Was bedeutet natürliche zahlen. Natürliche Zahlen und ihre Eigenschaften

1.1 Definition

Die Zahlen, die die Leute beim Zählen verwenden, werden aufgerufen natürlich(z. B. eins, zwei, drei, ..., einhundert, einhunderteins, ...,zig, ...) Um natürliche Zahlen zu schreiben, werden Sonderzeichen (Symbole) verwendet , genannt Zahlen.

Heutzutage akzeptiert Dezimalschreibweise. Das Dezimalsystem (oder die Methode) zum Schreiben von Zahlen verwendet arabische Ziffern. Dies sind zehn verschiedene Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Am wenigsten eine natürliche Zahl ist eine Zahl eins, es geschrieben mit einer Dezimalziffer - 1. Die nächste natürliche Zahl ergibt sich aus der vorherigen (außer Eins) durch Addition von 1 (Eins). Diese Addition kann viele Male (unendlich oft) durchgeführt werden. Das bedeutet es Nein größte natürliche Zahl. Daher wird gesagt, dass die Reihe der natürlichen Zahlen unbegrenzt oder unendlich ist, da sie kein Ende hat. Natürliche Zahlen werden mit Dezimalziffern geschrieben.

1.2. Die Zahl „Null“

Um das Fehlen von etwas anzuzeigen, verwenden Sie die Nummer " null" oder " null". Es wird mit Zahlen geschrieben. 0 (Null). Zum Beispiel sind in einer Kiste alle Kugeln rot. Wie viele davon sind grün? - Antwort: Null . Es sind also keine grünen Kugeln in der Kiste! Die Zahl 0 kann bedeuten, dass etwas vorbei ist. Zum Beispiel hatte Masha 3 Äpfel. Zwei teilte sie mit Freunden, eines aß sie selbst. Also ist sie gegangen 0 (null) Äpfel, d.h. keins übrig. Die Zahl 0 könnte bedeuten, dass etwas nicht passiert ist. Zum Beispiel, Hockeyspiel Team Russia - Team Canada endete mit einem Punktestand 3:0 (lesen Sie "drei - null") zugunsten des russischen Teams. Das bedeutet, dass das russische Team 3 Tore erzielte und das kanadische Team 0 Tore, kein einziges Tor erzielen konnte. Wir müssen uns erinnern dass Null keine natürliche Zahl ist.

1.3. Natürliche zahlen schreiben

Bei der dezimalen Schreibweise einer natürlichen Zahl kann jede Ziffer bedeuten verschiedene Nummern. Es hängt von der Stelle dieser Ziffer in der Schreibweise der Zahl ab. Eine bestimmte Stelle in der Schreibweise einer natürlichen Zahl wird genannt Position. Daher wird die Dezimalschreibweise genannt positionell. Betrachten Sie die Dezimalschreibweise 7777 der Zahl siebentausendsiebenhundertsiebenundsiebzig. Es gibt siebentausend, siebenhundert, sieben Zehner und sieben Einheiten in diesem Eintrag.

Jede der Stellen (Positionen) in der Dezimalschreibweise einer Zahl wird genannt Entladung. Alle drei Ziffern werden kombiniert Klasse. Diese Vereinigung wird von rechts nach links durchgeführt (vom Ende der Zahleneingabe). Verschiedene Ränge und Klassen haben ihre eigenen Namen. Die Anzahl der natürlichen Zahlen ist unbegrenzt. Daher ist die Anzahl der Ränge und Klassen auch nicht begrenzt ( endlos). Betrachten Sie die Namen von Ziffern und Klassen am Beispiel einer Zahl mit Dezimalschreibweise

38 001 102 987 000 128 425:

Klassen und Ränge
Trillionen		Hunderte Quintillionen
		Zehn Quintillionen
		Trillionen
Billiarden		Hunderte von Billiarden
		zig Billiarden
		Billiarden
Billionen		Hunderte Billionen
		zig Billionen
		Billionen
Milliarden		Hunderte von Milliarden
		zig Milliarden
		Milliarden
Millionen		hunderte Millionen
		Zehn Millionen
		Millionen
		Hunderttausende
		Zehntausende

Klassen, beginnend mit den jüngsten, haben also Namen: Einheiten, Tausende, Millionen, Milliarden, Billionen, Billiarden, Quintillionen.

1.4. Bit-Einheiten

Jede der Klassen in der Notation natürlicher Zahlen besteht aus drei Ziffern. Jeder Rang hat Bit-Einheiten. Die folgenden Zahlen werden als Biteinheiten bezeichnet:

1 - stellige Einheit der Stelle von Einheiten,

10 - stellige Einheit der Zehnerstelle,

100-Bit-Einheit der Hunderterstelle,

1 000 - Bit Einheit der Tausenderstelle,

10.000 - stellige Zehntausendereinheit,

100.000 - Bit Einheit von Hunderttausenden,

1.000.000 ist die Zifferneinheit der Millionenstelle usw.

Die Zahl in einer der Ziffern zeigt die Anzahl der Einheiten dieser Ziffer. Die Zahl 9 an der Hunderter-Milliarden-Stelle bedeutet also, dass die Zahl 38.001.102.987.000 128.425 neun Milliarden enthält (also 9 mal 1.000.000.000 oder 9-Bit-Einheiten von Milliarden). Eine leere Hunderterquintillionen-Ziffer bedeutet, dass diese Zahl keine Hunderterquintillionen enthält oder ihre Anzahl gleich Null ist. In diesem Fall kann die Nummer 38 001 102 987 000 128 425 wie folgt geschrieben werden: 038 001 102 987 000 128 425.

Sie können es auch anders schreiben: 000 038 001 102 987 000 128 425. Nullen am Anfang der Nummer weisen auf leere höherwertige Ziffern hin. Normalerweise werden sie nicht geschrieben, im Gegensatz zu Nullen innerhalb der Dezimalschreibweise, die zwangsläufig leere Ziffern markieren. Drei Nullen in der Millionenklasse bedeuten also, dass die Ziffern von Hundertmillionen, Zehnmillionen und Millioneneinheiten leer sind.

1.5. Abkürzungen beim Schreiben von Zahlen

Beim Schreiben natürlicher Zahlen werden Abkürzungen verwendet. Hier sind einige Beispiele:

1.000 = 1 tausend (eintausend)

23.000.000 = 23 Millionen (dreiundzwanzig Millionen)

5.000.000.000 = 5 Milliarden (fünf Milliarden)

203.000.000.000.000 = 203 Billionen (zweihundertdrei Billionen)

107.000.000.000.000.000 = 107 sqd. (einhundertsieben Billiarden)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kW. (eine Trillion)

Block 1.1. Wörterbuch

Erstellen Sie ein Glossar mit neuen Begriffen und Definitionen aus §1. Geben Sie dazu in die leeren Zellen die Wörter aus der unten stehenden Begriffsliste ein. Geben Sie in der Tabelle (am Ende des Blocks) für jede Definition die Nummer des Begriffs aus der Liste an.

Block 1.2. Selbsttraining

In der Welt der großen Zahlen

Wirtschaft .

Russisches Budget für nächstes Jahr wird sein: 6328251684128 Rubel.
Geplante Ausgaben für dieses Jahr: 5124983252134 Rubel.
Die Einnahmen des Landes überstiegen die Ausgaben um 1203268431094 Rubel.

Fragen und Aufgaben

Lesen Sie alle drei angegebenen Zahlen
Schreiben Sie die Ziffern in der Millionenklasse jeder der drei Zahlen

Welcher Abschnitt in jeder der Zahlen gehört zu der Ziffer an der siebten Stelle vom Ende der Zahlenschreibweise?
Wie viele Biteinheiten zeigt die Zahl 2 in der ersten Zahl? ... in der zweiten und dritten Zahl?
Benennen Sie die Biteinheit für die achte Stelle vom Ende in der Schreibweise von drei Zahlen.

Erdkunde (Länge)

Äquatorradius der Erde: 6378245 m
Umfang des Äquators: 40075696 m
Die größte Tiefe des Weltozeans ( Marianengraben im Pazifischen Ozean) 11500 m

Fragen und Aufgaben

Rechnen Sie alle drei Werte in Zentimeter um und lesen Sie die resultierenden Zahlen ab.
Notieren Sie für die erste Zahl (in cm) die Zahlen in den Abschnitten:

Hunderttausende _______

Zehn Millionen _______

Tausend von _______

Milliarden von _______

Hunderte von Millionen _______

Notieren Sie für die zweite Zahl (in cm) die Biteinheiten, die den Zahlen 4, 7, 5, 9 im Zahleneintrag entsprechen

Konvertieren Sie den dritten Wert in Millimeter und lesen Sie die resultierende Zahl ab.
Geben Sie für alle Positionen im Datensatz der dritten Nummer (in mm) die Ziffern und Zifferneinheiten in der Tabelle an:

Erdkunde (Quadrat)

Die Fläche der gesamten Erdoberfläche beträgt 510.083 Tausend Quadratkilometer.
Die Oberfläche der Summen auf der Erde beträgt 148.628.000 Quadratkilometer.
Die Fläche der Wasseroberfläche der Erde beträgt 361.455.000 Quadratkilometer.

Fragen und Aufgaben

Rechnen Sie alle drei Werte in Quadratmeter um und lesen Sie die resultierenden Zahlen ab.
Nennen Sie die Klassen und Ränge, die den Nicht-Null-Ziffern in der Aufzeichnung dieser Zahlen entsprechen (in Quadratmeilen).
Benennen Sie im Eintrag der dritten Zahl (in Quadrat M) die Biteinheiten, die den Zahlen 1, 3, 4, 6 entsprechen.
Geben Sie in zwei Einträgen des zweiten Werts (in Quadratkilometern und Quadratkilometern) an, zu welchen Ziffern die Zahl 2 gehört.
Notieren Sie die Bit-Einheiten für die Zahl 2 in den Datensätzen des zweiten Werts.

Block 1.3. Dialog mit einem Computer.

Es ist bekannt, dass in der Astronomie oft mit großen Zahlen gearbeitet wird. Lassen Sie uns Beispiele geben. Die durchschnittliche Entfernung des Mondes von der Erde beträgt 384.000 km. Die Entfernung der Erde von der Sonne (Durchschnitt) beträgt 149504.000 km, die Erde vom Mars 55 Millionen km. Erstellen Sie auf einem Computer mit dem Word-Texteditor Tabellen, sodass sich jede Ziffer im Datensatz der angegebenen Zahlen in einer separaten Zelle (Zelle) befindet. Führen Sie dazu die Befehle in der Symbolleiste aus: Tabelle → Tabelle hinzufügen → Zeilenanzahl (mit dem Cursor „1“ setzen) → Spaltenanzahl (selbst berechnen). Erstellen Sie Tabellen für andere Rufnummern (Block „Selbstvorbereitung“).

Block 1.4. Weitergabe großer Zahlen

Die erste Zeile der Tabelle enthält eine große Zahl. Lies es. Erledigen Sie dann die Aufgaben: Indem Sie die Zahlen in der Zahleneingabe nach rechts oder links verschieben, erhalten Sie die nächsten Zahlen und lesen Sie sie. (Die Nullen am Ende der Zahl nicht verschieben!). In der Klasse kann der Staffelstab durch gegenseitiges Weiterreichen ausgeführt werden.

Zeile 2 . Bewegen Sie alle Ziffern der Zahl in der ersten Zeile nach links durch zwei Zellen. Ersetzen Sie die Zahlen 5 durch die Zahl dahinter. Füllen Sie leere Zellen mit Nullen aus. Lesen Sie die Nummer.

Zeile 3 . Bewegen Sie alle Ziffern der Zahl in der zweiten Zeile nach rechts durch drei Zellen. Ersetzen Sie die Zahlen 3 und 4 in der Zahleneingabe durch die folgenden Zahlen. Füllen Sie leere Zellen mit Nullen aus. Lesen Sie die Nummer.

Zeile 4. Verschieben Sie alle Ziffern der Zahl in Zeile 3 um eine Zelle nach links. Ändern Sie die Zahl 6 in der Billionenklasse auf die vorherige und in der Milliardenklasse auf die nächste Zahl. Füllen Sie leere Zellen mit Nullen aus. Lies die resultierende Zahl.

Zeile 5 . Verschiebe alle Ziffern der Zahl in Zeile 4 um eine Zelle nach rechts. Ersetzen Sie die Zahl 7 an der „Zehntausender“-Stelle durch die vorherige und an der „Zehnermillionen“-Stelle durch die nächste. Lies die resultierende Zahl.

Zeile 6 . Verschieben Sie alle Ziffern der Zahl in Zeile 5 nach 3 Zellen nach links. Ändern Sie die Zahl 8 an der Hunderter-Milliarden-Stelle auf die vorherige Zahl und die Zahl 6 an der Hunderter-Millionen-Stelle auf die nächste Zahl. Füllen Sie leere Zellen mit Nullen aus. Berechnen Sie die resultierende Zahl.

Zeile 7 . Verschieben Sie alle Ziffern der Zahl in Zeile 6 um eine Zelle nach rechts. Vertausche die Ziffern in den Zehnerbilliarden- und Zehnermilliardenstellen. Lies die resultierende Zahl.

Zeile 8 . Bewegen Sie alle Ziffern der Zahl in Zeile 7 nach links um eine Zelle. Vertausche die Ziffern an den Quintillionen- und Billiardenstellen. Füllen Sie leere Zellen mit Nullen aus. Lies die resultierende Zahl.

Zeile 9 . Bewegen Sie alle Ziffern der Zahl in Zeile 8 nach rechts durch drei Zellen. Vertausche zwei benachbarte Zahlen in der Zahlenreihe aus den Klassen Millionen und Billionen. Lies die resultierende Zahl.

Zeile 10 . Verschiebe alle Ziffern der Zahl in Zeile 9 um eine Zelle nach rechts. Lies die resultierende Zahl. Markieren Sie die Zahlen, die das Jahr der Moskauer Olympiade angeben.

Block 1.5. lass uns spielen

Ein Feuer anzünden

Das Spielfeld ist eine Zeichnung Weihnachtsbaum. Es hat 24 Glühbirnen. Aber nur 12 davon sind ans Stromnetz angeschlossen. Um die angeschlossenen Lampen auszuwählen, müssen Sie die Fragen mit den Worten „Ja“ oder „Nein“ richtig beantworten. Dasselbe Spiel kann auch auf einem Computer gespielt werden, bei richtiger Antwort „leuchtet“ die Glühbirne.

Stimmt es, dass Zahlen Sonderzeichen für die Schreibweise natürlicher Zahlen sind? (1 - ja, 2 - nein)
Stimmt es, dass 0 die kleinste natürliche Zahl ist? (3 - ja, 4 - nein)
Stimmt es, dass im Positionszahlensystem dieselbe Ziffer verschiedene Zahlen bezeichnen kann? (5 - ja, 6 - nein)
Stimmt es, dass eine bestimmte Stelle in der Dezimalschreibweise von Zahlen als Ort bezeichnet wird? (7 - ja, 8 - nein)
Angesichts der Zahl 543 384. Stimmt es, dass die Zahl der höchstwertigen Ziffern darin 543 und die niedrigste 384 ist? (9 - ja, 10 - nein)
Stimmt es, dass in der Milliardenklasse die älteste der Bit-Einheiten hundert Milliarden und die jüngste eine Milliarde ist? (11 - ja, 12 - nein)
Gegeben sei die Zahl 458 121. Stimmt es, dass die Summe aus der Zahl der höchstwertigen Stellen und der Zahl der niederwertigsten Stellen 5 ist? (13 - ja, 14 - nein)
Stimmt es, dass die älteste der Einheiten der Billionen-Klasse eine Million Mal größer ist als die älteste der Einheiten der Millionen-Klasse? (15 - ja, 16 - nein)
Gegeben sind zwei Zahlen 637508 und 831. Stimmt es, dass die höchstwertige 1 der ersten Zahl 1000 mal höher ist als die höchstwertige 1 der zweiten Zahl? (17 - ja, 18 - nein)
Gegeben ist die Zahl 432. Stimmt es, dass die höchstwertige Biteinheit dieser Zahl 2 mal größer ist als die jüngste? (19 - ja, 20 - nein)
Angesichts der Zahl 100.000.000: Stimmt es, dass die Anzahl der Biteinheiten, die 10.000 ausmachen, 1000 ist? (21 - ja, 22 - nein)
Stimmt es, dass der Billionenklasse die Billiardenklasse vorangeht und dass der Quintillionenklasse diese Klasse vorangeht? (23 - ja, 24 - nein)

1.6. Aus der Geschichte der Zahlen

Seit jeher ist der Mensch mit der Notwendigkeit konfrontiert, die Anzahl der Dinge zu zählen, die Anzahl der Gegenstände zu vergleichen (z. B. fünf Äpfel, sieben Pfeile ...; es gibt 20 Männer und dreißig Frauen in einem Stamm, ... ). Es bestand auch die Notwendigkeit, Ordnung innerhalb einer bestimmten Anzahl von Objekten herzustellen. Zum Beispiel geht bei der Jagd der Anführer des Stammes zuerst, der stärkste Krieger des Stammes kommt an zweiter Stelle und so weiter. Für diese Zwecke wurden Nummern verwendet. Für sie wurden spezielle Namen erfunden. In der Sprache werden sie Ziffern genannt: eins, zwei, drei usw. sind Kardinalzahlen, und die erste, zweite, dritte sind Ordnungszahlen. Zahlen wurden mit Sonderzeichen geschrieben - Zahlen.

Im Laufe der Zeit gab es Zahlensysteme. Dies sind Systeme, die Möglichkeiten zum Schreiben von Zahlen und enthalten verschiedene Aktivitätenüber ihnen. Die ältesten bekannten Zahlensysteme sind das ägyptische, das babylonische und das römische Zahlensystem. In Rus wurden früher Buchstaben des Alphabets mit einem Sonderzeichen ~ (titlo) verwendet, um Zahlen zu schreiben. Das dezimale Zahlensystem ist derzeit das am weitesten verbreitete. Weit verbreitet, insbesondere in der Computerwelt, sind binäre, oktale und hexadezimale Zahlensysteme.

Um dieselbe Zahl zu schreiben, können Sie also verschiedene Zeichen verwenden - Zahlen. Die Zahl vierhundertfünfundzwanzig kann also in ägyptischen Ziffern geschrieben werden - Hieroglyphen:

Das ist die ägyptische Schreibweise von Zahlen. Die gleiche Zahl in römischen Ziffern: CDXXV(römische Schreibweise von Zahlen) oder Dezimalziffern 425 (Dezimalschreibweise von Zahlen). IN binäres System Eintrag sieht so aus: 110101001 (binäre oder binäre Notation von Zahlen) und in Oktal - 651 (oktale Schreibweise von Zahlen). In hexadezimaler Schreibweise wird geschrieben: 1A9(hexadezimale Schreibweise). Sie können es ganz einfach machen: Machen Sie wie Robinson Crusoe vierhundertfünfundzwanzig Kerben (oder Striche) auf einer Holzstange - IIIIIIIII…... III. Dies sind die allerersten Bilder natürlicher Zahlen.

Im Dezimalsystem zum Schreiben von Zahlen (in der dezimalen Schreibweise von Zahlen) werden also arabische Ziffern verwendet. Das sind zehn verschiedene Zeichen - Zahlen: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Im Binärformat zwei Binärziffern: 0, 1; in Oktal - acht Oktalziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; in hexadezimal - sechzehn verschiedene hexadezimale Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; in sexagesimal (babylonisch) - sechzig verschiedene Zeichen - Zahlen usw.)

Dezimalziffern kamen aus dem Nahen Osten und den arabischen Ländern in europäische Länder. Daher der Name - arabische Ziffern. Zu den Arabern kamen sie aber aus Indien, wo sie um die Mitte des ersten Jahrtausends erfunden wurden.

1.7. Römisches Zahlensystem

Eines der alten Zahlensysteme, die heute verwendet werden, ist das römische System. Wir geben in der Tabelle die Hauptzahlen des römischen Zahlensystems und die entsprechenden Zahlen des Dezimalsystems an.

römische Ziffer					C
				50 fünfzig		500 fünfhundert	1000 Tausend

Das römische Zahlensystem ist Additionssystem. Darin bezeichnet im Gegensatz zu Positionssystemen (z. B. Dezimal) jede Ziffer dieselbe Zahl. Ja, aufnehmen II- bezeichnet die Zahl zwei (1 + 1 = 2), Notation III- Nummer drei (1 + 1 + 1 = 3), Notation XXX- die Zahl dreißig (10 + 10 + 10 = 30) usw. Für das Schreiben von Zahlen gelten die folgenden Regeln.

Wenn die kleinere Zahl ist nach größer, dann wird es zum größeren hinzugefügt: VII- Nummer sieben (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVIII- Zahl siebzehn (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- die Zahl eintausendeinhundertfünfzig (1000 + 100 + 50 = 1150).
Wenn die kleinere Zahl ist Vor größer, dann wird vom größeren abgezogen: IX- Zahl neun (9 = 10 - 1), LM- die Zahl neunhundertfünfzig (1000 - 50 = 950).

Um große Zahlen zu schreiben, müssen Sie neue Zeichen verwenden (erfinden) - Zahlen. Gleichzeitig gestaltet sich die Eingabe von Zahlen als umständlich, Rechnungen mit römischen Ziffern lassen sich nur sehr schwer durchführen. So hat das Jahr des Starts des ersten künstlichen Erdsatelliten (1957) in römischer Schreibweise die Form MCMLVII .

Block 1. 8. Lochkarte

Natürliche zahlen lesen

Diese Aufgaben werden anhand einer Karte mit Kreisen überprüft. Lassen Sie uns seine Anwendung erklären. Nachdem Sie alle Aufgaben erledigt und die richtigen Antworten gefunden haben (sie sind mit den Buchstaben A, B, C usw. gekennzeichnet), legen Sie ein Blatt Transparentpapier auf die Karte. Markieren Sie die richtigen Antworten mit „X“-Markierungen sowie dem Kombinationszeichen „+“. Legen Sie dann die transparente Folie so auf die Seite, dass die Ausrichtungsmarkierungen übereinstimmen. Wenn sich alle „X“-Markierungen in den grauen Kreisen auf dieser Seite befinden, wurden die Aufgaben korrekt erledigt.

1.9. Lesereihenfolge natürlicher Zahlen

Gehen Sie beim Lesen einer natürlichen Zahl wie folgt vor.

Unterteilen Sie die Zahl gedanklich in Tripel (Klassen) von rechts nach links, beginnend mit dem Ende der Zahleneingabe.

Beginnend mit der Juniorklasse schreiben sie von rechts nach links (vom Ende des Zahleneintrags) die Namen der Klassen auf: Einheiten, Tausender, Millionen, Milliarden, Billionen, Billiarden, Quintillionen.
Lesen Sie die Nummer, beginnend mit der High School. In diesem Fall werden die Anzahl der Biteinheiten und der Name der Klasse aufgerufen.
Wenn die Ziffer Null ist (die Ziffer ist leer), wird sie nicht aufgerufen. Wenn alle drei Ziffern der aufgerufenen Klasse Nullen sind (die Ziffern sind leer), dann wird diese Klasse nicht aufgerufen.

Lesen wir (Name) die in der Tabelle (siehe § 1) geschriebene Zahl gemäß den Schritten 1 - 4. Unterteilen Sie die Zahl 38001102987000128425 gedanklich in Klassen von rechts nach links: 038 001 102 987 000 128 425. Lassen Sie uns die Namen der angeben Klassen in dieser Zahl, beginnend mit dem Ende sind ihre Einträge: Einheiten, Tausender, Millionen, Milliarden, Billionen, Billiarden, Quintillionen. Jetzt können Sie die Nummer lesen, beginnend mit der Seniorenklasse. Wir nennen dreistellige, zweistellige und einstellige Zahlen und fügen den Namen der entsprechenden Klasse hinzu. Leere Klassen werden nicht benannt. Wir erhalten folgende Zahl:

038 - achtunddreißig Trillionen
001 - eine Billiarde
102 - einhundertzwei Billionen
987 - neunhundertsiebenundachtzig Milliarden
000 - nicht nennen (nicht lesen)
128 - einhundertachtundzwanzigtausend
425 - vierhundertfünfundzwanzig

Die natürliche Zahl 38 001 102 987 000 128 425 liest sich demzufolge wie folgt: "achtunddreißig Quintillionen eine Billiarde einhundertzwei Billionen neunhundertsiebenundachtzig Milliardenierhundertfünfundzwanzig."

1.9. Die Schreibreihenfolge der natürlichen Zahlen

Natürliche Zahlen werden in der folgenden Reihenfolge geschrieben.

Notieren Sie sich für jede Klasse drei Ziffern, beginnend mit der höchsten Klasse bis zur Einerstelle. In diesem Fall kann es für die höhere Klasse von Zahlen zwei oder eine geben.
Wenn die Klasse oder der Rang nicht genannt wird, werden Nullen in die entsprechenden Ziffern geschrieben.

Zum Beispiel Nummer fünfundzwanzig Millionen dreihundertzwei geschrieben in der Form: 25 000 302 (Tausenderklasse wird nicht genannt, daher werden in alle Ziffern der Tausenderklasse Nullen geschrieben).

1.10. Darstellung natürlicher Zahlen als Summe von Bittermen

Lassen Sie uns ein Beispiel geben: 7 563 429 ist die Dezimaldarstellung der Zahl sieben Millionen fünfhundertdreiundsechzigtausendvierhundertneunundzwanzig. Diese Zahl enthält sieben Millionen, fünfhunderttausend, sechs Zehntausend, dreitausend, vierhundert, zwei Zehner und neun Einheiten. Es kann als Summe dargestellt werden: 7.563.429 \u003d 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. Ein solcher Eintrag wird als Darstellung einer natürlichen Zahl als Summe von Bittermen bezeichnet.

Block 1.11. lass uns spielen

Dungeon-Schätze

Auf dem Spielfeld befindet sich eine Zeichnung zu Kiplings Märchen „Mowgli“. Fünf Truhen haben Vorhängeschlösser. Um sie zu öffnen, müssen Sie Probleme lösen. Gleichzeitig erhältst du einen Punkt, wenn du eine Holztruhe öffnest. Wenn Sie eine Blechtruhe öffnen, erhalten Sie zwei Punkte, eine Kupferkiste - drei Punkte, eine Silberne - vier und eine Goldene - fünf. Der Gewinner ist derjenige, der alle Truhen schneller öffnet. Das gleiche Spiel kann auf einem Computer gespielt werden.

Hölzerne Truhe

Finden Sie heraus, wie viel Geld (in Tausend Rubel) in dieser Truhe ist. Dazu müssen Sie finden Gesamtzahl die niederwertigsten Stellen der Millionenklasse für die Zahl: 125308453231.

Truhe aus Blech

Finden Sie heraus, wie viel Geld (in Tausend Rubel) in dieser Truhe ist. Suchen Sie dazu in der Zahl 12530845323 die Anzahl der niederwertigsten Biteinheiten der Einheitenklasse und die Anzahl der niederwertigsten Biteinheiten der Millionenklasse. Finden Sie dann die Summe dieser Zahlen und ordnen Sie rechts die Zahl in der Zehner-Millionen-Stelle zu.

Kupferne Truhe

Um das Geld dieser Truhe (in Tausend Rubel) zu finden, finden Sie in der Zahl 751305432198203 die Anzahl der Einheiten mit der niedrigsten Ziffer in der Billionenklasse und die Anzahl der Einheiten mit der niedrigsten Ziffer in der Klasse der Milliarden. Finden Sie dann die Summe dieser Zahlen und ordnen Sie rechts die natürlichen Zahlen der Anteilsklasse dieser Zahl in der Reihenfolge ihrer Anordnung zu.

Silberne Truhe

Das Geld dieser Truhe (in Millionen Rubel) wird durch die Summe zweier Zahlen angezeigt: die Anzahl der Einheiten mit den niedrigsten Ziffern der Tausenderklasse und die durchschnittlichen Einheiten der Milliardenklasse für die Zahl 481534185491502.

goldene Truhe

Angesichts der Nummer 800123456789123456789. Wenn wir die Zahlen in den höchsten Ziffern aller Klassen dieser Nummer multiplizieren, erhalten wir das Geld dieser Truhe in Millionen Rubel.

Block 1.12. Passen

Schreibe natürliche Zahlen. Darstellung natürlicher Zahlen als Summe von Bittermen

Wählen Sie für jede Aufgabe in der linken Spalte eine Lösung aus der rechten Spalte aus. Notieren Sie die Antwort in der Form: 1a; 2g; 3b…


	Notieren Sie die Zahlen: fünf Millionen fünfundzwanzigtausend
	Notieren Sie die Zahlen: fünf Milliarden fünfundzwanzig Millionen
	Notieren Sie die Zahlen: fünf Billionen fünfundzwanzig
	Notieren Sie die Zahlen: siebenundsiebzig Millionen siebenundsiebzigtausend siebenhundertsiebenundsiebzig
	Notieren Sie die Zahlen: siebenundsiebzig Billionen siebsieben
	Notieren Sie die Zahlen: siebenundsiebzig Millionen siebsieben
	Notieren Sie die Zahlen: einhundertdreiundzwanzig Milliarden vierhundertsechsundfünfzig Millionennd
	Notieren Sie die Zahlen: einhundertdreiundzwanzig Millionen vierhundertsechsundfünfzigtausendsiebenhundertneunundachtzig
	Notieren Sie die Zahlen: drei Milliarden elf
	Notieren Sie die Zahlen: drei Milliarden elf Millionen

Option 2


	zweiunddreißig Milliarden einhundertfünfundsiebzig Millionendreihunderteinundvierzig		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Drücken Sie die Zahl als Summe von Bittermen aus: dreihunderteinundzwanzig Millionen einundvierzig		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Drücken Sie die Zahl als Summe von Bittermen aus: 321000175298341
	Drücken Sie die Zahl als Summe von Bittermen aus: 101010101
	Drücken Sie die Zahl als Summe von Bittermen aus: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Schreiben Sie in Dezimalschreibweise die Zahl, die als Summe der Bitterme dargestellt wird: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Schreiben Sie in Dezimalschreibweise die Zahl, die als Summe der Bitterme dargestellt wird: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Schreiben Sie in Dezimalschreibweise die Zahl, die als Summe der Bitterme dargestellt wird: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Schreiben Sie in Dezimalschreibweise die Zahl, die als Summe der Bitterme dargestellt wird: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Block 1.13. Facettentest

Der Name des Tests kommt von dem Wort „zusammengesetztes Auge von Insekten“. Dies ist ein Facettenauge, das aus separaten "Augen" besteht. Die Aufgaben des Facettentests bestehen aus separaten Elementen, die durch Zahlen gekennzeichnet sind. Gewöhnlich Facettentests enthalten eine Vielzahl von Aufgaben. Aber es gibt nur vier Aufgaben in diesem Test, aber sie bestehen aus eine große Anzahl Elemente. Dies geschieht, um Ihnen beizubringen, wie Sie Testaufgaben "sammeln". Wenn Sie sie zusammenstellen können, können Sie problemlos mit anderen Facettentests fertig werden.

Lassen Sie uns am Beispiel der dritten Aufgabe erklären, wie sich Aufgaben zusammensetzen. Es besteht aus nummerierten Testelementen: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Wenn» 1) Zahlen aus der Tabelle nehmen (Zahl); 4) 7; 7) platzieren Sie es in einer Kategorie; 11) Milliarde; 1) nimm eine Zahl aus der Tabelle; 5) 8; 7) stelle es in Reihen; 9) Zehn Millionen; 10) hunderte Millionen; 16) Hunderttausende; 17) Zehntausende; 22) Setzen Sie die Zahlen 9 und 6 in die Tausender- und Hunderterstellen. 21) füllen Sie die restlichen Ziffern mit Nullen aus; " DAS» 26) wir erhalten eine Zahl, die der Zeit (Periode) der Umdrehung des Planeten Pluto um die Sonne in Sekunden (s) entspricht; " Diese Nummer ist»: 7880889600 s. In den Antworten wird es durch den Buchstaben angezeigt "V".

Schreiben Sie beim Lösen von Problemen die Zahlen mit einem Bleistift in die Zellen der Tabelle.

Facettentest. Bilde eine Zahl

Die Tabelle enthält die Zahlen:

Wenn

1) nimm die Zahl (Zahlen) aus der Tabelle:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) Platziere diese Zahl (Zahlen) in der Kategorie (Ziffern);

8) Hunderte von Billiarden und zig Billiarden;

9) zig Millionen;

10) Hunderte von Millionen;

11) Milliarden;

12) Quintillionen;

13) Dutzende Quintillionen;

14) Hunderte von Quintillionen;

15) Billionen;

16) Hunderttausende;

17) Zehntausende;

18) fülle die Klasse (Klassen) mit ihr (ihnen);

19) Quintillionen;

20 Milliarden;

21) Füllen Sie die restlichen Ziffern mit Nullen aus;

22) setze die Zahlen 9 und 6 in die Tausender- und Hunderterstellen;

23) wir erhalten eine Zahl gleich der Masse der Erde in zehn Tonnen;

24) wir erhalten eine Zahl, die ungefähr dem Volumen der Erde in Kubikmetern entspricht;

25) erhalten wir eine Zahl, die der Entfernung (in Metern) von der Sonne zum am weitesten entfernten Planeten entspricht Sonnensystem Pluto;

26) wir erhalten eine Zahl gleich der Zeit (Periode) der Umdrehung des Planeten Pluto um die Sonne in Sekunden (s);

Diese Nummer ist:

a) 592900000000

b) 999990000000000000000

d) 598000000000000000000

Probleme lösen:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Antworten

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - Zoll

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

Im fünften Jahrhundert v. Chr. formulierte der antike griechische Philosoph Zeno von Elea seine berühmten Aporien, von denen die berühmteste die Aporie „Achilles und die Schildkröte“ ist. So klingt es:

Nehmen wir an, Achilles läuft zehnmal schneller als die Schildkröte und ist ihr tausend Schritte hinterher. In der Zeit, in der Achilles diese Strecke läuft, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Wenn Achilles hundert Schritte gelaufen ist, kriecht die Schildkröte weitere zehn Schritte und so weiter. Der Prozess wird auf unbestimmte Zeit fortgesetzt, Achilles wird die Schildkröte niemals einholen.

Diese Argumentation wurde zu einem logischen Schock für alle nachfolgenden Generationen. Aristoteles, Diogenes, Kant, Hegel, Gilbert... Alle betrachteten sie auf die eine oder andere Weise als Zenons Aporien. Der Schock war so stark, dass " ... die Diskussionen laufen und jetzt kommen Sie zu sich generelle Meinung die wissenschaftliche Gemeinschaft war noch nicht in der Lage, über das Wesen von Paradoxien zu sprechen ... mathematische Analyse, Mengenlehre, neue physikalische und philosophische Ansätze waren an der Untersuchung des Problems beteiligt; keiner von ihnen wurde zu einer allgemein akzeptierten Lösung des Problems ..."[Wikipedia," Zenos Aporien "]. Jeder versteht, dass er getäuscht wird, aber niemand versteht, was die Täuschung ist.

Aus mathematischer Sicht hat Zeno in seiner Aporie den Übergang vom Wert zu deutlich demonstriert. Dieser Übergang impliziert die Anwendung anstelle von Konstanten. Soweit ich weiß, ist der mathematische Apparat zur Anwendung variabler Maßeinheiten entweder noch nicht entwickelt oder auf Zenos Aporie nicht angewendet worden. Die Anwendung unserer üblichen Logik führt uns in eine Falle. Durch die Trägheit des Denkens wenden wir konstante Zeiteinheiten auf den Kehrwert an. Aus physikalischer Sicht sieht es so aus, als ob die Zeit in dem Moment, in dem Achilles die Schildkröte einholt, verlangsamt und vollständig angehalten wird. Wenn die Zeit stehen bleibt, kann Achilles die Schildkröte nicht mehr überholen.

Wenn wir die gewohnte Logik umdrehen, ergibt sich alles. Achilles läuft mit konstanter Geschwindigkeit. Jedes nachfolgende Segment seines Weges ist zehnmal kürzer als das vorherige. Dementsprechend ist die Zeit, die für die Überwindung aufgewendet wird, zehnmal kürzer als die vorherige. Wenn wir in dieser Situation den Begriff „Unendlichkeit“ anwenden, dann wäre es richtig zu sagen „Achilles wird die Schildkröte unendlich schnell überholen“.

Wie vermeidet man diese logische Falle? Bleiben Sie in konstanten Zeiteinheiten und wechseln Sie nicht zu reziproken Werten. In Zenos Sprache sieht das so aus:

In der Zeit, die Achilles braucht, um tausend Schritte zu laufen, kriecht die Schildkröte hundert Schritte in die gleiche Richtung. Während des nächsten Zeitintervalls, gleich dem ersten, wird Achilles weitere tausend Schritte laufen und die Schildkröte wird hundert Schritte kriechen. Jetzt ist Achilles der Schildkröte achthundert Schritte voraus.

Dieser Ansatz beschreibt die Realität angemessen ohne logische Paradoxien. Dies ist jedoch keine vollständige Lösung des Problems. Einsteins Aussage über die Unüberwindbarkeit der Lichtgeschwindigkeit ist Zenos Aporie „Achilles und die Schildkröte“ sehr ähnlich. Wir müssen dieses Problem noch untersuchen, überdenken und lösen. Und die Lösung muss nicht in unendlich großen Zahlen, sondern in Maßeinheiten gesucht werden.

Eine weitere interessante Aporie von Zeno erzählt von einem fliegenden Pfeil:

Ein fliegender Pfeil ist bewegungslos, da er zu jedem Zeitpunkt ruht, und da er zu jedem Zeitpunkt ruht, ruht er immer.

In dieser Aporie wird das logische Paradox ganz einfach überwunden – es genügt zu verdeutlichen, dass der fliegende Pfeil zu jedem Zeitpunkt an verschiedenen Punkten im Raum ruht, was tatsächlich Bewegung ist. Hier ist noch ein weiterer Punkt zu beachten. Aus einem Foto eines Autos auf der Straße kann weder die Tatsache seiner Bewegung noch die Entfernung zu ihm bestimmt werden. Um die Tatsache der Bewegung des Autos zu bestimmen, werden zwei Fotos benötigt, die vom selben Punkt zu unterschiedlichen Zeitpunkten aufgenommen wurden, aber sie können nicht zur Bestimmung der Entfernung verwendet werden. Um die Entfernung zum Auto zu bestimmen, benötigen Sie zwei Fotos, die gleichzeitig von verschiedenen Punkten im Raum aufgenommen wurden, aber Sie können daraus nicht die Tatsache der Bewegung bestimmen (natürlich benötigen Sie noch zusätzliche Daten für Berechnungen, die Trigonometrie hilft Ihnen). Was ich besonders hervorheben möchte, ist, dass zwei Zeitpunkte und zwei Punkte im Raum zwei verschiedene Dinge sind, die nicht verwechselt werden sollten, da sie unterschiedliche Möglichkeiten der Erforschung bieten.

Mittwoch, 4. Juli 2018

Sehr gut sind die Unterschiede zwischen Menge und Multimenge in Wikipedia beschrieben. Wir schauen.

Wie Sie sehen können, "kann die Menge nicht zwei identische Elemente haben", aber wenn es identische Elemente in der Menge gibt, wird eine solche Menge als "Multimenge" bezeichnet. Vernünftige Wesen werden niemals eine solche Logik der Absurdität verstehen. Dies ist die Ebene sprechender Papageien und abgerichteter Affen, auf der der Verstand dem Wort „vollständig“ abwesend ist. Mathematiker agieren als gewöhnliche Trainer und predigen uns ihre absurden Ideen.

Es war einmal, dass die Ingenieure, die die Brücke gebaut haben, während der Tests der Brücke in einem Boot unter der Brücke waren. Wenn die Brücke einstürzte, starb der mittelmäßige Ingenieur unter den Trümmern seiner Schöpfung. Wenn die Brücke der Belastung standhalten konnte, baute der begabte Ingenieur andere Brücken.

Egal, wie sich Mathematiker hinter dem Satz "wohlgemerkt, ich bin im Haus" oder besser gesagt "Mathematikstudium" verstecken abstrakte Konzepte", gibt es eine Nabelschnur, die sie untrennbar mit der Realität verbindet. Diese Nabelschnur ist Geld. Wenden wir die mathematische Mengenlehre auf die Mathematiker selbst an.

Wir haben sehr gut Mathematik studiert und jetzt sitzen wir an der Kasse und zahlen Gehälter aus. Hier kommt ein Mathematiker auf sein Geld zu uns. Wir zählen ihm den gesamten Betrag vor und legen ihn auf unserem Tisch in verschiedenen Stapeln aus, in die wir Scheine der gleichen Stückelung legen. Dann nehmen wir von jedem Stapel einen Schein und geben dem Mathematiker seinen „mathematischen Gehaltssatz“. Wir erklären die Mathematik, dass er die restlichen Rechnungen nur erhält, wenn er beweist, dass die Menge ohne identische Elemente nicht gleich der Menge mit identischen Elementen ist. Hier beginnt der Spaß.

Zunächst einmal wird die Logik der Abgeordneten funktionieren: "Sie können es auf andere anwenden, aber nicht auf mich!" Außerdem wird zugesichert, dass auf Banknoten derselben Stückelung unterschiedliche Banknotennummern vorhanden sind, was bedeutet, dass sie nicht als identische Elemente angesehen werden können. Nun, wir zählen das Gehalt in Münzen - es gibt keine Zahlen auf den Münzen. Hier erinnert sich der Mathematiker hektisch an die Physik: Verschiedene Münzen haben unterschiedlich viel Schmutz, die Kristallstruktur und Anordnung der Atome für jede Münze ist einzigartig ...

Und jetzt habe ich die meisten Interesse fragen: Wo ist die Grenze, ab der Elemente einer Multimenge zu Elementen einer Menge werden und umgekehrt? Eine solche Linie gibt es nicht - alles wird von Schamanen entschieden, die Wissenschaft ist hier nicht einmal annähernd.

Schau hier. Wir wählen Fußballstadien mit gleicher Spielfeldfläche aus. Die Fläche der Felder ist gleich, was bedeutet, dass wir eine Multimenge haben. Aber wenn wir die Namen der gleichen Stadien betrachten, bekommen wir viel, weil die Namen unterschiedlich sind. Wie Sie sehen können, ist dieselbe Menge von Elementen gleichzeitig eine Menge und eine Multimenge. Wie richtig? Und hier holt der Mathematiker-Schamane-Schüler ein Trumpf-Ass aus seinem Ärmel und beginnt uns entweder von einem Set oder einem Multiset zu erzählen. Auf jeden Fall wird er uns davon überzeugen, dass er Recht hat.

Um zu verstehen, wie moderne Schamanen mit der Mengentheorie arbeiten und sie an die Realität binden, genügt es, eine Frage zu beantworten: Wie unterscheiden sich die Elemente einer Menge von den Elementen einer anderen Menge? Ich werde es Ihnen zeigen, ohne „als nicht ein Ganzes denkbar“ oder „nicht als ein Ganzes denkbar“.

Sonntag, 18. März 2018

Die Quersumme einer Zahl ist ein Schamanentanz mit Tamburin, der nichts mit Mathematik zu tun hat. Ja, im Mathematikunterricht wird uns beigebracht, die Summe der Ziffern einer Zahl zu finden und zu verwenden, aber dafür sind sie Schamanen, um ihren Nachkommen ihre Fähigkeiten und Weisheit beizubringen, sonst sterben Schamanen einfach aus.

Benötigen Sie einen Nachweis? Öffnen Sie Wikipedia und versuchen Sie, die Seite „Summe der Ziffern einer Zahl“ zu finden. Sie existiert nicht. In der Mathematik gibt es keine Formel, mit der man die Quersumme einer beliebigen Zahl ermitteln kann. Schließlich sind Zahlen grafische Symbole, mit denen wir Zahlen schreiben, und in der Sprache der Mathematik klingt die Aufgabe so: „Finde die Summe von grafischen Symbolen, die eine beliebige Zahl darstellen.“ Mathematiker können dieses Problem nicht lösen, aber Schamanen können es elementar.

Lassen Sie uns herausfinden, was und wie wir tun, um die Quersumme zu finden angegebene Nummer. Nehmen wir also an, wir haben die Zahl 12345. Was muss getan werden, um die Quersumme dieser Zahl zu finden? Betrachten wir alle Schritte der Reihe nach.

1. Notieren Sie die Nummer auf einem Blatt Papier. Was haben wir getan? Wir haben die Zahl in ein grafisches Zahlensymbol umgewandelt. Dies ist keine mathematische Operation.

2. Wir schneiden ein empfangenes Bild in mehrere Bilder mit separaten Nummern. Das Schneiden eines Bildes ist keine mathematische Operation.

3. Wandeln Sie einzelne Grafikzeichen in Zahlen um. Dies ist keine mathematische Operation.

4. Addieren Sie die resultierenden Zahlen. Das ist jetzt Mathematik.

Die Quersumme der Zahl 12345 ist 15. Dies sind die „Schneide- und Nähkurse“ von Schamanen, die von Mathematikern verwendet werden. Aber das ist noch nicht alles.

Aus mathematischer Sicht spielt es keine Rolle, in welchem Zahlensystem wir die Zahl schreiben. Also rein verschiedene Systeme Rechnen, wird die Summe der Ziffern der gleichen Zahl unterschiedlich sein. In der Mathematik wird das Zahlensystem als Index rechts neben der Zahl angegeben. Bei einer großen Zahl von 12345 möchte ich mir nicht den Kopf verdrehen, betrachten Sie die Zahl 26 aus dem Artikel darüber. Lassen Sie uns diese Zahl in binären, oktalen, dezimalen und hexadezimalen Zahlensystemen schreiben. Wir werden nicht jeden Schritt unter die Lupe nehmen, das haben wir bereits getan. Schauen wir uns das Ergebnis an.

Wie Sie sehen können, ist in verschiedenen Zahlensystemen die Summe der Ziffern derselben Zahl unterschiedlich. Dieses Ergebnis hat nichts mit Mathematik zu tun. Es ist, als würde man die Fläche eines Rechtecks in Metern und Zentimetern zu ganz anderen Ergebnissen bringen.

Die Null sieht in allen Zahlensystemen gleich aus und hat keine Quersumme. Dies ist ein weiteres Argument dafür, dass . Eine Frage an die Mathematiker: Wie bezeichnet man in der Mathematik das, was keine Zahl ist? Was existiert für Mathematiker nur aus Zahlen? Für Schamanen kann ich das zulassen, aber für Wissenschaftler nicht. Realität besteht nicht nur aus Zahlen.

Das erhaltene Ergebnis sollte als Beweis dafür angesehen werden, dass Zahlensysteme Maßeinheiten für Zahlen sind. Schließlich können wir Zahlen mit unterschiedlichen Maßeinheiten nicht vergleichen. Wenn gleiche Handlungen mit unterschiedlichen Maßeinheiten derselben Größe nach dem Vergleich zu unterschiedlichen Ergebnissen führen, dann hat das nichts mit Mathematik zu tun.

Was ist echte Mathematik? Dies ist der Fall, wenn das Ergebnis einer mathematischen Aktion nicht vom Wert der Zahl, der verwendeten Maßeinheit und davon abhängt, wer diese Aktion ausführt.

Schild an der Tür Öffnet die Tür und sagt:

Oh! Ist das nicht die Damentoilette?
- Junge Frau! Dies ist ein Labor zum Studium der unbestimmten Heiligkeit der Seelen beim Aufstieg in den Himmel! Nimbus oben und Pfeil nach oben. Welche andere Toilette?

Weiblich ... Ein Heiligenschein oben und ein Pfeil nach unten sind männlich.

Wenn Sie ein solches Designkunstwerk mehrmals täglich vor Augen haben,

Dann ist es nicht verwunderlich, dass Sie plötzlich ein seltsames Symbol in Ihrem Auto finden:

Ich persönlich gebe mir Mühe, bei einer kackenden Person (ein Bild) minus vier Grad zu sehen (Zusammensetzung mehrerer Bilder: Minuszeichen, Zahl vier, Gradbezeichnung). Und ich halte dieses Mädchen nicht für einen Narren, der keine Physik versteht. Sie hat nur ein Bogenstereotyp der Wahrnehmung von grafischen Bildern. Und Mathematiker lehren uns das ständig. Hier ist ein Beispiel.

1A ist nicht "minus vier Grad" oder "ein a". Das ist „pooping man“ oder die Zahl „sechsundzwanzig“ im hexadezimalen Zahlensystem. Wer ständig in diesem Zahlensystem arbeitet, nimmt Zahl und Buchstabe automatisch als ein grafisches Symbol wahr.

Natürliche Zahlen können zum Zählen verwendet werden (ein Apfel, zwei Äpfel usw.)

Ganze Zahlen(von lat. natürlich- natürlich; natürliche Zahlen) - Zahlen, die beim Zählen natürlich entstehen (z. B. 1, 2, 3, 4, 5 ...). Die aufsteigend geordnete Folge aller natürlichen Zahlen heißt natürlich nebeneinander.

Es gibt zwei Ansätze zur Definition natürlicher Zahlen:

zählen (nummerieren) Artikel ( Erste, zweite, dritte, vierte, fünfte"…);
natürliche Zahlen - Zahlen, die entstehen, wenn Mengenbezeichnung Artikel ( 0 Artikel, 1 Artikel, 2 Gegenstände, 3 Artikel, 4 Artikel, 5 Artikel"...).

Im ersten Fall beginnt die Reihe der natürlichen Zahlen bei eins, im zweiten bei null. Für die meisten Mathematiker gibt es keine gemeinsame Meinung darüber, ob der erste oder der zweite Ansatz bevorzugt wird (d. h. ob Null gezählt werden soll). natürliche Zahl oder nicht). Die überwiegende Mehrheit der russischen Quellen hat traditionell den ersten Ansatz gewählt. Der zweite Ansatz wird beispielsweise in den Schriften von Nicolas Bourbaki verwendet, wo natürliche Zahlen als Kardinalitäten endlicher Mengen definiert werden.

Negative und nicht ganzzahlige (rationale, reelle, ...) Zahlen gehören nicht zu den natürlichen Zahlen.

Die Menge aller natürlichen Zahlen es ist üblich, das Symbol N (\displaystyle \mathbb (N) ) (von lat. natürlich- natürlich). Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, da es für jede natürliche Zahl n (\displaystyle n) eine natürliche Zahl größer als n (\displaystyle n) gibt.

Das Vorhandensein von Null erleichtert die Formulierung und den Beweis vieler Theoreme in der Arithmetik natürlicher Zahlen, sodass der erste Ansatz den nützlichen Begriff einführt erweiterte natürliche Reihe, einschließlich Null. Die erweiterte Reihe wird mit N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) oder Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) bezeichnet.

Axiome, die es ermöglichen, die Menge der natürlichen Zahlen zu definieren

Peano-Axiome für natürliche Zahlen

Hauptartikel: Peanos Axiome

Eine Menge N (\displaystyle \mathbb (N) ) wird eine Menge natürlicher Zahlen genannt, wenn ein Element fest ist 1 (eine), die zu N (\displaystyle \mathbb (N) ) gehört (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), und eine Funktion S (\displaystyle S) mit Definitionsbereich N (\displaystyle \mathbb (N) ) und Bereich N (\displaystyle \mathbb (N) ) (genannt die Nachfolgefunktion; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )), so dass die folgende Bedingungen erfüllt sind:

die Einheit ist eine natürliche Zahl (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
die Zahl nach einer natürlichen Zahl ist auch natürlich (wenn x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) , dann S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
man folgt keiner natürlichen Zahl (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1))));
wenn die natürliche Zahl a (\displaystyle a) unmittelbar auf die natürliche Zahl b (\displaystyle b) und die natürliche Zahl c (\displaystyle c) folgt, dann b = c (\displaystyle b=c) (wenn S (b ) = a ( \displaystyle S(b)=a) und S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , dann b = c (\displaystyle b=c));
(Axiom der Induktion) wenn irgendein Satz (Aussage) P (\displaystyle P) bewiesen ist für eine natürliche Zahl n = 1 (\displaystyle n=1) ( Induktionsbasis) und wenn die Annahme, dass es für eine andere natürliche Zahl n (\displaystyle n) gilt, impliziert, dass es für die natürliche Zahl nach n (\displaystyle n) gilt ( Induktionshypothese), dann gilt diese Aussage für alle natürlichen Zahlen (es sei P (n) (\displaystyle P(n)) ein einstelliges (unäres) Prädikat, dessen Parameter eine natürliche Zahl n (\displaystyle n) ist. Dann, wenn P (1 ) (\displaystyle P(1)) und ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , dann ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Die obigen Axiome spiegeln unser intuitives Verständnis der natürlichen Reihe und des Zahlenstrahls wider.

Die grundlegende Tatsache ist, dass diese Axiome die natürlichen Zahlen im Wesentlichen eindeutig bestimmen (die kategorische Natur des Systems von Peanos Axiomen). Man kann nämlich beweisen (siehe auch Kurzbeweis), dass wenn (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) und (N ~ , 1 ~ , S ~) (\displaystyle ( (\tilde(\mathbb(N))),(\tilde(1)),(\tilde(S)))) zwei Modelle für das Peano-Axiomsystem sind, dann sind sie notwendigerweise isomorph, d.h. es existiert eine invertierbare Abbildung (Bijektion) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) so dass f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1) =(\tilde (1))) und f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f(x )) ) für alle x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Daher genügt es, als N (\displaystyle \mathbb (N) ) ein bestimmtes Modell der Menge der natürlichen Zahlen festzulegen.

Mengentheoretische Definition natürlicher Zahlen (Frege-Russell-Definition)

Nach der Mengentheorie ist der einzige Gegenstand der Konstruktion mathematischer Systeme die Menge.

So werden auch natürliche Zahlen ausgehend vom Mengenbegriff nach zwei Regeln eingeführt:

S. (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \left\(n\right\)) .

Auf diese Weise definierte Zahlen werden Ordnungszahlen genannt.

Lassen Sie uns die ersten Ordnungszahlen und ihre entsprechenden natürlichen Zahlen beschreiben:

0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing ) ;
1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ rechts\)(\big \))) ;
3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\right\)=(\Big \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )) .

Null als natürliche Zahl

Manchmal, besonders in ausländischer und übersetzter Literatur, ersetzen Peanos erstes und drittes Axiom eins durch null. In diesem Fall wird Null als natürliche Zahl betrachtet. In Bezug auf Klassen äquivalenter Mengen definiert, ist Null per Definition eine natürliche Zahl. Es wäre unnatürlich, es ausdrücklich zu verwerfen. Außerdem würde dies den weiteren Aufbau und die Anwendung der Theorie erheblich erschweren, da in den meisten Konstruktionen die Null ebenso wie die leere Menge nichts Isoliertes ist. Ein weiterer Vorteil der Betrachtung von Null als natürliche Zahl ist, dass N (\displaystyle \mathbb (N) ) ein Monoid bildet.

In der russischen Literatur wird Null normalerweise von der Anzahl der natürlichen Zahlen ausgeschlossen (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), und die Menge der natürlichen Zahlen mit Null wird als N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ) . Wenn Null in der Definition der natürlichen Zahlen enthalten ist, dann wird die Menge der natürlichen Zahlen als N (\displaystyle \mathbb (N) ) geschrieben, und ohne Null - als N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

In der internationalen mathematischen Literatur wird unter Berücksichtigung des Obigen und zur Vermeidung von Mehrdeutigkeiten die Menge ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) üblicherweise als Menge der positiven ganzen Zahlen bezeichnet und mit bezeichnet Z + (\displaystyle \ mathbb (Z) _(+)) . Die Menge ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) wird oft als Menge nicht negativer ganzer Zahlen bezeichnet und mit Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(\ geqslant 0)) .

Die Position der Menge der natürlichen Zahlen (N (\displaystyle \mathbb (N) )) unter den Mengen der ganzen Zahlen (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), Rationale Zahlen(Q (\displaystyle \mathbb (Q) )), reelle Zahlen (R (\displaystyle \mathbb (R) )) und irrationale Zahlen (R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ) )

Der Wert der Menge natürlicher Zahlen

Die Größe einer unendlichen Menge wird durch das Konzept der "Macht einer Menge" charakterisiert, das eine Verallgemeinerung der Anzahl von Elementen einer endlichen Menge auf unendliche Mengen ist. Hinsichtlich der Größe (d. h. Kardinalität) ist die Menge der natürlichen Zahlen größer als jede endliche Menge, aber kleiner als jedes Intervall, zum Beispiel das Intervall (0 , 1) (\displaystyle (0,1)) . Die Menge der natürlichen Zahlen hat die gleiche Kardinalität wie die Menge der rationalen Zahlen. Eine Menge mit der gleichen Mächtigkeit wie die Menge der natürlichen Zahlen heißt abzählbare Menge. Somit ist die Menge der Terme jeder Folge abzählbar. Gleichzeitig gibt es eine Folge, in der jede natürliche Zahl unendlich oft vorkommt, da sich die Menge der natürlichen Zahlen als abzählbare Vereinigung disjunkter abzählbarer Mengen darstellen lässt (z. B. N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0 )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\right))).

Operationen mit natürlichen Zahlen

Geschlossene Operationen (Operationen, die kein Ergebnis aus der Menge der natürlichen Zahlen ausgeben) auf natürliche Zahlen umfassen die folgenden arithmetischen Operationen:

Zusatz: Term + Term = Summe;
Multiplikation: Multiplikator × Multiplikator = Produkt;
Potenzierung: a b (\displaystyle a^(b)) , wobei a (\displaystyle a) die Basis des Exponenten ist, b (\displaystyle b) der Exponent ist. Wenn a (\displaystyle a) und b (\displaystyle b) natürliche Zahlen sind, dann ist auch das Ergebnis eine natürliche Zahl.

Zusätzlich werden zwei weitere Operationen betrachtet (formal gesehen sind sie keine Operationen auf natürlichen Zahlen, da sie nicht für definiert sind alle Zahlenpaare (manchmal existieren sie, manchmal nicht)):

Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Differenz. In diesem Fall muss der Minuend größer als der Subtrahend sein (oder gleich ihm, wenn wir Null als natürliche Zahl betrachten);
Division mit Rest: Dividend / Divisor = (Quotient, Rest). Der Quotient p (\displaystyle p) und der Rest r (\displaystyle r), wenn a (\displaystyle a) durch b (\displaystyle b) dividiert wird, sind wie folgt definiert: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a= p\cdot b+ r) , und 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r kann dargestellt werden als a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) , d. h., jede Zahl könnte in Betracht gezogen werden private, und der Rest a (\displaystyle a) .

Es sei darauf hingewiesen, dass die Operationen der Addition und Multiplikation grundlegend sind. Insbesondere der Ring der ganzen Zahlen ist durch die binären Operationen Addition und Multiplikation genau definiert.

Grundeigenschaften

Kommutativität der Addition:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

Kommutativität der Multiplikation:

ein ⋅ b = b ⋅ ein (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

Assoziativität der Addition:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

Assoziativität der Multiplikation:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

Distributivität der Multiplikation bezüglich der Addition:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

Algebraische Struktur

Die Addition verwandelt die Menge der natürlichen Zahlen in eine Halbgruppe mit Eins, wobei die Rolle der Eins gespielt wird 0 . Die Multiplikation verwandelt auch die Menge der natürlichen Zahlen in eine Halbgruppe mit Einheit, während das Identitätselement ist 1 . Wenn wir unter Additions-Subtraktions- und Multiplikations-Divisionsoperationen schließen, erhalten wir Gruppen von ganzen Zahlen Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) und rationale positive Zahlen Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^(*)) bzw.

Mengentheoretische Definitionen

Verwenden wir die Definition natürlicher Zahlen als Äquivalenzklassen endlicher Mengen. Wenn wir die Äquivalenzklasse einer Menge bezeichnen A, erzeugt durch Bijektionen, mit Hilfe von eckige Klammern: [A] sind die Grundrechenarten wie folgt definiert:

[ EIN ] + [ B ] = [ EIN ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
[ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
[ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - disjunkte Vereinigung von Mengen;
A × B (\displaystyle A\times B) - direktes Produkt;
A B (\displaystyle A^(B)) - Satz von Displays von B v A.

Es lässt sich zeigen, dass die resultierenden Operationen auf Klassen korrekt eingeführt werden, also nicht von der Wahl der Klassenelemente abhängen und mit den induktiven Definitionen übereinstimmen.

Was ist eine natürliche Zahl? Geschichte, Umfang, Eigenschaften

Die Mathematik ging um das 6. Jahrhundert v. Chr. aus der allgemeinen Philosophie hervor. e., und von diesem Moment an begann ihr Siegeszug um die Welt. Jede Entwicklungsstufe brachte etwas Neues mit sich - das elementare Zählen entwickelte sich, verwandelte sich in die Differential- und Integralrechnung, die Jahrhunderte änderten sich, die Formeln wurden immer verwirrender, und der Moment kam, als "die komplexeste Mathematik begann - alle Zahlen verschwanden daraus". Aber was war die Grundlage?

Der Anfang der Zeit

Mit den ersten mathematischen Operationen tauchten die natürlichen Zahlen auf. Einmal ein Dorn, zwei Dornen, drei Dornen ... Sie erschienen dank indischer Wissenschaftler, die den ersten herausbrachten positionelles System rechnen.
Das Wort "Positionalität" bedeutet, dass die Position jeder Ziffer in einer Zahl streng definiert ist und ihrer Kategorie entspricht. Zum Beispiel sind die Zahlen 784 und 487 die gleichen Zahlen, aber die Zahlen sind nicht äquivalent, da die erste 7 Hunderter enthält, während die zweite nur 4 enthält. Die Araber griffen die Innovation der Inder auf, die die Zahlen auf die brachten Form, die wir jetzt kennen.

In der Antike erhielten Zahlen eine mystische Bedeutung, der größte Mathematiker Pythagoras glaubte, dass die Zahl zusammen mit den Hauptelementen - Feuer, Wasser, Erde, Luft - der Erschaffung der Welt zugrunde liegt. Wenn wir alles nur von der mathematischen Seite betrachten, was ist dann eine natürliche Zahl? Der Körper der natürlichen Zahlen wird mit N bezeichnet und ist eine unendliche Reihe von Zahlen, die ganzzahlig und positiv sind: 1, 2, 3, … + ∞. Null ist ausgeschlossen. Es wird hauptsächlich zum Zählen von Artikeln und zum Anzeigen der Reihenfolge verwendet.

Was ist eine natürliche Zahl in der Mathematik? Peanos Axiome

Der Körper N ist der Basiskörper, auf dem sich die elementare Mathematik stützt. Im Laufe der Zeit wurden die Felder der ganzen, rationalen, komplexen Zahlen unterschieden.

Die Arbeit des italienischen Mathematikers Giuseppe Peano ermöglichte die weitere Strukturierung der Arithmetik, erreichte ihre Formalität und ebnete den Weg für weitere Schlussfolgerungen, die über den Körper N hinausgingen. Was eine natürliche Zahl ist, wurde früher herausgefunden einfache Sprache, wird die mathematische Definition basierend auf den Axiomen von Peano im Folgenden betrachtet.

Eins gilt als natürliche Zahl.
Die Zahl, die auf eine natürliche Zahl folgt, ist eine natürliche Zahl.
Es gibt keine natürliche Zahl vor Eins.
Wenn die Zahl b sowohl auf die Zahl c als auch auf die Zahl d folgt, dann ist c=d.
Das Induktionsaxiom, das wiederum zeigt, was eine natürliche Zahl ist: Wenn irgendeine Aussage, die von einem Parameter abhängt, für die Zahl 1 gilt, dann nehmen wir an, dass sie auch für die Zahl n aus dem Körper der natürlichen Zahlen N gilt. Dann die Aussage gilt auch für n = 1 aus dem Körper der natürlichen Zahlen N.

Grundlegende Operationen für den Körper der natürlichen Zahlen

Da das Feld N das erste für mathematische Berechnungen wurde, beziehen sich sowohl die Definitionsbereiche als auch die Wertebereiche einer Reihe von Operationen unten darauf. Sie sind geschlossen und nicht. Der Hauptunterschied besteht darin, dass geschlossene Operationen garantiert ein Ergebnis innerhalb der Menge N hinterlassen, unabhängig davon, um welche Zahlen es sich handelt. Es reicht, dass sie natürlich sind. Das Ergebnis der verbleibenden numerischen Interaktionen ist nicht mehr so eindeutig und hängt direkt davon ab, um welche Art von Zahlen es sich bei dem Ausdruck handelt, da es der Hauptdefinition widersprechen kann. Also, geschlossene Operationen:

Zusatz – x + y = z, wobei x, y, z im Feld N enthalten sind;
Multiplikation - x * y = z, wobei x, y, z im Feld N enthalten sind;
Potenzierung - xy, wobei x, y im N-Feld enthalten sind.

Die verbleibenden Operationen, deren Ergebnis im Kontext der Definition "was ist eine natürliche Zahl" möglicherweise nicht existiert, sind die folgenden:

Eigenschaften von Zahlen, die zum Feld N gehören

Alle weiteren mathematischen Überlegungen basieren auf den folgenden Eigenschaften, den trivialsten, aber nicht weniger wichtig.

Das Kommutativgesetz der Addition ist x + y = y + x, wobei die Zahlen x, y im Feld N enthalten sind. Oder das bekannte „die Summe ändert sich nicht durch einen Wechsel der Stellen der Terme“.
Das Kommutativgesetz der Multiplikation ist x * y = y * x, wobei die Zahlen x, y im Feld N enthalten sind.
Die assoziative Eigenschaft der Addition ist (x + y) + z = x + (y + z), wobei x, y, z im Feld N enthalten sind.
Die assoziative Eigenschaft der Multiplikation ist (x * y) * z = x * (y * z), wobei die Zahlen x, y, z im Feld N enthalten sind.
Verteilungseigenschaft - x (y + z) = x * y + x * z, wobei die Zahlen x, y, z im Feld N enthalten sind.

Pythagoräischer Tisch

Einer der ersten Schritte zur Kenntnis des gesamten Aufbaus der elementaren Mathematik durch Schulkinder, nachdem sie selbst verstanden haben, welche Zahlen als natürliche Zahlen bezeichnet werden, ist die Tafel des Pythagoras. Es kann nicht nur aus wissenschaftlicher Sicht betrachtet werden, sondern auch als wertvolles wissenschaftliches Denkmal.

Dieses Einmaleins hat im Laufe der Zeit eine Reihe von Änderungen erfahren: Null wurde daraus entfernt, und Zahlen von 1 bis 10 bezeichnen sich selbst, ohne Berücksichtigung von Ordnungen (Hunderter, Tausender ...). Es ist eine Tabelle, in der die Überschriften von Zeilen und Spalten Zahlen sind und der Inhalt der Zellen ihrer Schnittmenge gleich ihrem Produkt ist.

In der Lehrpraxis der letzten Jahrzehnte bestand die Notwendigkeit, die pythagoräische Tafel „der Reihe nach“ auswendig zu lernen, das heißt, das Auswendiglernen ging vor. Eine Multiplikation mit 1 wurde ausgeschlossen, da das Ergebnis 1 oder größer war. Inzwischen kann man in der Tabelle mit bloßem Auge ein Muster erkennen: Das Zahlenprodukt wächst um einen Schritt, der dem Titel der Zeile entspricht. Der zweite Faktor zeigt uns also, wie oft wir den ersten nehmen müssen, um das gewünschte Produkt zu erhalten. Dieses System ist viel bequemer als das im Mittelalter praktizierte: Obwohl die Menschen verstanden, was eine natürliche Zahl ist und wie trivial sie ist, gelang es ihnen, ihr alltägliches Zählen mit einem System zu erschweren, das auf Zweierpotenzen basiert.

Teilmenge als Wiege der Mathematik

An dieser Moment Der Körper der natürlichen Zahlen N wird nur als eine der Teilmengen der komplexen Zahlen betrachtet, was sie jedoch in der Wissenschaft nicht weniger wertvoll macht. Die natürliche Zahl ist das erste, was ein Kind lernt, indem es sich selbst studiert und die Umwelt. Ein Finger, zwei Finger ... Dank ihm bildet sich eine Person logisches Denken, sowie die Fähigkeit, die Ursache zu bestimmen und die Wirkung abzuleiten, was den Weg für große Entdeckungen ebnet.

Diskussion: Natürliche Zahl

Streit um Null

Aus irgendeinem Grund kann ich mir die Null nicht als natürliche Zahl vorstellen ... Es scheint, dass die Alten die Null überhaupt nicht kannten. Ja, und TSB betrachtet Null nicht als natürliche Zahl. So ist es zumindest ein strittiger Punkt. Können Sie etwas Neutraleres über Null sagen? Oder gibt es gute Argumente? --.:Ajvol:. 18:18, 9. September 2004 (UTC)

zurückgerollt Letzte Bearbeitung. --Maxal 20:24 9. September 2004 (UTC)

Die Französische Akademie erließ einst ein spezielles Dekret, wonach 0 in die Menge der natürlichen Zahlen aufgenommen wurde. Jetzt ist dies der Standard, meiner Meinung nach ist es nicht notwendig, das Konzept der "russischen natürlichen Zahl" einzuführen, sondern sich an diesen Standard zu halten. Natürlich sollte erwähnt werden, dass es früher nicht so war (nicht nur in Russland, sondern überall). Tosha 23:16, 9. September 2004 (UTC)

Die Französische Akademie ist für uns kein Dekret. Auch in der englischsprachigen mathematischen Literatur gibt es hierzu keine fundierte Meinung. Siehe zum Beispiel --Maxal 23:58, 9. September 2004 (UTC)

Irgendwo da drüben heißt es: "Wenn Sie einen Artikel über ein kontroverses Thema schreiben, dann versuchen Sie, alle Standpunkte darzustellen und Verbindungen zu unterschiedlichen Meinungen herzustellen." Insel Bes 23:15, 25. Dezember 2004 (UTC)

Ich sehe hier kein kontroverses Thema, aber ich sehe: 1) Respektlosigkeit gegenüber anderen Teilnehmern durch wesentliche Änderung / Löschung ihres Textes (es ist üblich, sie zu diskutieren, bevor wesentliche Änderungen vorgenommen werden); 2) Ersetzen strenger Definitionen (die Kardinalitäten von Mengen angeben) durch undeutliche (gibt es einen großen Unterschied zwischen "Nummerierung" und "Angabe von Mengen"?). Deshalb mache ich noch einmal einen Rollback, aber ich hinterlasse eine letzte Bemerkung. --Maxal 23:38, 25. Dezember 2004 (UTC)

Respektlosigkeit ist genau so, wie ich deine Kickbacks sehe. Also lass uns nicht darüber reden. Meine Bearbeitung ändert nichts an der Essenz Artikel formuliert nur zwei Definitionen klar. Die vorherige Version des Artikels formulierte die Definition "ohne Null" als Hauptdefinition und "mit Null" als eine Art Dissidenz. Dies entspricht absolut nicht den Anforderungen von Wikipedia (siehe Zitat oben), ebenso wie der nicht ganz wissenschaftlichen Darstellungsweise in der Vorgängerversion. Ich habe die Formulierung "Kardinalität einer Menge" als Erklärung für "Mengenbezeichnung" und "Enumeration" für "Nummerierung" hinzugefügt. Und wenn Sie den Unterschied zwischen "Nummerierung" und "Mengenbezeichnung" nicht sehen, dann lassen Sie mich fragen, warum redigieren Sie dann mathematische Artikel? Insel Bes 23:58, 25. Dezember 2004 (UTC)

Was "das Wesentliche nicht ändert" - die vorherige Version betonte, dass der Unterschied in den Definitionen nur darin besteht, Null auf natürliche Zahlen zu beziehen. In Ihrer Version werden die Definitionen als radikal unterschiedlich dargestellt. Was die "grundlegende" Definition angeht, dann sollte es so sein, denn dieser Artikel in Russisch Wikipedia, was bedeutet, dass Sie sich grundsätzlich an das halten müssen, was Sie sagen allgemein akzeptiert in russischen mathematischen Schulen. Überfälle ignoriere ich. --Maxal 00:15, 26. Dezember 2004 (UTC)

Tatsächlich ist dies nur eine Differenz von nur Null. Tatsächlich ist dies genau der kardinale Unterschied, der sich aus einem anderen Verständnis der Natur natürlicher Zahlen ergibt: in einer Version - als Mengen; in der anderen - als Zahlen. Das absolut verschiedene Konzepte, egal wie sehr Sie versuchen zu verbergen, dass Sie es nicht verstehen.

Über die Tatsache, dass in der russischen Wikipedia die russische Sichtweise als die vorherrschende zitiert werden muss. Schauen Sie hier genau hin. Schauen Sie sich den englischen Artikel über Weihnachten an. Darin steht nicht, dass Weihnachten am 25. Dezember gefeiert werden soll, denn so wird es in England und den USA gefeiert. Beide Standpunkte sind dort angegeben (und sie unterscheiden sich nicht mehr und nicht weniger als sich natürliche Zahlen "mit Null" und "ohne Null" unterscheiden), und kein einziges Wort darüber, welche von ihnen angeblich richtiger ist.

In meiner Version des Artikels werden beide Standpunkte als unabhängig und gleichwertig bezeichnet. Der russische Standard wird durch die oben genannten Wörter angegeben.

Vielleicht sind die Konzepte der natürlichen Zahlen aus philosophischer Sicht tatsächlich so absolut anders, aber der Artikel bietet im Wesentlichen mathematische Definitionen, wobei der Unterschied 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) oder 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) ist. Der dominante Standpunkt oder nicht, ist eine heikle Angelegenheit. Ich schätze den Satz am 25. Dezember in den meisten Teilen der westlichen Welt beobachtet aus dem englischen Artikel über Weihnachten als Ausdruck der vorherrschenden Sichtweise, ohne dass im ersten Absatz andere Daten angegeben sind. Übrigens gab es in der vorherigen Version des Artikels über natürliche Zahlen auch keine direkten Hinweise darauf, wie notwendig Um natürliche Zahlen zu bestimmen, wurde (in Russland) nur eine Definition ohne Null als gebräuchlicher dargestellt. Auf jeden Fall ist es gut, dass ein Kompromiss gefunden wurde. --Maxal 00:53, 26. Dezember 2004 (UTC)

Der Ausdruck "In der russischen Literatur wird Null normalerweise von der Anzahl der natürlichen Zahlen ausgeschlossen" ist irgendwie unangenehm überraschend, meine Herren, Null gilt weltweit nicht als natürliche Zahl, sofern nicht anders angegeben. Die gleichen Franzosen schreiben, soweit ich sie gelesen habe, ausdrücklich die Einbeziehung von Null vor. Natürlich wird N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) häufiger verwendet, aber wenn ich zum Beispiel Frauen mag, werde ich Männer nicht in Frauen verwandeln. Druide. 2014-02-23

Die Unbeliebtheit natürlicher Zahlen

Mir scheint, dass natürliche Zahlen ein unbeliebtes Thema in mathematischen Artikeln sind (vielleicht nicht zuletzt aufgrund des Fehlens einer einheitlichen Definition). Meiner Erfahrung nach stoße ich oft in mathematischen Artikeln auf die Begriffe ganzzahlige nicht negative Zahlen Und ganze positive Zahlen(die eindeutig interpretiert werden) als ganze Zahlen. Interessierte Parteien werden gebeten, ihre (Nicht-) Zustimmung zu dieser Beobachtung zum Ausdruck zu bringen. Wenn diese Beobachtung Unterstützung findet, ist es sinnvoll, dies im Artikel anzugeben. --Maxal 01:12, 26. Dezember 2004 (UTC)

Mit dem zusammenfassenden Teil Ihrer Aussage haben Sie zweifelsohne Recht. Es ist alles wegen der Unterschiede in der Definition. Ich selbst ziehe es in einigen Fällen vor, statt „natürlich“ „positive ganze Zahlen“ oder „nicht negative ganze Zahlen“ anzugeben, um Unstimmigkeiten bezüglich der Einbeziehung von Nullen zu vermeiden. Und dem operativen Teil stimme ich grundsätzlich zu. Bes Island 01:19, 26. Dezember 2004 (UTC) In den Artikeln - ja, vielleicht ist es das. In umfangreicheren Texten sowie dort, wo das Konzept häufig verwendet wird, verwenden sie jedoch normalerweise immer noch ganze Zahlen, vorläufig jedoch erklärt, „von was“ natürlichen Zahlen wir sprechen – mit oder ohne Null. LoKi 19:31 Uhr 30. Juli 2005 (UTC)

Zahlen

Lohnt es sich, die Namen der Zahlen (eins, zwei, drei usw.) im letzten Teil dieses Artikels aufzulisten? Wäre es nicht sinnvoller, dies in den Number-Artikel aufzunehmen? Dennoch sollte dieser Artikel meiner Meinung nach eher mathematischer Natur sein. Wie denkst du? --LoKi 19:32 Uhr, 30. Juli 2005 (UTC)

Im Allgemeinen ist es seltsam, wie es möglich ist, eine gewöhnliche natürliche Zahl aus *leeren* Mengen zu erhalten? Wie viele Leere und Leere lassen sich im Allgemeinen nicht kombinieren, außer Leere wird nichts funktionieren! Ist das nicht überhaupt eine alternative Definition? Gepostet um 21:46, 17. Juli 2009 (Moskau)

Die kategorische Natur des Peanoschen Axiomensystems

Ich fügte eine Bemerkung über die kategorische Natur des Systems der Peanoschen Axiomen hinzu, die meiner Meinung nach grundlegend ist. Bitte formatieren Sie den Link zum Buch richtig [[Benutzer:A_Devyatkov 06:58, 11. Juni 2010 (UTC)]]

Peanos Axiome

In fast der gesamten ausländischen Literatur und auf Wikipedia beginnen Peanos Axiome mit „0 ist eine natürliche Zahl“. Tatsächlich steht in der Originalquelle "1 ist eine natürliche Zahl". 1897 nahm Peano jedoch eine Änderung vor und änderte 1 in 0. Dies ist in "Formulaire de mathematiques", Band II - Nr. 2, geschrieben. Seite 81. Dies ist ein Link zur elektronischen Version auf der rechten Seite:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (fr).

Erläuterungen zu diesen Änderungen finden sich in "Rivista di matematica", Band 6-7, 1899, Seite 76. Außerdem ein Link zur elektronischen Version auf der rechten Seite:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (Italienisch).

0=0

Was sind die "digitalen Turntable-Axiome"?

Ich möchte den Artikel auf die neueste überwachte Version zurücksetzen. Erstens hat jemand Peanos Axiome in Pianos Axiome umbenannt, weshalb der Link nicht mehr funktionierte. Zweitens hat ein gewisser Curd dem Artikel eine sehr umfangreiche Information hinzugefügt, die meiner Meinung nach in diesem Artikel völlig unpassend ist. Unenzyklopädisch geschrieben, werden zusätzlich die Ergebnisse von Tvorogov selbst und ein Link zu seinem eigenen Buch angegeben. Ich bestehe darauf, dass der Abschnitt über „digitale Plattenspieler-Axiome“ aus diesem Artikel entfernt werden sollte. Ps. Warum wurde der Abschnitt über die Zahl Null entfernt? Mesjarik 14:58, 12. März 2014 (UTC)

Das Thema wird nicht offengelegt, es bedarf einer klaren Definition natürlicher Zahlen

Bitte schreiben Sie keine Ketzerei wie " Natürliche Zahlen (natürliche Zahlen) - Zahlen, die beim Zählen auf natürliche Weise entstehen."Auf natürliche Weise entsteht nichts im Gehirn. Es wird genau das geben, was Sie dort hinstellen.

Und wie erklärt man einem Fünfjährigen, welche Zahl eine natürliche Zahl ist? Schließlich gibt es Menschen, die man als Fünfjähriger erklären muss. Wie unterscheidet sich eine natürliche Zahl von einer normalen Zahl? Beispiele benötigt! 1, 2, 3 ist natürlich und 12 ist natürlich und -12? und drei Viertel oder zum Beispiel 4,25 natürlich? 95.181.136.132 15:09 6. November 2014 (UTC)

Natürliche Zahlen sind ein grundlegendes Konzept, eine anfängliche Abstraktion. Sie können nicht definiert werden. Man kann so tief in die Philosophie einsteigen, wie man will, aber am Ende muss man entweder eine starre metaphysische Haltung zugeben (glauben?) oder zugeben, dass es keine absolute Definition gibt, natürliche Zahlen sind Teil eines künstlichen formalen Systems , ein Modell, das sich eine Person (oder Gott) ausgedacht hat). Hier ist eine interessante Abhandlung zu diesem Thema. Wie gefällt Ihnen zum Beispiel diese Option: "Eine natürliche Reihe ist ein beliebiges konkretes Peano-System, also ein Modell der axiomatischen Theorie von Peano." Besser fühlen? RomanSuzi 17:52, 6. November 2014 (UTC)
- Es scheint, dass Sie mit Ihren Modellen und axiomatischen Theorien alles nur verkomplizieren. Bestenfalls verstehen zwei von tausend Menschen eine solche Definition. Daher fehlt meiner Meinung nach im ersten Absatz der Satz " In einfachen Worten: Natürliche Zahlen sind positive ganze Zahlen ab einschließlich Eins." Eine solche Definition klingt für die Mehrheit normal. Und sie gibt keinen Anlass, an der Definition einer natürlichen Zahl zu zweifeln. Schließlich habe ich nach dem Lesen des Artikels wirklich nicht ganz verstanden was natürliche Zahlen sind und die Zahl 807423 natürliche oder natürliche Zahlen sind diejenigen, aus denen diese Zahl besteht, also 8 0 7 4 2 3. Oft verderben Komplikationen nur alles. Infa über natürliche Zahlen sollte auf dieser Seite stehen und nicht in zahlreichen Links dazu andere Seiten.95.181.136.132 10:03, 7. November 2014 (UTC)
  - Hier gilt es, zwischen zwei Aufgaben zu unterscheiden: (1) einem mathematisch weit entfernten Leser klar (wenn auch nicht streng) zu erklären, was eine natürliche Zahl ist, damit er mehr oder weniger richtig versteht; (2) eine so strenge Definition einer natürlichen Zahl zu geben, aus der ihre grundlegenden Eigenschaften folgen. Sie haben Recht mit der ersten Option in der Präambel, aber genau die wird im Artikel angegeben: Eine natürliche Zahl ist eine mathematische Formalisierung der Zählung: eins, zwei, drei usw. Ihr Beispiel (807423) kann es beim Zählen sicherlich herausfallen, was bedeutet, dass dies auch eine natürliche Zahl ist. Mir ist nicht klar, warum Sie die Zahl und die Art und Weise, wie sie in Zahlen geschrieben wird, vermischen, dies ist ein separates Thema, das nicht direkt mit der Definition der Zahl zusammenhängt. Ihre Erklärung: Natürliche Zahlen sind positive ganze Zahlen, beginnend bei einschließlich eins” ist nicht gut, weil es unmöglich ist, einen weniger allgemeinen Begriff (eine natürliche Zahl) durch einen allgemeineren (eine noch nicht definierte Zahl) zu definieren. Es fällt mir schwer, mir einen Leser vorzustellen, der weiß, was eine positive ganze Zahl ist, aber keine Ahnung hat, was eine natürliche Zahl ist. LGB 12:06 7. November 2014 (UTC)
    - Natürliche Zahlen können nicht als ganze Zahlen definiert werden. RomanSuzi 17:01, 7. November 2014 (UTC)

„Im Gehirn passiert natürlich nichts.“ Neuere Studien zeigen (ich kann jetzt keine Links finden), dass das menschliche Gehirn darauf vorbereitet ist, Sprache zu verwenden. Die Bereitschaft, die Sprache zu beherrschen, haben wir also auf natürliche Weise bereits in unseren Genen. Nun, für natürliche Zahlen ist das genau das, was Sie brauchen. Das Konzept von "1" kann mit einer Hand gezeigt werden und dann - durch Induktion - Stöcke hinzufügen, 2, 3 erhalten und so weiter. Oder: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Aber vielleicht haben Sie konkrete Vorschläge zur Verbesserung des Artikels, basierend auf maßgeblichen Quellen? RomanSuzi 17:57, 6. November 2014 (UTC)

Was ist eine natürliche Zahl in der Mathematik?

Wladimir Z

Natürliche Zahlen werden verwendet, um Objekte aufzuzählen und ihre Anzahl zu zählen. Für die Nummerierung werden positive ganze Zahlen verwendet, beginnend bei 1.

Und um die Zahl zu zählen, ist hier auch 0 enthalten, was das Fehlen von Objekten anzeigt.

Ob der Begriff der natürlichen Zahlen die Zahl 0 enthält, hängt von der Axiomatik ab. Wenn die Darstellung einer mathematischen Theorie das Vorhandensein von 0 in der Menge der natürlichen Zahlen erfordert, dann wird dies festgelegt und innerhalb dieser Theorie als unbestreitbare Wahrheit (Axiom) betrachtet. Die Definition der Zahl 0, sowohl positiv als auch negativ, kommt dem sehr nahe. Wenn wir für die Definition natürlicher Zahlen die Menge aller NICHT-NEGATIVEN ganzen Zahlen nehmen, dann stellt sich die Frage, was ist die Zahl 0 – positiv oder negativ?

In der praktischen Anwendung wird meist die erste Definition verwendet, die die Zahl 0 nicht enthält.

Bleistift

Natürliche Zahlen sind positive ganze Zahlen. Natürliche Zahlen werden zum Zählen (Nummerieren) von Objekten oder zum Angeben der Anzahl von Objekten oder zum Angeben der Seriennummer eines Objekts in der Liste verwendet. Einige Autoren schließen die Null künstlich in das Konzept der "natürlichen Zahlen" ein. Andere verwenden die Formulierung "natürliche Zahlen und Null". Das ist prinzipienlos. Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, denn mit jeder beliebig großen natürlichen Zahl können Sie eine Additionsoperation mit einer anderen natürlichen Zahl durchführen und eine noch größere Zahl erhalten.

Negative und nicht ganzzahlige Zahlen sind nicht in der Menge der natürlichen Zahlen enthalten.

Sayans

Natürliche Zahlen sind Zahlen, die zum Zählen verwendet werden. Sie können nur positiv und ganz sein. Was bedeutet das an einem Beispiel? Da diese Zahlen zum Zählen verwendet werden, versuchen wir, etwas zu berechnen. Was kann gezählt werden? Zum Beispiel Menschen. Wir können Personen wie folgt zählen: 1 Person, 2 Personen, 3 Personen usw. Die zum Zählen verwendeten Zahlen 1, 2, 3 und andere sind natürlich. Wir sagen nie -1 (minus eine) Person oder 1,5 (eineinhalb) Person (sorry für das Wortspiel :), also -1 und 1,5 (wie alle negativen und Bruchzahlen) sind nicht natürlich.

Lorelei

Natürliche Zahlen sind jene Zahlen, die beim Zählen von Objekten verwendet werden.

Die kleinste natürliche Zahl ist eins. Oft stellt sich die Frage, ob Null eine natürliche Zahl ist. Nein, es ist nicht in den meisten russischen Quellen, aber in anderen Ländern wird die Zahl Null als natürlich anerkannt ...

Moreljuba

Natürliche Zahlen in der Mathematik sind Zahlen, die verwendet werden, um etwas oder jemanden nacheinander zu zählen. Eins gilt als die kleinste natürliche Zahl. Null gehört in den meisten Fällen nicht zur Kategorie der natürlichen Zahlen. Auch negative Zahlen sind hier nicht enthalten.

Grüße Slawen.

Natürliche Zahlen, sie sind auch natürlich, sind jene Zahlen, die beim Zählen auf übliche Weise entstehen, die größer als Null sind. Die aufsteigend angeordnete Folge jeder natürlichen Zahl wird als natürliche Reihe bezeichnet.

Elena Nikityuk

Der Begriff natürliche Zahl wird in der Mathematik verwendet. Eine positive ganze Zahl wird als natürliche Zahl bezeichnet. Die kleinste natürliche Zahl wird als "0" betrachtet. Um irgendetwas zu berechnen, werden dieselben natürlichen Zahlen verwendet, zum Beispiel 1,2,3 ... und so weiter.

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, mit denen wir rechnen, dh Insel eins, zwei, drei, vier, fünf und andere sind natürliche Zahlen.

Dies sind zwangsläufig positive Zahlen größer Null.

Auch Bruchzahlen gehören nicht zur Menge der natürlichen Zahlen.

-Orchidee-

Natürliche Zahlen braucht man, um etwas zu zählen. Sie sind eine Reihe von nur positiven Zahlen, beginnend bei eins. Es ist wichtig zu wissen, dass diese Zahlen ausschließlich ganze Zahlen sind. Alles kann mit natürlichen Zahlen gezählt werden.

Marleen

Eine natürliche Zahl ist eine Ganzzahl, die wir normalerweise beim Zählen von Objekten verwenden. Die Null als solche gehört nicht in den Bereich der natürlichen Zahlen, da wir sie in der Regel nicht in Rechnungen verwenden.

Inara-pd

Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die wir zum Zählen verwenden – eins, zwei, drei und so weiter.

Die natürlichen Zahlen sind aus den praktischen Bedürfnissen des Menschen entstanden.

Natürliche Zahlen werden zehnstellig geschrieben.

Null ist keine natürliche Zahl.

Was ist eine natürliche Zahl?

Naumenko

Zahlen nennt man natürliche Zahlen. Wird zum Nummerieren und Zählen von natürlichen Objekten (Blume, Baum, Tier, Vogel usw.) verwendet.

Es werden ganze Zahlen genannt Zahlen NATÜRLICH, SIE GEGENÜBER UND NULL,

Erklären. was durch ganze Zahlen natürlich ist, ist falsch!! !

Zahlen sind gerade – durch 2 teilbar, und ungerade – nicht durch 2 teilbar.

Zahlen heißen Primzahlen. nur 2 Teiler haben - einen und sich selbst ...
Die erste deiner Gleichungen hat keine Lösungen. für die zweite x=6 6 natürliche Zahl.

Natürliche Zahlen (natürliche Zahlen) - Zahlen, die beim Zählen auf natürliche Weise entstehen (sowohl im Sinne des Aufzählens als auch im Sinne des Rechnens).

Die Menge aller natürlichen Zahlen wird üblicherweise mit \mathbb(N) bezeichnet. Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, da es zu jeder natürlichen Zahl eine größere natürliche Zahl gibt.

Anna Semenchenko

Zahlen, die beim Zählen natürlich entstehen (sowohl im Sinne des Aufzählens als auch im Sinne des Rechnens).
Es gibt zwei Ansätze zur Definition natürlicher Zahlen - die Zahlen, die in verwendet werden:
Aufzählung (Nummerierung) von Items (erstes, zweites, drittes, ...);
Bezeichnung der Stückzahl (kein Stück, ein Stück, zwei Stück, ...). Übernommen in den Werken von Bourbaki, wo natürliche Zahlen als Potenzen endlicher Mengen definiert werden.
Negative und nicht ganzzahlige (rationale, reelle, ...) Zahlen sind nicht natürlich.
Die Menge aller natürlichen Zahlen wird üblicherweise mit einem Vorzeichen bezeichnet. Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, da es zu jeder natürlichen Zahl eine größere natürliche Zahl gibt.

Wo beginnt das Studium der Mathematik? Ja, das ist richtig, aus dem Studium der natürlichen Zahlen und Aktionen mit ihnen.Ganze Zahlen (auslat. natürlich- natürlich; natürliche Zahlen)Zahlen die beim Zählen natürlich entstehen (zB 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...). Die aufsteigend geordnete Folge aller natürlichen Zahlen wird als natürliche Zahl bezeichnet.

Es gibt zwei Ansätze zur Definition natürlicher Zahlen:

zählen (nummerieren) Artikel ( Erste, zweite, dritte, vierte, fünfte"…);
Natürliche Zahlen sind Zahlen, die auftreten, wenn Mengenbezeichnung Artikel ( 0 Artikel, 1 Artikel, 2 Artikel, 3 Artikel, 4 Artikel, 5 Artikel ).

Im ersten Fall beginnt die Reihe der natürlichen Zahlen bei eins, im zweiten bei null. Für die meisten Mathematiker gibt es keine gemeinsame Meinung darüber, ob der erste oder der zweite Ansatz bevorzugt wird (d. h. ob Null als natürliche Zahl betrachtet werden soll oder nicht). Die überwiegende Mehrheit der russischen Quellen hat traditionell den ersten Ansatz gewählt. Der zweite Ansatz wird beispielsweise in den Werken verwendetNikolaus Bourbaki , wobei natürliche Zahlen definiert sind alsLeistung endliche Mengen .

Negativ und nicht ganzzahlig (rational , real ,…) Zahlen gelten nicht als natürlich.

Die Menge aller natürlichen Zahlen normalerweise mit dem Symbol N bezeichnet (vonlat. natürlich- natürlich). Die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich, denn zu jeder natürlichen Zahl n gibt es eine natürliche Zahl größer als n.

Das Vorhandensein von Null erleichtert die Formulierung und den Beweis vieler Theoreme in der Arithmetik natürlicher Zahlen, sodass der erste Ansatz den nützlichen Begriff einführt erweiterte natürliche Reihe , einschließlich Null. Die erweiterte Zeile wird mit N bezeichnet 0 oder Z0 .

ZUgeschlossene Betriebe (Operationen, die kein Ergebnis aus der Menge der natürlichen Zahlen ausgeben) auf natürliche Zahlen umfassen die folgenden arithmetischen Operationen:

Zusatz: Term + Term = Summe;
Multiplikation: Multiplikator × Multiplikator = Produkt;
Potenzierung: A B , wobei a die Basis des Grads und b der Exponent ist. Wenn a und b natürliche Zahlen sind, dann ist das Ergebnis auch eine natürliche Zahl.

Zusätzlich werden zwei weitere Operationen betrachtet (formal gesehen sind sie keine Operationen auf natürlichen Zahlen, da sie nicht für alle definiert sindZahlenpaare (manchmal existieren sie, manchmal nicht)):

Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Differenz. In diesem Fall muss der Minuend größer als der Subtrahend sein (oder gleich diesem sein, wenn wir Null als natürliche Zahl betrachten)
Division mit Rest: Dividend / Divisor = (Quotient, Rest). Der Quotient p und der Rest r aus der Division von a durch b sind wie folgt definiert: a=p*r+b und 0<=r

Es sei darauf hingewiesen, dass die Operationen der Addition und Multiplikation grundlegend sind. Insbesondere,

Natürliche Zahlen sind eines der ältesten mathematischen Konzepte.

In der fernen Vergangenheit kannten die Menschen keine Zahlen, und wenn sie Gegenstände (Tiere, Fische usw.) zählen mussten, taten sie es anders als wir es heute tun.

Die Anzahl der Gegenstände wurde mit Körperteilen verglichen, zum Beispiel mit den Fingern an der Hand, und sie sagten: "Ich habe so viele Nüsse wie Finger an der Hand."

Im Laufe der Zeit wurde den Menschen klar, dass fünf Nüsse, fünf Ziegen und fünf Hasen ein gemeinsames Eigentum haben - ihre Zahl ist fünf.

Erinnern!

Ganze Zahlen sind Zahlen, beginnend mit 1, die man beim Zählen von Gegenständen erhält.

1, 2, 3, 4, 5…

kleinste natürliche Zahl — 1 .

größte natürliche Zahl existiert nicht.

Beim Zählen wird die Zahl Null nicht verwendet. Daher wird die Null nicht als natürliche Zahl betrachtet.

Das Schreiben von Zahlen lernte man viel später als das Zählen. Zuerst begannen sie, die Einheit mit einem Stock darzustellen, dann mit zwei Stöcken - der Nummer 2, mit drei - der Nummer 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Dann erschienen spezielle Zeichen zur Bezeichnung von Zahlen - die Vorläufer moderner Zahlen. Die Zahlen, mit denen wir Zahlen schreiben, haben ihren Ursprung vor etwa 1.500 Jahren in Indien. Die Araber brachten sie nach Europa, so heißen sie arabische Ziffern.

Es gibt insgesamt zehn Ziffern: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Diese Ziffern können verwendet werden, um jede natürliche Zahl zu schreiben.

Erinnern!

natürliche Serie ist die Folge aller natürlichen Zahlen:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

In der natürlichen Reihe ist jede Zahl um 1 größer als die vorherige.

Die natürliche Reihe ist unendlich, es gibt keine größte natürliche Zahl in ihr.

Das von uns verwendete Zählsystem heißt Dezimalstelle.

Dezimal, weil 10 Einheiten jeder Ziffer 1 Einheit der höchstwertigen Ziffer bilden. Positional, weil der Wert einer Ziffer von ihrer Position in der Notation einer Zahl abhängt, d. h. von der Ziffer, in der sie geschrieben ist.

Wichtig!

Die Klassen nach der Milliarde sind nach den lateinischen Zahlennamen benannt. Jede nächste Einheit enthält tausend vorherige.

1.000 Milliarden = 1.000.000.000.000 = 1 Billion („drei“ ist lateinisch für „drei“)
1.000 Billionen = 1.000.000.000.000.000 = 1 Billiarde („quadra“ ist lateinisch für „vier“)
1.000 Billiarden = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 Trillion („quinta“ ist lateinisch für „fünf“)

Physiker haben jedoch eine Zahl gefunden, die die Zahl aller Atome (der kleinsten Materieteilchen) im gesamten Universum übersteigt.

Diese Nummer hat einen besonderen Namen - googol. Ein Googol ist eine Zahl mit 100 Nullen.

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