘quvchi bor. Bir sinfda 7/17 o‘quvchi darsga kelmadi, boshqasida esa 2/9 o‘quvchi matematikadan A ball oldi. Har bir sinfda nechta o'quvchi bor?

Misollar:

25600 100 ga bo'linadi, chunki raqamlar bir xil sonli nollar bilan tugaydi.

8975000 1000 ga bo'linadi, chunki ikkala raqam ham 000 bilan tugaydi.

1-topshiriq: (Foydalanish umumiy bo'luvchilar va GCD)

5 “A” sinf o‘quvchilari 203 dona darslik sotib oldilar. Hamma bir xil miqdordagi kitob sotib oldi. U yerda nechta beshinchi sinf o‘quvchisi bor edi va ularning har biri nechtadan darslik sotib oldi?

Yechim: Aniqlanishi kerak bo'lgan ikkala miqdor ham butun son bo'lishi kerak, ya'ni. 203 sonining bo'luvchilari qatorida bo'ling. 203 faktoring, biz olamiz:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Amaliy sabablarga ko'raBundan kelib chiqadiki, 29 ta darslik bo'lishi mumkin emas.Shuningdek, darsliklar soni teng bo'lishi mumkin emas1, chunki bunda 203 nafar o‘quvchi bo‘lardi.Demak, 5-sinfda 29 nafar o‘quvchi bor va ularning har biri 7 tadan darslik sotib olgan..

Javob: 29 nafar beshinchi sinf o‘quvchilari; 7 ta darslik

Vazifa 2. 60 apelsin, 165 yong'oq va 225 konfet bor. Qaysi eng katta raqam Bolalar uchun bir xil sovg'alarni ushbu zaxiradan yasash mumkinmi? Har bir to'plamga nima kiradi?

Yechim:

8 ga bo'linish belgisi.

125 8=1000; 242 8=1936; 512 8=4 096; 600 8=4 800; 1234 8=9 872 ; 122875 8=983 000;…

tabiiy h Raqam 8 ga bo'linadi, agar uning oxirgi uchta raqami 0 ga bo'linsa yoki 8 ga bo'linsa.

11 ga bo'linish belgilari.

I. Agar toq joylardagi raqamlar yig‘indisi bilan juft joylardagi raqamlar yig‘indisi o‘rtasidagi farq 11 ga karrali bo‘lsa, son 11 ga bo‘linadi.

Farqi manfiy son yoki 0 bo'lishi mumkin, lekin u 11 ga karrali bo'lishi kerak. Raqamlash chapdan o'ngga o'tadi.

Misol:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 11 ga karrali emas, shuning uchun bu son 11 ga boʻlinmaydi.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 11 ga karrali, shuning uchun bu son 11 ga bo'linadi.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10 11 ga karrali emas, shuning uchun bu son 11 ga boʻlinmaydi.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11 11 ga karrali, shuning uchun bu son 11 ga bo'linadi.

II. Natural son o'ngdan chapga har biri 2 ta raqamdan iborat guruhlarga bo'linadi va bu guruhlar qo'shiladi. Olingan yig'indi 11 ga karrali bo'lsa, test raqami 11 ga karrali bo'ladi.

Misol: 12561714 soni 11 ga bo'linishini aniqlang.

Raqamni har biri ikkita raqamdan iborat guruhlarga ajratamiz: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 11 ga bo'linadi, shuning uchun bu raqam 11 ga bo'linadi.

III. Agar sonning yon raqamlari yig'indisi o'rtadagi raqamga teng bo'lsa, uch xonali natural son 11 ga bo'linadi. Javob bir xil yon raqamlardan iborat bo'ladi.

Misollar:

594 soni 11 ga bo'linadi, chunki 5+4=9, 9 o‘rtada.

473 soni 11 ga bo'linadi, chunki 4+3=7, 7- o‘rtada.

861 soni 11 ga bo'linmaydi, chunki 8+1=9 va o‘rtada 6.

12 ga bo'linish belgisi.

Natural son bir vaqtning o'zida 3 va 4 ga bo'linsagina 12 ga bo'linadi.

Misollar:

636 3 va 4 ga bo'linadi, shuning uchun u 12 ga bo'linadi.

587 3 ga ham, 4 ga ham bo'linmaydi, shuning uchun u 12 ga bo'linmaydi.

27126 3 ga bo'linadi, lekin 4 ga bo'linmaydi, shuning uchun u 12 ga bo'linmaydi.

37 ga bo'linish belgilari.

I. Natural son 37 ga boʻlinadi, agar sonlar yigʻindisi ushbu sonning raqamlarining uch barobaridan iborat boʻlsa. kasrli belgi mos ravishda 37 ga bo'linadi.

Misol: 100048 soni 37 ga bo'linishini aniqlang.

100/048 100+48=148, 148 37 ga bo'linadi, shuning uchun raqam ham 37 ga bo'linadi.

II. Yozilgan uch xonali natural son bir xil raqamlar 37 ga bo'linadi.

Misol:

111, 222, 333, 444, 555, ... raqamlari 37 ga bo'linadi.

25 ga bo'linish belgisi

Natural son 00, 25, 50, 75 bilan tugasa, 25 ga boʻlinadi.

50 ga bo'linish belgisi.

Raqamlar 50 ga bo'linadi: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… Ular 50 yoki 00 bilan tugaydi.

Natural son ikki nol yoki 50 bilan tugasagina 50 ga bo'linadi.

10, 100, 1000, ... ga bo'linishning qo'shma belgisi

Agar natural sonning oxirida bit birligidagidek ko'p nol bo'lsa, bu raqam shu bitga bo'linadi -

yangi birlik.

13 ga bo'linish belgilari.

I. Minglar soni bilan oxirgi uchta raqam hosil qilgan son orasidagi farq 13 ga boʻlinsa, natural son 13 ga boʻlinadi.

Misollar:

465400 soni 13 ga bo'linadi, chunki 465 - 400 = 65, 65 13 ga bo'linadi.

256184 raqami 13 ga bo'linmaydi, chunki 256 - 184 = 72, 72 13 ga bo'linmaydi.

II. Natural son 13 ga bo'linadi, agar oxirgi raqamsiz bu sondan 9 ga ko'paytirilgan oxirgi raqamni ayirish natijasi 13 ga bo'linsa.

Misollar:

988 soni 13 ga bo'linadi, chunki 98 - 9 8 = 26, 26 13 ga bo'linadi.

853 soni 13 ga bo'linmaydi, chunki 85 - 3 9 = 58, 58 13 ga bo'linmaydi.

14 ga bo'linish belgisi.

Natural son bir vaqtning o'zida 2 va 7 ga bo'linsagina 14 ga bo'linadi.

Misollar:

45826 soni 2 ga bo'linadi, lekin 7 ga bo'linmaydi, shuning uchun u 14 ga bo'linmaydi.

1771 raqami 7 ga bo'linadi, lekin 2 ga bo'linmaydi, shuning uchun u 14 ga bo'linmaydi.

15 ga bo'linish belgisi.

E'tibor bering, 15 = 3 5.Agar natural son 5 ga ham, 3 ga ham bo'linadigan bo'lsa, u 15 ga bo'linadi.

Misollar:

346725 5 ga bo'linadi (tugashi 5) va 3 ga bo'linadi (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), shuning uchun son 15 ga bo'linadi.

48732 3 ga bo'linadi (4+8+7+3+2=24, 24:3), lekin 5 ga bo'linmaydi, shuning uchun son 15 ga bo'linmaydi.

87565 5 ga bo'linadi (5 ga tugaydi), lekin 3 ga bo'linmaydi (8+7+5+6+5=31, 31 3 ga bo'linmaydi), shuning uchun son 15 ga bo'linmaydi.

19 ga bo'linish belgisi.

Natural son 19 ga qoldiqsiz bo'linadi, agar uning birliklari sonining ikki barobariga qo'shilgan o'nliklari soni 19 ga bo'linsa.

Shuni ta'kidlash kerakki, sondagi o'nliklar soni o'nliklar qatoridagi raqam sifatida hisoblanmasligi kerak, lekin umumiy soni jami o'nlab.

Misollar:

153 4 o'nlik-153, 4 2=8, 153+8=161, 161 19 ga bo'linmaydi, shuning uchun 1534 soni ham 19 ga bo'linmaydi.

182 4 182+4 2=190, 190:19, demak 1824 soni: 19.

GBOU SOSH temir yo'li Art. yuklash

BO'LISHLIK BELGILARI

TABIY

RAQAMLAR

Etkareva Alina tomonidan tuzilgan.

2013 yil

2 ga bo'linish belgisi
Raqam 2 ga bo'linadi, agar uning oxirgi raqami 2 ga bo'linsa, ya'ni juft bo'lsa.

3 ga bo'linish belgisi
Raqamlar yig‘indisi 3 ga bo‘linsagina raqam 3 ga bo‘linadi.

4 belgisiga bo'linish
Raqam 4 ga bo'linadi, agar uning oxirgi ikki raqami nolga teng bo'lsa yoki 4 ga bo'linsa.

5 ga bo'linish belgisi
Raqam 5 ga bo'linadi, agar oxirgi raqam 5 ga bo'linsa (ya'ni 0 yoki 5 ga teng).

6 ga bo'linish belgisi
Raqam 6 ga bo'linadi, agar u 2 va 3 ga bo'linsa.

7 ga bo'linish belgisi
Raqam 7 ga bo'linadi, agar bu raqamdan oxirgi raqamni ikki marta ayirish natijasi 7 ga bo'linsa (masalan, 259 soni 7 ga bo'linadi, chunki 25 - (2 9) = 7 bo'linadi). tomonidan 7).

8 ga bo'linish belgisi
Raqam 8 ga bo'linadi, agar uning oxirgi uchta raqami nol bo'lsa yoki 8 ga bo'linadigan son hosil qilsa.

9 ga bo'linish belgisi
Raqamlar yig‘indisi 9 ga bo‘linsagina raqam 9 ga bo‘linadi.

10 ga bo'linish belgisi
Raqam 10 ga bo'linadi, agar u nol bilan tugasa.

11 ga bo'linish belgisi
Raqam 11 ga bo'linadi, agar o'zgaruvchan belgilari bo'lgan raqamlar yig'indisi 11 ga bo'linsa (ya'ni 182919 11 ga bo'linadi, chunki 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 ga bo'linadi. 11) - 10 n ko'rinishdagi barcha raqamlar 11 ga bo'linganda (-1) n ning qoldig'ini berish faktining natijasi.

12 ga bo'linish belgisi
Raqam 3 va 4 ga bo'linsagina 12 ga bo'linadi.

13 ga bo'linish belgisi
Raqam 13 ga bo'linadi, agar uning o'nliklari soni to'rt marta birliklar soniga qo'shilsa, 13 ga karrali bo'lsa (masalan, 845 13 ga bo'linadi, chunki 84 + (4 5) = 104 13 ga bo'linadi).

14 ga bo'linish belgisi
Raqam 2 va 7 ga bo'linsagina 14 ga bo'linadi.

15 ga bo'linish belgisi
Raqam 3 va 5 ga bo'linsagina 15 ga bo'linadi.

17 ga bo'linish belgisi
Raqam 17 ga bo'linadi, agar uning birliklari soni 12 ga oshsa, uning o'nliklari soni 17 ga karrali bo'lsa (masalan, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30) +72=102→10+ 24 = 34. 34 soni 17 ga boʻlingani uchun 29053 soni ham 17 ga boʻlinadi). Belgi har doim ham qulay emas, lekin u matematikada ma'lum ma'noga ega. Biroz soddaroq usul bor - Raqam 17 ga bo'linadi, agar uning o'nlab birliklari soni bilan besh marta birliklar soni o'rtasidagi farq 17 ga karrali bo'lsa (masalan, 32952→3295-10=3285→328) -25=303→30-15=15. 15 17 ga boʻlinmagani uchun 32952 ham 17 ga boʻlinmaydi)

19 ga bo'linish belgisi
Raqam 19 ga bo'linadi, agar uning birliklari sonining ikki barobariga qo'shilgan o'nliklari soni 19 ga karrali bo'lsa (masalan, 646 19 ga bo'linadi, chunki 64 + (6 2) = 76 bo'linadi. 19 tomonidan).

23 ga bo'linish belgisi
Raqam 23 ga bo'linadi, agar uning o'nliklari 23 ga karrali bo'lsa (masalan, 28842 23 ga bo'linadi, chunki 288 + (3 * 42) = 414 davom etadi 4 + (3 * 14) = 46 aniq 23 ga bo'linadi).

25 ga bo'linish belgisi
Raqam 25 ga bo'linadi, agar uning oxirgi ikki raqami 25 ga bo'linsa (ya'ni 00, 25, 50 yoki 75 shakl) yoki raqam 5 ga karrali bo'lsa.

99 ga bo'linish belgisi
Raqamni o'ngdan chapga 2 ta raqamdan iborat guruhlarga ajratamiz (eng chap guruhda bitta raqam bo'lishi mumkin) va ularni sanagan holda bu guruhlarning yig'indisini topamiz. ikki raqamli. Bu yig'indi 99 ga bo'linadi, agar raqamning o'zi 99 ga bo'linsa.

101 ga bo'linish belgisi
Raqamni o'ngdan chapga 2 ta raqamdan iborat guruhlarga ajratamiz (eng chap guruhda bitta raqam bo'lishi mumkin) va bu guruhlarning yig'indisini o'zgaruvchan belgilar bilan topamiz, ularni ikki xonali sonlar deb hisoblaymiz. Bu yig'indi 101 ga bo'linadi, agar sonning o'zi 101 ga bo'linsa. Masalan, 590547 101 ga bo'linadi, chunki 59-05+47=101 101 ga bo'linadi).

O'qish foydali bo'lishi mumkin: