چه عددی بر 12 و 7 بخش پذیر است. علائم بخش پذیری بر عدد مرکب

ریاضیات در کلاس ششم با مطالعه مفهوم تقسیم پذیری و نشانه های تقسیم پذیری آغاز می شود. آنها اغلب به معیارهای تقسیم پذیری با اعداد زیر محدود می شوند:

بر 2 : آخرین رقم باید 0، 2، 4، 6 یا 8 باشد.
بر 3 : مجموع ارقام عدد باید بر 3 بخش پذیر باشد.
بر 4 : عددی که از دو رقم آخر تشکیل می شود باید بر 4 بخش پذیر باشد.
بر 5 : آخرین رقم باید 0 یا 5 باشد.
بر 6 : عدد باید دارای علائم بخش پذیری بر 2 و 3 باشد.
آزمون تقسیم پذیری برای 7 اغلب از دست رفته؛
آنها همچنین به ندرت در مورد آزمون تقسیم بر 8 ، هر چند شبیه معیارهای بخش پذیری بر 2 و 4 است، برای اینکه عددی بر 8 بخش پذیر باشد لازم و کافی است که پایان سه رقمی بر 8 بخش پذیر باشد.
آزمون تقسیم پذیری برای 9 همه می‌دانند: مجموع ارقام یک عدد باید بر 9 بخش‌پذیر باشد. اما در مقابل انواع ترفندها با خرماهایی که اعداد شناسان استفاده می‌کنند مصونیت ایجاد نمی‌کند.
آزمون تقسیم پذیری برای 10 ، احتمالاً ساده ترین: عدد باید به صفر ختم شود.
گاهی اوقات در مورد آزمون تقسیم پذیری توسط دانش آموزان کلاس ششم آموزش داده می شود 11 . باید ارقام عددی را که در مکان های زوج هستند جمع کنید و اعدادی که در مکان های فرد قرار دارند را از نتیجه کم کنید. اگر نتیجه بر 11 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 11 بخش پذیر است.

اجازه دهید اکنون به آزمون بخش پذیری بر 7 برگردیم. اگر در مورد آن صحبت می کنند، آن را با آزمون بخش پذیری بر 13 ترکیب می کنند و توصیه می کنند که از آن در این راه استفاده کنید.

بیایید یک عدد بگیریم. ما آن را به بلوک های 3 رقمی تقسیم می کنیم (سمت چپ ترین بلوک می تواند شامل یک یا 2 رقم باشد) و به طور متناوب این بلوک ها را اضافه یا کم می کنیم.

اگر نتیجه بر 7، 13 (یا 11) بخش پذیر باشد، خود عدد بر 7، 13 (یا 11) بخش پذیر است.

این روش، مانند تعدادی از ترفندهای ریاضی، مبتنی بر این واقعیت است که 7x11x13 = 1001 است.

با استفاده از معیار جهانی تقسیم پذیری، می توان به طور نسبی ساخت الگوریتم های سادهتعیین اینکه آیا یک عدد بر 7 بخش پذیر است یا خیر.

تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 7
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 7 بخش پذیر است یا خیر، باید آخرین رقم را از عدد حذف کنید و این رقم را دو بار از نتیجه حاصل کم کنید. اگر نتیجه بر 7 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 7 بخش پذیر است.

مثال 1:
آیا عدد 238 بر 7 بخش پذیر است؟
23-8-8 = 7. پس عدد 238 بر 7 بخش پذیر است.
در واقع، 238 = 34x7

این عمل می تواند بارها و بارها انجام شود.
مثال 2:
آیا 65835 بر 7 بخش پذیر است؟
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63 بر 7 بخش پذیر است (اگر ما متوجه این موضوع نشده بودیم، می توانستیم یک قدم دیگر برداریم: 6-3-3 = 0، و 0 قطعا بر 7 بخش پذیر است).

یعنی عدد 65835 بر 7 بخش پذیر است.

بر اساس معیار جهانی تقسیم پذیری، می توان معیارهای تقسیم پذیری بر 4 و 8 را بهبود بخشید.

تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 4
اگر نصف تعداد واحدها به اضافه تعداد ده ها یک عدد زوج باشد، این عدد بر 4 بخش پذیر است.

مثال 3
آیا عدد 52 بر 4 بخش پذیر است؟
5+2/2 = 6 عدد زوج است یعنی عدد بر 4 بخش پذیر است.

مثال 4
آیا عدد 134 بر 4 بخش پذیر است؟
3+4/2 = 5 عدد فرد است یعنی 134 بر 4 بخش پذیر نیست.

تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 8
اگر دو برابر تعداد صدها، تعداد ده ها و نصف تعداد واحدها را جمع کنید و نتیجه بر 4 بخش پذیر شود، خود عدد بر 8 بخش پذیر است.

مثال 5
آیا عدد 512 بر 8 بخش پذیر است؟
5*2+1+2/2 = 12 عدد بر 4 بخش پذیر است یعنی 512 بر 8 بخش پذیر است.

مثال 6
آیا عدد 1984 بر 8 بخش پذیر است؟
9*2+8+4/2 = 28، عدد بر 4 بخش پذیر است، یعنی 1984 بر 8 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر 12- این اتحاد نشانه های تقسیم پذیری بر 3 و 4 است. برای هر n که حاصلضرب همزمان p و q باشد، همین عمل می شود. برای اینکه یک عدد بر n بخش پذیر باشد (که برابر با حاصل ضرب pq,actih است، به طوری که gcd(p,q)=1) باید بر هر دو p و q بخش پذیر باشد.

با این حال، مراقب باشید! برای اینکه معیار تقسیم پذیری مرکب کار کند، ضرایب یک عدد باید هم اول باشند. اگر عددی بر 2 و 4 بخش پذیر باشد نمی توانید بگویید که بر 8 بخش پذیر است.

تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 13
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 13 بخش پذیر است یا خیر، باید آخرین رقم را از عدد حذف کرده و چهار بار به نتیجه حاصل اضافه کنید. اگر نتیجه بر 13 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 13 بخش پذیر است.

مثال 7
آیا 65835 بر 8 بخش پذیر است؟
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

عدد 43 بر 13 بخش پذیر نیست، یعنی عدد 65835 بر 13 بخش پذیر نیست.

مثال 8
آیا 715 بر 13 بخش پذیر است؟
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 بر 13 بخش پذیر است، یعنی عدد 715 بر 13 بخش پذیر است.

علائم بخش پذیری بر 14، 15، 18، 20، 21، 24، 26، 28و سایر اعداد مرکب که توان های اعداد اول نیستند مشابه آزمون های بخش پذیری بر 12 هستند.

برای 14: برای 2 و برای 7;
برای 15: برای 3 و برای 5.
برای 18: در 2 و 9;
برای 21: در 3 و 7;
برای 20: با 4 و 5 (یا به عبارت دیگر، رقم آخر باید صفر باشد و رقم ماقبل آخر باید زوج باشد).
برای 24: برای 3 و برای 8;
برای 26: در 2 و 13;
برای 28: در 4 و 7.

یک تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 16.
به جای بررسی اینکه آیا پایان 4 رقمی یک عدد بر 16 بخش پذیر است یا خیر، می توانید رقم یکان را با 10 برابر رقم ده ها، رقم چهار رقمی صدها و
در هشت برابر رقم هزاران ضرب کنید و بررسی کنید که آیا نتیجه بر 16 بخش پذیر است یا خیر.

مثال 9
آیا عدد 1984 بر 16 بخش پذیر است؟
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 بر 16 بخش پذیر نیست، یعنی 1984 بر 16 بخش پذیر نیست.

مثال 10
آیا عدد 1526 بر 16 بخش پذیر است؟
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 بر 16 بخش پذیر نیست، یعنی 1526 بر 16 بخش پذیر نیست.

یک تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 17.
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 17 بخش پذیر است یا خیر، باید آخرین رقم را از عدد حذف کنید و این رقم را پنج بار از نتیجه حاصل کم کنید. اگر نتیجه بر 13 بخش پذیر باشد، خود عدد بر 13 بخش پذیر است.

مثال 11
آیا عدد 59772 بر 17 بخش پذیر است؟
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0 بر 17 بخش پذیر است، یعنی عدد 59772 بر 17 بخش پذیر است.

مثال 12
آیا عدد 4913 بر 17 بخش پذیر است؟
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 بر 17 بخش پذیر است، یعنی عدد 4913 بر 17 بخش پذیر است.

یک تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 19.
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 19 بخش پذیر است، باید دو برابر آخرین رقم را به عدد باقی مانده پس از حذف آخرین رقم اضافه کنید.

مثال 13
آیا عدد 9044 بر 19 بخش پذیر است؟
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 بر 19 بخش پذیر است، یعنی عدد 9044 بر 19 بخش پذیر است.

یک تست بهبود یافته برای بخش پذیری بر 23.
برای بررسی اینکه آیا یک عدد بر 23 بخش پذیر است، باید آخرین رقم را که 7 برابر افزایش یافته است، به عدد باقی مانده پس از حذف آخرین رقم اضافه کنید.

مثال 14
آیا عدد 208012 بر 23 بخش پذیر است؟
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
در واقع، شما می توانید متوجه شوید که 253 23 است،

قوانین تقسیم اعداد 1 تا 10 و همچنین 11 و 25 برای ساده کردن فرآیند تقسیم اعداد طبیعی ایجاد شده است. مواردی که به 2، 4، 6، 8 یا 0 ختم می شوند زوج در نظر گرفته می شوند.

نشانه های تقسیم پذیری چیست؟

در اصل، این الگوریتمی است که به شما امکان می دهد به سرعت تعیین کنید که آیا یک عدد بر یکی که از قبل مشخص شده است بخش پذیر است یا خیر. در مواردی که آزمون تقسیم پذیری امکان یافتن باقیمانده تقسیم را فراهم می آورد، به آن آزمون equiremainder می گویند.

بخش پذیری بر 2 را تست کنید

عددی را می توان بر دو تقسیم کرد که رقم آخر آن زوج یا صفر باشد. در سایر موارد تقسیم امکان پذیر نخواهد بود.

مثلا:

52734 بر 2 بخش پذیر است زیرا آخرین رقم آن 4 است که زوج است. 7693 بر 2 بخش پذیر نیست زیرا 3 فرد است. 1240 قابل تقسیم است زیرا رقم آخر صفر است.

تست های بخش پذیری بر 3

عدد 3 مضرب تنها اعدادی است که مجموع آنها بر 3 بخش پذیر است

مثال:

17814 را می توان بر 3 تقسیم کرد زیرا مجموع ارقام آن 21 است و بر 3 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 4 را تست کنید

یک عدد را می توان بر 4 تقسیم کرد اگر دو رقم آخر آن صفر باشد یا بتواند مضرب 4 را تشکیل دهد. در همه موارد دیگر، تقسیم نمی تواند حاصل شود.

مثال ها:

31800 را می توان بر 4 تقسیم کرد زیرا در انتها دو صفر دارد. 4846854 بر 4 بخش پذیر نیست زیرا دو رقم آخر عدد 54 را تشکیل می دهند که بر 4 بخش پذیر نیست. 16604 بر 4 بخش پذیر است زیرا دو رقم آخر 04 عدد 4 را تشکیل می دهند که بر 4 بخش پذیر است.

تست بخش پذیری بر رقم 5

5 مضرب عددی است که آخرین رقم آن صفر یا پنج است. همه دیگران به اشتراک نمی گذارند.

مثال:

245 مضرب 5 است زیرا آخرین رقم 5 است. 774 مضربی از 5 نیست زیرا رقم آخر چهار است.

تست بخش پذیری بر رقم 6

یک عدد را می توان بر 6 تقسیم کرد اگر بتوان آن را همزمان بر 2 و 3 تقسیم کرد. در همه موارد دیگر، قابل تقسیم نیست.

مثلا:

216 را می توان بر 6 تقسیم کرد زیرا مضرب دو و سه است.

بخش پذیری بر 7 را تست کنید

یک عدد مضربی از 7 است اگر هنگام کم کردن آخرین رقم دو برابر شده از این عدد، اما بدون آن (بدون رقم آخر)، مقداری حاصل شود که می توان آن را بر 7 تقسیم کرد.

برای مثال، 637 مضرب 7 است زیرا 63-(2·7)=63-14=49. 49 را می توان بر تقسیم کرد.

تست بخش پذیری برای 8

این شبیه به علامت بخش پذیری بر عدد 4 است. اگر سه رقم آخر (و نه دو، مانند چهار) صفر باشند یا بتوانند عددی مضرب 8 را تشکیل دهند، عدد را می توان بر 8 تقسیم کرد. در همه موارد دیگر قابل تقسیم نیست.

مثال ها:

456000 را می توان بر 8 تقسیم کرد زیرا در انتها سه صفر دارد. 160003 را نمی توان بر 8 تقسیم کرد زیرا سه رقم آخر عدد 4 را تشکیل می دهند که مضرب 8 نیست. 111640 مضرب 8 است زیرا سه رقم آخر عدد 640 را تشکیل می دهند که می توان آن را بر 8 تقسیم کرد.

جهت اطلاع: می توانید همین علائم را برای تقسیم بر اعداد 16، 32، 64 و ... نام ببرید. اما در عمل اهمیتی ندارند.

تست بخش پذیری بر 9

بخش پذیر بر 9 اعدادی هستند که مجموع ارقام آنها بر 9 تقسیم شود.

مثلا:

عدد 111499 بر 9 بخش پذیر نیست، زیرا مجموع ارقام (25) بر 9 تقسیم نمی شود. عدد 51633 را می توان بر 9 تقسیم کرد زیرا مجموع ارقام آن (18) مضرب 9 است.

نشانه های بخش پذیری بر 10، 100 و 1000

می توانید اعدادی را که آخرین رقم آنها صفر است بر 10، اعدادی که دو رقم آخر آنها صفر است بر 100، آنها که سه رقم آخر آنها صفر است بر 1000 تقسیم کنید.

مثال ها:

4500 را می توان بر 10 و 100 تقسیم کرد. 778000 مضرب 10، 100 و 1000 است.

اکنون می دانید که چه نشانه هایی از تقسیم پذیری اعداد وجود دارد. محاسبات موفق برای شماست و نکته اصلی را فراموش نکنید: همه این قوانین برای ساده کردن محاسبات ریاضی ارائه شده است.

از جانب برنامه آموزشی مدرسهبسیاری به یاد دارند که نشانه هایی از تقسیم پذیری وجود دارد. این عبارت به قوانینی اشاره دارد که به شما امکان می دهد بدون انجام یک عملیات محاسباتی مستقیم، به سرعت تعیین کنید که آیا یک عدد مضربی از یک عدد معین است یا خیر. این روش بر اساس اقدامات انجام شده با بخشی از اعداد از ورودی در موقعیت است

بسیاری از مردم ساده ترین نشانه های تقسیم پذیری را از برنامه درسی مدرسه به یاد می آورند. به عنوان مثال، این واقعیت است که تمام اعدادی که رقم آخر آنها زوج است بر 2 بخش پذیر هستند. این علامت در عمل راحت ترین به خاطر سپردن و اعمال آن است. اگر در مورد روش تقسیم بر 3 صحبت کنیم، قانون زیر برای اعداد چند رقمی اعمال می شود که با این مثال می توان آن را نشان داد. باید دریابید که آیا 273 مضرب سه است یا خیر. برای این کار عملیات زیر را انجام دهید: 2+7+3=12. مجموع حاصل بر 3 تقسیم می شود، بنابراین 273 بر 3 تقسیم می شود به گونه ای که نتیجه یک عدد صحیح خواهد بود.

علائم بخش پذیری بر 5 و 10 به صورت زیر خواهد بود. در حالت اول ورودی با اعداد 5 یا 0 و در حالت دوم فقط با 0 به پایان می رسد. لازم است دو رقم آخر را جدا کنید. اگر این دو صفر یا عددی باشند که بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیر است، آنگاه هر چیزی که تقسیم می شود مضربی از مقسوم علیه خواهد بود. لازم به ذکر است که مشخصات ذکر شده فقط در سیستم اعشاری استفاده می شود. آنها در روش های اعداد دیگر استفاده نمی شوند. در چنین مواردی، قوانین خاص خود را استخراج می کنند که بر اساس سیستم بستگی دارد.

علائم تقسیم بر 6 به شرح زیر است. 6 اگر مضرب 2 و 3 باشد. برای اینکه مشخص شود یک عدد بر 7 بخش پذیر است یا خیر، باید آخرین رقم را در نماد آن دو برابر کنید. نتیجه حاصل از عدد اصلی کم می شود که رقم آخر را در نظر نمی گیرد. این قانوندر مثال زیر قابل مشاهده است. باید مشخص شود که آیا 364 مضرب است یا خیر، برای این کار، 4 در 2 ضرب می شود و به 8 می رسد. اقدام بعدی: 36-8=28. نتیجه به دست آمده مضرب 7 است و بنابراین عدد اصلی 364 را می توان بر 7 تقسیم کرد.

علائم بخش پذیری بر 8 به شرح زیر است. اگر سه رقم آخر یک عدد، عددی را تشکیل دهند که مضرب هشت است، خود آن عدد بر مقسوم‌کننده داده شده بخش‌پذیر خواهد بود.

تقسیم پذیری یک عدد چند رقمی بر 12 را می توانید به صورت زیر دریابید. با استفاده از معیارهای تقسیم پذیری ذکر شده در بالا، باید بفهمید که آیا عدد مضربی از 3 و 4 است یا خیر. اگر آنها می توانند به طور همزمان به عنوان مقسوم علیه عدد عمل کنند، با یک سود تقسیمی می توانید عملیات تقسیم بر 12 را نیز انجام دهید. یک قانون مشابه برای سایر اعداد مختلط، به عنوان مثال، پانزده اعمال می شود. در این حالت مقسوم‌گیرنده‌ها باید 5 و 3 باشند. برای اینکه بفهمید یک عدد بر 14 بخش پذیر است یا خیر، باید ببینید که آیا مضرب 7 و 2 است یا خیر. بنابراین، می‌توانید این را در مثال زیر در نظر بگیرید. باید تعیین کرد که آیا 658 را می توان بر 14 تقسیم کرد یا خیر. آخرین رقم در ورودی زوج است، بنابراین، عدد مضرب دو است. بعد، 8 را در 2 ضرب می کنیم، 16 می گیریم. از 65 باید 16 را کم کنیم. نتیجه 49، مانند عدد کامل، بر 7 تقسیم می شود. بنابراین عدد 658 را می توان بر 14 تقسیم کرد.

اگر دو رقم آخر در شماره داده شدهبر 25 بخش پذیر هستند، پس همه آن مضرب این مقسوم علیه خواهد بود. برای اعداد چند رقمی، علامت بخش پذیری بر 11 به صورت زیر خواهد بود. باید دریابیم که آیا مقسوم علیه مضربی از اختلاف بین مجموع ارقامی است که در مکان های زوج و فرد در نماد آن قرار دارند.

لازم به ذکر است که علائم بخش پذیری اعداد و دانش آنها اغلب بسیاری از مسائل را که نه تنها در ریاضیات، بلکه در ریاضیات نیز یافت می شود، بسیار ساده می کند. زندگی روزمره. با توانایی تعیین اینکه آیا یک عدد مضرب دیگری است یا خیر، می توانید کارهای مختلف را به سرعت انجام دهید. علاوه بر این، استفاده از این روش ها در کلاس های ریاضی به رشد دانش آموزان یا دانش آموزان کمک می کند و به رشد توانایی های خاصی کمک می کند.

اتکاروا آلینا

پروژه آموزشی پژوهشی پایه ششم

دانلود:

پیش نمایش:

همایش علمی دانش آموزان منطقه

بخش "ریاضیات"

"علائم بخش پذیری اعداد طبیعی"

اتکاروا آلینا،

دانش آموز کلاس ششم

ایستگاه راه آهن مدرسه متوسطه GBOU بارگذاری

مشاور علمی:

استپانووا گالینا آلکسیونا

معلم ریاضی

ایستگاه راه آهن مدرسه متوسطه GBOU بارگذاری

اس. گربه ها

مقدمه……………………………………………………………………………………………………………………….

1. فصل 1. کمی تاریخ…………………………………………….4 -5

2. فصل 2. نشانه های تقسیم پذیری

2.1.علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 2، بر 3 (9) بر 5، بر 10، در مدرسه مطالعه شده…………………………………………………………………… ……………….5-6

2.2. علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25، 50، 100، 1000 که به طور مستقل به دست می آیند……………………………………………………………..6- 7

2.3. علائم تقسیم پذیری بر 7، 11، 12، 13، 14، 19، 37 در منابع مختلف شرح داده شده است. .......................................................... .......................... 8-11

3.فصل 3. کاربرد آزمون های بخش پذیری اعداد طبیعی در حل مسائل................................... ................................................. ...................... ............11-14

نتیجه. …………………………………………………………..15

فهرست مراجع…………………………………………………………………………………………………

معرفی

ارتباط: هنگام مطالعه موضوع: "علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 2، 3، 5، 9، 10" به سوال تقسیم پذیری اعداد علاقه مند شدم. معلوم است که همیشه یکسان نیست عدد طبیعیبر یک عدد طبیعی دیگر بدون باقی مانده بخش پذیر است. هنگام تقسیم اعداد طبیعی، مابقی به دست می آوریم، اشتباه می کنیم و در نتیجه زمان را از دست می دهیم. تست‌های بخش‌پذیری، بدون انجام تقسیم، کمک می‌کنند تا مشخص شود آیا یک عدد طبیعی بر دیگری بخش پذیر است یا خیر. تصمیم گرفتم بنویسم کار تحقیقاتیدر این مورد.

فرضیه: اگر بتوان تقسیم پذیری اعداد طبیعی بر 2، 3، 5، 9، 10 را تعیین کرد، باید نشانه هایی وجود داشته باشد که با آن بتوان اعداد طبیعی را بر اعداد دیگر تقسیم کرد.

موضوع مطالعه:بخش پذیری اعداد طبیعی

موضوع مطالعه:معیارهای بخش پذیری اعداد طبیعی

هدف: معیارهای شناخته شده برای بخش پذیری اعداد طبیعی به عنوان یک کل را که من مطالعه کرده ام تکمیل کنید.

وظایف:

تاریخ نگاری موضوع را مطالعه کنید.
علائم تقسیم پذیری بر 2، 3. 5، 9، 10 را که من در مدرسه مطالعه کردم، تکرار کنید.
به طور مستقل علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25، 50، 100، 1000 را بررسی کنید.
ادبیات تکمیلی را مطالعه کنید که صحت فرضیه وجود سایر علائم بخش پذیری اعداد طبیعی و درستی علائم بخش پذیری را که من شناسایی کرده ام تأیید می کند.
علائمی را که از ادبیات اضافی برای بخش پذیری اعداد طبیعی بر 7، 11، 12، 13، 14، 19، 37 یافت شده است، بنویسید.
نتیجه گیری کنید.
ارائه یک اسلاید با موضوع: "علائم تقسیم پذیری".
بروشور "تست بخش پذیری اعداد طبیعی" را تهیه کنید.

تازگی:

در طول پروژه، دانش خود را در مورد علائم بخش پذیری اعداد طبیعی گسترش دادم.

روش های پژوهش:جمع آوری مواد، پردازش داده ها، مشاهده، مقایسه، تجزیه و تحلیل، سنتز.

فصل 1. کمی تاریخ.

آزمون بخش پذیری قانونی است که به موجب آن، بدون انجام تقسیم، می توان تعیین کرد که آیا یک عدد طبیعی بر دیگری بخش پذیر است یا خیر. نشانه های تقسیم پذیری همیشه دانشمندان را مورد توجه قرار داده است کشورهای مختلفو بارها

علائم بخش پذیری بر 2، 3، 5، 9، 10 از زمان های قدیم شناخته شده است. علامت بخش پذیری بر 2 برای مصریان باستان 2 هزار سال قبل از میلاد شناخته شده بود و علائم تقسیم پذیری بر 2، 3، 5 توسط ریاضیدان ایتالیایی لئوناردو فیبوناچی (1170-1228) به تفصیل شرح داده شد.

هنگام مطالعه موضوع: "اعداد اول و مرکب" به سوال تهیه جدولی از اعداد اول علاقه مند شدم، زیرا اعداد اول نقش مهمی در مطالعه همه اعداد دیگر دارند. معلوم می شود که اراتوستن دانشمند اسکندریایی که در قرن سوم قبل از میلاد می زیسته است، زمانی در مورد همین سوال فکر کرده است. روش او در تهیه فهرستی از اعداد اول «الک اراتوستن» نام داشت. فرض کنید باید تمام اعداد اول تا 100 را پیدا کنیم. بیایید همه اعداد تا 100 را پشت سر هم بنویسیم.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

با ترک عدد 2، تمام اعداد زوج دیگر را خط بزنید. اولین عدد باقیمانده بعد از 2، 3 خواهد بود. حالا با رها کردن عدد 3، اعداد بخش پذیر بر 3 را خط می زنیم. سپس اعداد قابل بخش بر 5 را خط می زنیم. در نتیجه، تمام اعداد مرکب خط زده می شوند و فقط اعداد اول هستند. باقی خواهد ماند: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19، 23، 29، 31، 37، 41، 43، 47، 53، 59، 61، 67، 71، 73، 79، 83، 89 ، 97. با استفاده از این روش می توانید لیستی از اعداد اول بزرگتر از 100 تهیه کنید.

مسائل بخش پذیری اعداد مورد توجه فیثاغورثی ها بود. در تئوری اعداد، آنها کارهای زیادی روی گونه شناسی اعداد طبیعی انجام دادند. فیثاغورثی ها آنها را به طبقات تقسیم کردند. طبقات متمایز می شوند: اعداد کامل (عددی برابر با مجموع مقسوم علیه های خودش، مثلاً: 6=1+2+3)، اعداد دوستانه (که هر کدام برابر با مجموع مقسوم علیه های دیگری است، مثلاً 220 و 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110؛ 220=1+2+4+71+142)، اعداد شکلی (عدد مثلثی، عدد مربعی)، اول اعداد و غیره

بلز پاسکال فیثاغورث لئوناردو پیزا اراتوستنس

(فیبوناچی)

بلز پاسکال (1623-1662) کمک زیادی به مطالعه علائم تقسیم پذیری اعداد کرد. بلیز جوان خیلی زود توانایی‌های ریاضی فوق‌العاده‌ای را نشان داد و قبل از اینکه بتواند بخواند، شمارش را یاد گرفت. به طور کلی، نمونه او یک مورد کلاسیک از نبوغ ریاضی دوران کودکی است. او اولین رساله ریاضی خود را با عنوان "تجربه ای در نظریه برش های مخروطی" در سن 24 سالگی نوشت. تقریباً در همان زمان، او یک ماشین افزودن مکانیکی را طراحی کرد که نمونه اولیه ماشین اضافه بود. در دوره اولیه کار خود (1640-1650)، این دانشمند همه کاره الگوریتمی برای یافتن نشانه های تقسیم پذیری هر عدد صحیح بر هر عدد صحیح دیگری پیدا کرد که همه علائم خاص از آن پیروی می کنند. علامت آن به این صورت است: عدد طبیعیآ به عدد طبیعی دیگری تقسیم می شودب فقط در صورتی که مجموع حاصل از ارقام عدد باشدآ به باقیمانده های مربوطه که از تقسیم واحدهای رقمی بر عدد بدست می آیندب بر این عدد تقسیم می شود.

بنابراین، نشانه های تقسیم پذیری از زمان های قدیم شناخته شده بوده و مورد توجه ریاضیدانان بوده است.

فصل 2. علائم تقسیم پذیری

2.1. علائم بخش پذیری اعداد طبیعی، مورد مطالعه در مدرسه.

هنگام مطالعه این مبحث باید مفاهیم مقسوم علیه، مضرب، اول و اعداد مرکب را بدانید.

مقسوم علیه یک عدد طبیعیآ با یک شماره طبیعی تماس بگیریدب، که به آن a بدون باقی مانده تقسیم می شود.

اغلب عبارتی در مورد بخش پذیری یک عددآ با عدد b در کلمات معادل دیگر بیان می شود: a مضرب b، b مقسوم علیه a، b تقسیم کننده a است.

اعداد اول اعداد طبیعی هستند که دارای دو مقسوم علیه 1 و خود عدد هستند. به عنوان مثال، اعداد 5،7،19 اول هستند زیرا بر 1 و خودش بخش پذیرند.

اعدادی که بیش از دو مقسوم علیه دارند، اعداد مرکب نامیده می شوند. به عنوان مثال، عدد 14 دارای 4 مقسوم علیه است: 1، 2، 7، 14، یعنی ترکیبی است.

که…..

2.2. علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25، 50، 100، 1000، به طور مستقل به دست آمده است..

با انجام عملیات تقسیم و ضرب اعداد طبیعی، با مشاهده نتایج اعمال، الگوهایی را یافتم و علائم تقسیم پذیری زیر را دریافت کردم.

بخش پذیری بر 4 را تست کنید.

25·4=1 00; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00;

هنگام ضرب اعداد طبیعی در 4، متوجه شدم اعدادی که از دو رقم آخر یک عدد تشکیل می شوند، بدون باقی مانده بر 4 بخش پذیرند.

آزمون بخش پذیری بر 4 به این صورت است:طبیعی h

بخش پذیری بر 6 را تست کنید.

توجه داشته باشید که 6=2·3 بخش پذیری بر 6 را تست کنید: اگر یک عدد طبیعی بر 2 و 3 بخش پذیر باشد، بر 6 بخش پذیر است.

مثال ها:

216 بر 2 بخش پذیر است (به 6 ختم می شود) و بر 3 بخش پذیر است (8+1+6=15, 153) یعنی عدد بر 6 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 8 را تست کنید.

هنگام ضرب یک عدد طبیعی در 8، متوجه این الگو شدم: اعداد به سه 0 ختم می شوند یا سه رقم آخر عددی را تشکیل می دهند که بر 8 بخش پذیر است.

پس این نشانه است.طبیعی h

بخش پذیری بر 15 را تست کنید.

توجه داشته باشید که 15=3·5

مثال ها:

بخش پذیری بر 25 را تست کنید.

انجام ضرب طبیعی اعداد مختلفدر 25 سالگی، الگوی زیر را دیدم: کارها در 00، 25، 50، 75 به پایان می رسند.

پس طبیعی است یک عدد اگر به 00، 25، 50، 75 ختم شود بر 25 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 50 را تست کنید.

اعداد بخش پذیر بر 50: 50، 1

به معنای، یک عدد طبیعی بر 50 بخش پذیر است اگر و فقط اگر به دو صفر یا 50 ختم شود.

اگر در انتهای یک عدد طبیعی همان تعداد صفر وجود داشته باشد که در واحد رقمی وجود دارد، این عدد بر این واحد رقمی تقسیم می شود.

مثال ها:

25600 بر 100 بخش پذیر است زیرا اعداد به همان عدد صفر ختم می شوند. 8975000 بر 1000 بخش پذیر است زیرا هر دو عدد به 000 ختم می شوند.

بنابراین، با انجام عملیات با اعداد و مشاهده الگوها، علائم بخش پذیری را فرموله کردم و از ادبیات اضافی تأیید صحت علائمی را که برای بخش پذیری اعداد طبیعی بر 4، 6، 8، 15، 25، 50 فرموله کردم، یافتم. ، 100 ، 1000.

2.3. علائم بخش پذیری اعداد طبیعی بر 7، 11، 12، 13، 14، 19، 37 که در منابع مختلف توضیح داده شده است.

از ادبیات اضافی، چندین نشانه از بخش پذیری اعداد طبیعی بر 7 پیدا کردم.

پ علائم بخش پذیری بر 7:

مثال ها:

479345 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 479-345=134، 134 بر 7 بخش پذیر نیست.

مثال ها:

4592 بر 7 بخش پذیر است زیرا 45·2=90، 90+92=182، 182 بر 7 بخش پذیر است.

57384 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 573·2=1146، 1146+84=12301230 بر 7 بخش پذیر نیست

آبا

مثال ها:

باآ

مثال ها:

aab

مثال ها:

باآ

مثال ها:

10±7=1 (اولین 3)

100 × 7 = 14 (Ost 2)

1000 × 7 = 142 (اولین 6)

10000 × 7 = 1428 (شرایط 4)

100000 × 7 = 14285 (Ost 5)

6 + 3 · 2 + 1 · 3 +6=21، 21/7 (6- باقی می ماند از تقسیم 1000 بر 7؛ 2- باقی می ماند از تقسیم 100 بر 7؛ 3- باقی می ماند از تقسیم 10 بر 7).

عدد 354722 بر 7 بخش پذیر نیست زیرا ... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81، 81 بر 7 بخش پذیر نیست (5 باقیمانده تقسیم 100000 بر 7 است، 4 باقیمانده تقسیم 10000 بر 7 است. ؛ 6 باقیمانده از تقسیم 1000 بر 7؛ 2 باقیمانده از تقسیم 100 بر 7؛ 3 باقیمانده از تقسیم 10 بر 7).

تست بخش پذیری بر 11

مثال:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

مثال ها:

بخش پذیری بر 12 را تست کنید.

مثال ها:

تست بخش پذیری بر 13

مثال ها:

بخش پذیری بر 14 را تست کنید.

مثال ها:

عدد 35882 بر 2 و 7 بخش پذیر است، یعنی بر 14 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 19 را تست کنید.

مثال ها:

153 4

182 4 182+4·2=190، 190/19، یعنی عدد 1824/19 است.

تست بخش پذیری بر 37.

مثال:

بنابراین، در تمام علائم ذکر شده در بخش پذیری اعداد طبیعی را می توان به 4 گروه تقسیم کرد:

گروه 1 - وقتی بخش پذیری اعداد با آخرین رقم (ها) تعیین می شود - اینها نشانه های تقسیم پذیری بر 2، بر 5، با یک واحد رقمی، بر 4، بر 8، بر 25، بر 50 هستند.

گروه 2 - وقتی تقسیم پذیری اعداد با مجموع ارقام عدد تعیین می شود - اینها نشانه های بخش پذیری بر 3، بر 9، بر 7 (1 علامت)، بر 11، بر 37 هستند.

گروه 3 - وقتی تقسیم پذیری اعداد پس از انجام برخی اقدامات روی ارقام عدد مشخص می شود - اینها نشانه های تقسیم پذیری بر 7، بر 11، بر 13، بر 19 هستند.

گروه 4 - وقتی از سایر علائم بخش پذیری برای تعیین تقسیم پذیری یک عدد استفاده می شود - اینها نشانه های بخش پذیری بر 6، بر 12، بر 14، بر 15 هستند.

فصل 3. استفاده از آزمون های بخش پذیری برای اعداد طبیعی در حل مسائل.

معیارهای تقسیم پذیری هنگام یافتن GCD و LCM و همچنین هنگام حل مسائل کلمه با استفاده از GCD و LCM استفاده می شود.

وظیفه 1:

دانش آموزان کلاس پنجم 203 کتاب درسی خریدند. همه به همین تعداد کتاب خریدند. چند دانش آموز کلاس پنجمی بودند و هر کدام چند کتاب درسی خریدند؟

راه حل: هر دو کمیتی که باید تعیین شوند باید اعداد صحیح باشند، یعنی. در میان مقسوم علیه های عدد 203 باشید. با فاکتورگیری 203، به دست می آید: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

به دلایل عملی.

پاسخ :

وظیفه 2.

راه حل:

پاسخ:

وظیفه 3: در کلاس نهم، 1/7 دانش آموزان برای آزمون نمره A، 1/3 - B، 1/2 - C دریافت کردند. بقیه کارها رضایت بخش نبود. چند اثر از این دست وجود داشت؟

راه حل:

روابط ریاضی مسئله فرض می کند که تعداد دانش آموزان کلاس 84، 126 و غیره باشد. انسان. اما عقل سلیم نشان می دهد که قابل قبول ترین پاسخ عدد 42 است.

پاسخ: 1 شغل.

وظیفه 4.

راه حل : در کلاس اول از این کلاس ها می تواند وجود داشته باشد: 17، 34، 51... - اعداد مضرب 17. در کلاس دوم: 9، 18، 27، 36، 45، 54... - اعدادی که مضرب هستند. از 9. ما باید 1 عدد را از دنباله اول انتخاب کنیم و 2 عددی از دومی است به طوری که جمع آنها به 70 برسد. علاوه بر این، در این دنباله ها فقط تعداد کمی از عبارت ها می توانند تعداد احتمالی فرزندان را بیان کنند. کلاس این توجه به طور قابل توجهی انتخاب گزینه ها را محدود می کند. تنها گزینه ممکن جفت (34، 36) بود.

پاسخ:

وظیفه 5.

راه حل:

پاسخ:

وظیفه 6. دو اتوبوس از یک میدان در مسیرهای مختلف حرکت می کنند. یکی از اتوبوس ها 48 دقیقه به آنجا و برگشت و دیگری 1 ساعت و 12 دقیقه طول می کشد. چقدر طول می کشد تا اتوبوس ها دوباره در همان میدان به هم برسند؟

راه حل:

پاسخ:

وظیفه 7. با توجه به جدول:

پاسخ:

وظیفه 8.

پاسخ:

وظیفه 9.

پاسخ:

بنابراین، ما از استفاده از آزمون های بخش پذیری برای اعداد طبیعی هنگام حل مسائل متقاعد شده ایم.

نتیجه.

در روند کار، با تاریخچه توسعه علائم تقسیم پذیری آشنا شدم. او خود به درستی علائم بخش پذیری اعداد طبیعی را بر 4، 6، 8، 15، 25، 50، 100، 1000 فرموله کرد که تأییدی را از ادبیات اضافی یافت. با کار با منابع مختلف، متقاعد شدم که نشانه های دیگری از بخش پذیری اعداد طبیعی وجود دارد (بر 7، 11، 12، 13، 14، 19، 37)، کهصحت فرضیه را تایید کرددر مورد وجود علائم دیگر بخش پذیری اعداد طبیعی.

از ادبیات اضافی مشکلاتی پیدا کردم که در آنها از معیارهای تقسیم پذیری برای اعداد طبیعی استفاده می شود.

دانستن و استفاده از علائم فوق در مورد بخش پذیری اعداد طبیعی، بسیاری از محاسبات را بسیار ساده کرده و در زمان صرفه جویی می کند. خطاهای محاسباتی را که می توان در هنگام انجام عملیات تقسیم ایجاد کرد، حذف می کند. لازم به ذکر است که جمله بندی برخی از علائم نسبتاً پیچیده است. شاید به همین دلیل است که آنها در مدرسه مطالعه نمی شوند.

مطالبی را که جمع آوری کردم در قالب یک بروشور جمع آوری کردم که می توان از آن در کلاس های ریاضی یا در کلاس های دایره ریاضی استفاده کرد. معلمان ریاضی می توانند در هنگام تدریس این مبحث از آن استفاده کنند. همچنین توصیه می کنم همسالانی که می خواهند بیشتر از دانش آموزان متوسط در مورد ریاضیات بدانند، با کار من آشنا شوند.

در آینده می توانید سوالات زیر را در نظر بگیرید:

اشتقاق علائم تقسیم پذیری;

دریابید که آیا هنوز نشانه‌هایی از تقسیم‌پذیری وجود دارد که هنوز دانش کافی برای مطالعه آن را ندارم؟

فهرست ادبیات مورد استفاده (منابع):

گالکین V.A. مسائل مربوط به موضوع "معیارهای تقسیم پذیری". // ریاضیات، 1999.-№5.-P.9.
Gusev V.A.، Orlov A.I.، Rosenthal A.L. کار فوق برنامه در ریاضیات در پایه های 6-8. - M.: آموزش و پرورش، 1984.
کاپلان ال.ام. GCD و LCM در مشکلات. // ریاضیات، 1378.- شماره 7. - ص 4-6.
پلمن یا.آی. ریاضیات جالبه! – M.: TERRA – Book Club, 2006.
فرهنگ لغت دانشنامه یک ریاضیدان جوان./ Comp. ساوین A.P. – م.: پداگوژی، 1368. – ص 352.
اینترنت

نشانه های تقسیم پذیری

ساعت 5.

اگر عدد به 0.5 ختم شود.

در 2.

اگر عدد به 0، 2، 4، 6، 8 ختم شود

در 10.

اگر عدد به 0 ختم شود

در 3 (9).

اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر باشد (9).

پیش نمایش:

پاسخ:

وظیفه 8.

یک عدد نه رقمی بنویسید که هیچ رقم تکراری نداشته باشد (همه ارقام متفاوت هستند) و بدون باقیمانده بر 11 بخش پذیر باشد.بزرگترین اعداد، کوچکترین آنها را بنویسید.

پاسخ: بزرگترین 987652413، کوچکترین 102347586 است.

وظیفه 9.

وانیا یک عدد سه رقمی ساده را تصور کرد که همه ارقام آن متفاوت است. اگر آخرین رقم آن برابر با مجموع دو عدد اول باشد، به چه رقمی ختم می شود؟ نمونه هایی از این اعداد را ذکر کنید.

پاسخ: فقط می تواند با عدد 7 خاتمه یابد. 4 عدد وجود دارد: 167، 257، 347، 527.

بخش پذیری بر 2 را تست کنید

اگر یک عدد طبیعی به 2، 4، 6، 8، 0 ختم شود، بدون باقیمانده بر 2 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 5 را تست کنید.

اگر عددی به 0 یا 5 ختم شود، بدون باقیمانده بر 5 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 3 را تست کنید

اگر مجموع ارقام یک عدد بر 3 بخش پذیر باشد، آن عدد بر 3 بخش پذیر است.

مثال ها

684: 3، زیرا 6 + 8 + 4 = 18، 18: 3، یعنی عدد: در 3.

763 نه: در 3، زیرا 7+6+3=16، 16 not: با 3، که به معنی 763 نه: با 3 است.

تست بخش پذیری بر 9

اگر مجموع ارقام یک عدد بر 9 بخش پذیر باشد، خود آن عدد بر 9 بخش پذیر است.

مثال ها

765: 9، زیرا 7+6+5=18، 18: 9، یعنی 765: 9

881 نه: on9، زیرا 8+8+1=17، 17 not: با 9، که به معنی 881 نه: با 9 است.

بخش پذیری بر 4 را تست کنید.

25·4=1 00; 56·4=2 24 ; 123·4=4 92 ; 125·4=5 00; 2345·4=93 80 ; 2500·4=100 00; ...

طبیعی h یک عدد بر 4 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که دو رقم آخر آن 0 باشد یا عددی را تشکیل دهد که بر 4 بخش پذیر باشد.

بخش پذیری بر 6 را تست کنید.

توجه داشته باشید که 6=2·3 بخش پذیری بر 6 را تست کنید:

اگر یک عدد طبیعی هم بر 2 و هم بر 3 بخش پذیر باشد، بر 6 بخش پذیر است.

مثال ها:

816 بر 2 بخش پذیر است (به 6 ختم می شود) و بر 3 بخش پذیر است (8+1+6=15، 153) یعنی عدد بر 6 بخش پذیر است.

625 بر 2 یا 3 بخش پذیر نیست، یعنی بر 6 بخش پذیر نیست.

2120 بر 2 بخش پذیر است (به 0 ختم می شود) اما بر 3 بخش پذیر نیست (2+1+2+0=5، 5 بر 3 بخش پذیر نیست) یعنی عدد بر 6 بخش پذیر نیست.

279 بر 3 بخش پذیر است (2+7+9=18، 18:3)، اما بر 2 بخش پذیر نیست (به یک رقم فرد ختم می شود)، یعنی عدد بر 6 بخش پذیر نیست.

بخش پذیری بر 7 را تست کنید.

من یک عدد طبیعی بر 7 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که تفاوت بین عدد هزاران و عدد بیان شده با سه رقم آخر بر 7 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

478009 بر 7 بخش پذیر است زیرا 478-9=469، 469 بر 7 بخش پذیر است.

475341 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 475-341=134، 134 بر 7 بخش پذیر نیست.

II. یک عدد طبیعی بر 7 بخش پذیر است که مجموع دو برابر عدد در ده ها و عدد باقی مانده بر 7 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

4592 بر 7 بخش پذیر است زیرا 45·2=90، 90+92=182، 182/7.

دقیقه و بقیه 1 ساعت و 12 دقیقه. چقدر طول می کشد تا اتوبوس ها دوباره در همان میدان به هم برسند؟

راه حل: NOC(48، 72) = 144 (دقیقه). 144 دقیقه = 2 ساعت و 24 دقیقه

پاسخ: پس از 2 ساعت و 24 دقیقه اتوبوس ها دوباره در همان میدان به هم می رسند.

وظیفه 7. با توجه به جدول:

اعداد زیر را در خانه های خالی بنویسید: 17، 22، 36، 42، 88، 48، 57، 77، 81.

پاسخ: در کلاس اول 34 دانش آموز و در پایه دوم 36 دانش آموز تحصیل می کنند.

وظیفه 5.

از 320 آجیل، 240 آب نبات، 200 سیب، کمترین تعداد هدایای یکسانی که می توان تهیه کرد چقدر است؟ در هر هدیه چند عدد آجیل، شیرینی و سیب وجود خواهد داشت؟

راه حل: GCD(320، 240، 200) = 40 (هدیه)، سپس هر هدیه شامل: 320:40 = 8 (آجیل) خواهد بود. 240: 40 = 6 (آب نبات)؛ 200:40 = 5 (سیب).

پاسخ: هر هدیه شامل 8 آجیل، 6 آب نبات، 5 سیب است.

وظیفه 6.

دو اتوبوس از یک میدان در مسیرهای مختلف حرکت می کنند. مدت زمان رفت و برگشت یکی از اتوبوس ها 48 است

57384 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 573·2=1146، 1146+84=1230، 1230 بر 7 بخش پذیر نیست.

III. عدد طبیعی سه رقمی فرمآبا اگر a+b بر 7 بخش پذیر باشد بر 7 بخش پذیر خواهد بود.

مثال ها:

252 بر 7 بخش پذیر است زیرا 2+5=7، 7/7.

636 بر 7 بخش پذیر نیست زیرا 6+3=9، 9 بر 7 بخش پذیر نیست.

IV. عدد طبیعی سه رقمی فرمباآ اگر مجموع ارقام عدد بر 7 بخش پذیر باشد بر 7 بخش پذیر خواهد بود.

مثال ها:

455 بر 7 بخش پذیر است زیرا 4+5+5=14، 14/7.

244 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 2+4+4=12، 12 بر 7 بخش پذیر نیست.

V- عدد طبیعی سه رقمی فرم aab اگر 2a-b بر 7 بخش پذیر باشد بر 7 بخش پذیر خواهد بود.

مثال ها:

882 بر 7 بخش پذیر است زیرا 8+8-2=14، 14/7.

996 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 9+9-6=12، 12 بر 7 بخش پذیر نیست.

VI. عدد طبیعی چهار رقمی فرمباآ در جایی که b یک عدد دو رقمی است، اگر b+2a بر 7 بخش پذیر باشد بر 7 بخش پذیر خواهد بود.

مثال ها:

2744 بر 7 بخش پذیر است زیرا 27+4+4=35، 35/7.

1955 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 19+5+5=29، 29 بر 7 بخش پذیر نیست.

VII. یک عدد طبیعی بر 7 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که حاصل کم کردن دو برابر آخرین رقم از آن عدد بدون آخرین رقم بر 7 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

483 بر 7 بخش پذیر است زیرا 48-3·2=42، 42/7.

564 بر 7 بخش پذیر نیست، زیرا 56-4 2=48، 48 بر 7 بخش پذیر نیست.

هشتم. یک عدد طبیعی بر 7 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که مجموع حاصلضرب ارقام عدد بر باقیمانده های مربوطه حاصل از تقسیم واحدهای رقمی بر عدد 7 بر 7 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

10±7=1 (اولین 3)

100 × 7 = 14 (Ost 2)

1000 × 7 = 142 (اولین 6)

10000 × 7 = 1428 (شرایط 4)

100000 × 7 = 14285 (Ost 5)

1000000׃7=142857 (1 بقیه) و باقی مانده ها دوباره تکرار می شوند.

عدد 1316 بر 7 بخش پذیر است زیرا ... 1 · 6 + 3 · 2 + 1 · 3 +6=21، 21/7 (6 باقیمانده تقسیم 1000 بر 7 است؛ 2 باقیمانده تقسیم 100 بر 7؛ 3 باقیمانده تقسیم 10 بر 7 است).

عدد 354722 بر 7 بخش پذیر نیست زیرا ... 3·5+5·4+4·6+7·2+2·3+2=81، 81 بر 7 بخش پذیر نیست (5 باقیمانده تقسیم 100000 بر 7 است، 4 باقیمانده تقسیم 10000 بر 7 است. ؛ 6 باقیمانده 1000 تقسیم بر 7؛ 2 باقیمانده 100 تقسیم بر 7؛ 3 باقیمانده 10 تقسیم بر 7 است.

تعداد هدایا باید مقسوم هر یک از اعدادی باشد که تعداد پرتقال، شیرینی و آجیل و بزرگترین آنها را بیان می کند. بنابراین، باید gcd این اعداد را پیدا کنیم. GCD (60، 175، 225) = 15. هر هدیه شامل: 60: 15 = 4 - پرتقال،175: 15 = 11 - آجیل و 225: 15 = 15 - آب نبات.

پاسخ: یک هدیه شامل 4 پرتقال، 11 آجیل، 15 آب نبات است.

وظیفه 3: در کلاس نهم، 1/7 دانش آموزان برای آزمون نمره A، 1/3 - B، ½ - C دریافت کردند. بقیه کارها رضایت بخش نبود. چند اثر از این دست وجود داشت؟

راه حل: راه حل مسئله باید عددی باشد که مضربی از اعداد: 7، 3، 2 باشد. ابتدا کوچکترین این اعداد را پیدا می کنیم. LCM (7، 3، 2) = 42. شما می توانید یک عبارت با توجه به شرایط مسئله ایجاد کنید: 42 – (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 – 1 ناموفق.

مسائل رابطه ریاضی فرض می کند که تعداد دانش آموزان کلاس 84، 126 و غیره باشد. انسان. اما عقل سلیم نشان می دهد که قابل قبول ترین پاسخ عدد 42 است.

پاسخ: 1 شغل.

وظیفه 4.

70 دانش آموز در دو کلاس با هم هستند. در یک کلاس 17/7 دانش آموز در کلاس حاضر نشدند و در کلاس دیگر 9/2 در درس ریاضی نمرات عالی گرفتند. در هر کلاس چند دانش آموز وجود دارد؟

مثال ها:

25600 بر 100 بخش پذیر است زیرا اعداد به همان عدد صفر ختم می شوند.

8975000 بر 1000 بخش پذیر است زیرا هر دو عدد به 000 ختم می شوند.

وظیفه 1: (استفاده تقسیم کننده های مشترکو GCD)

دانش آموزان کلاس 5 "الف" 203 کتاب درسی خریدند. همه به همین تعداد کتاب خریدند. چند دانش آموز کلاس پنجمی بودند و هر کدام چند کتاب درسی خریدند؟

راه حل: هر دو کمیتی که باید تعیین شوند باید اعداد صحیح باشند، یعنی. در میان مقسوم‌کننده‌های عدد 203 باشید. با فاکتورگیری 203، به دست می‌آییم:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

به دلایل عملیبنابراین نمی توان 29 کتاب درسی داشته باشد و همچنین تعداد کتاب های درسی نمی تواند برابر باشد1، زیرا در این صورت 203 دانش آموز خواهند بود یعنی 29 دانش آموز کلاس پنجمی هستند که هر کدام 7 کتاب درسی خریده اند..

پاسخ : 29 کلاس پنجمی; 7 کتاب درسی

وظیفه 2. 60 پرتقال، 165 آجیل و 225 آب نبات وجود دارد. کدام بزرگترین عددآیا می توان از این استوک هدایای مشابه برای کودکان تهیه کرد؟ در هر مجموعه چه چیزی گنجانده شده است؟

راه حل:

بخش پذیری بر 8 را تست کنید.

125·8=1000; 242·8=1,936; 512·8=4096; 600·8=4 800; 1234·8=9872; 122875·8=983000 ;…

طبیعی h یک عدد بر 8 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که سه رقم آخر آن بر 0 بخش پذیر باشد یا عددی را تشکیل دهد که بر 8 بخش پذیر باشد.

تست بخش پذیری بر 11

1- عددی بر 11 بخش پذیر است که اختلاف بین مجموع ارقام مکان های فرد و مجموع ارقام مکان های زوج مضرب 11 باشد.

تفاوت می تواند یک عدد منفی یا 0 باشد، اما باید مضرب 11 باشد. شماره گذاری از چپ به راست انجام می شود.

مثال:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16، 1+5+0=6، 16-6=10، 10 مضرب 11 نیست، یعنی این عدد بر 11 بخش پذیر نیست.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19، 3+2+3=8، 19-8=11، 11 مضرب 11 است، یعنی این عدد بر 11 بخش پذیر است.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16، 1+5+0=6، 16-6=10، 10 مضرب 11 نیست، یعنی این عدد بر 11 بخش پذیر نیست.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19، 3+2+3=8، 19-8=11، 11 مضرب 11 است، یعنی این عدد بر 11 بخش پذیر است.

II. یک عدد طبیعی از راست به چپ به گروه های 2 رقمی تقسیم می شود و این گروه ها اضافه می شوند. اگر مجموع حاصل مضرب 11 باشد، عدد مورد آزمایش مضربی از 11 است.

مثال: تعیین کنید که آیا عدد 12561714 بر 11 بخش پذیر است یا خیر.

بیایید عدد را به گروه های دو رقمی تقسیم کنیم: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99، 99 بر 11 بخش پذیر است، یعنی این عدد بر 11 بخش پذیر است.

III. یک عدد طبیعی سه رقمی بر 11 بخش پذیر است اگر مجموع ارقام جانبی عدد برابر با رقم وسط باشد. پاسخ از همان اعداد جانبی تشکیل خواهد شد.

مثال ها:

594 بر 11 بخش پذیر است زیرا 5+4=9، 9 در وسط است.

473 بر 11 بخش پذیر است زیرا 4+3=7، 7- در وسط.

861 بر 11 بخش پذیر نیست زیرا 8+1=9 و در وسط 6 است.

بخش پذیری بر 12 را تست کنید.

یک عدد طبیعی بر 12 بخش پذیر است اگر و فقط اگر همزمان بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

636 بر 3 و 4 بخش پذیر است، یعنی بر 12 بخش پذیر است.

587 بر 3 یا 4 بخش پذیر نیست، یعنی بر 12 بخش پذیر نیست.

27126 بر 3 بخش پذیر است اما بر 4 بخش پذیر نیست، یعنی بر 12 بخش پذیر نیست.

تست بخش پذیری بر 37.

1- یک عدد طبیعی بر 37 بخش پذیر است اگر مجموع اعدادی که از سه گانه ارقام این عدد در نماد دهیبر این اساس بر 37 بخش پذیر است.

مثال: تعیین کنید که آیا عدد 100048 بر 37 بخش پذیر است یا خیر.

100/048 100+48=148، 148 بر 37 بخش پذیر است، یعنی عدد بر 37 بخش پذیر است.

II. عدد طبیعی سه رقمی نوشته شده است همان اعدادقابل تقسیم بر 37

مثال:

اعداد 111، 222، 333، 444، 555، ... بر 37 بخش پذیرند.

بخش پذیری بر 25 را تست کنید

یک عدد طبیعی اگر به 00، 25، 50، 75 ختم شود بر 25 بخش پذیر است.

بخش پذیری بر 50 را تست کنید.

اعداد بخش پذیر بر 50: 50، 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ،... یا به 50 یا 00 ختم می شوند.

یک عدد طبیعی بر 50 بخش پذیر است اگر و فقط اگر به دو صفر یا 50 ختم شود.

علامت ترکیبی بخش پذیری بر 10، 100، 1000، ...

اگر در انتهای یک عدد طبیعی همان عدد صفر باشد که در واحد رقمی وجود دارد، این عدد بر این واحد رقمی تقسیم می شود -

واحد جدید

تست بخش پذیری بر 13

1- یک عدد طبیعی بر 13 بخش پذیر است که تفاوت بین عدد هزاران و عددی که از سه رقم آخر تشکیل می شود بر 13 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

عدد 465400 بر 13 بخش پذیر است زیرا ... 465 - 400 = 65، 65 تقسیم بر 13.

عدد 256184 بر 13 بخش پذیر نیست زیرا ... 256 - 184 = 72، 72 بر 13 بخش پذیر نیست.

II. یک عدد طبیعی بر 13 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که حاصل تفریق رقم آخر ضرب در 9 از آن عدد بدون آخرین رقم بر 13 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

988 بر 13 بخش پذیر است زیرا 98 - 9 8 = 26، 26 بر 13 تقسیم می شود.

853 بر 13 بخش پذیر نیست زیرا 85 - 3 9 = 58، 58 بر 13 بخش پذیر نیست.

بخش پذیری بر 14 را تست کنید.

یک عدد طبیعی بر 14 بخش پذیر است اگر و فقط اگر همزمان بر 2 و 7 بخش پذیر باشد.

مثال ها:

عدد 45826 بر 2 بخش پذیر است اما بر 7 بخش پذیر نیست، یعنی بر 14 بخش پذیر نیست.

عدد 1771 بر 7 بخش پذیر است اما بر 2 بخش پذیر نیست، یعنی بر 14 بخش پذیر نیست.

بخش پذیری بر 15 را تست کنید.

توجه داشته باشید که 15=3·5.اگر یک عدد طبیعی بر 5 و 3 بخش پذیر باشد، بر 15 بخش پذیر است.

مثال ها:

346725 بر 5 بخش پذیر است (به 5 ختم می شود) و بر 3 بخش پذیر است (3+4+6+7+2+5=24، 24:3)، یعنی عدد بر 15 بخش پذیر است.

48732 بر 3 بخش پذیر است (4+8+7+3+2=24، 24:3)، اما بر 5 بخش پذیر نیست، یعنی عدد بر 15 بخش پذیر نیست.

87565 بر 5 بخش پذیر است (به 5 ختم می شود)، اما بر 3 بخش پذیر نیست (8+7+5+6+5=31، 31 بر 3 بخش پذیر نیست)، یعنی عدد بر 15 بخش پذیر نیست.

بخش پذیری بر 19 را تست کنید.

یک عدد طبیعی بدون باقیمانده بر 19 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که تعداد ده ها آن به دو برابر تعداد واحدها اضافه شود بر 19 بخش پذیر باشد.

باید در نظر داشت که تعداد ده ها در یک عدد نه با رقمی که در محل ده ها قرار دارد، بلکه باید شمارش شود. تعداد کلدر مجموع به اندازه ده ها

مثال ها:

153 4 ده ها-153، 4·2=8، 153+8=161، 161 بر 19 بخش پذیر نیست، یعنی 1534 بر 19 بخش پذیر نیست.

182 4 182+4·2=190، 190:19، یعنی عدد 1824: 19.

راه آهن مدرسه متوسطه GBOU هنر بارگذاری

نشانه های تقسیم

طبیعی

شماره

گردآوری شده توسط آلینا اتکاروا.

سال 2013

بخش پذیری بر 2 را تست کنید
عددی بر 2 بخش پذیر است اگر و فقط اگر آخرین رقم آن بر 2 بخش پذیر باشد، یعنی زوج باشد.

بخش پذیری بر 3 را تست کنید
یک عدد بر 3 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که مجموع ارقام آن بر 3 بخش پذیر باشد.

بخش پذیری بر 4 را تست کنید
یک عدد بر 4 بخش پذیر است اگر و فقط اگر دو رقم آخر عدد صفر یا بر 4 بخش پذیر باشد.

تست بخش پذیری بر 5
یک عدد بر 5 بخش پذیر است اگر و فقط اگر آخرین رقم بر 5 بخش پذیر باشد (یعنی برابر با 0 یا 5).

بخش پذیری بر 6 را تست کنید
عددی بر 6 بخش پذیر است اگر و فقط اگر بر 2 و 3 بخش پذیر باشد.

بخش پذیری بر 7 را تست کنید
یک عدد بر 7 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که نتیجه دو برابر کم کردن آخرین رقم از آن عدد بدون آخرین رقم بر 7 بخش پذیر باشد (مثلاً 259 بر 7 بخش پذیر است، زیرا 25 - (2 9) = 7 قابل بخش است. توسط 7).

تست بخش پذیری بر 8
یک عدد بر 8 بخش پذیر است اگر و فقط اگر سه رقم آخر آن صفر باشد یا عددی را تشکیل دهد که بر 8 بخش پذیر باشد.

تست بخش پذیری بر 9
یک عدد بر 9 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که مجموع ارقام آن بر 9 بخش پذیر باشد.

تست بخش پذیری بر 10
عددی بر 10 بخش پذیر است اگر و فقط اگر به صفر ختم شود.

تست بخش پذیری بر 11
یک عدد بر 11 بخش پذیر است اگر و فقط اگر مجموع ارقام دارای علائم متناوب بر 11 بخش پذیر باشد (یعنی 182919 بر 11 بخش پذیر است، زیرا 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22 بر 11 بخش پذیر است. 11) - نتیجه این واقعیت است که همه اعداد به شکل 10 n وقتی بر 11 تقسیم می شوند باقیمانده (1-) n باقی می مانند.

تست بخش پذیری بر 12
عددی بر 12 بخش پذیر است اگر و فقط اگر بر 3 و 4 بخش پذیر باشد.

تست بخش پذیری بر 13
یک عدد بر 13 بخش پذیر است اگر و فقط اگر تعداد ده های آن که به چهار برابر تعداد یک ها اضافه شود مضرب 13 باشد (مثلاً 845 بر 13 بخش پذیر است، زیرا 84 + (4 5) = 104 بر 13 بخش پذیر است. 13).

تست بخش پذیری بر 14
عددی بر 14 بخش پذیر است اگر و فقط اگر بر 2 و 7 بخش پذیر باشد.

تست بخش پذیری بر 15
عددی بر 15 بخش پذیر است اگر و فقط اگر بر 3 و 5 بخش پذیر باشد.

تست بخش پذیری بر 17
یک عدد بر 17 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که تعداد ده های آن که با 12 برابر تعداد واحدها جمع شده اند، مضرب 17 باشد (مثلاً 29053→2905+36=2941→294+12=306→30+ 72=102→10+ 24 = 34. چون 34 بر 17 بخش پذیر است، پس 29053 بر 17 بخش پذیر است. علامت همیشه راحت نیست، اما در ریاضیات معنای خاصی دارد. یک راه کمی ساده تر وجود دارد - یک عدد بر 17 بخش پذیر است اگر و فقط اگر تفاوت بین تعداد ده ها و پنج برابر تعداد واحدهای آن مضرب 17 باشد (مثلاً 32952→3295-10=3285→328 -25=303→30-15=15. چون 15 بر 17 بخش پذیر نیست، پس 32952 بر 17 بخش پذیر نیست.

تست بخش پذیری بر 19
یک عدد بر 19 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که تعداد ده های آن به دو برابر عدد یک ها مضرب 19 باشد (مثلاً 646 بر 19 بخش پذیر است، زیرا 64 + (6 2) = 76 بر 19 بخش پذیر است. ).

بخش پذیری بر 23 را تست کنید
یک عدد بر 23 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که عدد صدها آن به سه برابر عدد دهش اضافه شود مضرب 23 باشد (مثلاً 28842 بر 23 بخش پذیر است، زیرا 288 + (3 * 42) = 414 ادامه می یابد 4 + (3 * 14) = 46 به وضوح بر 23 بخش پذیر است).

بخش پذیری بر 25 را تست کنید
یک عدد بر 25 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که دو رقم آخر آن بر 25 بخش پذیر باشد (یعنی 00، 25، 50 یا 75 تشکیل شود) یا عدد مضرب 5 باشد.

تست بخش پذیری بر 99
بیایید عدد را از راست به چپ به گروه های 2 رقمی تقسیم کنیم (سمت چپ ترین گروه می تواند یک رقم داشته باشد) و با شمارش آنها مجموع این گروه ها را پیدا کنیم. اعداد دو رقمی. این مجموع بر 99 بخش پذیر است اگر و تنها در صورتی که خود عدد بر 99 بخش پذیر باشد.

تست بخش پذیری بر 101
بیایید عدد را به گروه های 2 رقمی از راست به چپ تقسیم کنیم (سمت چپ ترین گروه می تواند یک رقم داشته باشد) و مجموع این گروه ها را با علامت های متناوب با در نظر گرفتن اعداد دو رقمی پیدا کنیم. این مجموع بر 101 بخش پذیر است اگر و فقط اگر خود عدد بر 101 بخش پذیر باشد. به عنوان مثال، 590547 بر 101 بخش پذیر است، زیرا 59-05+47=101 بر 101 بخش پذیر است.

شاید خواندن آن مفید باشد: