Hangi sayı 12 ve 7 ile bölünebilir. Bileşik bir sayı ile bölünme işaretleri

6. sınıftaki matematik, bölünebilirlik kavramının ve bölünebilirliğin işaretlerinin incelenmesiyle başlar. Genellikle bu tür sayılarla bölünebilirlik işaretleri ile sınırlıdır:

Açık 2 : son hane 0, 2, 4, 6 veya 8 olmalıdır;
Açık 3 : sayının rakamlarının toplamı 3'e bölünebilir olmalıdır;
Açık 4 : son iki basamaktan oluşan sayı 4'e bölünebilir olmalıdır;
Açık 5 : son hane 0 veya 5 olmalıdır;
Açık 6 : sayının 2 ve 3'e bölünebilme işaretleri olmalıdır;
Bölünebilme işareti 7 genellikle atlanır;
Nadiren bölünebilme testi hakkında da konuşurlar mı? 8 , 2 ve 4'e bölünme belirtilerine benzemekle birlikte, bir sayının 8'e bölünebilmesi için üç basamaklı sonun 8'e tam bölünebilir olması gerekli ve yeterlidir.
Bölünebilme işareti 9 herkes bilir: bir sayının rakamlarının toplamı 9'a bölünebilir olmalıdır. Ancak bu, numerologların kullandığı tarihlerle yapılan her türlü numaraya karşı bağışıklık geliştirmez.
Bölünebilme işareti 10 , muhtemelen en basiti: sayı sıfır ile bitmelidir.
Bazen altıncı sınıf öğrencilerine de bölünebilmenin işareti anlatılır. 11 . Sayının çift yerlerdeki rakamlarını toplamanız, tek yerlerdeki sayıları sonuçtan çıkarmanız gerekir. Sonuç 11'e bölünebiliyorsa, sayının kendisi de 11'e bölünebilir.

Şimdi 7'ye bölünme işaretine dönelim. Eğer ondan bahsediyorlarsa 13'e bölünme işareti ile birleştirilir ve bu şekilde kullanılması tavsiye edilir.

numara alıyoruz. Her biri 3 haneli bloklara böleriz (en soldaki blok bir veya 2 hane içerebilir) ve dönüşümlü olarak bu blokları toplar / çıkarırız.

Sonuç 7, 13 (veya 11) ile bölünebilirse, sayının kendisi 7, 13 (veya b 11) ile bölünebilir.

Bu yöntem, bir dizi matematiksel hilenin yanı sıra, 7x11x13 \u003d 1001 olduğu gerçeğine dayanmaktadır. Bununla birlikte, bölünebilirlik sorununun bazen bölmenin kendisi olmadan çözülemediği üç basamaklı sayılarla ne yapılacağı.

Evrensel bölünebilirlik testi kullanılarak, göreceli olarak oluşturulabilir basit algoritmalar bir sayının 7'ye ve diğer "uygunsuz" sayılara bölünüp bölünemeyeceğini belirleme.

7 ile bölünebilirlik testi iyileştirildi
Bir sayının 7'ye bölünebilir olup olmadığını kontrol etmek için, sayıdan son basamağı atmanız ve bu basamağı elde edilen sonuçtan iki kez çıkarmanız gerekir. Sonuç 7'ye bölünebiliyorsa, sayının kendisi de 7'ye bölünebilir.

Örnek 1:
238 7'ye bölünebilir mi?
23-8-8 = 7. Yani 238 sayısı 7'ye bölünebilir.
Gerçekten, 238 = 34x7

Bu eylem birden çok kez gerçekleştirilebilir.
Örnek 2:
65835 7'ye bölünebilir mi?
6583-5-5 = 6573
657-3-3 = 651
65-1-1 = 63
63, 7'ye bölünebilir (bunu fark etmeseydik, 1 adım daha atabilirdik: 6-3-3 = 0 ve 0, 7'ye kesinlikle bölünebilir).

Yani 65835 sayısı da 7'ye bölünebilir.

Evrensel bölünebilme kriterine göre 4'e ve 8'e bölünebilirlik kriterini iyileştirmek mümkündür.

4'e bölünebilme için iyileştirilmiş test
Birim sayısının yarısı artı onlar sayısının yarısı çift sayı ise, sayı 4'e bölünebilir.

Örnek 3
52 sayısı 4 ile bölünebilir mi?
5+2/2 = 6, sayı çift olduğundan sayı 4'e bölünebilir.

Örnek 4
134 sayısı 4'e tam bölünür mü?
3+4/2 = 5, tek sayı, yani 134 4'e bölünmez.

8'e bölünebilme için iyileştirilmiş test
Yüzlerin sayısının iki katını, onlukların sayısını ve birimlerin sayısının yarısını eklerseniz ve sonuç 4'e bölünebilirse, sayının kendisi 8'e bölünebilir.

Örnek 5
512 sayısı 8 ile bölünebilir mi?
5*2+1+2/2 = 12, sayı 4'e bölünebilir yani 512 8'e bölünebilir.

Örnek 6
1984 sayısı 8'e bölünebilir mi?
9*2+8+4/2 = 28, sayı 4'e bölünebilir yani 1984 8'e bölünebilir.

12 ile bölünebilme işareti 3'e ve 4'e bölünebilirlik işaretlerinin birleşimidir. Aynısı, koprime p ve q'nun ürünü olan herhangi bir n için de geçerlidir. Bir sayının n'ye bölünebilmesi için (bu sayı pq'nun çarpımına eşittir, öyle ki ebob(p,q)=1), aynı anda hem p hem de q ile bölünebilir olmalıdır.

Ancak dikkatli olun! Bölünebilirliğin bileşik işaretlerinin çalışabilmesi için, sayının çarpanlarının tam olarak aralarında asal olması gerekir. Bir sayı 2 ve 4'e bölünebiliyorsa 8'e bölünebilir diyemezsiniz.

13'e bölünebilme için iyileştirilmiş test
Bir sayının 13'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için, sayıdan son basamağı atmanız ve elde edilen sonuca dört kez eklemeniz gerekir. Sonuç 13'e bölünebiliyorsa, sayının kendisi 13'e bölünebilir.

Örnek 7
65835 8'e bölünebilir mi?
6583+4*5 = 6603
660+4*3 = 672
67+4*2 = 79
7+4*9 = 43

43 sayısı 13'e bölünmez yani 65835 sayısı da 13'e bölünmez.

Örnek 8
715 13'e tam bölünür mü?
71+4*5 = 91
9+4*1 = 13
13 sayısı 13'e tam bölündüğü için 715 de 13'e tam bölünür.

14, 15, 18, 20, 21, 24, 26, 28 ile bölünme işaretleri ve asalların üssü olmayan diğer bileşik sayılar, 12'ye bölünme kriterlerine benzer. Bu sayıların bölünebilirliğini, asal çarpanları ile kontrol ederiz.

14 için: 2 için ve 7 için;
15 için: 3'e ve 5'e;
18:2 ve 9 için;
21 için: 3'te ve 7'de;
20 için: 4 ve 5 (veya başka bir deyişle, son rakam sıfır olmalı ve sondan bir önceki rakam çift olmalıdır);
24:3 ve 8 için;
26: 2 ve 13 için;
28: 4 ve 7 için.

16'ya bölünebilme testi iyileştirildi.
4 basamaklı sonun 16'ya bölünüp bölünmediğini kontrol etmek yerine, birler basamağını onlar basamağının on katı, yüzler basamağını dört katına ve
bin basamağının sekiz katı ve sonucun 16 ile bölünebilir olup olmadığına bakın.

Örnek 9
1984 16'ya bölünebilir mi?
4+10*8+4*9+2*1 = 4+80+36+2 = 126
6+10*2+4*1=6+20+4=30
30 sayısı 16'ya tam bölünemediği için 1984 de 16'ya tam bölünemez.

Örnek 10
1526 sayısı 16 ile bölünebilir mi?
6+10*2+4*5+2*1 = 6+20+20+2 = 48
48 sayısı 16'ya tam bölünemediği için 1526 da 16'ya tam bölünür.

17 ile bölünebilme testi iyileştirildi.
Bir sayının 17 ile bölünebilir olup olmadığını kontrol etmek için, sayıdan son basamağı atmanız ve bu rakamı elde edilen sonuçtan beş kez çıkarmanız gerekir. Sonuç 13'e bölünebiliyorsa, sayının kendisi 13'e bölünebilir.

Örnek 11
59772 sayısı 17'ye bölünebilir mi?
5977-5*2 = 5967
596-5*7 = 561
56-5*1 = 51
5-5*5 = 0
0, 17'ye bölünebilir, yani 59772 de 17'ye bölünebilir.

Örnek 12
4913 17 ile bölünebilir mi?
491-5*3 = 476
47-5*6 = 17
17 sayısı 17'ye tam bölündüğü için 4913 de 17'ye tam bölünür.

19'a bölünebilme testi iyileştirildi.
Bir sayının 19'a bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için, son basamağı attıktan sonra kalan sayıya son basamağın iki katını eklemeniz gerekir.

Örnek 13
9044 sayısı 19'a bölünebilir mi?
904+4+4 = 912
91+2+2 = 95
9+5+5 = 19
19 sayısı 19'a tam bölündüğü için 9044 de 19'a tam bölünür.

23'e bölünebilme testi iyileştirildi.
Bir sayının 23'e bölünüp bölünmediğini kontrol etmek için, son basamağı attıktan sonra kalan sayıya 7 kat artan son basamağı eklemeniz gerekir.

Örnek 14
208012 sayısı 23'e bölünebilir mi?
20801+7*2 = 20815
2081+7*5 = 2116
211+7*6 = 253
Aslında, 253'ün 23 olduğunu zaten görebilirsiniz,

1'den 10'a kadar olan sayılar ile 11 ve 25'e bölme kuralları, doğal sayıları bölme işlemini basitleştirmek için geliştirilmiştir. 2, 4, 6, 8, 0 ile bitenler çift kabul edilir.

Bölünebilirlik belirtileri nelerdir?

Aslında bu, sayının önceden ayarlanmış sayıya bölünüp bölünmeyeceğini hızlı bir şekilde belirlemenizi sağlayan bir algoritmadır. Bölünebilirlik işaretinin bölmeden kalanı bulmayı da mümkün kıldığı durumda, buna eşdirenç işareti denir.

2 sayısına bölünebilme işareti

Bir sayı, son basamağı çift veya sıfır ise ikiye bölünebilir. Diğer durumlarda, bölünme mümkün olmayacaktır.

Örneğin:

52.734, 2'ye bölünebilir çünkü son basamağı 4'tür, yani çifttir. 7693 2'ye bölünmez çünkü 3 tektir. 1240 bölünebilir çünkü son basamağı sıfırdır.

3 ile bölünebilme işaretleri

Basamak 3, yalnızca toplamı 3'e bölünebilen sayıların katıdır

Örnek:

17.814 sayısı 3'e bölünebilir çünkü rakamları toplamı 21'dir ve 3'e tam bölünebilir.

4 sayısına bölünebilme işareti

Bir sayı, son iki basamağı sıfırsa veya 4'ün katını oluşturabiliyorsa 4'e bölünebilir. Diğer tüm durumlarda bölme işlemi çalışmaz.

Örnekler:

31.800, sonunda iki sıfır olduğu için 4'e bölünebilir. 4 846 854 4'e bölünmez çünkü son iki basamak 4'e bölünmeyen 54 sayısını oluşturur. 16604, 4 ile bölünebilir, çünkü 04'ün son iki basamağı 4'e bölünebilen 4 sayısını oluşturur.

5 sayısına bölünebilme işareti

5, son basamağı sıfır veya beş olan sayıların katıdır. Diğerleri paylaşmaz.

Örnek:

245 5'in katıdır çünkü son hane 5'tir. 774 5'in katı değildir çünkü son hane dörttür.

6 sayısı ile bölünebilme işareti

Bir sayı 2'ye ve 3'e aynı anda bölünebiliyorsa 6'ya bölünebilir, diğer durumlarda bölünemez.

Örneğin:

216 sayısı 6'ya bölünebilir çünkü hem ikinin hem de üçün katıdır.

7 ile bölünebilme işareti

7'nin katı, son çift basamağı bu sayıdan çıkarırken, ancak onsuz (son basamak olmadan) 7'ye bölünebilen bir değer elde edilirse bir sayıdır.

Örneğin 637, 7'nin katıdır çünkü 63-(2 7)=63-14=49'dur. 49'a bölünebilir.

8 sayısı ile bölünebilme işareti

4 rakamıyla bölünebilirliğin bir işareti gibi görünüyor. Son basamaklar üç (dört durumunda olduğu gibi iki değil) sıfırsa veya 8'in katını oluşturabiliyorsa, sayı 8'e bölünebilir. Diğer tüm durumlarda, bölünemez.

Örnekler:

456.000, sonunda üç sıfır olduğu için 8'e bölünebilir. 160.003, 8'e bölünemez çünkü son üç basamak 4'ü oluşturur ve bu 8'in katı değildir. 111.640, 8'in katıdır çünkü son üç basamak 640'ı oluşturur ve bu sayı 8'e bölünebilir.

Bilginize: Aynı işaretleri 16, 32, 64 vb. sayılara bölmek için adlandırabilirsiniz. Ama pratikte önemli değiller.

9 ile bölünebilme işareti

9'a bölünebilen sayılar, rakamları toplamı 9'a bölünebilen sayılardır.

Örneğin:

111499 sayısı 9'a tam bölünemez çünkü (25) rakamlarının toplamı 9'a bölünemez. 51 633 sayısı 9'a bölünebilir çünkü rakamları (18) toplamı 9'dur.

10'a, 100'e ve 1000'e bölünme işaretleri

Son basamağı 0 olan sayıları 10'a, son iki basamağı sıfır olan sayıları 100'e, son üç basamağı sıfır olan sayıları 1000'e bölebilirsiniz.

Örnekler:

4500, 10 ve 100'e bölünebilir. 778.000, 10, 100 ve 1000'in katıdır.

Artık sayıların bölünebilirlik belirtilerinin ne olduğunu biliyorsunuz. Başarılı hesaplamalar ve ana şeyi unutmayın: tüm bu kurallar matematiksel hesaplamaları basitleştirmek için verilmiştir.

İtibaren Okul müfredatı birçok kişi bölünebilirlik belirtileri olduğunu hatırlar. Bu ifade, doğrudan bir aritmetik işlem gerçekleştirmeden bir sayının belirli bir sayının katı olup olmadığını hızlı bir şekilde belirlemenizi sağlayan kurallar olarak anlaşılır. Bu yöntem, konumsal girişteki rakamların bir kısmı ile gerçekleştirilen eylemlere dayanmaktadır.

Pek çok insan, okul müfredatından bölünebilirliğin en basit işaretlerini hatırlar. Örneğin, kayıttaki son basamağı çift olan tüm sayıların 2'ye bölünebilir olması. Bu özellik, pratikte hatırlaması ve uygulaması en kolay olanıdır. 3'e bölme yönteminden bahsedersek, çok basamaklı sayılar için böyle bir örnekte gösterilebilecek aşağıdaki kural geçerlidir. 273'ün üçün katı olup olmadığını öğrenmeniz gerekiyor. Bunu yapmak için şu işlemi yapın: 2+7+3=12. Ortaya çıkan toplam 3'e bölünebilir, bu nedenle 273, sonuç bir tam sayı olacak şekilde 3'e bölünecektir.

5 ve 10 ile bölünebilmenin işaretleri aşağıdaki gibi olacaktır. İlk durumda giriş 5 veya 0, ikinci durumda sadece 0 ile bitecektir. Bölünebilenin dördün katı olup olmadığını öğrenmek için aşağıdakileri yapın. Son iki haneyi izole etmek gereklidir. İki sıfır veya 4 ile kalansız bölünebilen bir sayı ise, bölünebilen her şey bölenin katı olacaktır. Listelenen işaretlerin yalnızca ondalık sistemde kullanıldığına dikkat edilmelidir. Diğer sayma yöntemlerine uygulanmazlar. Bu gibi durumlarda, sistemin temeline bağlı olarak kendi kuralları türetilir.

6'ya bölmenin işaretleri aşağıdaki gibidir. hem 2'nin hem de 3'ün katıysa 6. Bir sayının 7'ye bölünüp bölünmediğini belirlemek için, girişindeki son basamağı ikiye katlamanız gerekir. Elde edilen sonuç, son rakamın dikkate alınmadığı orijinal sayıdan çıkarılır. Bu kural aşağıdaki örnekte görülebilir. 364'ün bir kat olup olmadığını bulmak gerekiyor, bunun için 4'ü 2 ile çarpıyoruz, 8 çıkıyor. Sonraki eylem: 36-8=28. Elde edilen sonuç 7'nin katıdır ve bu nedenle orijinal 364 sayısı 7'ye bölünebilir.

8 ile bölünmenin işaretleri aşağıdaki gibidir. Bir sayıdaki son üç basamak sekizin katı bir sayı oluşturuyorsa, sayının kendisi verilen bölen tarafından bölünebilir.

Çok basamaklı bir sayının 12'ye bölünüp bölünmediğini aşağıdaki şekilde öğrenebilirsiniz. Yukarıda listelenen bölünebilirlik kriterlerini kullanarak, sayının 3 ve 4'ün katı olup olmadığını bulmanız gerekir. Aynı anda bir sayı için bölen görevi görebilirlerse, o zaman belirli bir bölünebilir ile 12'ye de bölünebilirsiniz. Benzer bir kural diğer karmaşık sayılar için geçerlidir, örneğin on beş. Bu durumda bölenleri 5 ve 3 olmalıdır. Bir sayının 14'e bölünüp bölünmediğini öğrenmek için 7 ve 2'nin katı olup olmadığına bakmalısınız. Aşağıdaki örnekte bunu düşünebilirsiniz. 658'in 14'e bölünüp bölünemeyeceğini belirlemek gerekir. Girişteki son rakam çifttir, bu nedenle sayı ikinin katıdır. Sonra 8'i 2 ile çarpıyoruz, 16 elde ediyoruz. 65'ten 16'yı çıkarmanız gerekiyor. Sonuç 49, tam sayı gibi 7'ye bölünebilir. Bu nedenle, 658, 14'e de bölünebilir.

Eğer son iki hane verilen numara 25 ile bölünebilir, o zaman hepsi bu bölenin katı olacaktır. Çok basamaklı sayılar için, 11'e bölünebilirlik işareti aşağıdaki gibi ses çıkarır. Kayıtta tek ve çift yerlerde bulunan rakamların toplamları arasındaki farkın verilen bir bölenin katı olup olmadığını öğrenmek gerekir.

Sayıların bölünebilirlik işaretlerinin ve bilgilerinin, yalnızca matematikte değil, aynı zamanda matematikte de karşılaşılan birçok sorunu büyük ölçüde basitleştirdiği belirtilmelidir. Gündelik Yaşam. Bir sayının diğerinin katı olup olmadığını belirleme özelliği sayesinde çeşitli görevleri hızlı bir şekilde gerçekleştirebilirsiniz. Ayrıca bu yöntemlerin matematik derslerinde kullanılması öğrencilerin veya okul çocuklarının gelişimine yardımcı olacak, belirli yeteneklerin gelişimine katkıda bulunacaktır.

Etkareva Alina

6. sınıf için araştırma çalışma projesi

İndirmek:

Ön izleme:

Öğrencilerin bölge bilimsel konferansı

Bölüm "Matematik"

"Doğal sayılarla bölünebilmenin işaretleri"

Etkareva Alina,

6. sınıf öğrencisi

GBOU SOSH tren istasyonu Yükleniyor

Bilim danışmanı:

Stepanova Galina Alekseevna

matematik öğretmeni

GBOU SOSH tren istasyonu Yükleniyor

Kediler

Giriş……………………………………………………………………...3

1. Bölüm 1. Biraz tarih ………………………………………….4 -5

2. Bölüm 2. Bölünebilirlik işaretleri

5-6

2.2. Doğal sayıların 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ile bölünebilme işaretleri, bağımsız olarak elde edilmiştir……………………………………………………..6- 7

2.3. Farklı kaynaklarda açıklanan 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ile bölünebilme işaretleri ................................ ................... ................................ 8-11

3.Bölüm 3. Doğal sayıların bölünebilirlik işaretlerinin problem çözümünde uygulanması ...................................... ............ ...................................... ..........................11-14

Çözüm. …………………………………………………………..15

Kullanılan literatür listesi…………………………………………16

giriiş

alaka: “Doğal sayıların 2, 3, 5, 9, 10'a bölünebilirliğinin işaretleri” konusunu incelerken, sayıların bölünebilirliği sorusu ilgimi çekti. Her zaman aynı olmadığı biliniyor doğal sayı başka bir doğal sayıya kalansız bölünebilir. Doğal sayıları bölerken bir kalan alırız, hata yaparız ve bunun sonucunda zaman kaybederiz. Bölünebilirlik kriteri, bölme işlemi yapmadan bir doğal sayının diğerine bölünebilir olup olmadığını belirlemeye yardımcı olur. yazmaya karar verdim Araştırma çalışması Bu konuda.

Hipotez: Doğal sayıların 2'ye, 3'e, 5'e, 9'a, 10'a bölünebilirliği belirlenebiliyorsa, o zaman doğal sayıların diğer sayılarla bölünebilirliğini belirleyebilecek işaretler bulunmalıdır.

çalışmanın amacı:Doğal sayıların bölünebilirliği.

Çalışma konusu:Doğal sayıların bölünebilirlik işaretleri.

Hedef: Benim tarafımdan incelenen doğal sayıların zaten bilinen bölünebilirlik işaretlerini tamamen tamamlayın.

Görevler:

Konunun tarihçiliğini inceleyin.
Okulda öğrendiğim 2, 3, 5, 9, 10 ile bölünme işaretlerini tekrarlayın.
Doğal sayıların 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ile bölünebilme işaretlerini bağımsız olarak araştırın.
Doğal sayıların diğer bölünebilirlik işaretlerinin varlığı hakkındaki hipotezin doğruluğunu ve belirlediğim bölünebilirlik işaretlerinin doğruluğunu teyit eden ek literatürü incelemek.
Ek literatürden bulunan doğal sayıların 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ile bölünebilme işaretlerini yazın.
Bir sonuca varın.
Konuyla ilgili bir slayt sunumu yapın: "Bölünebilirlik işaretleri."
"Doğal sayıların bölünebilirlik işaretleri" adlı bir broşür derleyin.

Yenilik:

Proje süresince doğal sayıların bölünebilirlik işaretleri hakkındaki bilgilerimi tazeledim.

Araştırma Yöntemleri:Materyal toplama, veri işleme, gözlem, karşılaştırma, analiz, genelleme.

Bölüm 1. Biraz tarih.

Bölünebilirlik kriteri, bir doğal sayının diğerine bölünebilir olup olmadığını bölmeden belirleyebileceğiniz bir kuraldır. Bölünebilirlik işaretleri her zaman bilim insanlarının ilgisini çekmiştir. Farklı ülkeler ve zamanlar.

2, 3, 5, 9, 10 ile bölünebilme işaretleri eski zamanlardan beri bilinmektedir. 2'ye bölünme işareti eski Mısırlılar tarafından MÖ 2 bin yıl biliniyordu ve 2, 3, 5'e bölünme işaretleri İtalyan matematikçi Leonardo Fibonacci (1170-1228) tarafından detaylandırıldı.

"Asal ve Bileşik Sayılar" konusunu incelerken, asal sayılar tablosunu derleme sorusu ilgimi çekti, çünkü asal sayılar diğer tüm sayıların incelenmesinde önemli bir rol oynuyor. MÖ 3. yüzyılda yaşamış İskenderiyeli bilim adamı Eratosthenes'in de aynı soruyu düşündüğü ortaya çıktı. Asal sayıların bir listesini derleme yöntemine "Eratosthenes eleği" adı verildi. 100'e kadar olan tüm asal sayıları bulmak gerekli olsun. 100'e kadar olan tüm sayıları arka arkaya yazalım.

1 , 2, 3, 4, 5, 6, 7 , 8, 9, 10 , 11, 12 , 13, 14, 15, 16 , 17, 18 , 19, 20, 21, 22 , 23 , 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30 , 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37 , 38, 39, 40, 41 , 42, 43, 44, 45, 46 , 47, 48, 49, 50, 51, 52 , 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60 , 61 , 62, 63, 64, 65, 66 , 67, 68, 69, 70 , 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78 , 79, 80, 81, 82 , 83 , 84, 85, 86, 87, 88 , 89, 90, 91, 92, 93, 94, 95, 96 , 97, 98, 99, 100 .

2 sayısını bırakarak, diğer tüm çift sayıların üzerini çizin. 2'den sonra kalan ilk sayı 3 olacaktır. Şimdi 3 sayısını bırakarak 3'e bölünebilen sayıların üstünü çiziyoruz. Ardından 5'e bölünebilen sayıların üstünü çiziyoruz. Sonuç olarak, tüm bileşik sayıların üzeri çizilecek ve sadece asal olacak sayılar kalacaktır: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, büyük 100.

Sayıların bölünebilirliği soruları Pisagorcular tarafından ele alındı. Sayılar teorisinde, doğal sayıların tipolojisi üzerine pek çok çalışma yaptılar. Pisagorcular onları sınıflara ayırdı. Sınıflar ayırt edildi: mükemmel sayılar (kendi bölenlerinin toplamına eşit bir sayı, örneğin: 6=1+2+3), dost sayılar (her biri diğerinin bölenlerinin toplamına eşittir, örneğin 220 ve 284: 284=1+2+4+5+ 10+20+11+22+44+55+110; 220=1+2+4+71+142), kıvırcık sayılar (üçgen sayı, kare sayı) , asal sayılar vb.

Blaise Pascal Pisagor. Pisalı Leonardo Eratosthenes

(Fibonacci)

Blaise Pascal (1623-1662), sayıların bölünebilirlik işaretlerinin incelenmesine büyük katkı yaptı. Genç Blaise, okumayı öğrenmeden önce saymayı öğrenerek çok erken yaşlarda olağanüstü matematiksel yetenekler gösterdi. Genel olarak, onun örneği, çocukların matematik dehasının klasik bir örneğidir. İlk matematiksel incelemesi olan An Experience in the Theory of Conic Sections'ı 24 yaşında yazdı. Aynı sıralarda, toplama makinesinin prototipi olan mekanik bir toplama makinesi tasarladı. Çalışmasının ilk döneminde (1640-1650), çok yönlü bir bilim adamı, herhangi bir tam sayının, tüm özel işaretlerin takip ettiği başka bir tam sayıya bölünebilirlik işaretlerini bulmak için bir algoritma buldu. İşareti aşağıdaki gibidir: Doğal sayı A başka bir doğal sayıya bölünebilir B yalnızca sayının basamaklarının çarpımlarının toplamı ise A bit birimlerinin sayıya bölünmesiyle elde edilen karşılık gelen kalanlara B, bu sayıya bölünür.

Bu nedenle bölünebilmenin işaretleri eski çağlardan beri bilinmekte ve matematikçilerin ilgisini çekmektedir.

Bölüm 2

2.1 Okulda çalışılan doğal sayıların bölünebilirlik işaretleri.

Bu konuyu incelerken bölen, kat, asal ve bileşik sayı kavramlarını bilmeniz gerekir.

doğal sayının böleni A doğal sayı denir b , hangi a kalansız bölünür.

Genellikle bir sayının bölünebilirliği ile ilgili ifade A b sayısı üzerinde diğer eşdeğer kelimelerle ifade edilir: a, b'nin katıdır, b, a'nın bölenidir, b, a'yı böler.

Asal sayılar, iki böleni olan doğal sayılardır: 1 ve sayının kendisi. Örneğin, 5,7,19 sayıları asaldır, çünkü 1'e ve kendisine bölünebilir.

İkiden fazla çarpanı olan sayılara bileşik sayılar denir. Örneğin, 14 sayısının 4 böleni vardır: 1, 2, 7, 14, yani bileşiktir.

O…..

2.2 Doğal sayıların bağımsız olarak elde edilen 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000 ile bölünebilirlik işaretleri.

Bölme, doğal sayıları çarpma eylemlerini gerçekleştirerek, eylemlerin sonuçlarını gözlemleyerek kalıplar buldum ve aşağıdaki bölünebilirlik işaretlerini aldım.

4 ile bölünebilmenin işareti

25 4=1 00 ; 56 4=2 24 ; 123 4=4 92 ; 125 4=5 00 ; 2345 4=93 80; 2500 4=100 00 ;

Doğal sayıları 4 ile çarptığımda, sayının son iki basamağından oluşan sayıların 4'e kalansız bölünebildiğini fark ettim.

4 ile bölünebilmenin işareti şu şekildedir: doğal h

6 ile bölünebilme işareti.

6=2 3 olduğuna dikkat edin 6 ile bölünebilme işareti: Bir doğal sayı aynı anda 2 ve 3'e tam bölünüyorsa 6'ya tam bölünür.

Örnekler:

216, 2'ye (6 ile biten) ve 3'e (8+1+6=15, 15׃3) bölünebilir, dolayısıyla sayı 6'ya bölünebilir.

8 ile bölünebilme işareti

Doğal bir sayıyı 8 ile çarparken şöyle bir model fark ettim, sayılar üç 0-la ile bitiyor veya son üç basamak 8'e bölünebilen bir sayı oluşturuyor.

Yani bu işaret. doğal h

15 ile bölünebilme işareti

15=3 5 olduğuna dikkat edin

Örnekler:

25 ile bölünebilme işareti

Doğal çarpma işlemini yapmak çeşitli sayılar 25 yaşında şu kalıbı gördüm: işler 00, 25, 50, 75'te bitiyor.

Çok doğal bir sayı 00, 25, 50, 75 ile bitiyorsa 25'e bölünebilir.

50 ile bölünebilme işareti

Sayılar 50 ile bölünebilir: 50, 1

Araç, Bir doğal sayı, ancak ve ancak iki sıfır veya 50 ile bitiyorsa 50 ile bölünebilir.

Bir doğal sayının sonunda bir bit birimindeki kadar sıfır varsa, bu sayı bu bit birimine bölünebilir.

Örnekler:

25600 100'e tam bölünür çünkü sayılar aynı sayıda sıfırla biter. 8975000, 1000'e bölünebilir çünkü her iki sayı da 000 ile biter.

Böylece, sayılarla eylemler gerçekleştirerek ve kalıpları fark ederek, bölünebilirlik işaretlerini formüle ettim ve ek literatürden, doğal sayıların 4, 6, 8, 15, 25, 50 ile bölünebilirliği için formüle ettiğim işaretlerin doğruluğunun onayını buldum. 100, 1000.

2.3 Doğal sayıların 7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ile bölünebilme işaretleri çeşitli kaynaklarda açıklanmıştır.

Ek literatürden, doğal sayıların 7'ye bölünebilirliğine dair birkaç işaret buldum.

P 7 ile bölünebilme işaretleri:

Örnekler:

479345 7'ye bölünemez çünkü 479-345=134, 134 7'ye bölünmez.

Örnekler:

4592 7'ye tam bölünür çünkü 45 2=90, 90+92=182, 182 7'ye bölünebilir.

57384 7'ye bölünemez çünkü 573 2=1146, 1146+84=1230,1230 7'ye bölünmez

aba

Örnekler:

evet

Örnekler:

aab

Örnekler:

evet

Örnekler:

10׃7=1 (kalan 3)

100׃7=14 (kalan 2)

1000׃7=142 (kalan 6)

10000׃7=1428 (ost 4)

100000׃7=14285 (kalan 5)

6 +3 2 +1 3 +6=21, 21/7

354722 sayısı 7 ile tam bölünemez çünkü 3 5+5 4+4 6+7 2+2 3+2=81, 81 7'ye bölünmez 7, 1000'in 7'ye bölümünden 6 kalan, 100'ün 7'ye bölümünden 2 kalan, 3'e bölümünden kalan 10'a 7).

11 ile bölünebilmenin işaretleri

Örnek:

2 1 3 5 7 0 4

1 3 5 2 7 3 6

Örnekler:

12 ile bölünebilme işareti

Örnekler:

13 ile bölünebilme işaretleri

Örnekler:

14 ile bölünebilme işareti

Örnekler:

35882 sayısı 2 ve 7'ye bölünebildiği için 14'e tam bölünür.

19 ile bölünebilme işareti.

Örnekler:

153 4

182 4 182+4 2=190, 190/19 yani sayı 1824/19'dur.

37 ile bölünebilme işaretleri.

Örnek:

Böylece, içinde Doğal sayıların tüm bölünebilirlik işaretleri 4 gruba ayrılabilir:

1 grup - sayıların bölünebilirliği son basamak (lar) ile belirlendiğinde - bunlar 2'ye, 5'e, bit birimine, 4'e, 8'e, 25'e, 50'ye bölünme işaretleridir;

Grup 2 - sayıların bölünebilirliği sayının rakamlarının toplamı ile belirlendiğinde - bunlar 3'e, 9'a, 7'ye (1 işaret), 11'e, 37'ye bölünme işaretleridir;

Grup 3 - sayıların bölünebilirliği, sayının rakamları üzerinde bazı işlemler yapıldıktan sonra belirlendiğinde - bunlar 7'ye, 11'e, 13'e, 19'a bölünme işaretleridir;

Grup 4 - bir sayının bölünebilirliğini belirlemek için diğer bölünme işaretleri kullanıldığında - bunlar 6'ya, 12'ye, 14'e, 15'e bölünme işaretleridir.

Bölüm 3. Doğal sayıların bölünebilirlik işaretlerinin problem çözmede uygulanması.

Bölünebilirlik kriterleri, OBEB ve EKOK bulmada ve OBEB ve EKOK kullanarak kelime problemlerini çözmede kullanılır.

Görev 1:

5. sınıf öğrencileri 203 ders kitabı aldı. Herkes aynı sayıda kitap aldı. Kaç beşinci sınıf öğrencisi vardı ve her biri kaç tane ders kitabı satın aldı?

Çözüm: Belirlenecek her iki nicelik de tamsayı olmalıdır, yani. 203 sayısının bölenleri arasında olmak. 203'ü çarpanlarına ayırarak şunu elde ederiz: 203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Pratik nedenlerle.

Cevap :

Görev 2 .

Çözüm:

Cevap:

Görev 3: 9. sınıfta öğrencilerin 1/7'si test için beşli, 1/3 - dörtlü, 1/2 - üçlü aldı. Çalışmanın geri kalanı tatmin edici değildi. Böyle kaç iş vardı?

Çözüm:

Problemin matematiksel ilişkileri, sınıftaki öğrenci sayısının 84, 126 vb. olduğunu varsayar. İnsan. Ancak sağduyu nedenleriyle, en kabul edilebilir cevabın 42 sayısı olduğu sonucu çıkar.

Cevap: 1 iş.

Görev 4.

Çözüm : Bu sınıfların ilkinde: 17, 34, 51 ... - 17'nin katı olan sayılar olabilir. İkinci sınıfta: 9, 18, 27, 36, 45, 54 ... - 17'nin katı olan sayılar olabilir. 9. İlk diziden 1, ikinciden 2 sayı seçmeliyiz ki toplamları 70 olsun. Üstelik bu dizilerde sadece az sayıda terim olası çocuk sayısını ifade edebiliyor. sınıf. Bu değerlendirme, seçeneklerin sıralanmasını önemli ölçüde sınırlar. Mümkün olan tek seçenek bir çiftti (34, 36).

Cevap:

Görev 5.

Çözüm:

Cevap:

Görev 6. Aynı meydandan farklı güzergahlarda iki otobüs kalkıyor. Otobüslerden biri için gidiş-dönüş uçuşu 48 dakika, diğeri için ise 1 saat 12 dakika sürüyor. Otobüsler ne kadar sonra aynı meydanda tekrar buluşacak?

Çözüm:

Cevap:

Görev 7 . Verilen tablo:

Cevap:

Görev 8.

Cevap:

Görev 9.

Cevap:

Böylece, doğal sayıların bölünebilirlik işaretlerinin problem çözmede kullanılmasına ikna olduk.

Çözüm.

Çalışma sürecinde, bölünebilirlik belirtilerinin gelişim tarihi ile tanıştım. Doğal sayıların 4, 6, 8, 15, 25, 50, 100, 1000'e bölünebilirlik işaretlerini kendisi doğru bir şekilde formüle etti ve ek literatürden onay buldu. Farklı kaynaklarla çalışarak, doğal sayıların (7, 11, 12, 13, 14, 19, 37 ile) bölünebilirliğinin başka işaretleri olduğuna ikna oldum.hipotezin doğruluğunu onayladıdoğal sayıların bölünebilirliği için başka kriterlerin varlığına bağlıdır.

Ek literatürden, çözümünde doğal sayıların bölünebilirlik işaretlerinin kullanıldığı problemler buldum.

Yukarıdaki doğal sayıların bölünebilirlik işaretlerinin bilinmesi ve kullanılması, birçok hesaplamayı büyük ölçüde basitleştirir, zaman kazandırır; bölme işlemini gerçekleştirirken yapılabilecek hesaplama hatalarını hariç tutar. Bazı özelliklerin ifadelerinin oldukça karmaşık olduğu belirtilmelidir. Belki de bu yüzden okulda okumuyorlar.

Topladığım materyalleri matematik derslerinde, matematik çemberi derslerinde kullanılabilecek broşür şeklinde tasarladım. Matematik öğretmenleri bu konuyu çalışırken kullanabilirler. Matematik hakkında sıradan bir öğrenciden daha fazla bilgi edinmek isteyen akranlarıma da çalışmalarımı tanımalarını tavsiye ederim.

Diğer sorular dikkate alınabilir:

Bölünebilirlik işaretlerinin türetilmesi;

Çalışması için henüz yeterli bilgiye sahip olmadığım için hala bölünebilirlik belirtileri olup olmadığını öğrenin.

Kullanılan literatür listesi (kaynaklar):

Galkin V.A. "Bölünebilirlik İşaretleri" konulu görevler.// Matematik, 1999.-№5.-S.9.
Gusev V.A., Orlov A.I., Rozental A.L. 6-8. Sınıflarda matematikte ders dışı çalışma - M .: Eğitim, 1984.
Kaplun L.M. Görevlerde GCD ve LCM. // Matematik, 1999.- №7. - S.4-6.
Pelman Ya.I. Matematik eğlencelidir! - M .: TERRA - Kitap Kulübü, 2006.
Genç Bir Matematikçinin Ansiklopedik Sözlüğü / Comp. Savin A.P. - M .: Pedagoji, 1989. - S. 352.
İnternet

bölünebilirlik belirtileri

5'te.

Sayı 0,5 ile bitiyorsa.

2'de.

Sayı 0, 2, 4, 6, 8 ile bitiyorsa

10'da.

Sayı 0 ile bitiyorsa

3'te (9).

Bir sayının rakamlarının toplamı 3'e (9) bölünebiliyorsa.

Ön izleme:

Cevap:

Görev 8.

Yinelenen basamakları olmayan (tüm basamakları farklıdır) ve 11'e kalansız bölünebilen dokuz basamaklı bir sayı yazın. Bu sayıların en büyüğünü, en küçüğünü yazın.

Cevap: En büyüğü 987652413, en küçüğü 102347586.

Görev 9.

Vanya, tüm basamakları farklı olan üç basamaklı basit bir sayı tasarladı. Son rakamı ilk ikisinin toplamına eşitse hangi rakamla bitebilir? Bu tür sayılara örnekler veriniz.

Cevap: Sadece 7 rakamı ile bitebilir. Bu tür 4 sayı vardır: 167, 257, 347, 527.

2 ile bölünebilme işareti

Bir doğal sayı 2, 4, 6, 8, 0 ile bitiyorsa 2 ile kalansız bölünebilir.

5 ile bölünebilmenin işareti.

Bir sayı 0 veya 5 ile bitiyorsa, 5 ile kalansız bölünebilir.

3 ile bölünebilme işareti

Bir sayının rakamları toplamı 3'e tam bölünüyorsa o sayı 3'e de tam bölünür.

örnekler

684: 3, çünkü 6+ 8 + 4=18, 18: 3, yani sayı: 3'e kadar.

763 değil: on3, çünkü 7+6+3=16, 16 değil: 3 ile, yani 763 değil: 3 ile.

9 ile bölünebilme işareti

Bir sayının rakamları toplamı 9'a bölünebiliyorsa sayının kendisi de 9'a tam bölünür.

örnekler

765: 9, çünkü 7+6+5=18, 18: 9, yani 765: 9

881 değil: on9, çünkü 8+8+1=17, 17: 9'a göre değil, yani 881: 9'a göre değil.

4 ile bölünebilmenin işareti

25 4=1 00 ; 56 4=2 24 ; 123 4=4 92 ; 125 4=5 00 ; 2345 4=93 80; 2500 4=100 00 ; …

doğal h Bir sayı 4'e bölünebilir, ancak ve ancak son iki basamağı 0 veya 4'e bölünebilirse.

6 ile bölünebilme işareti.

6=2 3 olduğuna dikkat edin 6 ile bölünebilme işareti:

Bir doğal sayı hem 2'ye hem de 3'e bölünebiliyorsa 6'ya da tam bölünür.

Örnekler:

816, 2'ye (6 ile biten) ve 3'e (8+1+6=15, 15׃3) bölünebilir, dolayısıyla sayı 6'ya bölünebilir.

625 sayısı 2 ve 3'e tam bölünemediği için 6'ya da tam bölünemez.

2120 2'ye bölünebilir (0 ile biten), ancak 3'e bölünemez (2+1+2+0=5, 5 3'e bölünmez), yani sayı 6'ya bölünemez.

279 3'e bölünebilir (2+7+9=18, 18:3), ancak 2'ye bölünemez (tek sayı ile biter), yani sayı 6'ya bölünemez.

7 ile bölünebilmenin işareti.

ben. Bir doğal sayı 7'ye bölünebilir, ancak ve ancak binler sayısı ile son üç basamakla ifade edilen sayı arasındaki fark 7'ye bölünebilirse.

Örnekler:

478009 7'ye bölünebilir çünkü 478-9=469, 469 7'ye tam bölünür.

475341 7'ye bölünemez çünkü 475-341=134, 134 7'ye bölünmez.

ΙΙ. Bir doğal sayı 7'ye tam bölünür, eğer bir sayının onluğa kadar olan kısmının iki katı ile kalan sayının toplamı 7'ye bölünüyorsa.

Örnekler:

4592 7'ye tam bölünür çünkü 45 2=90, 90+92=182, 182/7.

dk ve diğer 1 saat 12 dk. Otobüsler ne kadar sonra aynı meydanda tekrar buluşacak?

Çözüm: LCM(48, 72) = 144 (dk). 144 dk = 2 saat 24 dk.

Cevap: 2 saat 24 dakika sonra otobüsler yine aynı meydanda buluşacak.

Görev 7 . Verilen tablo:

Boş hücrelere şu sayıları girin: 17, 22, 36, 42, 88, 48, 57, 77, 81.

Cevap: Birinci sınıfta 34, ikinci sınıfta 36 öğrenci bulunmaktadır.

Görev 5.

320 kuruyemiş, 240 tatlı, 200 elmadan yapılabilecek en küçük özdeş hediye sayısı nedir? Her bir hediye kaç tane fındık, şeker ve elma içerecek?

Çözüm: OBEB(320, 240, 200) = 40 (hediyeler), o zaman her hediyenin sahip olacağı: 320:40 = 8 (fındık); 240: 40 = 6 (şeker); 200:40 = 5 (elma).

Cevap: Her hediye 8 fındık, 6 şeker, 5 elma içerir.

Görev 6.

Aynı meydandan farklı güzergahlarda iki otobüs kalkıyor. Otobüslerden birinin gidiş-dönüş süresi 48

57384 7'ye bölünemez çünkü 573 2=1146, 1146+84=1230, 1230 7'ye bölünmez.

ΙΙΙ. Formun üç basamaklı doğal sayısı aba a+b 7'ye tam bölünüyorsa 7'ye tam bölünür.

Örnekler:

252 7'ye tam bölünür çünkü 2+5=7, 7/7.

636 7'ye tam bölünemez çünkü 6+3=9, 9, 7'ye bölünmez.

IV. Formun üç basamaklı doğal sayısı evet Sayının rakamları toplamı 7'ye bölünüyorsa 7'ye tam bölünür.

Örnekler:

455 7'ye tam bölünür çünkü 4+5+5=14, 14/7.

244 7'ye bölünmez çünkü 2+4+4=12, 12 7'ye bölünmez.

V. Formun üç basamaklı bir doğal sayısı aab 2a-b 7'ye tam bölünüyorsa 7'ye tam bölünür.

Örnekler:

882 7'ye tam bölünür çünkü 8+8-2=14, 14/7.

996 7'ye bölünmez çünkü 9+9-6=12, 12 7'ye bölünmez.

VI. Formun dört basamaklı doğal sayısı evet , burada b iki basamaklı bir sayıdır, b+2a 7'ye bölünebiliyorsa 7'ye bölünebilir.

Örnekler:

2744 7'ye tam bölünür çünkü 27+4+4=35, 35/7.

1955 7'ye tam bölünemez çünkü 19+5+5=29, 29 7'ye bölünmez.

VII. Bir doğal sayı 7'ye bölünebilir, ancak ve ancak o sayıdan son basamağının iki katı çıkarıldığında elde edilen sonuç 7'ye bölünebilirse.

Örnekler:

483 7'ye tam bölünür çünkü 48-3 2=42, 42/7.

564 7'ye bölünmez çünkü 56-4 2=48, 48 7'ye bölünmez.

8. Bir doğal sayı 7'ye bölünebilir, ancak ve ancak sayının basamaklarının ve bit birimlerinin 7'ye bölünmesiyle elde edilen karşılık gelen kalanların toplamı 7'ye bölünebilirse.

Örnekler:

10׃7=1 (kalan 3)

100׃7=14 (kalan 2)

1000׃7=142 (kalan 6)

10000׃7=1428 (ost 4)

100000׃7=14285 (kalan 5)

1000000׃7=142857 (kalan 1) ve kalanlar tekrarlanır.

1316 sayısı 7'ye tam bölünür çünkü 1 · 6 +3 2 +1 3 +6=21, 21/7 (6, 1000'in 7'ye bölümünden kalan; 2, 100'den kalan 7'dir; 3, 10'dan kalan 7'dir).

354722 sayısı 7 ile tam bölünemez çünkü 3 5+5 4+4 6+7 2+2 3+2=81, 81 7 ile tam bölünemez(5, 100.000'in 7'ye bölümünden kalandır; 4, 10.000'den kalanın 7'ye bölünmesidir; 6, kalandır) 1000'in 7'ye bölümü; 2, 100'ün 7'ye bölümünden kalan; 3, 10'dan kalanın 7'sidir).

Hediye sayısı, portakal, şekerleme ve kuruyemiş sayısını ifade eden sayıların her birinin ve bu sayıların en büyüğünün böleni olmalıdır. Bu nedenle, bu sayıların OBEB'ini bulmamız gerekiyor. OBEB (60, 175, 225) = 15. Her hediye şunları içerecektir: 60: 15 = 4 - portakal,175:15=11 fındık ve 225:15=15 şeker.

Cevap: Bir hediyede - 4 portakal, 11 fındık, 15 tatlı.

Görev 3: 9. sınıfta öğrencilerin 1/7'si test için beşli, 1/3 - dörtlü, ½ - üçlü aldı. Çalışmanın geri kalanı tatmin edici değildi. Böyle kaç iş vardı?

Çözüm: Problemin çözümü şu sayıların katı olmalıdır: 7, 3, 2. Önce bu sayıların en küçüğünü bulalım. LCM (7, 3, 2) = 42. Problemin durumuna göre bir ifade yapabilirsiniz: 42 - (42: 7 + 42: 3 + 42: 2) = 1 - 1 başarısız.

Problemin ilişkisinin matematiksel ilişkisi, sınıftaki öğrenci sayısının 84, 126 vb. olduğunu varsayar. İnsan. Ancak sağduyu nedenleriyle, en kabul edilebilir cevabın 42 sayısı olduğu sonucu çıkar.

Cevap: 1 iş.

Görev 4.

İki sınıfta birlikte 70 öğrenci var. Bir sınıfta 7/17 öğrenci derse gelmedi ve diğerinde 2/9 öğrenci matematikten A aldı. Her sınıfta kaç öğrenci var?

Örnekler:

25600 100'e tam bölünür çünkü sayılar aynı sayıda sıfırla biter.

8975000, 1000'e bölünebilir çünkü her iki sayı da 000 ile biter.

Görev 1: (Kullanım ortak bölenler ve GCD)

5 "A" sınıfı öğrencileri 203 ders kitabı satın aldı. Herkes aynı sayıda kitap aldı. Kaç beşinci sınıf öğrencisi vardı ve her biri kaç tane ders kitabı satın aldı?

Çözüm: Belirlenecek her iki nicelik de tamsayı olmalıdır, yani. 203 sayısının bölenleri arasında olmak. 203'ü çarpanlarına ayırarak şunu elde ederiz:

203 = 1 ∙ 7 ∙ 29.

Pratik nedenlerleBuradan 29 ders kitabı olamayacağı sonucu çıkar, ayrıca ders kitaplarının sayısı eşit olamaz.1, çünkü bu durumda 203 öğrenci olurdu yani 29 beşinci sınıf öğrencisi var ve her biri 7 ders kitabı aldı.

Cevap : 29 beşinci sınıf öğrencisi; 7 ders kitabı

Görev 2 . 60 portakal, 165 fındık ve 225 şeker var. Hangi en büyük sayı Bu stoktan çocuklara aynı hediyeler yapılabilir mi? Her sete neler dahil edilecek?

Çözüm:

8 ile bölünebilme işareti

125 8=1000; 242 8=1936; 512 8=4 096 ; 600 8=4 800; 1234 8=9 872 ; 122875 8=983 000 ;…

doğal h Bir sayı 8'e bölünebilir, ancak ve ancak son üç basamağı 0'a bölünebilir veya 8'e bölünebilir.

11 ile bölünebilmenin işaretleri

I. Bir sayı 11'e bölünebilir, eğer tek hanelerdeki rakamların toplamı ile çift hanelerdeki rakamların toplamı arasındaki fark 11'in katıysa.

Fark negatif bir sayı veya 0 olabilir, ancak 11'in katı olmalıdır. Numaralandırma soldan sağa doğru yapılır.

Örnek:

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10, 11'in katı olmadığı için bu sayı 11'e tam bölünemez.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11, 11'in katıdır yani bu sayı 11'e tam bölünür.

2 1 3 5 7 0 4 2+3+7+4=16, 1+5+0=6, 16-6=10, 10, 11'in katı olmadığı için bu sayı 11'e tam bölünemez.

1 3 5 2 7 3 6 1+5+7+6=19, 3+2+3=8, 19-8=11, 11, 11'in katıdır yani bu sayı 11'e tam bölünür.

II. Bir doğal sayı sağdan sola doğru 2'şer basamaklı gruplara bölünür ve bu gruplar toplanır. Ortaya çıkan toplam 11'in katıysa, test sayısı 11'in katıdır.

Örnek: 12561714 sayısının 11 ile bölünebilir olup olmadığını belirleyin.

Sayıyı iki basamaklı gruplara ayıralım: 12/56/17/14; 12+56+17+14=99, 99 sayısı 11'e tam bölündüğü için bu sayı 11'e tam bölünür.

III. Üç basamaklı bir doğal sayı 11'e tam bölünür, eğer sayının yan basamakları toplamı ortadaki basamağa eşitse. Cevap aynı yan sayılardan oluşacaktır.

Örnekler:

594 11'e tam bölünür çünkü 5+4=9, 9 ortadadır.

473 11'e tam bölünür çünkü 4+3=7, 7- ortada.

861 11'e bölünmez çünkü 8+1=9 ve ortada 6.

12 ile bölünebilme işareti

Bir doğal sayı, ancak ve ancak aynı anda 3 ve 4'e bölünebiliyorsa 12'ye bölünebilir.

Örnekler:

636 sayısı 3 ve 4'e tam bölündüğü için 12'ye tam bölünür.

587 3'e de 4'e de tam bölünemediği için 12'ye de tam bölünemez.

27126 3'e tam bölünür ama 4'e tam bölünemez yani 12'ye tam bölünemez.

37 ile bölünebilme işaretleri.

I. Bir doğal sayı, bu sayının basamaklarının üç katının oluşturduğu sayıların toplamı 37 ise 37 ile bölünebilir. ondalık gösterim sırasıyla 37 ile bölünebilir.

Örnek: 100048 sayısının 37 ile bölünebilir olup olmadığını belirleyin.

100/048 100+48=148, 148 sayısı 37'ye tam bölünebildiği için 37'ye de bölünebilir.

II. Yazılı üç basamaklı doğal sayı aynı sayılar 37 ile tam bölünür

Örnek:

111, 222, 333, 444, 555, ... sayıları 37'ye bölünebilir.

25 ile bölünebilme işareti

Bir doğal sayı 00, 25, 50, 75 ile bitiyorsa 25'e bölünebilir.

50 ile bölünebilme işareti

Sayılar 50 ile bölünebilir: 50, 1 00 , 1 50 , 2 00 , 2 50 , 3 00 ,… 50 veya 00 ile biterler.

Bir doğal sayı, ancak ve ancak iki sıfır veya 50 ile bitiyorsa 50 ile bölünebilir.

10'a, 100'e, 1000'e bölünebilmenin birleşik işareti...

Bir doğal sayının sonunda bir bit birimindeki kadar sıfır varsa, bu sayı bu bit ile bölünebilir -

yeni birim.

13 ile bölünebilme işaretleri

I. Bir doğal sayı, binler sayısı ile son üç basamağının oluşturduğu sayı arasındaki fark 13'e bölünüyorsa 13'e bölünür.

Örnekler:

465400 sayısı 13'e tam bölünür çünkü 465 - 400 = 65, 65, 13'e bölünebilir.

256184 sayısı 13 ile tam bölünemez çünkü 256 - 184 = 72, 72 13'e tam bölünemez.

II. Bir doğal sayı 13 ile bölünebilir, ancak ve ancak bu sayıdan son basamağı 9 ile çarpıldığında elde edilen sonuç 13'e bölünebilirse.

Örnekler:

988 13'e tam bölünür çünkü 98 - 9 8 = 26, 26 13'e tam bölünür.

853 13'e bölünemez çünkü 85 - 3 9 = 58, 58 13'e bölünmez.

14 ile bölünebilme işareti

Bir doğal sayı 14'e bölünebilir ancak ve ancak aynı anda hem 2'ye hem de 7'ye bölünebilir.

Örnekler:

45826 sayısı 2'ye tam bölünür ama 7'ye tam bölünemez yani 14'e tam bölünemez.

1771 sayısı 7'ye tam bölünür ama 2'ye tam bölünemez yani 14'e tam bölünemez.

15 ile bölünebilme işareti

15=3 5 olduğuna dikkat edin.Bir doğal sayı hem 5'e hem de 3'e tam bölünüyorsa 15'e tam bölünür.

Örnekler:

346725 5'e bölünebilir (5 ile biter) ve 3'e bölünebilir (3+4+6+7+2+5=24, 24:3), dolayısıyla sayı 15'e bölünebilir.

48732, 3'e bölünebilir (4+8+7+3+2=24, 24:3) ancak 5'e bölünmez, dolayısıyla sayı 15'e bölünmez.

87565 5'e bölünebilir (5'le biter), ancak 3'e bölünemez (8+7+5+6+5=31, 31 3'e bölünmez), dolayısıyla sayı 15'e bölünmez.

19 ile bölünebilme işareti.

Bir doğal sayı 19'a kalansız bölünebilir, ancak ve ancak onun onluk sayısı birim sayısının iki katına eklendiğinde 19'a bölünebilir.

Unutulmamalıdır ki, bir sayıdaki onlar sayısı onlar basamağında bir rakam olarak sayılmamalı, ancak toplam sayısı hepsi onluk.

Örnekler:

153 4 onlar-153, 4 2=8, 153+8=161, 161 19'a tam bölünemediği için 1534 de 19'a tam bölünemez.

182 4 182+4 2=190, 190:19 yani 1824:19 sayısı.

GBOU SOSH demiryolu Sanat. Yükleniyor

BÖLÜNEBİLİRLİK İŞARETLERİ

DOĞAL

SAYILAR

Etkareva Alina tarafından derlenmiştir.

2013 yılı

2 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 2'ye bölünebilir, ancak ve ancak son basamağı 2'ye bölünebilirse, yani çifttir.

3 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 3'e bölünebilir, ancak ve ancak rakamlarının toplamı 3'e bölünebiliyorsa.

4 işaretine bölünebilme
Bir sayı 4'e bölünebilir, ancak ve ancak son iki basamağının sayısı sıfırsa veya 4'e bölünebilirse.

5 ile bölünme işareti
Bir sayı 5'e bölünebilir, ancak ve ancak son basamak 5'e bölünebilirse (yani 0 veya 5'e eşitse).

6 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 6'ya bölünebilir ancak ve ancak 2 ve 3'e bölünebilir.

7 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 7'ye bölünebilir, ancak ve ancak bu sayıdan son basamağı iki kez çıkarmanın sonucu 7'ye bölünebilirse (örneğin, 25 - (2 9) = 7 bölünebilir olduğu için 259 7'ye bölünebilir) 7'ye kadar).

8 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 8'e bölünebilir, ancak ve ancak son üç basamağı sıfırsa veya 8'e bölünebilen bir sayı oluşturuyorsa.

9 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 9'a bölünebilir, ancak ve ancak rakamlarının toplamı 9'a bölünebiliyorsa.

10 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 10'a bölünebilir ancak ve ancak sonu sıfır ile bitiyorsa.

11 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 11'e bölünebilir, ancak ve ancak değişken işaretli basamakların toplamı 11'e bölünebilirse (yani, 1 - 8 + 2 - 9 + 1 - 9 = -22, 11'e bölünebildiğinden, 182919 11'e bölünebilir) 11) - 10 n şeklindeki tüm sayıların 11'e bölündüğünde kalanını (-1) n vermesi gerçeğinin bir sonucu.

12 ile bölünebilme işareti
Bir sayı ancak ve ancak 3 ve 4'e bölünebiliyorsa 12'ye bölünebilir.

13 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 13'e bölünebilir, ancak ve ancak birim sayısının dört katına eklenen onluk sayısı 13'ün katıysa (örneğin, 845 13'e bölünebilir, çünkü 84 + (4 5) = 104 13'e bölünebilir).

14 ile bölünebilme işareti
Bir sayı ancak ve ancak 2 ve 7'ye bölünebiliyorsa 14'e bölünebilir.

15 ile bölünebilme işareti
Bir sayı ancak ve ancak 3 ve 5'e bölünebiliyorsa 15'e bölünebilir.

17 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 17 ile bölünebilir, ancak ve ancak 12 artırılan birim sayısına onluk sayısı eklendiğinde 17'nin katıysa (örneğin, 29053→2905+36=2941→294+12=306→30) +72=102→10+ 24 = 34. 34, 17'ye bölünebildiği için 29053 de 17'ye bölünebilir). İşaret her zaman uygun değildir, ancak matematikte belirli bir anlamı vardır. Biraz daha basit bir yol var - Bir sayı 17'ye bölünebilir, ancak ve ancak onluk sayısı ile birim sayısının beş katı arasındaki fark 17'nin katıysa (örneğin, 32952→3295-10=3285→328) -25=303→30-15=15. 15 17'ye tam bölünemediği için 32952 de 17'ye bölünmez)

19 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 19'a bölünebilir, ancak ve ancak birim sayısının iki katına eklenen onluk sayısı 19'un katıysa (örneğin 646, 19'a bölünebilir, çünkü 64 + (6 2) = 76 bölünebilir) 19'a kadar).

23 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 23'e bölünebilir, ancak ve ancak yüzler artı onlar 23'ün katıysa (örneğin, 28842 23'e bölünebilir, çünkü 288 + (3 * 42) = 414 devam eder 4 + (3 * 14) = 46, 23'e bölünebilir).

25 ile bölünebilme işareti
Bir sayı 25'e bölünebilir, ancak ve ancak son iki basamağı 25'e bölünebilirse (yani 00, 25, 50 veya 75 biçimindeyse) veya sayı 5'in katıysa.

99 ile bölünebilme işareti
Sayıyı sağdan sola 2 haneli gruplara ayıralım (en soldaki grupta bir rakam olabilir) ve bu grupları sayarak toplamını bulalım. çift haneli. Bu toplam, ancak ve ancak sayının kendisi 99'a bölünebilirse 99'a bölünebilir.

101 ile bölünebilme işareti
Sayıyı sağdan sola 2 basamaklı gruplara ayırıyoruz (en soldaki grup bir basamaklı olabilir) ve bu grupların iki basamaklı sayılar olduğunu düşünerek değişken işaretli toplamını buluyoruz. Bu toplam, ancak ve ancak sayının kendisi 101'e bölünebilirse 101'e bölünebilir. Örneğin, 590547, 101'e bölünebilir, çünkü 59-05+47=101, 101'e bölünebilir).

Şunları okumak faydalı olabilir: