Poiščite odz primere. Začnite v znanosti

V enačbah in neenačbah oblike , , , , se presečišče domen definicije funkcij in imenuje območje dovoljenih vrednosti (ADV) spremenljivke, kot tudi ARV enačbe oziroma neenakosti .

Pri reševanju enačb (neenačb) z eno spremenljivko, ko se pojavi vprašanje, ali najti ODZ, lahko pogosto slišite kategoričen »da« in prav tako kategoričen »ne«. »Najprej morate najti ODZ, nato pa začeti reševati enačbo (neenakost),« pravijo nekateri. »Z ODZ ni treba izgubljati časa, ko bo reševanje napredovalo, bomo prešli na ekvivalentno enačbo (neenačbo) ali na ekvivalenten sistem enačb in neenačb ali samo na neenačbe. Konec koncev, če je to enačba, potem je mogoče narediti test,« trdijo drugi.

Torej je mogoče najti ODZ?

Jasnega odgovora na to vprašanje seveda ni. Iskanje OD enačbe ali neenačbe ni obvezen element rešitve. V vsakem konkretnem primeru je to vprašanje rešeno posamično.

V nekaterih primerih iskanje ODZ poenostavi rešitev enačbe ali neenačbe (primeri 1-5), v nekaterih primerih pa je celo nujen korak pri reševanju (primeri 1, 2, 4).

V drugih primerih (primera 6, 7) je vredno opustiti predhodno ugotovitev ODZ, saj naredi rešitev bolj okorno.

Primer 1. Reši enačbo.

Kvadriranje obeh strani enačbe ne bo poenostavilo, temveč jo bo zapletlo in nam ne bo omogočilo, da se znebimo radikalov. Moramo poiskati drugo rešitev.

Poiščimo enačbo ODZ:

Tako ODZ vsebuje samo eno vrednost, zato lahko kot koren izvirne enačbe služi samo število 4. Z neposredno zamenjavo se prepričamo, da je to edini koren enačbe.

Primer 2. Reši enačbo.

Prisotnost radikalov različnih stopenj v enačbi - drugega, tretjega in šestega - otežuje rešitev. Zato najprej poiščimo enačbo ODZ:

Z neposredno zamenjavo preverimo, kaj je koren izvirne enačbe.

Primer 3. Reši neenačbo.

Seveda je možno to neenakost rešiti z upoštevanjem primerov: , , vendar iskanje ODZ to rešitev takoj poenostavi.

ODZ:

Če to posamezno vrednost nadomestimo z izvirno neenakostjo, dobimo napačno numerično neenakost. Zato izvirna neenakost nima rešitve.

Odgovor: ni rešitve.

Primer 4. Reši enačbo.

Zapišimo enačbo v obliki .

Enačba oblike je enakovredna mešanemu sistemu tiste.

Seveda je iskanje ODZ tukaj nepotrebno.

V našem primeru dobimo enakovreden sistem tiste.

Enačba je enakovredna agregatu Enačba nima racionalnih korenin, lahko pa ima iracionalne korenine, iskanje katerih bo študentom povzročalo težave. Zato bomo iskali drugo rešitev.

Vrnimo se k prvotni enačbi in jo zapišimo v obliki .

Poiščimo ODZ: .

Ko je desna stran enačbe , in leva stran . Posledično je prvotna enačba v območju dovoljenih vrednosti spremenljivke X je enakovreden sistemu enačb katerega rešitev je samo ena vrednost.

Tako je v tem primeru prav ugotovitev ODZ omogočila rešitev prvotne enačbe.

Primer 5. Reši enačbo.

Ker , in , potem se bo treba pri reševanju izvirne enačbe znebiti modulov (jih odpreti).

Zato je najprej smiselno najti enačbo ODZ:

Torej, ODZ:

Poenostavimo prvotno enačbo z uporabo lastnosti logaritmov.

Ker je v območju dovoljenih vrednosti spremenljivke X in potem , a , potem dobimo enakovredno enačbo:

Glede na to, da je v ODZ, pojdimo na ekvivalentno enačbo in ga rešite tako, da obe strani delite s 3.

Odgovor: − 4,75.

Komentiraj.

Če ODZ ne najdemo, bi morali pri reševanju enačbe upoštevati štiri primere: , , , . Pri vsakem od teh intervalov konstantnega predznaka izrazov pod znakom modula bi bilo potrebno razširiti module in rešiti nastalo enačbo. Poleg tega opravite tudi pregled. Vidimo, da iskanje ODZ prvotne enačbe zelo poenostavi njeno rešitev.

Primer 7. Reši neenačbo .

Ker je spremenljivka X vključen tudi v osnovo logaritma, potem bo pri reševanju te neenakosti potrebno upoštevati dva primera: in . Zato je nepraktično ločeno najti ODZ.

Torej, predstavimo prvotno neenakost v obliki in bo enakovreden kombinaciji dveh sistemov:

odgovor: .

Znanstveni svetnik:

1. Uvod 3

2. Zgodovinska skica 4

3. “Mesto” ODZ pri reševanju enačb in neenačb 5-6

4. Lastnosti in nevarnosti ODZ 7

5. ODZ – obstaja rešitev 8-9

6. Iskanje ODZ je dodatno delo. Ekvivalentnost prehodov 10-14

7. ODZ na Enotnem državnem izpitu 15-16

8. Sklep 17

9. Literatura 18

1. Uvod

Težava: enačbe in neenačbe, v katerih je treba najti ODZ, v tečaju algebre niso našle mesta za sistematičen prikaz, zato se verjetno z vrstniki pri reševanju takšnih primerov pogosto zmotimo, za reševanje porabimo veliko časa, ob tem pa pozabimo. glede ODZ.

Cilj: znati analizirati situacijo in logično pravilno sklepati na primerih, kjer je treba upoštevati DL.

Naloge:

1. Študij teoretičnega gradiva;

2. Reši številne enačbe, neenačbe: a) ulomke-racionalne; b) neracionalno; c) logaritemsko; d) ki vsebuje inverzne trigonometrične funkcije;

3. Uporabite preučene materiale v situaciji, ki se razlikuje od standardne;

4. Ustvarite delo na temo "Območje sprejemljivih vrednot: teorija in praksa"

Projektno delo: Delo na projektu sem začel s ponavljanjem funkcij, ki sem jih poznal. Obseg mnogih od njih je omejen.

ODZ se pojavi:

1. Pri reševanju ulomkov racionalnih enačb in neenačb

2. Pri reševanju iracionalnih enačb in neenačb

3. Pri reševanju logaritemskih enačb in neenačb

4. Pri reševanju enačb in neenačb, ki vsebujejo inverzne trigonometrične funkcije

Ko smo rešili številne primere iz različnih virov(priročniki za enotni državni izpit, učbeniki, priročniki), sem sistematizirala rešitev primerov po po načelih:

· lahko rešite primer in upoštevate ODZ (najpogostejša metoda)

· primer je mogoče rešiti brez upoštevanja ODZ

· le z upoštevanjem ODZ je mogoče priti do prave odločitve.

Metode, uporabljene pri delu: 1) analiza; 2) statistična analiza; 3) odbitek; 4) razvrstitev; 5) napovedovanje.

Preučil analizo Rezultati enotnega državnega izpita v preteklih letih. Veliko napak je bilo storjenih pri primerih, v katerih je treba upoštevati DL. To še enkrat poudarja ustreznost moja tema.

2. Zgodovinska skica

Tako kot drugi koncepti matematike se koncept funkcije ni razvil takoj, ampak je minil na dolge razdalje razvoj. V delu P. Fermata "Uvod in študij ravnih in trdnih mest" (1636, objavljeno 1679) je rečeno: "Kadar koli sta v končni enačbi dve neznani količini, obstaja mesto." V bistvu govorimo o tem funkcionalna odvisnost in njegovo grafično predstavitev ("mesto" pri Fermatu pomeni črto). Preučevanje črt glede na njihove enačbe v "Geometriji" R. Descartesa (1637) prav tako kaže na jasno razumevanje medsebojne odvisnosti dveh spremenljivk. I. Barrow (Lectures on Geometry, 1670) v geometrijski obliki ugotavlja medsebojno inverzno naravo dejanj diferenciacije in integracije (seveda brez uporabe samih izrazov). Že to kaže na povsem jasno obvladovanje pojma funkcije. Ta koncept v geometrijski in mehanski obliki najdemo tudi pri I. Newtonu. Vendar pa se izraz "funkcija" prvič pojavi šele leta 1692 pri G. Leibnizu in poleg tega ne povsem v njegovem sodobnem razumevanju. G. Leibniz imenuje različne segmente, povezane s krivuljo (na primer absciso njenih točk), funkcijo. V prvem natisnjenem tečaju, "Analiza infinitezimalij za poznavanje ukrivljenih črt" L'Hopitala (1696), izraz "funkcija" ni uporabljen.

Prvo definicijo funkcije v smislu, ki je blizu sodobnemu, najdemo v I. Bernoulliju (1718): "Funkcija je količina, sestavljena iz spremenljivke in konstante." Ta ne povsem jasna definicija temelji na ideji določanja funkcije z analitično formulo. Ista ideja se pojavlja v definiciji L. Eulerja, ki jo je podal v "Uvodu v analizo neskončnega" (1748): "Funkcija spremenljive količine je analitični izraz, sestavljen na nek način iz te spremenljive količine in števil oz. stalne količine." L. Eulerju pa ni več tuje sodobno razumevanje funkcije, ki pojma funkcije ne povezuje z nobenim od njenih analitičnih izrazov. Njegov »Diferencialni račun« (1755) pravi: »Kadar so nekatere količine odvisne od drugih na tak način, da so ob spreminjanju slednjih tudi same podvržene spremembam, potem se prve imenujejo funkcije drugih.«

Z začetku XIX stoletja vse pogosteje definirajo pojem funkcije, ne da bi omenili njeno analitično predstavitev. V "Razpravi o diferencialnem in integralskem računu" (1797-1802) S. Lacroix pravi: "Vsaka količina, katere vrednost je odvisna od ene ali več drugih količin, se imenuje funkcija teh slednjih." V »Analitični teoriji toplote« J. Fourierja (1822) je stavek: »Funkcija f(x) označuje popolnoma poljubno funkcijo, to je zaporedje danih vrednosti, ne glede na to, ali je predmet splošnega zakona ali ne in ustreza vsem vrednostim x vsebuje med 0 in neko vrednostjo x" Opredelitev N. I. Lobačevskega je blizu sodobni: "... Splošni koncept funkcija zahteva, da funkcija iz x poimenujte številko, ki je podana za vsako x in skupaj z x postopoma spreminja. Vrednost funkcije je lahko podana bodisi z analitičnim izrazom bodisi s pogojem, ki omogoča testiranje vseh števil in izbiro enega od njih, ali pa lahko odvisnost obstaja in ostane neznana. Tam je tudi rečeno malo nižje: "Širok pogled na teorijo dopušča obstoj odvisnosti samo v smislu, da so števila ena z drugim v povezavi razumljena, kot da so dana skupaj." torej sodobna definicija funkcija, brez sklicevanj na analitično nalogo, običajno pripisana P. Dirichletu (1837), je bila pred njim večkrat predlagana.

Domena definicije (dopustne vrednosti) funkcije y je množica vrednosti neodvisne spremenljivke x, za katero je ta funkcija definirana, to je področje spremembe neodvisne spremenljivke (argumenta).

3. "Mesto" območja sprejemljivih vrednosti pri reševanju enačb in neenačb

1. Pri reševanju ulomkov racionalnih enačb in neenačb imenovalec ne sme biti nič.

2. Reševanje iracionalnih enačb in neenačb.

2.1..gif" width="212" height="51"> .

IN v tem primeru ni potrebe po iskanju ODZ: iz prve enačbe sledi, da dobljene vrednosti x izpolnjujejo naslednjo neenakost: https://pandia.ru/text/78/083/images/image004_33.gif" width= "107" height="27 src=" > je sistem:

Ker v enačbo vstopijo enako, lahko namesto neenakosti vključite neenakost https://pandia.ru/text/78/083/images/image009_18.gif" width="220" height="49">

https://pandia.ru/text/78/083/images/image014_11.gif" width="239" height="51">

3. Reševanje logaritemskih enačb in neenačb.

3.1. Shema za reševanje logaritemske enačbe

Dovolj pa je, da preverite samo en pogoj ODZ.

3.2..gif" width="115" height="48 src=">.gif" width="115" height="48 src=">

4. Trigonometrične enačbe prijazen so enakovredni sistemu (namesto neenakosti lahko v sistem vključite neenakost https://pandia.ru/text/78/083/images/image024_5.gif" width="377" height="23"> so enakovredni k enačbi

4. Značilnosti in nevarnosti območja dovoljenih vrednosti

Pri pouku matematike moramo v vsakem primeru najti DL. Hkrati glede na matematično bistvo zadeve iskanje ODZ sploh ni obvezno, pogosto ni potrebno, včasih pa tudi nemogoče - in vse to brez škode za rešitev primera. Po drugi strani pa se pogosto zgodi, da šolarji po reševanju primera pozabijo upoštevati DL, ga zapišejo kot končni odgovor in upoštevajo le nekatere pogoje. Ta okoliščina je dobro znana, vendar se "vojna" nadaljuje vsako leto in bo, kot kaže, trajala še dolgo.

Upoštevajte na primer naslednjo neenakost:

Tu se išče ODZ in reši neenačba. Šolarji pa pri reševanju te neenačbe včasih verjamejo, da je povsem mogoče brez iskanja DL, natančneje brez pogoja

Pravzaprav je za pravilen odgovor potrebno upoštevati neenakost , in .

Ampak, na primer, rešitev enačbe: https://pandia.ru/text/78/083/images/image032_4.gif" width="79 height=75" height="75">

kar je enakovredno delu z ODZ. Vendar je v tem primeru takšno delo nepotrebno - dovolj je preveriti izpolnjevanje samo dveh od teh neenakosti in poljubnih dveh.

Naj vas spomnim, da je vsako enačbo (neenakost) mogoče zmanjšati na obliko . ODZ je preprosto domena definicije funkcije na levi strani. Da je to področje potrebno spremljati, izhaja iz definicije korena kot števila iz domene definicije dane funkcije, torej iz ODZ. Tukaj je smešen primer na to temo..gif" width="20" height="21 src="> ima domeno definicije nabora pozitivnih števil (to je seveda dogovor, da upoštevamo funkcijo z , vendar razumno), in potem -1 ni koren.

5. Razpon sprejemljivih vrednosti - obstaja rešitev

In končno, v številnih primerih vam iskanje ODZ omogoča, da dobite odgovor brez obsežnih postavitev, ali celo verbalno.

1. OD3 je prazna množica, kar pomeni, da izvirni primer nima rešitev.

1) 2) 3)

2. B ODZ najdemo eno ali več števil in preprosta zamenjava hitro določi korenine.

1) , x=3

2)Tukaj v ODZ je samo številka 1 in po zamenjavi je jasno, da ni koren.

3) V ODZ sta dve številki: 2 in 3 in obe sta primerni.

4) > V ODZ sta dve številki 0 in 1, primerna pa je samo 1.

ODZ se lahko učinkovito uporablja v kombinaciji z analizo samega izraza.

5) < ОДЗ: Но в правой части неравенства могут быть только положительные числа, поэтому оставляем х=2. Тогда в неравенство подставим 2.

6) Iz ODZ sledi, kjer imamo ..gif" width="143" height="24"> Iz ODZ imamo: . Potem pa in . Ker ni rešitev.

Iz ODZ imamo: https://pandia.ru/text/78/083/images/image060_0.gif" width="48" height="24">>, kar pomeni . Če rešimo zadnjo neenakost, dobimo x<- 4, что не входит в ОДЗ. По­этому решения нет.

3) ODZ: . Od takrat

Po drugi strani pa https://pandia.ru/text/78/083/images/image068_0.gif" width="160" height="24">

ODZ:. Razmislite o enačbi na intervalu [-1; 0).

Izpolnjuje naslednje neenakosti https://pandia.ru/text/78/083/images/image071_0.gif" width="68" height="24 src=">.gif" width="123" height="24 src="> in ni rešitev. S funkcijo in https://pandia.ru/text/78/083/images/image076_0.gif" width="179" height="25">. ODZ: x>2..gif" width="233" height ="45 src="> Poiščimo ODZ:

Celoštevilska rešitev je možna samo za x=3 in x=5. S preverjanjem ugotovimo, da koren x=3 ne ustreza, kar pomeni, da je odgovor x=5.

6. Iskanje obsega sprejemljivih vrednosti je dodatno delo. Ekvivalentnost prehodov.

Lahko navedete primere, kjer je situacija jasna tudi brez iskanja DZ.

1.

Enakost je nemogoča, ker mora biti pri odštevanju večjega izraza od manjšega rezultat negativno število.

2. .

Vsota dveh nenegativnih funkcij ne more biti negativna.

Navedel bom tudi primere, ko je iskanje ODZ težko, včasih pa preprosto nemogoče.

In končno, iskanje ODZ je zelo pogosto preprosto dodatno delo, brez katerega lahko tudi s tem dokažete svoje razumevanje dogajanja. Tukaj lahko navedem ogromno primerov, zato bom izbral le najbolj značilne. Glavna metoda reševanja v tem primeru so ekvivalentne transformacije pri prehodu iz ene enačbe (neenakosti, sistema) v drugo.

1.. ODZ ni potreben, ker po ugotovitvi tistih vrednosti x, za katere je x2 = 1, ne moremo dobiti x = 0.

2. . ODZ ni potreben, saj ugotovimo, kdaj je radikalni izraz enak pozitivnemu številu.

3. . ODZ ni potreben iz istih razlogov kot v prejšnjem primeru.

4.

ODZ ni potreben, ker je radikalni izraz enak kvadratu neke funkcije in zato ne more biti negativen.

5.

6. ..gif" width="271" height="51"> Za rešitev zadošča samo ena omejitev radikalnega izraza, pravzaprav iz zapisanega mešanega sistema sledi, da je drugi radikalni izraz nenegativen.

8. DZ ni potreben iz istih razlogov kot v prejšnjem primeru.

9. ODZ ni potreben, saj je dovolj, da sta dva od treh izrazov pod logaritemskimi predznaki pozitivna, da zagotovimo pozitivnost tretjega.

10. .gif" width="357" height="51"> ODZ ni potreben iz istih razlogov kot v prejšnjem primeru.

Omeniti pa velja, da pri reševanju z metodo ekvivalentnih transformacij pomaga poznavanje ODZ (in lastnosti funkcij).

Tukaj je nekaj primerov.

1. . OD3, kar pomeni, da je izraz na desni strani pozitiven in je mogoče zapisati enačbo, ki je enakovredna tej v tej obliki https://pandia.ru/text/78/083/images/image101_0.gif" širina ="112" height="27 "> ODZ: Ampak takrat in pri reševanju te neenačbe ni treba upoštevati primera, ko je desna stran manjša od 0.

3. . Iz ODZ izhaja, da in torej primer, ko https://pandia.ru/text/78/083/images/image106_0.gif" width="303" height="48"> Pojdi na splošni pogled zgleda takole:

https://pandia.ru/text/78/083/images/image108_0.gif" width="303" height="24">

Obstajata dva možna primera: 0 >1.

To pomeni, da je prvotna neenakost enakovredna naslednjemu nizu sistemov neenakosti:

Prvi sistem nima rešitev, iz drugega pa dobimo: x<-1 – решение неравенства.

Razumevanje pogojev enakovrednosti zahteva poznavanje nekaterih tankosti. Na primer, zakaj so naslednje enačbe enakovredne:

oz

In končno, morda najpomembnejše. Dejstvo je, da enakovrednost zagotavlja pravilnost odgovora, če se izvede nekaj transformacij same enačbe, ne pa se uporablja za transformacije le v enem od delov. Ekvivalenčni izreki ne zajemajo okrajšav in uporabe različnih formul v enem od delov. Nekaj ​​primerov te vrste sem že navedel. Poglejmo še nekaj primerov.

1. Ta odločitev je naravna. Na levi strani glede na lastnost logaritemske funkcije preidemo na izraz ..gif" width="111" height="48">

Po rešitvi tega sistema dobimo rezultat (-2 in 2), ki pa ni odgovor, saj števila -2 ni vključeno v ODZ. Torej, ali moramo namestiti ODS? Seveda ne. Ker pa smo v rešitvi uporabili določeno lastnost logaritemske funkcije, smo dolžni podati pogoje, pod katerimi je ta izpolnjena. Tak pogoj je pozitivnost izrazov pod znakom logaritma..gif" width="65" height="48">.

2. ..gif" width="143" height="27 src="> številke so predmet zamenjave na ta način . Kdo želi delati tako dolgočasne izračune?.gif" width="12" height="23 src="> dodajte pogoj in takoj boste videli, da je samo številka https://pandia.ru/text/78/083 / izpolnjuje ta pogoj images/image128_0.gif" width="117" height="27 src=">) je dokazalo 52 % testirancev. Eden od razlogov za tako nizke stopnje je dejstvo, da mnogi diplomanti niso izbrali korenov, ki so jih dobili iz enačbe po kvadriranju.

3) Razmislite na primer o rešitvi ene od težav C1: »Poiščite vse vrednosti x, za katere so točke grafa funkcije ležijo nad ustreznimi točkami grafa funkcije ". Naloga se zmanjša na reševanje delne neenakosti, ki vsebuje logaritemski izraz. Poznamo metode za reševanje takšnih neenakosti. Najpogostejša med njimi je metoda intervalov. Vendar, ko z njegovo uporabo testiranci delajo različne napake. Oglejmo si najpogostejše napake na primeru neenakosti:

X< 10. Они отмечают, что в первом случае решений нет, а во втором – корнями являются числа –1 и . При этом выпускники не учитывают условие x < 10.

8. Zaključek

Če povzamemo, lahko rečemo, da univerzalne metode za reševanje enačb in neenačb ni. Vsakič, ko želite razumeti, kaj počnete, in ne delovati mehanično, se pojavi dilema: kakšno rešitev izbrati, sploh iskati ODZ ali ne? Mislim, da mi bodo pridobljene izkušnje pomagale rešiti to dilemo. Nehala bom delati napake tako, da se bom naučila pravilno uporabljati ODZ. Ali mi to uspe, bo pokazal čas oziroma enotni državni izpit.

9. Literatura

In drugi "Algebra in začetki analize 10-11" knjiga in učbenik, M.: "Prosveshchenie", 2002. "Priročnik za osnovno matematiko." M.: "Nauka", 1966. Časopis "Matematika" št. 46, časopis "Matematika" št. Časopis "Matematika" št. "Zgodovina matematike v šolskih razredih VII-VIII". M.: “Prosveshchenie”, 1982. itd. “Najpopolnejša izdaja različic resničnih nalog enotnega državnega izpita: 2009/FIPI” - M.: “Astrel”, 2009. itd. “Enotni državni izpit. Matematika. Univerzalni materiali za pripravo študentov / FIPI" - M.: "Inteligenčni center", 2009. itd. "Algebra in začetki analize 10-11." M.: “Prosveshchenie”, 2007. “Delavnica za reševanje problemov v šolski matematiki (delavnica v algebri).” M.: Izobraževanje, 1976. "25.000 lekcij matematike." M.: "Razsvetljenje", 1993. "Priprave na olimpijade v matematiki." M.: “Izpit”, 2006. “Enciklopedija za otroke “MATEMATIKA”” zvezek 11, M.: Avanta +; 2002. Gradiva s strani www. *****, www. *****.

Ohranjanje vaše zasebnosti je za nas pomembno. Iz tega razloga smo razvili Politiko zasebnosti, ki opisuje, kako uporabljamo in shranjujemo vaše podatke. Preglejte naše postopke varovanja zasebnosti in nam sporočite, če imate kakršna koli vprašanja.

Zbiranje in uporaba osebnih podatkov

Osebni podatki se nanašajo na podatke, ki jih je mogoče uporabiti za identifikacijo ali vzpostavitev stika z določeno osebo.

Kadar koli stopite v stik z nami, boste morda morali posredovati svoje osebne podatke.

Spodaj je nekaj primerov vrst osebnih podatkov, ki jih lahko zbiramo, in kako lahko te podatke uporabimo.

Katere osebne podatke zbiramo:

  • Ko na spletnem mestu oddate prijavo, lahko zbiramo različne podatke, vključno z vašim imenom, telefonsko številko, naslovom E-naslov itd.

Kako uporabljamo vaše osebne podatke:

  • Osebni podatki, ki jih zbiramo, nam omogočajo, da vas kontaktiramo glede edinstvenih ponudb, promocij in drugih dogodkov ter Prihajajoči dogodki.
  • Občasno lahko uporabimo vaše osebne podatke za pošiljanje pomembnih obvestil in sporočil.
  • Osebne podatke lahko uporabljamo tudi za interne namene, kot so izvajanje revizij, analize podatkov in različne raziskave, da bi izboljšali storitve, ki jih nudimo, in vam dali priporočila glede naših storitev.
  • Če sodelujete v nagradni igri, tekmovanju ali podobni promociji, lahko podatke, ki nam jih posredujete, uporabimo za upravljanje takih programov.

Razkritje informacij tretjim osebam

Prejetih podatkov ne razkrivamo tretjim osebam.

Izjeme:

  • Po potrebi – v skladu z zakonom, sodnim postopkom, pravnim postopkom in/ali na podlagi javnih pozivov oz. vladne agencije na ozemlju Ruske federacije - razkrijte svoje osebne podatke. Podatke o vas lahko razkrijemo tudi, če ugotovimo, da je takšno razkritje potrebno ali primerno za varnostne namene, namene kazenskega pregona ali druge javno pomembne namene.
  • V primeru reorganizacije, združitve ali prodaje lahko osebne podatke, ki jih zberemo, prenesemo na ustrezno naslednico tretje osebe.

Varstvo osebnih podatkov

Izvajamo previdnostne ukrepe – vključno z administrativnimi, tehničnimi in fizičnimi – za zaščito vaših osebnih podatkov pred izgubo, krajo in zlorabo ter nepooblaščenim dostopom, razkritjem, spreminjanjem in uničenjem.

Spoštovanje vaše zasebnosti na ravni podjetja

Da bi zagotovili varnost vaših osebnih podatkov, svojim zaposlenim sporočamo standarde zasebnosti in varnosti ter strogo uveljavljamo prakse glede zasebnosti.

Kako?
Primeri rešitev

Če nekje nekaj manjka, pomeni, da nekje nekaj obstaja

Nadaljujemo s preučevanjem razdelka "Funkcije in grafi", naslednja postaja na našem potovanju pa je. Aktivna razprava ta koncept se je začelo v članku o množicah in nadaljevalo v prvi lekciji o funkcijski grafi, kjer sem si ogledal elementarne funkcije in še posebej njihove definicijske domene. Zato priporočam, da telebani začnejo z osnovami teme, saj se ne bom znova ukvarjal z nekaterimi osnovnimi točkami.

Predpostavlja se, da bralec pozna področje definiranja naslednjih funkcij: linearne, kvadratne, kubične funkcije, polinomi, eksponentne, sinusne, kosinusne. Opredeljeni so na (množica vseh realnih števil). Za tangente, arkusine, pa naj bo, ti oprostim =) - redkejših grafov se ne spomni takoj.

Obseg definicije se zdi preprosta stvar in postavlja se logično vprašanje, o čem bo članek? Vklopljeno to lekcijo Upošteval bom običajne probleme iskanja domene definicije funkcije. Poleg tega bomo ponovili neenakosti z eno spremenljivko, katerega sposobnosti reševanja bodo potrebne tudi pri drugih problemih višje matematike. Gradivo je, mimogrede, vse šolsko gradivo, zato bo koristno ne le za dijake, ampak tudi za študente. Podatki se seveda ne pretvarjajo, da so enciklopedični, vendar tukaj niso namišljeni "mrtvi" primeri, temveč pečeni kostanji, ki so vzeti iz resničnih praktičnih del.

Začnimo s hitrim potopom v temo. Na kratko o glavnem: govorimo o funkciji ene spremenljivke. Njena domena opredelitve je veliko pomenov "x", za katerega obstajajo pomen "igralcev". Poglejmo hipotetični primer:

Domena definicije te funkcije je unija intervalov:
(za tiste, ki ste pozabili: - ikona združevanja). Z drugimi besedami, če vzamete katero koli vrednost "x" iz intervala ali iz ali iz , bo za vsak tak "x" obstajala vrednost "y".

Grobo rečeno, tam, kjer je domena definicije, je graf funkcije. Toda polovični interval in točka "tse" nista vključena v območje definicije in tam ni grafa.

Kako najti domeno funkcije? Mnogi se spomnijo otroške rime: "kamen, papir, škarje", v tem primeru pa jo lahko varno parafraziramo: "koren, ulomek in logaritem." Torej, če ste življenjska pot naletite na ulomek, koren ali logaritem, morate biti takoj zelo, zelo previdni! Tangens, kotangens, arksinus, arkosinus so veliko manj pogosti in o njih bomo tudi govorili. Toda najprej skice iz življenja mravelj:

Domena funkcije, ki vsebuje ulomek

Recimo, da imamo funkcijo, ki vsebuje nek ulomek. Kot veste, ne morete deliti z nič: , torej tiste Vrednosti »X«, ki spremenijo imenovalec na nič, niso vključene v obseg te funkcije.

Ne bom se zadrževal na najpreprostejših funkcijah, kot je itd., saj vsakdo odlično vidi točke, ki niso vključene v njegovo domeno definicije. Poglejmo bolj smiselne ulomke:

Primer 1

Poiščite domeno funkcije

rešitev: V števcu ni nič posebnega, imenovalec pa mora biti različen od nič. Nastavimo ga na nič in poskusimo najti "slabe" točke:

Nastala enačba ima dva korena: . Vrednosti podatkov niso v obsegu funkcije. Dejansko nadomestite ali v funkcijo in videli boste, da gre imenovalec na nič.

Odgovori: domena:

Vnos se glasi takole: »domena definicije so vsa realna števila z izjemo množice, ki jo sestavljajo vrednosti " Naj vas spomnim, da poševnica nazaj v matematiki označuje logično odštevanje, zavit oklepaj pa množico. Odgovor lahko enakovredno zapišemo kot zvezo treh intervalov:

Komur je všeč.

Na točkah funkcija tolerira neskončne pavze, in ravne črte, podane z enačbami so navpične asimptote za graf te funkcije. Vendar je to nekoliko drugačna tema in se ji v nadaljevanju ne bom posvečal veliko pozornosti.

Primer 2

Poiščite domeno funkcije

Naloga je v bistvu ustna in mnogi boste skoraj takoj našli področje definicije. Odgovor je na koncu lekcije.

Ali bo ulomek vedno »slab«? št. Na primer, funkcija je definirana na celotni številski premici. Ne glede na to, katero vrednost "x" vzamemo, imenovalec ne bo šel na nič, poleg tega bo vedno pozitiven: . Tako je obseg te funkcije: .

Vse funkcije kot definiran in neprekinjeno na .

Situacija je nekoliko bolj zapletena, ko je imenovalec zaseden s kvadratnim trinomom:

Primer 3

Poiščite domeno funkcije

rešitev: Poskusimo najti točke, v katerih gre imenovalec na nič. Za to se bomo odločili kvadratna enačba:

Izkazalo se je, da je diskriminant negativen, kar pomeni, da pravih korenin ni, naša funkcija pa je definirana na celotni numerični osi.

Odgovori: domena:

Primer 4

Poiščite domeno funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Rešitev in odgovor sta na koncu lekcije. Svetujem vam, da ne bodite leni z preproste težave, saj se bodo z nadaljnjimi primeri kopičili nesporazumi.

Domena funkcije s korenom

Funkcija kvadratnega korena je definirana samo za tiste vrednosti "x", ko radikalni izraz je nenegativen: . Če se koren nahaja v imenovalcu , potem je pogoj očitno zaostren: . Podobni izračuni veljajo za vsak koren pozitivne sode stopnje: , pa je koren že 4. stopnje v funkcijske študije ne spomnim se.

Primer 5

Poiščite domeno funkcije

rešitev: radikalni izraz mora biti nenegativen:

Preden nadaljujem z reševanjem, naj vas spomnim na osnovna pravila za delo z neenačbami, znana iz šole.

Prosimo, upoštevajte Posebna pozornost! Zdaj razmišljamo o neenakosti z eno spremenljivko- to je za nas samo ena dimenzija vzdolž osi. Prosimo, ne zamenjujte z neenakosti dveh spremenljivk, kjer je geometrijsko vključena celotna koordinatna ravnina. Vendar pa obstajajo tudi prijetna naključja! Torej, za neenakost so naslednje transformacije enakovredne:

1) Pogoje je mogoče prenašati iz dela v del s spreminjanjem njihovih (pogojev) znaki.

2) Obe strani neenakosti lahko pomnožimo s pozitivnim številom.

3) Če obe strani neenakosti pomnožimo z negativnoštevilko, potem morate spremeniti sam znak neenakosti. Na primer, če je bilo "več", potem bo postalo "manj"; če je bil "manjši ali enak", potem bo postal "večji ali enak".

V neenačbi premaknemo »trojko« na desna stran s spremembo predznaka (pravilo št. 1):

Pomnožimo obe strani neenakosti z –1 (pravilo št. 3):

Pomnožimo obe strani neenakosti s (pravilo št. 2):

Odgovori: domena:

Odgovor lahko zapišemo tudi z enakovredno frazo: "funkcija je definirana pri."
Geometrično je definicijsko območje prikazano s senčenjem ustreznih intervalov na abscisni osi. V tem primeru:

Še enkrat vas opozarjam na geometrijski pomen domene definicije - grafa funkcije obstaja le v zasenčenem območju in je odsoten pri .

V večini primerov je primerna povsem analitična določitev domene definicije, ko pa je funkcija zelo zapletena, je treba narisati os in narediti opombe.

Primer 6

Poiščite domeno funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami.

Ko je pod kvadratnim korenom kvadratni binom ali trinom, postane situacija nekoliko bolj zapletena, zdaj pa bomo podrobno analizirali tehniko rešitve:

Primer 7

Poiščite domeno funkcije

rešitev: radikalni izraz mora biti strogo pozitiven, to pomeni, da moramo rešiti neenačbo. V prvem koraku poskušamo faktorizirati kvadratni trinom:

Diskriminanta je pozitivna, iščemo korenine:

Torej parabola seka abscisno os v dveh točkah, kar pomeni, da se del parabole nahaja pod osjo (neenakost), del parabole pa nad osjo (neenakost, ki jo potrebujemo).

Ker je koeficient , so veje parabole usmerjene navzgor. Iz navedenega sledi, da je neenakost izpolnjena na intervalih (veje parabole gredo navzgor v neskončnost), vrh parabole pa se nahaja na intervalu pod osjo x, kar ustreza neenakosti:

! Opomba: Če razlage ne razumete povsem, narišite drugo os in celotno parabolo! Priporočljivo je, da se vrnete k članku in priročniku Vroče formule za šolski tečaj matematike.

Upoštevajte, da so same točke odstranjene (niso vključene v rešitev), ker je naša neenakost stroga.

Odgovori: domena:

Na splošno se številne neenakosti (vključno z obravnavano) rešujejo z univerzalnim intervalna metoda, znova znana iz šolski kurikulum. Toda v primerih kvadratnih binomov in trinomov je po mojem mnenju veliko bolj priročno in hitreje analizirati lokacijo parabole glede na os. In v članku bomo podrobno analizirali glavno metodo - intervalno metodo. Funkcijske ničle. Intervali konstantnosti.

Primer 8

Poiščite domeno funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Vzorec podrobno komentira logiko sklepanja + drugi način reševanja in še ena pomembna transformacija neenačbe, brez poznavanja katere bo učenec šepal na eno nogo..., ...hmm... mogoče sem se navdušil okoli noge, bolj verjetno na enem prstu. Palec.

Ali je mogoče funkcijo kvadratnega korena definirati na celotni številski premici? Vsekakor. Vsi znani obrazi: . Ali podobna vsota z eksponentom: . Dejansko za vse vrednosti "x" in "ka": , torej tudi in .

Tukaj je manj očiten primer: . Tu je diskriminanta negativna (parabola ne seka osi x), medtem ko so veje parabole usmerjene navzgor, torej domena definicije: .

Nasprotno vprašanje: ali je domena definicije funkcije lahko prazno? Da, in primitiven primer se takoj predlaga , kjer je radikalni izraz negativen za katero koli vrednost "x", in domena definicije: (ikona prazne množice). Takšna funkcija sploh ni definirana (seveda je tudi graf navidezen).

Z nenavadnimi koreninami itd. vse je veliko bolje - tukaj radikalno izražanje je lahko negativno. Na primer, funkcija je definirana na celotni številski premici. Vendar ima funkcija eno samo točko, ki še vedno ni vključena v domeno definicije, saj je imenovalec nastavljen na nič. Iz istega razloga za funkcijo točke so izključene.

Domena funkcije z logaritmom

Tretja pogosta funkcija je logaritem. Kot primer bom narisal naravni logaritem, ki se pojavlja v približno 99 primerih od 100. Če določena funkcija vsebuje logaritem, potem mora njena definicijska domena vključevati samo tiste vrednosti "x", ki izpolnjujejo neenakost. Če je logaritem v imenovalcu: , potem dodatno postavljen je pogoj (od ).

Primer 9

Poiščite domeno funkcije

rešitev: v skladu z zgoraj navedenim bomo sestavili in rešili sistem:

Grafična rešitev za lutke:

Odgovori: domena:

Ustavil se bom še pri eni tehnični točki - nimam označene lestvice in delitve vzdolž osi niso označene. Postavlja se vprašanje: kako narediti takšne risbe v zvezku na karirastem papirju? Ali je treba razdaljo med točkami meriti s celicami strogo v skladu z merilom? Seveda je bolj kanoničen in strožji v merilu, vendar je tudi shematska risba, ki v bistvu odraža situacijo, povsem sprejemljiva.

Primer 10

Poiščite domeno funkcije

Za rešitev težave lahko uporabite metodo iz prejšnjega odstavka - analizirajte, kako se parabola nahaja glede na os x. Odgovor je na koncu lekcije.

Kot lahko vidite, je na področju logaritmov vse zelo podobno situaciji s kvadratnimi koreni: funkcija (kvadratni trinom iz primera št. 7) je definiran na intervalih in funkcija (kvadratni binom iz primera št. 6) na intervalu . Nerodno je celo reči, tipske funkcije so definirane na celotni številski premici.

Koristne informacije : tipična funkcija je zanimiva, definirana je na celotni številski premici razen točke. Glede na lastnost logaritma lahko »dvojko« pomnožimo zunaj logaritma, a da se funkcija ne spremeni, mora biti »x« pod znakom modula: . Tukaj je še ena "praktična uporaba" modula =). To je tisto, kar morate storiti v večini primerov, ko rušite celo stopnje, na primer: . Če je na primer osnova stopnje očitno pozitivna, potem znak modula ni potreben in je dovolj, da uporabimo oklepaj: .

Da se izognemo ponavljanju, zapletimo nalogo:

Primer 11

Poiščite domeno funkcije

rešitev: v tej funkciji imamo tako koren kot logaritem.

Radikalni izraz mora biti nenegativen: , izraz pod znakom logaritma pa mora biti strogo pozitiven: . Tako je potrebno rešiti sistem:

Mnogi dobro veste ali pa intuitivno slutite, da mora sistemska rešitev zadovoljiti vsakemu stanje.

Če preučimo lokacijo parabole glede na os, pridemo do zaključka, da je neenakost izpolnjena z intervalom (modro senčenje):

Neenakost očitno ustreza "rdečemu" polintervalu.

Ker morata biti izpolnjena oba pogoja istočasno, potem je rešitev sistema presečišče teh intervalov. " Skupni interesi» srečamo na polovičnem intervalu.

Odgovori: domena:

Tipične neenakosti, kot je prikazano v primeru št. 8, ni težko analitično razrešiti.

Najdena domena se ne bo spremenila za "podobne funkcije", npr. oz . Dodate lahko tudi nekaj neprekinjenih funkcij, na primer: ali takole: , ali celo takole: . Kot pravijo, sta koren in logaritem trmasta stvar. Edina stvar je, da če je ena od funkcij "ponastavljena" na imenovalec, se bo spremenila domena definicije (čeprav v splošnem primeru to ni vedno res). No, v matan teoriji o tem besednem... oh... obstajajo izreki.

Primer 12

Poiščite domeno funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Uporaba risbe je povsem primerna, saj funkcija ni najbolj preprosta.

Še nekaj primerov za okrepitev snovi:

Primer 13

Poiščite domeno funkcije

rešitev: sestavimo in rešimo sistem:

Vsa dejanja so bila že obravnavana v članku. Upodobimo interval, ki ustreza neenakosti na številski premici, in glede na drugi pogoj izločimo dve točki:

Pomen se je izkazal za popolnoma nepomembnega.

Odgovori: domena

Majhna matematična igra za različico 13. primera:

Primer 14

Poiščite domeno funkcije

To je primer, ki ga morate rešiti sami. Tisti, ki so zamudili, nimajo sreče ;-)

Zadnji del lekcije je namenjen bolj redkim, a tudi "delovnim" funkcijam:

Področja definicije funkcij
s tangenti, kotangensi, arksinusi, arkkosinusi

Če neka funkcija vključuje , potem iz svoje domene definicije izključena točke , Kje Z– niz celih števil. Še posebej, kot je navedeno v članku Grafi in lastnosti elementarnih funkcij ima funkcija naslednje vrednosti:

To je domena definicije tangente: .

Ne ubijajmo preveč:

Primer 15

Poiščite domeno funkcije

rešitev: v tem primeru naslednje točke ne bodo vključene v domeno definicije:

Vrzimo "dvojko" leve strani v imenovalec desne strani:

Kot rezultat :

Odgovori: domena: .

Načeloma lahko odgovor zapišemo kot kombinacijo neskončnega števila intervalov, vendar bo konstrukcija zelo okorna:

Analitična rešitev je popolnoma skladna z geometrijska transformacija grafa: če je argument funkcije pomnožen z 2, se bo njen graf dvakrat skrčil na os. Opazite, kako se je obdobje funkcije prepolovilo in prelomne točke podvojila frekvenco. Tahikardija.

Podobna zgodba s kotangensom. Če neka funkcija vključuje , potem so točke izključene iz njene definicijske domene. Zlasti za funkcijo samodejnega rafala posnamemo naslednje vrednosti:

Z drugimi besedami:

Vsak izraz s spremenljivko ima svoj obseg veljavnih vrednosti, kjer obstaja. Pri odločanju je treba vedno upoštevati ODZ. Če ga ni, lahko dobite napačen rezultat.

Ta članek bo pokazal, kako pravilno najti ODZ in uporabiti primere. Obravnavana bo tudi pomembnost navedbe DZ pri odločanju.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Veljavne in neveljavne vrednosti spremenljivk

Ta definicija je povezana z dovoljenimi vrednostmi spremenljivke. Ko uvedemo definicijo, poglejmo, do kakšnega rezultata bo pripeljala.

Od 7. razreda začnemo delati s številkami in številski izrazi. Začetne definicije s spremenljivkami preidejo na pomen izrazov z izbranimi spremenljivkami.

Če obstajajo izrazi z izbranimi spremenljivkami, nekateri od njih morda ne bodo zadovoljili. Na primer, izraz v obliki 1: a, če je a = 0, potem nima smisla, ker ga ni mogoče deliti z nič. To pomeni, da mora izraz imeti vrednosti, ki so v vsakem primeru primerne in bodo dale odgovor. Z drugimi besedami, smiselne so z obstoječimi spremenljivkami.

Definicija 1

Če obstaja izraz s spremenljivkami, potem je smiseln le, če je vrednost mogoče izračunati z njihovo zamenjavo.

Definicija 2

Če obstaja izraz s spremenljivkami, potem ni smiselno, če pri njihovi zamenjavi vrednosti ni mogoče izračunati.

To pomeni, da to pomeni popolno opredelitev

Definicija 3

Obstoječe dopustne spremenljivke so tiste vrednosti, za katere je izraz smiseln. In če ni smiselno, potem veljajo za nesprejemljive.

Za pojasnitev zgornjega: če obstaja več kot ena spremenljivka, potem lahko obstaja par ustreznih vrednosti.

Primer 1

Na primer, razmislite o izrazu v obliki 1 x - y + z, kjer so tri spremenljivke. V nasprotnem primeru ga lahko zapišete kot x = 0, y = 1, z = 2, drug vnos pa ima obliko (0, 1, 2). Te vrednosti se imenujejo veljavne, kar pomeni, da je vrednost izraza mogoče najti. Dobimo, da je 1 0 - 1 + 2 = 1 1 = 1. Iz tega vidimo, da so (1, 1, 2) nesprejemljivi. Posledica zamenjave je deljenje z nič, to je 1 1 - 2 + 1 = 1 0.

Kaj je ODZ?

Razpon sprejemljivih vrednosti je pomemben element pri ocenjevanju algebrskih izrazov. Zato je pri izračunih vredno biti pozoren na to.

Definicija 4

območje ODZ je nabor vrednosti, dovoljenih za dani izraz.

Poglejmo primer izraza.

Primer 2

Če imamo izraz v obliki 5 z - 3, potem ima ODZ obliko (− ∞, 3) ∪ (3, + ∞) . To je obseg veljavnih vrednosti, ki ustreza spremenljivki z za dani izraz.

Če obstajajo izrazi v obliki z x - y, potem je jasno, da x ≠ y, z ima poljubno vrednost. To se imenuje izrazi ODZ. Upoštevati ga je treba, da pri zamenjavi ne dobimo deljenja z ničlo.

Razpon dovoljenih vrednosti in obseg definicije imata enak pomen. Samo drugi od njih se uporablja za izraze, prvi pa za enačbe ali neenačbe. S pomočjo DL je izraz oziroma neenačba smiselna. Domena definicije funkcije sovpada z območjem dovoljenih vrednosti spremenljivke x za izraz f (x).

Kako najti ODZ? Primeri, rešitve

Iskanje ODZ pomeni iskanje vseh veljavnih vrednosti, primernih za dano funkcijo ali neenakost. Neupoštevanje teh pogojev lahko povzroči napačne rezultate. Za iskanje ODZ je pogosto treba iti skozi transformacije v danem izrazu.

Obstajajo izrazi, kjer je njihov izračun nemogoč:

  • če obstaja deljenje z ničlo;
  • jemanje korena negativnega števila;
  • prisotnost indikatorja negativnega celega števila - samo za pozitivna števila;
  • računanje logaritma negativnega števila;
  • domena definicije tangensa π 2 + π · k, k ∈ Z in kotangensa π · k, k ∈ Z;
  • iskanje vrednosti arksinusa in arkkosinusa števila za vrednost, ki ne pripada [-1; 1 ] .

Vse to kaže, kako pomembno je imeti ODZ.

Primer 3

Poiščite ODZ izraz x 3 + 2 x y − 4 .

rešitev

Poljubno število je mogoče kockati. Ta izraz nima ulomka, zato sta lahko vrednosti x in y poljubni. Se pravi, ODZ je poljubna številka.

odgovor: x in y – poljubne vrednosti.

Primer 4

Poiščite ODZ izraza 1 3 - x + 1 0.

rešitev

Vidimo lahko, da obstaja en ulomek, kjer je imenovalec enak nič. To pomeni, da bomo za vsako vrednost x dobili deljenje z nič. To pomeni, da lahko sklepamo, da se ta izraz šteje za nedefiniranega, to pomeni, da nima nobene dodatne odgovornosti.

odgovor: ∅ .

Primer 5

Poiščite ODZ danega izraza x + 2 · y + 3 - 5 · x.

rešitev

Prisotnost kvadratnega korena pomeni, da mora biti ta izraz večji ali enak nič. pri negativna vrednost nima smisla. To pomeni, da je treba zapisati neenačbo oblike x + 2 · y + 3 ≥ 0. To pomeni, da je to želeni obseg sprejemljivih vrednosti.

odgovor: množica x in y, kjer je x + 2 y + 3 ≥ 0.

Primer 6

Določite ODZ izraz oblike 1 x + 1 - 1 + log x + 8 (x 2 + 3) .

rešitev

Po pogoju imamo ulomek, zato njegov imenovalec ne sme biti enak nič. Dobimo, da je x + 1 - 1 ≠ 0. Radikalni izraz je vedno smiseln, če je večji ali enak nič, to je x + 1 ≥ 0. Ker ima logaritem, mora biti njegov izraz strogo pozitiven, to je x 2 + 3 > 0. Osnova logaritma mora imeti tudi pozitivna vrednost in različen od 1, potem dodamo pogoje x + 8 > 0 in x + 8 ≠ 1. Iz tega sledi, da bo želeni ODZ imel obliko:

x + 1 - 1 ≠ 0, x + 1 ≥ 0, x 2 + 3 > 0, x + 8 > 0, x + 8 ≠ 1

Z drugimi besedami se imenuje sistem neenakosti z eno spremenljivko. Rešitev bo vodila do naslednjega zapisa ODZ [ − 1, 0) ∪ (0, + ∞) .

odgovor: [ − 1 , 0) ∪ (0 , + ∞)

Zakaj je pri spodbujanju sprememb pomembno upoštevati DPD?

Pri transformacijah identitete je pomembno najti ODZ. Obstajajo primeri, ko obstoj ODZ ne pride. Če želite razumeti, ali ima dani izraz rešitev, morate primerjati VA spremenljivk prvotnega izraza in VA nastalega.

Preobrazbe identitete:

  • morda ne vpliva na DL;
  • lahko povzroči razširitev ali dopolnitev DZ;
  • lahko zoži DZ.

Poglejmo si primer.

Primer 7

Če imamo izraz v obliki x 2 + x + 3 · x, potem je njegov ODZ definiran čez celotno definicijsko domeno. Tudi pri vnosu podobnih izrazov in poenostavitvi izraza se ODZ ne spremeni.

Primer 8

Če vzamemo primer izraza x + 3 x − 3 x, potem je stvar drugačna. Imamo frakcijski izraz. In vemo, da je deljenje z nič nesprejemljivo. Takrat ima ODZ obliko (− ∞, 0) ∪ (0, + ∞) . Vidimo, da ničla ni rešitev, zato jo dodamo z oklepajem.

Oglejmo si primer s prisotnostjo radikalnega izraza.

Primer 9

Če obstaja x - 1 · x - 3, potem bodite pozorni na ODZ, saj ga je treba zapisati kot neenakost (x − 1) · (x − 3) ≥ 0. Možno je reševati z intervalno metodo, takrat ugotovimo, da bo ODZ imel obliko (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) . Po transformaciji x - 1 · x - 3 in uporabi lastnosti korenin imamo, da lahko ODZ dopolnimo in vse zapišemo v obliki sistema neenačb oblike x - 1 ≥ 0, x - 3 ≥ 0. Pri reševanju ugotovimo, da je [ 3 , + ∞) . To pomeni, da je ODZ v celoti zapisan takole: (− ∞, 1 ] ∪ [ 3 , + ∞) .

Izogibati se je treba preobrazbam, ki zožijo DZ.

Primer 10

Oglejmo si primer izraza x - 1 · x - 3, ko je x = - 1. Pri zamenjavi dobimo, da je - 1 - 1 · - 1 - 3 = 8 = 2 2 . Če ta izraz preoblikujemo in ga pripeljemo v obliko x - 1 · x - 3, potem pri izračunu ugotovimo, da 2 - 1 · 2 - 3 izraz nima smisla, saj radikalni izraz ne sme biti negativen.

Upoštevati je treba enake preobrazbe, ki jih ODZ ne bo spremenil.

Če obstajajo primeri, ki to razširjajo, jih je treba dodati DL.

Primer 11

Poglejmo si primer ulomka oblike x x 3 + x. Če odštejemo z x, potem dobimo to 1 x 2 + 1. Nato se ODZ razširi in postane (− ∞ 0) ∪ (0 , + ∞) . Poleg tega pri izračunu že delamo z drugim poenostavljenim ulomkom.

Pri prisotnosti logaritmov je situacija nekoliko drugačna.

Primer 12

Če obstaja izraz v obliki ln x + ln (x + 3), se nadomesti z ln (x · (x + 3)), ki temelji na lastnosti logaritma. Iz tega lahko vidimo, da je ODZ od (0 , + ∞) do (− ∞ , − 3) ∪ (0 , + ∞) . Zato je za določitev ODZ ln (x · (x + 3)) potrebno izvesti izračune na ODZ, to je množici (0, + ∞).

Pri reševanju je treba vedno paziti na strukturo in vrsto izraza, ki ga podaja pogoj. Če je območje definicije pravilno najdeno, bo rezultat pozitiven.

Če v besedilu opazite napako, jo označite in pritisnite Ctrl+Enter



 

Morda bi bilo koristno prebrati: