Найкращі парадокси. Парадокс продуктивності, або Чому «більше» не завжди «краще»? Парадокс цікавих чисел

У 1962 році New Yorker опублікував есе Джеймса Болдуїна (James Baldwin), романіста, публіциста, драматурга та активного борця за права людини. Цей текст і сьогодні здатний розбурхати і перезавантажити свідомість. Світ одержимий прагненням до оптимізації — ми поглинаємо статті та книги у пошуках порад щодо ефективності. Думки Джеймса Болдуїна допомагають зупинитися і замислитися над справжнім значеннямпродуктивність.

Досягти більшої продуктивності, ставши менш продуктивним

Ми живемо в епоху інформаційного навантаження. ЗМІ постійно з'являються повідомлення, що попереджають про небезпеку надмірного споживання контенту. Іронія в тому, що вони також є контентом, що підвищує когнітивне навантаження.

Але для багатьох із нас статті, книги, подкасти та відео — необхідність, що забезпечує особистий і професійний ріст. Щоб залишатися на плаву за умов постійної конкуренції, потрібно вчитися якнайшвидше.

Ця одержимість прагненням зробити якнайбільше менший час породила цілий культ продуктивності. Достатньо поглянути на назви статей, які зустрічаються всюди:

«20 книг, які потрібно прочитати, щоб стати успішним»
«Х найефективніших ранкових звичок [ім'я багатого підприємця]»
«Чому [імена багатих підприємців] читають від 24 книг на рік»

Медіакомпанії не стали б випускати таку кількість такого контенту, якби не переконаність більшості людей, що успіх залежить від дотримання правил та порад великих підприємців.

«Культ продуктивності підживлюється нашою невпевненістю та концепцією — те, що спрацювало для однієї людини, допоможе нам».

Даніель Смол (Danielle Small), письменник-фрілансер, наводить чудовий приклад того, як працює цей принцип. Вона вирішила читати 3 книги на місяць — художню, наукову та професійну. Даніель була у захваті, відчувала свою приналежність до кола успішних підприємців. З'явилося те, чим можна похвалитися колегам та друзям.

Вона завжди насолоджувалась читанням, але цього разу щось пішло не так. Раніше Даніель зверталася до книг для інтелектуального розвиткута освоювала їх зі швидкістю, комфортною для розуміння прочитаного. Але лайфхак за продуктивністю перетворив захоплююче заняття на . Вона мала дочитати книгу до середовища, щоб встигнути освоїти запланований на місяць список. І все це тільки для посту в блозі про те, як прочитати Х книг за рік.

Поступово кількість книг скоротилася з 3 до 2, потім з 2 до 1, і зрештою зійшло нанівець.

Чому ми прагнемо скопіювати чужий шлях до успіху?

Іноді ми навіть не замислюємося, чи хочемо бути схожими на тих підприємців, чиї книги читаємо і чиї звички прагнемо запозичити. Поняття успіху у кожного своє, але ми все одно слідуємо чужим ідеалам. Після провальної спроби впровадити «режим читання», Даніель зрозуміла одну важливу річ: ми люди, а не компанії, що швидко ростуть.

Тема продуктивності добре вписується в блоги стартапів та компаній-розробників. У цих сферах навіть існує посада фахівця з . Ми цінуємо зростання, яке більше підходить для стартапів, тому що велику успішну компаніюнавряд можна побудувати однією удаче. Але забуваємо, що ми люди, а не фірми. І якщо у компанії впроваджується нова технологіяАле очікуваного зростання не відбувається, починається пошук нових способів. З людською свідомістю, життям, щастям це працює.

«Ми забуваємо, що безцільне читання марне»

Мало прочитати книгу Дейла Карнегі «Як завойовувати друзів та впливати на людей», важливо бути готовим підтримати розмову про її зміст. Але виходить, що глибоке занурення не в тренді, швидкість — ось що потрібно. Спочатку ми, як божевільні, споживаємо інформацію, а потім з такою ж завзятістю відключаємося від соцмереж, роботи та життя, щоб перезавантажитися.

Такі перепади вимотують, тому замість поверхневого читання важливо звільнити місце та час для глибшого розуміння інформації.

Пошук справді продуктивних справ

Ессе Джеймса Болдуїна допомагає зрозуміти, як ми ставимося до інформації та до себе.

Бездумне проковтування контенту шкодить інтелектуальному та духовному стану. Але не все, що ми читаємо, має оцінюватися. Найголовніше – знайти баланс. Читання з повним зануренням є чималу роботу для мозку і дозволяє перезавантажитись.

Але це станеться лише в тому випадку, якщо перед читанням поставити мету зрозуміти, що ви хочете отримати від книги або статті, роблячи нотатки та фіксуючи власні думки, ініціюючи обговорення з друзями та колегами.

Усвідомлення ефективніше простого запам'ятовування. Тренінги з продуктивності дозволяють зробити більше за менший час, а насправді варто вчитися масштабувати корисну інформаціюта навички. Усвідомлення дозволяє застосовувати нові дані до навколишнього світу, щоб зробити його кращим, а не переказувати по команді розрізнені факти.

У цьому пості досить детально описані найдивніші та найнезвичайніші парадокси нашого часу, які досі не були остаточно вивчені наукою. Досить цікава статтяяка розширить ваш кругозір.

1. Парадокс Банаха-Тарського

Уявіть, що ви тримаєте в руках кулю. А тепер уявіть, що ви почали рвати цей шар на шматки, причому шматки можуть бути будь-якої форми, яка вам подобається. Після складіть шматочки разом таким чином, щоб у вас вийшло дві кулі замість однієї. Яким буде розмір цих куль порівняно з кулею-оригіналом?
Відповідно до теорії множин, дві кулі, що вийшли, будуть такого ж розміру і форми, як куля-оригінал. Крім того, якщо врахувати, що кулі при цьому мають різний обсяг, то будь-яка з куль може бути перетворена відповідно до іншого. Це дозволяє зробити висновок, що горошину можна поділити на кулі розміром із Сонце.
Хитрість феномена полягає в тому, що ви можете розірвати кулі на шматки будь-якої форми. Насправді зробити це неможливо - структура матеріалу й у результаті розмір атомів накладають деякі обмеження.
Для того щоб було дійсно можливо розірвати кулю так, як вам подобається, вона повинна містити безліч доступних нульмерних точок. Тоді куля з таких точок буде нескінченно щільною, і коли ви розірвете її, форми шматків можуть вийти настільки складними, що не матимуть певного обсягу. І ви можете зібрати ці шматки, кожен з яких містить нескінченну кількість точок, в новий шар будь-якого розміру. Нова куля, як і раніше, складатиметься з нескінченних точок, і обидві кулі будуть однаково нескінченно щільними.
Якщо ви спробуєте втілити ідею на практиці, то нічого не вийде. Зате все чудово виходить під час роботи з математичними сферами - безмежно подільними числовими множинамиу тривимірному просторі. Вирішений феномен називається теоремою Банаха-Тарського і грає величезну роль математичної теорії множин.

2. Парадокс Пето

Очевидно, що кити набагато більші за нас, це означає, що у них у тілах набагато більше клітин. А кожна клітина в організмі може стати теоретично злоякісною. Отже, у китів набагато більше шансів захворіти на рак, ніж у людей, га?
Не так. Парадокс Пето, названий на честь оксфордського професора Річарда Пето, стверджує, що кореляції між розміром тварини та раком не існує. У людей і китів шанс захворіти на рак приблизно однаковий, а ось деякі породи крихітних мишей мають набагато більше шансів.
Деякі біологи вважають, що відсутність кореляції в парадоксі Пето можна пояснити тим, що більші тварини краще опираються пухлини: механізм працює таким чином, щоб запобігти мутації клітин у процесі розподілу.

3. Проблема теперішнього часу

Щоб щось могло фізично існувати, воно має бути присутнім у нашому світі протягом якогось часу. Не може бути об'єкта без довжини, ширини та висоти, а також не може бути об'єкта без «тривалості» - «миттєвий» об'єкт, тобто той, який не існує хоча б якоїсь кількості часу, не існує взагалі.
Згідно з універсальним нігілізмом, минуле і майбутнє не займають часу в теперішньому. Крім того, неможливо кількісно визначити тривалість, яку ми називаємо «справжнім часом»: будь-яку кількість часу, яку ви назвете «справжнім часом», можна розділити на частини – минуле, сьогодення та майбутнє.
Якщо сьогодення триває, припустимо, секунду, то цю секунду можна розділити на три частини: перша частина буде минулим, друга – сьогоденням, третя – майбутнім. Третина секунди, яку ми тепер називаємо справжнім, можна також розділити на три частини. Напевно, ідею ви вже зрозуміли - так можна продовжувати нескінченно.
Таким чином, справжнього насправді не існує, тому що воно не продовжується у часі. Універсальний нігілізм використовує цей аргумент, щоб довести, що взагалі немає нічого.

4. Парадокс Моравека

При вирішенні проблем, які потребують вдумливого міркування, у людей трапляються труднощі. З іншого боку, основні моторні та сенсорні функції на кшталт ходьби не викликають жодних труднощів взагалі.
Але якщо говорити про комп'ютери, все навпаки: комп'ютерам дуже легко вирішувати найскладніші логічні завдання на кшталт розробки шахової стратегії, але набагато складніше запрограмувати комп'ютер так, щоб він зміг ходити або відтворювати людську мову. Ця різниця між природним та штучним інтелектом відома як парадокс Моравека.
Ханс Моравек, науковий співробітник факультету робототехніки Університету Карнегі-Меллона, пояснює це спостереження через ідею реверсного інжинірингу нашого власного мозку. Реверсний інжиніринг найважче провести за завдань, які люди виконують несвідомо, наприклад, рухових функціях.
Оскільки абстрактне мисленнястало частиною людської поведінки менше 100 000 років тому, наша здатність вирішувати абстрактні завдання є свідомою. Таким чином, для нас набагато легше створити технологію, яка емулює таку поведінку. З іншого боку, такі дії, як ходьба чи розмова, ми не осмислюємо, тож змусити штучний інтелект робити те саме нам складніше.

5. Закон Бенфорда

Який шанс, що випадкове число почнеться із цифри «1»? Або з цифри "3"? Або з «7»? Якщо ви трохи знайомі з теорією ймовірності, то можете припустити, що ймовірність – один до дев'яти, або близько 11%.
Якщо ж ви подивіться на реальні цифри, то зауважте, що «9» зустрічається набагато рідше, ніж у 11% випадків. Також значно менше цифр, ніж очікувалося, починається з «8», натомість колосальні 30% чисел починаються з цифри «1». Ця парадоксальна картина проявляється у всіляких реальних випадках, від кількості населення до цін на акції та довжини рік.
Фізик Френк Бенфорд вперше відзначив це явище 1938-го року. Він виявив, що частота появи цифри першою падає в міру того, як цифра збільшується від одного до дев'яти. Тобто «1» з'являється як перша цифра приблизно в 30,1% випадків, «2» з'являється близько 17,6% випадків, «3» - приблизно в 12,5%, і так далі до «9», що виступає в як перша цифра лише у 4,6% випадків.
Щоб зрозуміти це, уявіть собі, що ви послідовно нумеруєте лотерейні квитки. Коли ви пронумерували квитки від одного до дев'яти, шанс будь-якої цифри стати першою становить 11,1%. Коли ви додаєте білет № 10, шанс випадкового числа розпочатися з «1» зростає до 18,2%. Ви додаєте квитки з №11 до №19, і шанс того, що номер квитка почнеться з «1», продовжує зростати, досягаючи максимуму 58%. Тепер ви додаєте квиток №20 і продовжуєте нумерувати квитки. Шанс того, що число почнеться з 2, зростає, а ймовірність того, що воно почнеться з 1, повільно падає.
Закон Бенфорда не поширюється попри всі випадки розподілу чисел. Наприклад, набори чисел, діапазон яких обмежений (людське зростання або вага) під закон не потрапляють. Він також не працює з множинами, які мають лише один або два порядки.
Проте закон поширюється на багато типів даних. В результаті влада може використати закон для виявлення фактів шахрайства: коли надана інформація не дотримується закону Бенфорда, влада може зробити висновок, що хтось сфабрикував дані.

6. C-парадокс

Гени містять всю інформацію, необхідну створення і виживання організму. Само собою зрозуміло, що складні організми повинні мати найскладніші геноми, але це не відповідає істині.
Одноклітинні амеби мають геноми в 100 разів більше, ніж у людини, насправді у них чи не найбільші з відомих геномів. А у дуже схожих між собою видів геном може кардинально відрізнятись. Ця дивина відома як С-парадокс.
Цікавий висновок із С-парадоксу – геном може бути більше, ніж це необхідно. Якщо всі геноми в людській ДНК будуть використовуватися, кількість мутацій на покоління буде неймовірно високою.
Геноми багатьох складних тварин на зразок людей і приматів включають ДНК, яка нічого не кодує. Це величезна кількість невикористаних ДНК, що значно варіюється від істоти до істоти, здається, ні від чого не залежить, що створює C-парадокс.

7. Безсмертна мураха на мотузці

Уявіть собі мурашки, що повзе по гумовій мотузці завдовжки один метр зі швидкістю один сантиметр на секунду. Уявіть, що мотузка кожну секунду розтягується на один кілометр. Чи дійде мурашка колись до кінця?
Логічним здається те, що нормальна мурашка на таке не здатна, тому що швидкість її руху набагато нижча за швидкість, з якої розтягується мотузка. Проте, зрештою мурашка дістанеться протилежного кінця.
Коли мураха навіть не почав рух, перед ним лежить 100% мотузки. Через секунду мотузка стала значно більшою, але мурашка теж пройшла деяку відстань, і якщо рахувати у відсотках, то відстань, яку вона має пройти, зменшилася - вона вже менша за 100%, нехай і ненабагато.
Хоча мотузка постійно розтягується, маленька відстань, пройдена мурахою, теж стає більшою. І, хоча загалом мотузка подовжується з постійною швидкістю, шлях мурашки кожну секунду стає трохи меншим. Мураха теж весь час продовжує рухатися вперед із постійною швидкістю. Таким чином, з кожною секундою відстань, яку він уже пройшов, збільшується, а ту, яку він має пройти – зменшується. У відсотках, ясна річ.
Існує одна умова, щоб завдання могло мати рішення: мурашка має бути безсмертною. Отже, мурашка дійде до кінця через 2,8×1043.429 секунд, що трохи довше, ніж існує Всесвіт.

8. Парадокс екологічного балансу

Модель «хижак-жертва» - це рівняння, яке описує реальну екологічну обстановку. Наприклад, модель може визначити, наскільки зміниться чисельність лисиць та кроликів у лісі. Припустимо, що трави, якою харчуються кролики, у лісі стає дедалі більше. Можна припустити, що для кроликів такий результат сприятливий, тому що при великій кількості трави вони будуть добре розмножуватися і збільшувати чисельність.
Парадокс екологічного балансу стверджує, що це не так: спочатку чисельність кроликів справді зросте, але зростання популяції кроликів у закритому середовищі (лісі) призведе до зростання популяції лисиць. Потім чисельність хижаків збільшиться настільки, що вони знищать спочатку видобуток, а потім вимруть самі.
Насправді цей феномен не діє більшість видів тварин - хоча б тому, що вони не живуть у закритому середовищі, тому популяції тварин стабільні. Крім того, тварини здатні еволюціонувати: наприклад, у нових умовах у видобутку з'являться нові захисні механізми.

9. Парадокс тритону

Зберіть групу друзів і подивіться все це відео. Коли закінчите, нехай кожен висловить свою думку, збільшується звук або зменшується під час усіх чотирьох тонів. Ви здивуєтеся, наскільки різними будуть відповіді.
Щоб зрозуміти цей парадокс, вам потрібно знати щось про музичні ноти. Кожна нота має певну висоту, від якої залежить, високий чи низький звук ми чуємо. Нота наступної, вищої октави, звучить вдвічі вище, ніж нота попередньої октави. А кожну октаву можна розділити на два рівні тритонні інтервали.
На відео тритон поділяє кожну пару звуків. У кожній парі один звук є сумішшю однакових нот з різних октав - наприклад, поєднання двох нот до, де одна звучить вище за іншу. Коли звук у тритоні переходить з однієї ноти на іншу (наприклад, сіль-діез між двома до), можна цілком обґрунтовано інтерпретувати ноту як більш високу чи нижчу, ніж попередня.
Інша парадоксальна властивість тритонів – це відчуття, що звук постійно стає нижчим, хоча висота звуку не змінюється.

10. Ефект Мпемби

Перед вами дві склянки води, абсолютно однакові у всьому, крім однієї: температура води у лівій склянці вище, ніж у правому. Помістіть обидві склянки в морозилку. В якій склянці вода замерзне швидше? Можна вирішити, що у правому, в якому вода спочатку була холоднішою, проте гаряча водазамерзне швидше, ніж вода кімнатної температури.
Цей дивний ефект названий на честь студента з Танзанії, який спостерігав його у 1986 році, коли заморожував молоко, щоб зробити морозиво. Деякі з найбільших мислителів - Арістотель, Френсіс Бекон і Рене Декарт - і раніше відзначали це явище, але не могли пояснити його. Аристотель, наприклад, висував гіпотезу, що будь-яка якість посилюється в середовищі, протилежному цій якості.
Ефект Мпемби можливий завдяки кільком факторам. Води в склянці з гарячою водоюможе бути менше, тому що частина її випарується, і в результаті замерзнути має менше води. Також гаряча вода містить менше газу, а отже, у такій воді легше виникнуть конвекційні потоки, отже замерзати їй буде простіше.

Парадокси з часів давніх греків існували. За допомогою логіки можна швидко знайти фатальний недолік у парадоксі, який і показує, чому, здавалося б, неможливе, можливо, чи весь парадокс просто побудований на недоліках мислення.

А ви зможете зрозуміти, у чому нестача кожного з перерахованих нижче парадоксів?

12. феномен ольберса.

В астрофізиці та фізичній космології парадокс ольберса - це аргумент, який говорить про те, що темрява нічного неба конфліктує з припущенням про нескінченний і вічний статичний всесвіт. Це одне із свідчень нестатичного всесвіту, таке, як поточна модель великого вибуху. Про цей аргумент часто говорять як про "Темний Парадокс Нічного Неба", який говорить, що під будь-яким кутом зору з землі лінія видимості закінчиться, досягнувши зірки.
Щоб зрозуміти це, ми порівняємо парадокс із знаходженням людини у лісі серед білих дерев. Таким чином, якщо з будь-якої точки зору лінія видимості закінчується на верхівках дерев, людина хіба продовжує бачити лише білий колір? Це суперечить темряві нічного неба і змушує багатьох людей поставити питання, чому ми не бачимо тільки світло від зірок у нічному небі.

11. феномен всемогутності.
Парадокс полягає в тому, що якщо істота може виконувати будь-які дії, то вона може обмежити свою здатність виконувати їх, отже вона не може виконувати всі дії, але, з іншого боку, якщо вона не може обмежувати свої дії, то це що те, що воно не може зробити.
Це, зважаючи на все, передбачає, що здатність всемогутньої істоти обмежувати себе обов'язково означає, що вона дійсно обмежує себе. Цей парадокс часто формулюється в термінології авраамічних релігій, хоча це не є обов'язковою вимогою.
Одна з версій парадоксу всемогутності полягає в так званому парадоксі про каміння: чи може всемогутня істота створити настільки важкий камінь, що навіть вона не зможе підняти його? У тому випадку, якщо це так, то істота перестає бути всемогутньою, а якщо ні, то істота не була всемогутньою із самого початку.
Відповідь на феномен полягає в наступному: наявність слабкості, такої, як неможливість підняти важкий камінь, не підпадає під категорію всемогутності, хоча визначення всемогутності передбачає відсутність слабкостей.

10. феномен сміття.
Парадокс полягає в наступному: розглянемо купу піску, з якого поступово видаляються піщинки. Можна побудувати міркування, використовуючи твердження:
- 10 піщинок - це купа піску;
- купа піску мінус одна піщинка - це, як і раніше, купа піску.
Тільки в тому випадку, якщо без зупинки продовжувати другу дію, то, зрештою, це призведе до того, що купа складатиметься з однієї піщинки. На перший погляд є кілька способів уникнути цього висновку. Можна заперечити першій передумові, сказавши, що мільйон піщин - це купа. Але замість 10 може бути будь-що інше велике число, а друге твердження буде вірним за будь-якої кількості з будь-якою кількістю нулів.
Таким чином, відповідь має прямо заперечувати існування таких речей, як купа. Крім того, хтось може заперечити другій передумові, заявивши, що вона вірна не для всіх "Колекцій Зерна" і що видалення одного зерна або піщинки все ще залишає купу купою або може заявити про те, що купа піску може складатися з однієї піщинки .

9. парадокс цікавих чисел.
Твердження: немає такого поняття, як нецікаве натуральне число.
Доказ від протилежного: припустимо, що у вас є безліч натуральних чисел, які нецікаві. Завдяки властивостям натуральних чисел у переліку нецікавих чисел обов'язково буде найменше число.
Будучи найменшою кількістю його можна було б визначити як цікаве в цьому наборі нецікавих чисел. Але оскільки спочатку всі числа множини були визначені як нецікаві, то ми дійшли протиріччя, оскільки найменше число не може бути одночасно і цікавим, і нецікавим. Тому безлічі нецікавих чисел мають бути порожніми, доводячи, що немає такого поняття, як нецікаві числа.

8. парадокс стріли, що летить.
Даний парадокс говорить про те, що для того, щоб відбувся рух, об'єкт має змінити позицію, яку він посідає. У приклад наводиться рух стріли. У будь-який момент часу стріла, що летить, залишається нерухомою, тому що вона спочиває, а так як вона спочиває в будь-який момент часу, значить, вона нерухома завжди.
Тобто даний парадокс, висунутий Зеноном ще в 6 столітті, говорить про відсутність руху як такого, ґрунтуючись на тому, що тіло, що рухається, має дійти до половини, перш ніж завершити рух. Але оскільки воно у кожний момент часу нерухоме, воно не може дійти до половини. Цей феномен також відомий як феномен флетчера.
Якщо попередні парадокси говорили про простір, то наступний парадокс - про розподіл часу не на сегменти, а на точки.

7. парадокс Ахіллеса та черепахи.
У цьому феномені Ахіллес біжить за черепахою, попередньо давши їй фору в 30 метрів. Таким чином, якщо припустити, що кожен із бігунів почав бігти з певною постійною швидкістю (один дуже швидко, другий дуже повільно), то через деякий час Ахіллес, пробігши 30 метрів, досягне тієї точки, від якої рушила черепаха. За цей час черепаха "Пробіжить" набагато менше, скажімо, 1 метр.
Потім Ахіллесу знадобиться ще якийсь час, щоб подолати цю відстань, за яку черепаха просунеться ще далі. Досягши третьої точки, в якій побувала черепаха, Ахіллес просунеться далі, але все одно не нажене її. Таким чином, щоразу, коли Ахіллес досягатиме черепаху, вона все одно буде попереду.
Таким чином, оскільки існує нескінченна кількість точок, яких Ахілес має досягти, і в яких черепаха вже побувала, він ніколи не зможе наздогнати черепаху. Звичайно, логіка говорить нам про те, що Ахілес може наздогнати черепаху, тому це і є парадоксом.
Проблема цього парадоксу полягає в тому, що у фізичній реальності неможливо нескінченно перетинати поперечно точки - як ви можете потрапити з однієї точки нескінченності до іншої, не перетинаючи при цьому нескінченність точок? Ви не можете, тобто це неможливо.
Але у математиці це не так. Цей парадокс показує нам, як математика може щось довести, але насправді не працює. Таким чином, проблема даного парадоксу в тому, що відбувається застосування математичних правил для нематематичних ситуацій, що робить його непрацюючим.

6. феномен буриданова осла.
Це образний опис людської нерішучості. Це відноситься до парадоксальної ситуаціїКоли осел, перебуваючи між двома абсолютно однаковими за розміром і якістю стогами сіна, голодуватиме до смерті, оскільки так і не зможе прийняти раціональне рішення і почати їсти.
Парадокс названий на честь французького філософа 14 століття Жана Бурідана (Jean Buridan), однак, він не був автором парадоксу. Він був відомий ще з часів Аристотеля, який в одній зі своїх праць розповідає про людину, яка була голодна і хотіла пити, але так як обидва почуття були однаково сильні, а людина знаходилася між їжею та питтям, вона так і не змогла зробити вибору.
Бурідан, у свою чергу, ніколи не говорив про цю проблему, але торкався питань про моральний детермінізм, який мав на увазі, що людина, зіткнувшись з проблемою вибору, безумовно, повинна вибирати у бік більшого добра, але бурідан допустив можливість уповільнення вибору з метою оцінки всіх можливих переваг. Пізніше інші автори поставилися із сатирою до цієї точки зору, говорячи про віслюка, який зіткнувшись із двома однаковими стогами сіна, голодуватиме, приймаючи рішення.

5. феномен несподіваної страти.
Суддя каже засудженому, що його буде повішено опівдні в один із робочих днів наступного тижня, але день страти буде для ув'язненого сюрпризом. Він не знатиме точної дати, доки кат опівдні не прийде до нього в камеру. Після того, трохи поміркувавши, злочинець дійшов висновку, що він зможе уникнути страти.
Його міркування можна поділити на кілька частин. Починає він із того, що його не можуть повісити у п'ятницю, бо якщо його не повісять у четвер, то п'ятниця вже не буде несподіванкою. Таким чином, п'ятницю він виключив. Але тоді, оскільки п'ятниця вже викреслена зі списку, він дійшов висновку, що він не може бути повішеним і в четвер, бо якщо його не повісять у середу, то четвер теж не буде несподіванкою.
Розмірковуючи аналогічним чином, він послідовно виключив усі дні тижня. Радісним він лягає спати з упевненістю, що страти не станеться зовсім. Наступного тижня опівдні середи до нього в камеру прийшов кат, тому, незважаючи на всі його міркування, він був надзвичайно здивований. Все, що сказав суддя, справдилося.

4. феномен перукаря.
Припустимо, що існує місто з одним чоловічим перукарем, і кожен чоловік у місті голиться налысо: деякі самостійно, деякі з допомогою перукаря. Здається розумним припустити, що процес підпорядковується наступному правилу: перукар голить всіх чоловіків і тільки тих, хто сам не голиться.
Згідно з цим сценарієм, ми можемо поставити наступне питання: перукар голить себе сам? Однак, питаючи це, ми розуміємо, що відповісти на нього правильно неможливо:
- якщо перукар не голиться сам, він повинен дотримуватися правил і голити себе сам;
- якщо він голить себе сам, то за тими самими правилами він не повинен голити себе сам.

3. Феномен епіменіду.
Цей парадокс випливає із заяви, в якій епіменід, суперечачи загальному переконанню Криту, припустив, що Зевс був безсмертним, як у наступному вірші:

Вони створили гробницю для тебе, найвищий святий.
Критяни, вічні брехуни, злі звірі, раби живота!
Але ти не помер: ти живий і живеш завжди, бо ти живеш у нас, а ми існуємо.

Тим не менше, він не усвідомлював, що, називаючи всіх критян брехунами, він мимоволі і самого себе називав обманщиком, хоча він і "мав на увазі", що всі критяни, крім нього. Таким чином, якщо вірити його твердженню, і всі критяни брехуни насправді, він теж брехун, а якщо він брехун, то всі критяни говорять правду. Отже, якщо всі критяни говорять правду, то й він у тому числі, а це означає, виходячи з його вірша, що всі критяни брехуни. Таким чином, ланцюжок міркувань повертається на початок.

2. феномен еватла.
Це дуже старе завдання в логіці, що випливає з стародавньої Греції. Кажуть, що знаменитий софіст протагор узяв до себе на вчення еватла, при цьому він чітко розумів, що учень зможе заплатити вчителю лише після того, як він виграє свою першу справу в суді.
Деякі експерти стверджують, що протагор зажадав гроші за навчання відразу ж після того, як еватл закінчив своє навчання, інші кажуть, що протагор зачекав деякий час, поки не стало очевидним, що учень не докладає жодних зусиль для того, щоб знайти клієнтів, треті ж впевнені, що еватл дуже старався, але клієнтів не знайшов. У будь-якому разі протагор вирішив подати до суду на еватла, щоб той повернув борг.
Протагор стверджував, що якщо він виграє справу, то йому буде виплачено його гроші. Увага! Тільки в тому випадку, якби справу виграв еватл, то протагор, як і раніше, мав би отримати свої гроші відповідно до початкового договору, бо це була б перша виграшна справа еватла.
Але Еватл стояв на тому, що якщо він виграє, то за рішенням суду йому не доведеться платити протагору. У тому випадку, якщо, з іншого боку, протагор виграє, то еватл програє свою першу справу, тому й не повинен платити нічого. То хто ж із чоловіків правий?

1. феномен непереборної сили.
Парадокс непереборної сили є класичний парадокс, сформульований як "що відбувається, коли непереборна сила зустрічає нерухомий об'єкт? " Парадокс слід сприймати як логічну вправу, а не як постулювання можливої реальності.
Згідно з сучасними науковими розуміннями, ніяка сила не є абсолютно чарівною, і не існує і бути не може повністю нерухомих об'єктів, тому що навіть незначна сила буде викликати невелике прискорення об'єкта будь-якої маси. Нерухливий предмет повинен мати нескінченну інерцію, а отже, і нескінченну масу. Такий об'єкт стискатиметься під впливом своєї сили тяжкості. Непереборній силі буде потрібно нескінченна енергія, яка не існує в кінцевому всесвіті.

1. Всемогутній феномен.

Вся справа ось у цій фразі: - Попросіть всемогутню людину створити камінь, який він не зможе підняти. Якщо створення такого каменю не є можливим, то людина вважається не всемогутньою, а якщо все-таки вийде, то вона неодмінно втратить свою могутність.

Теорій може бути кілька, проте можна припустити, що цілковитого всемогутності немає в принципі. Крім іншого можна сказати і так, що всемогутня людина не може обмежуватися логічними законами, тому робить і здатна зробити все, що захоче.

2. Парадокс черепахи.

Бере свій початок від давньогрецького філософа Зенона. Суть проста. Уявіть картину, в якій Ахіллес переміщається зі швидкістю в 10 разів, що перевищує швидкість черепахи, перебуваючи при цьому за 1000 кроків від неї. В той час, як Ахіллес пробігає 1000 кроків, черепаха робить ще 100, 100 кроків Ахіллеса і 10 кроків черепахи і т.д. Виходить, що Ахіллес не наздожене черепаху. Зрозуміло, в реального життявсе виглядало б реальніше, тому що в реальності неможливо ділити простір і час до нескінченності.

3. Парадокс вбивства дідуся.

Автор цього феномена французький письменник-фантаст Рене Баржавель. Уявіть, людина створила машину часу, вирушила в минуле і вбила там свого біологічного діда ще в ранньому дитинстві. Виходить, що мандрівник-вбивця не повинен з'явитися на світ. Тут знову ж таки думки розходяться. Якщо мандрівник не народився і не вбивав діда, він буде живий у вихідній реальності. Мандрівник просто може виявитися не в змозі змінити результат паралельної лінії подій. А можливо, мандрівник, вирушаючи у минуле, створить ще одну альтернативну реальність, в якій він не буде народжений. Але особисто я вважаю, що він все одно буде десь живий, і змінити те, що сталося, абсолютно неможливо.

4. Корабель Тесея.

За легендою давньогрецької міфологіїАфіняни тривалий період зберігали корабель Тесея, на якому він повернувся з острова Крит. Корабель почав гнити і поступово в ньому мінялися старі дошки на нові. Свого часу постало питання, чи той це корабель на Наразіадже всі старі дошки замінені. Якщо зібрати зі старих дощок корабель, то яким буде справжнім?

У сучасному і багатосторонньому розумінні можна сказати, що будь-який витвір або предмет буде "тим самим" у плані кількості та якості. Це означає, що після заміни дощок корабель Тесея кількісно буде тим самим, а якісно іншим.

5. Купоподібний феномен.

Уявіть купу каміння. Забираючи певну кількість каменів щоразу, настає момент, коли залишається лише один камінь, чи вважатиметься він купою? Відповісти важко, тому що слово "купа" не має конкретного визначення.

6. Парадокс Абіліна.

Одного спекотного вечора якась родина грала на ганку будинку в доміно, поки тесть не запропонував поїхати відпочити в Абілін. Поїздка обіцяла бути довгою та стомлюючою. Проте дружина відразу ж погодилася їхати, сказавши «Непогана ідея!» Чоловік нікуди їхати не хотів, проте вирішив підлаштуватися під решту і сказав, що йому ця ідея теж здається дуже непоганою. Нарешті, теща теж погодилася на поїздку. Дорога до Абіліна виявилася вельми стомлюючою і спекотною, тож відпочинок не вдався. За кілька годин сім'я приїхала назад додому. Теща сказала, що поїздка їй не сподобалася і поїхала вона лише заради решти. Чоловік сказав, що він теж радий не їхати, але погодився на поїздку, щоб не псувати іншим настрій. Дружина у свою чергу сказала, що і їй нікуди не хотілося їхати, вона просто хотіла підлаштуватися під решту. Нарешті сам тесть сказав, що запропонував поїздку тільки тому, що навколишнє оточення здалося йому нудним. Таким чином, ніхто з них не хотів їхати в Абілін і погодився лише заради решти.

Вище описаний парадокс можна назвати прикладом типового групового мислення.

7. Парадокс Греллінга.

Давайте розподілимо прикметники на дві групи, в одній будуть автологічні, а в іншій гетерологічні. Перші це, які характеризують себе: багатоскладне, російське тощо. Другі прикметники це, які самі характеризують себе: нове, німецьке тощо.

Піковий момент парадоксу настає в той момент, коли є потреба у визначенні прикметника "гетерологічне" до однієї зі згаданих у даному випадкугруп. Воно себе характеризує та є гетерологічним.

8. Парадокс мерів.

В одній із країн вийшов закон, який свідчить, що міські мери мають жити поза своїми містами, а точніше у спеціальному місті для мерів. У такому разі де має жити мер міста мерів?

9. Парадокс несподіваної страти.

До ув'язненого приходить стража і каже, що його стратять в обід наступної п'ятниці. В'язень дійшов висновку, знаючи точний часстрати, вона перестає бути для нього несподіваною, а отже, його не зможуть страчувати. У зазначений час і день кат стратить ув'язненого і це стає для нього несподіванкою.

10. Парадокс Еватла.

Стародавня логічне завданняяка має наступну суть. Якийсь учитель Протагор узяв до себе в учні Еватла і почав навчати його судовій справі. Еватл пообіцяв сплатити все навчання, як тільки виграє свою першу справу. Однак після навчання Еватл не поспішав працювати. Тоді Протагор подав на нього до суду. У результаті суддя так і не зміг винести жодного рішення, адже якщо Еватл виграє цю справу, то він зобов'язаний буде віддати гроші Протагору. Таким чином, він насправді програє, а отже, йому не потрібно буде оплачувати своє навчання Протагору. І так, не маючи кінця.

Парадокс — це твердження, яке, мабуть, суперечить саме собі і може бути правдою. Більшість логічних парадоксів, як відомо, є невірними аргументами, але, незважаючи на це, вони є важливими для просування критичного мислення. Нижче представлено десять парадоксів, які точно здивують вас.

1. Парадокс цінності: Чому вода дешевша, ніж діаманти, адже для виживання людям потрібна вода, а не діаманти?

Парадокс цінності (також відомий як парадокс води та алмазів, або парадокс Сміта) є явною суперечністю, яка полягає в наступному: незважаючи на те, що вода куди корисніша для виживання людини, діаманти мають набагато вищу ціну на ринку. На нижчих рівнях споживання вода має набагато більш високу граничну корисність, ніж діаманти, і таким чином є більш цінною. Люди використовують воду у більших кількостях, ніж вони використовують діаманти, таким чином, гранична корисність та ціна води нижча, ніж у діамантів.

При поясненні феномена алмазів, вчені, вивчають граничну корисність, пояснюють, що у розрахунок береться не загальна користь діамантів чи води, а користь кожної одиниці води та діамантів окремо. Абсолютно вірно, що сукупна корисність води має велике значення для людей, тому що вони потребують її, щоб вижити. Однак, виходячи з того, що води у світі дуже багато, гранична корисність води насправді низька. Іншими словами, кожну додаткову одиницю води, яка стає доступною, можна використовувати з менш критичною метою, оскільки основна потреба води (для виживання) задоволена.

Тому будь-яка окрема одиниця води втрачає свою цінність через те, що у світі є величезна її кількість. З іншого боку, діамантів у світі дуже мало. Їх настільки мало, що користь від одного діаманта у багато разів перевищує користь склянки води, якої у світі дуже багато. Таким чином, діаманти мають набагато більшу цінність для людей. Тому ті люди, які хочуть отримати діаманти згодні платити за них набагато більшу ціну, ніж за склянку води, а продавці діамантів встановлюють на кожен діамант вартість, яка набагато перевищує вартість склянки води.

2. Парадокс убитого дідуся: Що було б, якби ви поїхали назад у часі і вбили вашого дідуся до того, як він зустрів вашу бабусю?

Парадокс убитого дідуся є запропонованим парадоксом подорожі у часі, який вперше був описаний письменником у жанрі наукової фантастики Рене Барржавелем (René Barjavel) у його книзі, опублікованій у 1943 році під назвою «Необережний мандрівник» (Le Voyageur Imprudent).

Парадокс описується так: мандрівник у часі вирушив у минуле тоді, коли його дідусь і бабуся ще були одружені. На той момент, мандрівник вбиває свого дідуся, і як наслідок, не народжується. Якщо він не народився, він не може вирушити назад у минуле і вбити свого дідуся, це означає, що він все-таки був народжений і далі замкненим колом.

Припускаючи наявність причинно-наслідкового зв'язку між сьогоденням та майбутнім мандрівника у часі, парадокс убитого дідуся, який порушує цей зв'язок, може розглядатися як неможливий (отже, запобігаючи самовільній переробці чиєїсь долі). Тим не менш, для уникнення парадоксу було теоретично допущено низку гіпотез, таких як ідея про те, що минуле не можна змінити, тому дідусь, мабуть, пережив спробу його вбивства (як було заявлено раніше). Інша гіпотеза полягає в тому, що мандрівник у часі створює або потрапляє в альтернативну тимчасову лінію або паралельний всесвіт, в якому сам мандрівник ніколи не народився.

Варіантом парадоксу вбитого дідуся є парадокс Гітлера або парадокс вбивства Гітлера, що досить часто зустрічається стежок у науковій фантастиці, в якому головний геройвирушає назад у часі, щоб убити Адольфа Гітлера до того, як він спровокує другу світову війну. Замість того, щоб обов'язково запобігти подорожі в часі, сама дія прибирає будь-яку причину це робити, поряд з будь-якою інформацією про те, що причина для подорожі в часі колись існувала, спочатку прибираючи таким чином будь-яку необхідність у подорожі в часі.

3. Парадокс Тесея: «Якщо всі частини корабля були замінені, чи корабель залишається тим самим кораблем?».

Корабель Тесея (Theseus) це феномен, який порушує таке запитання: чи залишається предмет, у якому замінили всі складові, насправді, тим самим предметом?

Цей феномен обговорювався давніми філософами, і недавно Томасом Гоббсом (Thomas Hobbes) і Джоном Локком (John Locke). Дехто каже: «корабель залишиться тим самим», тоді як інші кажуть, що «він не залишиться тим самим».

Грунтуючись на історії можна зробити висновок, що тіло, яке ми бачимо в дзеркалі, є абсолютно іншим тілом у порівнянні з тим, що ми бачили сім років тому або раніше, оскільки клітини людського тіла регенеруються приблизно кожні сім років.

4. Парадокс Галілея: Хоча не всі числа є квадратами натуральних чисел, існує не більше натуральних чисел, ніж квадратів натуральних чисел

Парадокс Галілея є демонстрацією однієї з дивовижних властивостей нескінченних множин. У своїй останній науковій роботі«Дві Науки» (Two New Sciences), він, мабуть, зробив два судження, що суперечать один одному натуральних числах.

Перше у тому, деякі числа є квадратами, тоді як інші числа ними є. Таким чином, всіх чисел, включаючи квадрати і не квадрати, має бути більше, ніж просто квадратів. Тим не менш, для кожного квадрата існує одне позитивне число, яке є його квадратним коренем, і для кожного позитивного числа існує тільки один квадрат, відповідно, одних не може бути більшим, ніж інших. Це раннє використання, хоч і не перше, ідеї про взаємно однозначну відповідність у контексті нескінченної множини. Галілей дійшов висновку, що ідеї меншого, рівного, більшого відносяться до обмежених, а не нескінченних множин.

У дев'ятнадцятому столітті, використовуючи самі методи, німецький математик Георг Кантор (Georg Cantor), який найкраще відомий як винахідник теорії множин, довів, що це обмеження перестав бути обов'язковим. Він показав, що можна значним способом визначити порівняння серед нескінченних множин (виходячи з чого дві множини, які він бере в розрахунок, складає і зводить у квадрат, мають «однаковий розмір»), і відповідно до цього визначення, деякі множини є строго більшими , чим інші. Проте дивно, наскільки Галілей забіг уперед у своїй пізнішій роботі за нескінченними числами. Він показав, що кількість точок на відрізку прямої дорівнює кількості точок на більшому відрізку лінії, але йому не вдалося виявити докази Кантора, що полягає в тому, що ці кількості більші, ніж цілі числа.

5. Парадокс ощадливості: Якщо всі спробують заощаджувати під час рецесії, сукупний попит впаде, і загальна сума зекономлена населенням буде меншою.

Парадокс ощадливості полягає в тому, що якщо всі спробують заощадити гроші під час економічної рецесії, сукупний попит впаде і, у свою чергу, знизить загальну суму, зекономлену населенням, через зниження попиту в споживанні та економічному зростанні. Простіше кажучи, парадокс ощадливості полягає в наступному: загальна сума зекономлена населенням буде меншою, навіть у тому випадку, коли індивідуальні заощадження збільшаться. У більш широкому значенні, це збільшення індивідуальних заощаджених заощаджень може бути шкідливим для економіки, оскільки, незважаючи на те, що індивідуальна ощадливість за загальним твердженням є позитивною для економіки, відповідно до парадоксу ощадливості - колективна ощадливість може надати негативний впливна економіку. Теоретично, якщо всі люди заощаджуватимуть свої заощадження, їх обсяги збільшаться, але спостерігатиметься тенденція спаду в макроекономічному статусі.

6. Парадокс Піноккіо: Що було б, якби Піноккіо сказав: "Мій ніс зараз росте"?

Парадокс Піноккіо настає тоді, коли Піноккіо каже: «Мій ніс зараз росте». Цей феномен також є версією феномена брехуна.

Парадокс брехуна визначений у філософії та логіки як твердження «Це висловлювання — брехня». Будь-які спроби надати цьому твердженню класичне двійкове значення істинності призведуть до суперечності, чи парадоксу. Це тому, що якщо твердження «Це висловлювання — брехня» є правдою, тоді воно хибне. Це означає, що формально воно правдиве, але воно також і хибне, і так далі замкненим колом.

Незважаючи на те, що парадокс Піноккіо відноситься до кращим традиціямпарадоксу брехуна, він є особливим випадком, оскільки він не має семантичних предикатів, наприклад, як у разі затвердження «Це висловлювання — брехня».

Парадокс Піноккіо полягає не в тому, що Піноккіо є відомим брехуном. Якби Піноккіо сказав «Я хворію», це могло б бути правдою чи брехнею, проте пропозиція Піноккіо «Мій ніс зараз росте» не може бути ні правдою, ні брехнею. Саме тому тільки ця пропозиція створює парадокс Піноккіо.

7. Парадокс цирульника: У селі, де цирульник голить всіх тих, хто не голиться сам, хто голить цирульника?

Уявіть, що одного разу ви проходите повз перукарню і бачите вивіску, на якій написано наступне: «Ви голитеся самостійно? Якщо ні, заходьте і я поголю вас! Я голю всіх, хто не голиться сам, і нікого іншого». Це звучить цілком справедливо і досить зрозуміло, поки вам не спаде на думку наступне запитання: «А чи голить цирульників самого себе?» Якщо він це робить, то він не повинен цього робити, тому що він не голить тих, хто голиться самостійно. Однак якщо він не голиться самостійно, він повинен це робити, тому що він голить усіх тих, хто не голиться самостійно і так далі замкненим колом. Обидві ймовірності ведуть до суперечності.

У цьому полягає парадокс цирульника, який був введений математиком, філософом і людиною, яка відмовилася виконувати військову службу з Великобританії, на ім'я Бертран Рассел (Bertrand Russell) на початку двадцятого століття. Цей парадокс являв собою величезне завдання, яке змінило весь напрямок математиків ХХ століття.

У парадоксі цирульника умовою є «гоління самого себе», але безліч усіх чоловіків, які голяться самостійно неможливо підрахувати, незважаючи на те, що ця умова здається цілком зрозумілою. Ми не може підрахувати це безліч, тому що ми не може вирішити входить сам цирульник до нього чи ні. Обидві умови ведуть до суперечності.

Спроби обійти феномен були зосереджені обмеження типів множин, які допустимі. Сам Рассел запропонував «Теорію Типів» (Theory of Types), згідно з якою, пропозиції мали бути розташовані в ієрархічному порядку. На найнижчому рівні мають бути пропозиції про безлічі індивідуумів, на наступному рівні - пропозиції про безлічі індивідуумів і таке інше. Це допомагає уникнути необхідності обговорення безлічі множин, які не є членами самих себе, оскільки дві частини пропозиції є різними типамиі, відповідно, знаходяться на різних рівнях.

З цієї та інших причин найпопулярнішим рішенням парадоксу Рассела є так звана аксіоматизація теорії множин Цермело - Френкеля (Zermelo-Fraenkel). Ця аксіоматизація обмежує припущення наївної теорії множин, згідно з якою за наявності умови завжди можна створити безліч, зібравши саме ті предмети, які йому відповідають. Натомість, потрібно починати з індивідуальних речей, створюючи безліч з них і працюючи в порядку зростання. Це означає, що вам не потрібно намагатися розділити цю множину на ті множини, які містять самих себе і на ті, які самі себе не містять. Вам лише потрібно зробити це поділу для елементів будь-якої множини, яку ви створили з індивідуальних речей за допомогою певної кількості кроків.

Ще одне можливе (сексистське) рішення парадоксу полягає в наступному: просто зробіть цирульник жінкою.

8. Парадокс днів народження: Як у такій маленькій групі можуть бути дві особи, які народилися одного дня?

Парадокс днів народження полягає у ймовірності того, що у безлічі випадково обраних людей, будуть дві людини, які народилися в той самий день. Згідно з принципом Діріхле (pigeonhole principle), ця ймовірність досягає 100 відсотків, коли кількість людей досягає 367 (виходячи з того, що існує 366 можливих варіантівдат днів народження, включаючи 29 лютого). Тим не менш, ймовірність у 99 відсотків досягається, коли безліч складається всього лише з 57 людей, і 50 відсотків, якщо було зібрано 23 особи. Ці висновки включають припущення, що кожен день року (крім 29 лютого) однаково є ймовірною датою дня народження.

9. Проблема курки та яйця: Що було раніше – курка чи яйце?

Причинно-наслідкова дилема курки чи яйця найчастіше звучить як «Що було раніше — курка чи яйце?». Для давніх філософів питання про те, що з'явилося першим курка чи яйце, також означало низку питань про те, як з'явилося життя у Всесвіті і як воно почалося в цілому.

Культурні посилання на парадокс курки або яйця зазвичай робляться, щоб вказати на марність прагнення встановити перший випадок кругової причини та наслідки. Можна припустити, що у цьому підході лежить основна природа питання. Буквальна відповідь досить очевидна деяким людям, тому що яйцекладні види з'явилися раніше курей. Інші вважають, що спочатку з'явилася курка, оскільки кури є лише одомашненими Банківськими джунглевими курами (Red Junglefowls). Однак метафоричний погляд на цей парадокс зумовлює метафізичну основу дилеми. Щоб краще зрозуміти її метафоричне значення, питання можна переформулювати в такий спосіб: «Що виникло раніше, Х, який може існувати без Y, чи Y, який може існувати без Х?». Коли багато років тому з'явилася земля, з'явилася і курка. Потім вона відклала яйце. Якби яйце з'явилося першим, і з нього вилупилося б курча, хто б його зігрівав, і хто його годував?

10. Зникнення клітини: Чому квадрат виникає без видимої причини?

Парадокс зникнення клітини це оптична ілюзія, що використовується на математичних лекціях, щоб допомогти студентам зрозуміти геометричні фігури. Він полягає в описі двох розташування фігурок, що складаються з схожих форм, трохи різної конфігурації.

Ключем до головоломки є той факт, що жоден із «трикутників» не є справжнім трикутником через вигнуту гіпотенузу. Тобто «гіпотенуза» не є сумісною похилою, незважаючи на те, що вона може здаватися такому неозброєному людському оку. Тому, в той час як вигнута гіпотенуза на першому малюнку насправді займає 32 клітини, на другому малюнку вона займає 33 клітини, включаючи «зниклу» клітину. Зверніть увагу на точку мережі, де стикаються червоний і синій трикутники на нижньому зображенні (5 клітинок праворуч і дві клітинки вгору від лівого нижнього кута комбінованої фігури), і порівняйте це з тією самою точкою на верхньому зображенні. Край трохи не дістає позначки на верхньому зображенні, але переходить через неї на нижньому. В результаті накладання гіпотенуз обох фігур одна на одну виходить дуже вузький паралелограм, площа якого точно дорівнює площі клітини «зникла» на нижньому зображенні.

Можливо, буде корисно почитати: