Das Projekt ist unvergleichlich. Projizieren Sie ein unvergleichliches Abbild. Messen Sie die Höhe mit der Jules-Verne-Methode

Abschnitte: Mathematik

Klasse: 8

Eine Möglichkeit, Schüler an pädagogische Aktivitäten kreativer Art heranzuführen, bieten mathematische Aufgaben sowie die Projektmethode, die darauf abzielen, Neugier, Verantwortungsbewusstsein, die Fähigkeit zum Umgang mit Informationen, die Fähigkeit zur gemeinsamen Arbeit – in der Gruppe usw. – zu entwickeln .

Dieses Projekt soll von Schülern der 8. Klasse abgeschlossen werden. Das Projekt wurde im Rahmen des Themas „Ähnliche Figuren“ entwickelt, für das 19 Stunden Unterrichtszeit vorgesehen sind. Ein Bildungsprojekt zu diesem Thema wird von den Studierenden mit großem Interesse wahrgenommen und ermöglicht es, Bedingungen zu schaffen, unter denen Studierende einerseits neue Erkenntnisse und Handlungsweisen selbstständig erlernen und andererseits bereits erworbene Kenntnisse anwenden und anwenden können Fähigkeiten in der Praxis. In diesem Fall liegt der Schwerpunkt auf kreative Entwicklung Persönlichkeit.

Die Studierenden arbeiten in Gruppen; in der Abschlussdiskussion gehen die Ergebnisse jeder Gruppe in das Eigentum aller anderen über.

Das Projekt wurde außerhalb der Schulzeit von Schülern der 8. Klasse vorbereitet.

Das Projekt umfasst einen Informations- und Forschungsteil.

Basierend auf dem Studium der Quellen haben die Studierenden:

lernen Sie die Möglichkeit kennen, Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken im Leben zu verwenden;
Wissen über solche Zahlen systematisieren.
ihren Wissenshorizont erweitern;
Studieren Sie die Bedeutung dieses Themas im Geometrieunterricht.

Unabhängige Forschung von Studierenden sowie erworbene praktisches Wissen, Fähigkeiten und Fertigkeiten lehren, die Bedeutung dieses theoretischen Materials für die praktische Anwendung zu erkennen.

Didaktische Aufgaben helfen dabei, den Grad der Beherrschung des Lehrmaterials zu überwachen.

Methodische Präsentation

Einführung.
Methodischer Pass des Bildungsprojekts.
Phasen der Projektumsetzung
Implementierung des Projekts.
Schlussfolgerungen.
Studentische Arbeit im Rahmen eines Bildungsprojekts.

1. Einleitung

„Ein Projekt ist eine Reihe bestimmter Aktionen, Dokumente und die Erstellung verschiedener Arten theoretischer Produkte. Dies ist immer eine kreative Aktivität. Die Projektmethode basiert auf der Entwicklung der kognitiven kreativen Fähigkeiten der Schüler; die Fähigkeit, sein Wissen selbstständig aufzubauen, die Fähigkeit, sich im Informationsraum zurechtzufinden, die Entwicklung kritischen Denkens.“ (E.S. Polat).

Der Lehrer ist in dieser Situation nicht nur ein aktiver Teilnehmer am Bildungsprozess: Er unterrichtet nicht nur, sondern versteht und spürt, wie das Kind selbst lernt.

Der Lehrer hilft den Schülern, Quellen zu finden; er selbst ist eine Informationsquelle; koordiniert den gesamten Prozess; pflegt ständigen Kontakt zu Kindern. Organisiert die Präsentation von Arbeitsergebnissen in verschiedenen Formen.

Bei der Analyse eines Bildungsprojekts stellt sich der Lehrer im Geiste die Reaktion der Kinder vor, denkt über die Form des Vorschlags nach, um das Problem zu prüfen, eine Lösung für das Projektproblem zu finden und in die Situation der Handlung einzutauchen.

Ein Projekt ist das Ergebnis koordinierter gemeinsamer Aktionen einer Gruppe oder mehrerer Gruppen von Studierenden.

2. Projektpass

Projektname : Unvergleichliche Ähnlichkeit

Projektthema: Ähnliche Figuren.

Art des Projekts: pädagogisch.

Projekttypologie: praxisorientiert, Einzelgruppe.

Fachgebiete: Mathematik.

Hypothese: Wenn eine Person die Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken kennt, besteht dann die Notwendigkeit, sie im Leben anzuwenden?

Problematische Probleme:

1. Wo kann die Ähnlichkeit von Dreiecken bei der Messung genutzt werden?

2. Warum stellen Menschen Modelle her, um bestimmte Objekte oder Phänomene zu veranschaulichen oder zu erklären?

3. Warum ergibt ein kleines Negativ ein großes, hochwertiges Foto?

4. Wie kann man das erreichen, was unerreichbar scheint?

5. Warum gibt es Ähnlichkeiten in der Welt?

7. Ist es im Leben wichtig, die Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken zu studieren?

Ziel des Projekts: Wissen zum Thema „Ähnliche Figuren“ zu vertiefen und zu erweitern.

Methodische Ziele des Projekts:

die Ähnlichkeitsmerkmale von Dreiecken untersuchen;
bewerten Sie die Bedeutung des Themas „Ähnlichkeit“
die Fähigkeit entwickeln, theoretisches Material bei der Lösung praktischer Probleme anzuwenden;
konsolidieren empfangen Theoretisches Wissen zur Praxis;
ein Interesse an Wissenschaft und Technologie entwickeln, indem Sie nach Beispielen für die Anwendung dieses Themas im Leben suchen;
Erweitern Sie Ihren mathematischen Horizont und erkunden Sie neue Ansätze zur Lösung von Problemen.
Erwerb von Forschungskompetenzen.

Projektteilnehmer: Schüler der 8. Klasse. Zeitaufwand für das Projekt: Februar–März 2014.

Materielle, technische, pädagogische und methodische Ausstattung: Bildungs- und Bildungsliteratur, Zusatzliteratur, Computer mit Internetzugang.

3. Phasen der Projektumsetzung

Stufe 1 – Eintauchen in das Projekt (Wissen aktualisieren; Themen formulieren; Gruppen bilden) (Woche);

Stufe 2 – Organisation von Aktivitäten (Informationssammlung; Gruppendiskussion) (Woche);

Stufe 3 – Umsetzung der Aktivitäten (Forschung; Schlussfolgerungen (Monat);

Stufe 4 – Präsentation des Projektprodukts (2 Wochen).

4. Projektumsetzung

Stufe 1: Eintauchen in das Projekt (Vorbereitungsphase)

Nachdem sie ihre Forschungsthemen ausgewählt hatten, teilten sich die Studierenden in Gruppen auf, definierten Aufgaben und planten ihre Aktivitäten.

Es wurden 5 Projektgruppen à 5 Personen gebildet.

Folgende Themen für zukünftige Projekte wurden ausgewählt:

1. Aus der Geschichte der Ähnlichkeit.

2. Ähnlichkeit bei GIA-Problemen. (Echte Mathematik)

Gemeinsamkeiten in unserem Leben:

3. Bestimmen der Höhe eines Objekts.

4. Ähnlichkeit in der Natur.

5. Hilft die Ähnlichkeit der Dreiecke Menschen unterschiedlicher Berufe?

Die Rolle des Lehrers besteht darin, auf der Grundlage der Motivation anzuleiten.

Stufe 2: Suche und Recherche:

Die Studierenden studierten zusätzliche Literatur, sammelten Informationen zu ihrem Thema und verteilten die Verantwortlichkeiten in jeder Gruppe (abhängig vom gewählten individuellen Forschungsthema). stellten die notwendigen Instrumente für die Forschung her, führten Forschung durch und bereiteten eine visuelle Präsentation ihrer Forschung vor.

Die Rolle des Lehrers ist beobachtend und beratend; die Schüler arbeiteten überwiegend selbstständig.

Stufe 3: Ergebnisse und Schlussfolgerungen:

Die Schüler analysierten die gefundenen Informationen und formulierten Schlussfolgerungen. Wir haben die Ergebnisse zusammengestellt, Materialien zur Verteidigung des Projekts vorbereitet und Präsentationen erstellt

Stufe 4: Präsentation und Verteidigung des Projekts:

Im Rahmen der Tagung stellen Studierende das Ergebnis ihrer Projektaktivitäten in Form einer multimedialen Präsentation öffentlich vor.

Die Rolle des Lehrers ist die Zusammenarbeit.

5. Allgemeine Schlussfolgerungen. Abschluss

Die Umsetzung dieses Bildungsprojekts ermöglichte es den Schülern, ihre Fähigkeiten nicht nur im Umgang mit zu entwickeln zusätzliche Quellen in Mathematik, aber auch mit einem Computer, um Fähigkeiten im Umgang mit dem Internet sowie Kommunikationsfähigkeiten der Schüler zu entwickeln.

Durch die Teilnahme am Projekt konnten wir unsere Kenntnisse über die Anwendung der Mathematik in verschiedenen Bereichen vertiefen und das Wissen zu diesem Thema festigen. Es ist zu beachten, dass die bei der Durchführung des Projekts gewonnenen Erkenntnisse zweckgebunden gewonnen werden und Gegenstand des Interesses des Studierenden sind. Dies fördert ihre tiefe Aufnahme.

Generell verlief die Arbeit an dem Projekt erfolgreich, fast alle Schüler der 8. Klasse beteiligten sich daran. Jeder war an der geistigen Aktivität zu diesem Thema beteiligt und erlangte dadurch neues Wissen unabhängige Arbeit. Jedes Mitglied der Gruppe sprach zur Verteidigung seines Projekts. Zum Abschluss wurden praktische Arbeitsmethoden erprobt und eine Selbstanalyse in Form einer Präsentation durchgeführt.

Die Projektaktivitäten der Studierenden tragen zu echtem Lernen bei, weil... sie:

Persönlich orientiert.
Gekennzeichnet durch eine Steigerung des Interesses und der Beteiligung an der Arbeit, sobald diese abgeschlossen ist.
Ermöglicht die Verwirklichung pädagogischer Ziele in allen Phasen.
Ermöglicht das Lernen aus eigener Erfahrung, aus der Umsetzung eines konkreten Falles.
Bringt Zufriedenheit bei Schülern, die das Produkt ihrer eigenen Arbeit sehen.

Diese wertvollen Momente, die die Teilnahme an Projekten bietet, müssen in der Praxis der Entwicklung der intellektuellen und kreativen Fähigkeiten von Schülern stärker genutzt werden. Somit wird der Einsatz der Methode pädagogischer Projekte in der pädagogischen Arbeit von der Notwendigkeit bestimmt, eine Persönlichkeit des 21. Jahrhunderts zu formen, eine Persönlichkeit einer neuen Ära, in der menschliche Intelligenz und Information die bestimmenden Faktoren für die Entwicklung der Gesellschaft sein werden.

XXVJubiläumsstadtwettbewerb für Bildung und Forschung
Arbeiten von Studierenden

Bildungsministerium der Stadtverwaltung von Kungur

Wissenschaftliche Studentengesellschaft

Abschnitt

Geometrie

Kustova Ekaterina MAOU Sekundarschule Nr. 13

8 Note „a“.

Aufsicht:

Gladkikh Tatyana Grigorievna

MAOU-Sekundarschule Nr. 13

Mathematiklehrer

höchste Kategorie

Kungur, 2017

INHALTSVERZEICHNIS

Einleitung……………………………………………………………………………3

Kapitel 1. Unvergleichliche Ähnlichkeit

1.1. Aus der Geschichte der Ähnlichkeit……………………………………………………….5

1.2. Das Konzept der Ähnlichkeit……………………………………………………………..6

1.3.Methoden zur Messung von Objekten mithilfe von Ähnlichkeit

1.3.1. Die erste Möglichkeit, die Höhe eines Objekts zu messen………………………….8

1.3.2. Die zweite Möglichkeit, die Höhe eines Objekts zu messen………………………….9

1.3.3. Die dritte Möglichkeit, die Höhe eines Objekts zu messen…………………………..11

2.1. Messen der Höhe eines Objekts……………………………………………………………..12

2.1.1. Entlang der Länge des Schattens………………………………….. ………………………12

2.1. 2. Mit einer Stange………………………………………………………13

2.1.3. Mit einem Spiegel……………………………………………………...13

2.1.4. Was der Sergeant getan hat……………………………………………………………...14

2.1.5. Sich vom Baum fernhalten…………………………………………….16

2.2. Teichreinigung. …………………………………………………………………..............17

2.2.1. Methoden zur Reinigung von Gewässern……………………………………………..17

2.2.2. Messung der Teichbreite………………………………………………………18

Fazit …………………………………………………………………………………… …..22

Referenzen……………………………………………………………...23



Ein Anschein von Schönheit

Manchmal merken wir es nicht

Wir sagen „Wie die Göttlichkeit“

Ein Ideal implizieren.



EINFÜHRUNG

Die Welt, in der wir leben, ist erfüllt von der Geometrie von Häusern und Straßen, Bergen und Feldern, Schöpfungen der Natur und des Menschen. Die Geometrie hat ihren Ursprung in der Antike. Beim Bau von Wohnhäusern und Tempeln, beim Verzieren mit Ornamenten, beim Markieren des Bodens, beim Messen von Entfernungen und Flächen nutzten die Menschen ihr aus Beobachtungen und Experimenten gewonnenes Wissen über die Form, Größe und relative Position von Objekten. Fast alle großen Wissenschaftler der Antike und des Mittelalters waren herausragende Geometer. Das Motto der alten Schule lautete: „Wer die Geometrie nicht kennt, hat keinen Zutritt!“

Heutzutage werden geometrische Kenntnisse weiterhin häufig im Baugewerbe, in der Architektur, in der Kunst sowie in vielen Branchen eingesetzt. Im Geometrieunterricht haben wir uns mit dem Thema „Ähnlichkeit von Dreiecken“ befasst und mich interessierte die Frage, wie dieses Thema in der Praxis angewendet werden kann.

Erinnern Sie sich an die Arbeit von L. Caroll „Alice im Wunderland“. Welche Änderungen sind aufgetreten mit die Hauptfigur: manchmal wuchs es auf mehrere Fuß, manchmal schrumpfte es auf mehrere Zoll, blieb jedoch immer es selbst. Von welcher Transformation aus geometrischer Sicht sprechen wir? Natürlich über die Transformation der Ähnlichkeit.

Ziel der Arbeit:

Den Anwendungsbereich der Ähnlichkeit von Dreiecken im menschlichen Leben finden.

Aufgaben:

1.Erkunden Wissenschaftliche Literatur Zu diesem Thema.

2. Zeigen Sie die Verwendung der Ähnlichkeit von Dreiecken am Beispiel einer Messarbeit.

Hypothese. Mithilfe von Dreiecksähnlichkeiten können Sie reale Objekte messen.

Forschungsmethoden: Suche, Analyse, mathematische Modellierung.

Kapitel 1. Unvergleichliche Ähnlichkeit

1.1.Aus der Geschichte der Ähnlichkeit

Die Ähnlichkeit von Figuren beruht auf dem Prinzip der Beziehung und Proportion. Die Idee von Verhältnis und Proportion hat ihren Ursprung in der Antike. Davon zeugen antike ägyptische Tempel, Details des Grabes von Menes und der berühmten Pyramiden in Gizeh (III. Jahrtausend v. Chr.), babylonische Zikkurats (gestufte Kulttürme), persische Paläste und andere antike Denkmäler. Viele Umstände, darunter architektonische Besonderheiten, Anforderungen an Komfort, Ästhetik, Technik und Effizienz beim Bau von Gebäuden und Bauwerken, führten zur Entstehung und Entwicklung der Konzepte des Verhältnisses und der Proportionalität von Segmenten, Flächen und anderen Größen. Im Papyrus „Moskauer“ wird bei der Betrachtung des Verhältnisses des größeren Beins zum kleineren in einer der Aufgaben eines rechtwinkligen Dreiecks ein Sonderzeichen für den Begriff „Verhältnis“ verwendet. In Euklids Elementen wird die Beziehungslehre zweimal dargelegt. Buch VII enthält Arithmetiktheorie. Es gilt nur für entsprechende Mengen und für ganze Zahlen. Diese Theorie basiert auf der Praxis der Arbeit mit Brüchen. Euklid verwendet es, um die Eigenschaften ganzer Zahlen zu untersuchen. Buch V beginnt allgemeine Theorie Beziehungen und Proportionen, entwickelt von Eudoxos. Es liegt der Lehre von der Ähnlichkeit der Figuren zugrunde, die im Buch VI der Elemente dargelegt ist, wo die Definition zu finden ist: „Ähnliche geradlinige Figuren sind solche, die jeweils gleiche Winkel und proportionale Seiten haben.“

Figuren gleicher Form, aber unterschiedlicher Größe finden sich in babylonischen und ägyptischen Denkmälern. In der erhaltenen Grabkammer des Vaters von Pharao Ramses II. befindet sich eine mit einem Netz aus Quadraten bedeckte Wand, mit deren Hilfe vergrößerte Zeichnungen kleinerer Größe auf die Wand übertragen werden.

Die Proportionalität von Segmenten, die auf geraden Linien gebildet wurden, die von mehreren parallelen geraden Linien geschnitten wurden, war den babylonischen Wissenschaftlern bekannt. Obwohl einige diese Entdeckung Thales von Milet zuschreiben. Der antike griechische Weise Thales bestimmte sechs Jahrhunderte v. Chr. die Höhe der Pyramide in Ägypten. Er nutzte ihren Schatten aus. Die Priester und der Pharao, die sich am Fuße der Pyramide versammelt hatten, blickten verwirrt auf den Neuankömmling aus dem Norden, der aus den Schatten die Höhe des riesigen Bauwerks erriet. Der Legende nach wählte Thales den Tag und die Stunde, als die Länge seines eigenen Schattens seiner Größe entsprach; In diesem Moment muss die Höhe der Pyramide auch gleich der Länge des Schattens sein, den sie wirft.

Bis heute ist eine Keilschrifttafel erhalten, in der wir reden überüber die Konstruktion proportionaler Segmente durch das Zeichnen von Parallelen zu einem der Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks.

1.2.Das Konzept der Ähnlichkeit.

Im Leben begegnen uns nicht nur gleiche Figuren, sondern auch solche, die die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen haben. Die Geometrie nennt solche Figuren ähnlich.

Alle ähnlichen Figuren haben die gleiche Form, aber unterschiedliche Größen.

Definition: Zwei Dreiecke heißen ähnlich, wenn ihre Winkel jeweils gleich sind und die Seiten des einen Dreiecks proportional zu den ähnlichen Seiten des anderen sind.

Wenn das Dreieck ABC dem Dreieck A ähnlich ist 1 B 1 C 1 , dann sind die Winkel A, B und C jeweils gleich den Winkeln A 1, B 1 und C 1 ,
. Die Zahl k, die dem Verhältnis ähnlicher Seiten ähnlicher Dreiecke entspricht, wird Ähnlichkeitskoeffizient genannt.

Anmerkung 1: Gleiche Dreiecke um den Faktor 1 ähnlich.

Hinweis 2: Bei der Bezeichnung ähnlicher Dreiecke sollten ihre Eckpunkte so angeordnet werden, dass ihre Winkel paarweise gleich sind.

Anmerkung 3: Die in der Definition ähnlicher Dreiecke aufgeführten Anforderungen sind überflüssig.

Eigenschaften ähnlicher Dreiecke

Das Verhältnis der entsprechenden linearen Elemente ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Ähnlichkeitskoeffizienten. Zu diesen Elementen ähnlicher Dreiecke gehören solche, die in Längeneinheiten gemessen werden. Dies sind zum Beispiel die Seite eines Dreiecks, der Umfang, der Median. Winkel oder Fläche gelten für solche Elemente nicht.

Das Verhältnis der Flächen ähnlicher Dreiecke ist gleich dem Quadrat ihres Ähnlichkeitskoeffizienten.

Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken .

Wenn zwei Winkel eines Dreiecks jeweils gleich zwei Winkeln eines anderen sind, dann sind solche Dreiecke ähnlich.

Wenn zwei Seiten eines Dreiecks proportional zu zwei Seiten eines anderen Dreiecks sind und die Winkel zwischen diesen Seiten gleich sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

Wenn drei Seiten eines Dreiecks proportional zu drei Seiten eines anderen Dreiecks sind, dann sind die Dreiecke ähnlich.

1.3.Methoden zur Messung von Objekten anhand von Ähnlichkeitsmerkmalen

1.3.1. Erster Weg Messen der Höhe eines Objekts

An einem sonnigen Tag ist es nicht schwer, die Höhe eines Objekts, beispielsweise eines Baumes, anhand seines Schattens zu messen. Es ist lediglich erforderlich, einen Gegenstand (z. B. einen Stock) bekannter Länge zu nehmen und ihn senkrecht zur Oberfläche zu platzieren. Dann fällt ein Schatten vom Objekt. Wenn wir die Höhe des Stabes, die Länge des Schattens vom Stab und die Länge des Schattens vom Objekt kennen, dessen Höhe wir messen, können wir die Höhe des Objekts bestimmen. Um dies zu erreichen, ist es mühsam, die Ähnlichkeit zweier Dreiecke zu betrachten. Denken Sie daran: Die Sonnenstrahlen fallen parallel zueinander.

Gleichnis

„Ein müder Fremder kam in das Land der Großen Hapi. Die Sonne ging bereits unter, als er sich dem prächtigen Palast des Pharaos näherte. Er sagte etwas zu den Dienern. Im Nu wurden ihm die Türen geöffnet und er wurde in die Empfangshalle geführt. Und hier steht er in einem staubigen Reisemantel, und vor ihm sitzt der Pharao auf einem vergoldeten Thron. In der Nähe stehen arrogante Priester, Hüter der großen Geheimnisse der Natur.

ZU dann Sie? – fragte der Hohepriester.

Mein Name ist Thales. Ich komme ursprünglich aus Milet.

Der Priester fuhr arrogant fort:

Sie waren also derjenige, der damit prahlte, dass Sie die Höhe der Pyramide messen könnten, ohne sie zu besteigen? – Die Priester krümmten sich vor Lachen. „Es wird gut sein“, fuhr der Priester spöttisch fort, „wenn du einen Fehler von nicht mehr als 100 Ellen machst.“

Ich kann die Höhe der Pyramide messen und nicht mehr als eine halbe Elle daneben liegen. Ich werde es morgen machen.

Die Gesichter der Priester verfinsterten sich. Was für eine Frechheit! Dieser Fremde behauptet, dass er herausfinden kann, was sie, die Priester des großen Ägypten, nicht können.

„Okay“, sagte der Pharao. – In der Nähe des Palastes steht eine Pyramide, wir kennen ihre Höhe. Morgen werden wir Ihre Kunst überprüfen.“

Am nächsten Tag fand Thales einen langen Stock und steckte ihn etwas weiter von der Pyramide entfernt in den Boden. Ich habe auf einen bestimmten Moment gewartet. Er nahm einige Messungen vor, sagte, wie man die Höhe der Pyramide bestimme und benannte ihre Höhe. Was hat Thales gesagt?

Thales' Worte : Wenn der Schatten des Stabes die gleiche Länge wie der Stab selbst hat, dann hat die Länge des Schattens von der Mitte der Basis der Pyramide bis zu ihrer Spitze die gleiche Länge wie die Pyramide selbst.

1.3.2.Zweite Methode Messen der Höhe eines Objektswurde von Jules Verne im Roman „Die geheimnisvolle Insel“ ausführlich beschrieben. Diese Methode kann verwendet werden, wenn keine Sonne scheint und keine Schatten von Objekten sichtbar sind. Zum Messen benötigen Sie eine Stange, deren Länge Ihrer Körpergröße entspricht. Diese Stange muss in einem solchen Abstand vom Objekt installiert werden, dass Sie im Liegen die Oberseite des Objekts in einer geraden Linie mit der Spitze der Stange sehen können. Dann kann die Höhe des Objekts ermittelt werden, indem man die Länge der Linie kennt, die von Ihrem Kopf bis zur Basis des Objekts gezogen wird.

Auszug aus dem Roman.

„Heute müssen wir die Höhe des Far Rock-Geländes messen“, sagte der Ingenieur.

Benötigen Sie dafür ein Werkzeug? – fragte Herbert.

Nein, Sie werden es nicht brauchen. Wir werden etwas anders vorgehen und uns einem ebenso einfachen und zuwenden genau so. Der junge Mann, der vielleicht mehr erfahren wollte, folgte dem Ingenieur, der von der Granitwand zum Ufer hinabstieg.

Der Ingenieur nahm eine gerade, 12 Fuß lange Stange, maß sie so genau wie möglich und verglich sie mit seiner Körpergröße, die ihm wohlbekannt war. Herbert trug das Lot hinter sich her, das ihm der Ingenieur gegeben hatte: nur einen Stein, der an das Ende eines Seils gebunden war. Der Ingenieur reichte nicht mehr als 500 Fuß von der senkrecht aufragenden Granitwand entfernt, steckte einen Pfahl etwa 60 cm in den Sand und stellte ihn, nachdem er ihn fest befestigt hatte, mit Hilfe eines Lotes senkrecht auf. Dann entfernte er sich so weit von der Stange, dass er, im Sand liegend, sowohl das Ende der Stange als auch die Kante des Bergrückens in einer geraden Linie sehen konnte. Diesen Punkt markierte er sorgfältig mit einem Stift. Beide Abstände wurden gemessen. Der Abstand vom Pflock zum Stock betrug 15 Fuß und vom Stock zum Felsen 500 Fuß.

„Kennen Sie die Grundlagen der Geometrie? – fragte er Herbert und erhob sich vom Boden. Erinnern Sie sich an die Eigenschaften ähnlicher Dreiecke?

-Ja.

-Ihre ähnlichen Seiten sind proportional.

-Rechts. Also: Jetzt werde ich 2 ähnliche bauen rechtwinkliges Dreieck. Der kleinere hat auf der einen Seite eine vertikale Stange und auf der anderen Seite den Abstand vom Pflock zur Basis der Stange. Die Hypotenuse ist meine Sichtlinie. Die Beine eines anderen Dreiecks werden sein: eine vertikale Wand, deren Höhe wir bestimmen möchten, und den Abstand vom Pflock zur Basis dieser Wand; Die Hypotenuse ist meine Sichtlinie und fällt mit der Richtung der Hypotenuse des ersten Dreiecks zusammen. ...Wenn wir zwei Abstände messen: den Abstand vom Pflock zum Fuß der Stange und den Abstand vom Pflock zum Fuß der Wand, dann können wir, wenn wir die Höhe des Pfostens kennen, den vierten, unbekannten Term berechnen des Verhältnisses, also der Höhe der Wand. Es wurden beide horizontalen Abstände gemessen: der kleinere betrug 15 Fuß, der größere 500 Fuß. Am Ende der Messungen machte der Ingenieur folgenden Eintrag:

15:500 = 10:x; 500 x 10 = 5000; 5000: 15 = 333,3.

Das bedeutet, dass die Höhe der Granitmauer 333 Fuß betrug.

1.3.3.Dritte Methode

Bestimmen der Höhe eines Objekts mithilfe eines Spiegels.

Der Spiegel wird horizontal aufgestellt und von dort bis zu einem Punkt zurückbewegt, an dem der Betrachter von dort aus die Spitze eines Baumes im Spiegel sieht. Ein Lichtstrahl FD, der von einem Spiegel am Punkt D reflektiert wird, gelangt in das menschliche Auge. Das zu messende Objekt, zum Beispiel ein Baum, ist um ein Vielfaches höher als Sie, da der Abstand von ihm zum Spiegel größer ist als der Abstand vom Spiegel zu Ihnen. Denken Sie daran: Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel (Reflexionsgesetz).

 AB D ähnlich  EFD (an zwei Ecken) :

 VA D =  GEFÜTTERT =90°;

A D B =  EDF , Weil Der Einfallswinkel ist gleich dem Reflexionswinkel.

In ähnlichen Dreiecken sind ähnliche Seiten proportional:

Kapitel 2. Verwendung der Dreiecksähnlichkeit in der Praxis

2. 1. Messen der Höhe eines Objekts

Nehmen wir als Messobjekt einen Baum.

2.1.1. Nach Schattenlänge

Diese Methode basiert auf einer modifizierten Thales-Methode, die es ermöglicht, einen Schatten beliebiger Länge zu verwenden. Um die Höhe eines Baumes zu messen, müssen Sie einen Stab in einiger Entfernung vom Baum in den Boden stecken.

AB– Baumhöhe

B.C.– Länge des Baumschattens

A 1 B 1 – Masthöhe

B 1 C 1 – Länge des Schattens des Pols

B = < B 1 weil der Baum und die Stange senkrecht zum Boden stehen.

< A = < A 1 weil wir die auf die Erde fallenden Sonnenstrahlen als parallel betrachten können, weil der Winkel zwischen ihnen extrem klein, fast nicht wahrnehmbar ist =>

Das Dreieck ABC ähnelt dem Dreieck A 1 B 1 C 1 .

Nachdem wir die erforderlichen Messungen durchgeführt haben, können wir die Höhe des Baumes ermitteln.

AB= Sonne.

A 1 B 1 B 1 C 1

AB = A 1 IN 1 ∙ So.

B 1 C 1

2.1.2 Verwendung einer Stange

Eine etwa menschengroße Stange wird senkrecht in den Boden gesteckt. Der Platz für die Stange muss so gewählt werden, dass eine auf dem Boden liegende Person die Spitze des Baumes in einer geraden Linie mit der Spitze der Stange sehen kann.

ADE Weil< B = < D(jeweiligen),< A– allgemein =>

ANZEIGE = ED ,ED=AD∙BC .

ABB.C.AB

A 1

C 1

Bestimmung der Höhe anhand des Schattens.

A 1 B 1 =1,6 m

A 1 MIT 1 =2,8 m

Wechselstrom=17 m

2.1.3. Mit einem Spiegel.

In einiger Entfernung vom Baum wird ein Spiegel auf eine ebene Fläche gestellt und von dort aus bis zu einem Punkt zurückbewegt, an dem der stehende Betrachter die Spitze des Baumes sehen kann.

AB – Baumhöhe

AC – Abstand vom Baum zum Spiegel

CD– Abstand von Person zu Spiegel

ED- Die Größe des Menschen.

Das Dreieck ABC ähnelt einem DreieckDEZ Weil

< A = < D(aufrecht)

< B.C.A. = < ECD(Denn nach dem Gesetz der Lichtreflexion ist der Einfallswinkel gleich dem Reflexionswinkel.)

A.C. = AB ,

DC ED

AB =AC∙ED.

UM
Bestimmen der Höhe eines Objekts mithilfe eines Spiegels.

AB=1,5 M

DE=12,5 M

AD= 2,7 M

2.1.4. Was hat Sgt.

Einige der gerade beschriebenen Methoden zur Höhenmessung sind unpraktisch, da Sie dazu auf dem Boden liegen müssen. Sie können diese Unannehmlichkeiten natürlich vermeiden.

So war es einst an einer der Fronten der Großen Vaterländischer Krieg. Die Einheit von Leutnant Ivanyuk erhielt den Auftrag, eine Brücke über einen Gebirgsfluss zu bauen. Die Nazis ließen sich am gegenüberliegenden Ufer nieder. Zur Erkundung der Brückenbaustelle beauftragte der Leutnant eine Aufklärungsgruppe unter der Führung eines Oberfeldwebels. In naher Zukunft Waldgebiet Sie maßen den Durchmesser und die Höhe der typischsten Bäume, die für die Struktur verwendet werden könnten.

Die Höhe der Bäume wurde mit einer Stange ermittelt, wie in Abb.

Diese Methode ist wie folgt.

Nachdem Sie sich mit einer Stange ausgestattet haben, die größer ist als Sie, stecken Sie diese senkrecht in einiger Entfernung vom zu messenden Baum in den Boden. Gehen Sie von der Stange zurück, um fortzufahrenDd zu diesem Ort A, von wo aus Sie, wenn Sie auf die Spitze des Baums schauen, den obersten Punkt sehen, der auf derselben Linie mit ihm liegtBPole Schauen Sie dann, ohne die Position Ihres Kopfes zu ändern, in Richtung der horizontalen Geraden aC und bemerken Sie die Punkte c und C, an denen die Blicklinie auf die Stange und den Rumpf trifft. Bitten Sie Ihren Assistenten, sich an diesen Stellen Notizen zu machen, und die Beobachtung ist beendet.

< C = < Cweil der Baum und die Stange senkrecht zueinander stehen

< B = < Bdenn der Winkel, aus dem eine Person auf den Baum und auf die Stange blickt, ist gleich => DreieckABCähnlich einem DreieckABC

=> B.C. = aC , BC = bc ∙aC .

Chracac

Distanz v. Chr, aCund Wechselstrom lässt sich leicht direkt messen. Zum resultierenden Wert BC müssen Sie die Distanz addierenCD(der auch direkt gemessen wird), um die gewünschte Baumhöhe herauszufinden.

2.1.5 . Gehen Sie nicht in die Nähe des Baumes.

Es kommt vor, dass es aus irgendeinem Grund unbequem ist, sich der Basis des zu messenden Baumes zu nähern. Ist es in diesem Fall möglich, die Höhe zu bestimmen?

Gut möglich. Zu diesem Zweck wurde ein geniales Gerät erfunden, das sich leicht selbst herstellen lässt. Zwei StreifenAnzeige und mit Drechtwinklig befestigt, so dassab entsprach v. Chr, A bdwar die HälfteAnzeige. Das ist das ganze Gerät. Um die Höhe zu messen, halten Sie es in Ihren Händen gegenüber der StangeCDvertikal (wofür es ein Lot hat - eine Schnur mit einem Gewicht) und wird an zwei Stellen sequentiell: zuerst am Punkt A, wo das Gerät mit dem Ende nach oben platziert wird, und dann am Punkt A`, weiter entfernt, wo Das Gerät wird mit dem Ende nach oben gehaltenD. Punkt A wird so gewählt, dass man ihn, wenn man von a auf Ende c blickt, auf derselben geraden Linie wie die Spitze des Baumes sieht. Punkt

und A` wird so gefunden, dass man von a` aus auf den Punkt schautD`, sehen Sie, dass es mit V übereinstimmt.

Das Dreieck BC ähnelt einem Dreieckbca Weil

< C = < B(aufrecht)

< B = < C(Der Beobachter blickt aus demselben Winkel)

Das Dreieck BCa` ähnelt einem DreieckB` D` A` weil

< C = < B` (senkrecht)

< B = < D` (Beobachter blickt aus einem Winkel)

Die gesamte Messung besteht darin, zwei Punkte A und A` zu finden, da der gesuchte Teil BC gleich dem Abstand AA` ist. Die Gleichheit folgt aus der Tatsache, dass aC = BC, da das DreieckABCgleichschenklig (konstruktionsbedingt). Daher das DreieckABCgleichschenklig. a`C = 2 B.C.folgt aus Beziehungen in ähnlichen Dreiecken; Bedeutet,A` C – aC = B.C..

UM
Bestimmung der Höhe anhand eines rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecks.

CD = AB + BD

AB = 8,9 m

BD =1,2 m

MIT D =8,9+1,2≈10 m

2.2. Teichreinigung.

Im Dorf Kirova gibt es einen Teich, der stark verschmutzt ist. Wir beschlossen, herauszufinden, wie man es reinigt.

2.2.1.Methoden zur Reinigung von Gewässern.

Die Reinigung von Stauseen erfolgt mit mechanisierten, hydromechanisierten, explosiven und manuellen Methoden. Die gebräuchlichste aller Methoden ist die mechanische. Bei dieser Methode wird mit einem Bagger gereinigt.

Bagger NSS – 400/20 – GRProduktivität (Bodengewinnung): 800 m/Kubikmeter pro Schicht. Abmessungen: Länge 10 m, Breite 2,7 m, Höhe 3,0 m.Gewicht: 17 Tonnen. Gülleleitung: 100 m (davon 50 m schwimmend, 50 m an Land). Der Bagger ist mit einem Ausleger ausgestattet. Auslegerlänge – 10 m, mit hydraulischer Auswaschung (Zufuhr von 60 m3/m3 Wasser pro Stunde bei einem Druck von 40 m, Pumpenleistung 7 kW).Motor: D-260-4. 01 (210 l/s, Kraftstoffverbrauch - 14 l/h, Drehzahl - 1800 U/min). Pumpe: GRAU 400/20. Technische Eigenschaften Pumpe: Bodenleistung 10–30 % pro Stunde, Wassersäulendruck – 20 m, maximale Leistung – 75 kW, Drehzahl – 950 U/min. Ein Bagger dieser Modifikation hebt Erde aus einer Reservoirtiefe von 1 bis 9,5 m an und schiebt sie durch eine Schlammleitung bis zu einer Höhe von 200 m. Rohrdurchmesser: 160 mm. Energieversorgung: autonom. Bewegung mittels Winden – 4 Motoren mit je 1,5 kW.

In unserem speziellen Fall interessiert uns die Länge des Baggerauslegers – 10 m.

2.2.2.Teichbreite messen.

Die Eigenschaften solcher Dreiecke können zur Durchführung verschiedener Feldmessungen genutzt werden. Wir werden uns einer Aufgabe widmen: der Bestimmung der Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt. Als Beispiel werden wir versuchen, die Breite eines Teiches mithilfe von Dreiecksähnlichkeitsmerkmalen zu messen.

Mit Hilfe einiger Instrumente und Berechnungen machen wir uns also an die Arbeit. Um genauere Ergebnisse zu erhalten, haben wir den Teich an zwei Stellen vermessen.

Angenommen, wir müssen den Abstand vom Punkt A am Ufer, an dem wir stehen, zum Punkt ermittelnBliegt am gegenüberliegenden Flussufer. Dazu wählen wir den Punkt C an „unserem“ Ufer aus und messen gleichzeitig das resultierende Segment AC. Dann messen wir mit einem Astrolabium die Winkel A und C. Wir bauen ein Dreieck auf einem Blatt Papier A 1 B 1 C 1 , so dass 1 Kriterium der Ähnlichkeit von Dreiecken eingehalten wird (in 2 Winkeln). Ecke Eine 1 ist gleich Winkel A und WinkelC 1 gleich WinkelC. Seiten messen A 1 B 1 Und A 1 C 1 Dreieck A 1 B 1 C 1 .Da DreieckeABCUnd A 1 B 1 C 1 sind also ähnlichAB/ A 1 B 1 = A.C./ A 1 C 1 , wo wir hinkommenAB = A.C.* A 1 B 1 / A 1 C 1 Diese Formel ermöglicht, basierend auf bekannten EntfernungenA.C., A 1 C 1 Und A 1 B 1 Finden Sie die EntfernungAB.

Geräte:

Astrolabium, Demonstrationslineal (oder z. B. ein ca. 4 m langes Seil).

Vorläufige Messungen:

Wir haben den Teich an zwei Stellen gemessen, daher beschreiben wir jede Messung der Reihe nach.

1) Nehmen Sie einen beliebigen Punkt am gegenüberliegenden Ufer, der sich in der Nähe der Teich- und Bodengrenze befindet, beispielsweise ein kleines Loch oder, wenn im Voraus vorbereitet, einen in den Boden getriebenen Pflock, einen Meilenstein.

Es stellte sich heraus, dass es 88 Grad waren, wir haben den ersten Winkel. Auf die gleiche Weise messen wir den Winkel C, indem wir das Gerät auf Punkt C platzieren, der sich in einem Abstand von 4 Metern von Punkt A befindet. C. 70 Grad. Und tatsächlich endeten hier die Messungen.

2) An der zweiten Stelle, wo wir die Breite des Flusses gemessen haben, haben wir Winkel erhalten, die ungefähr denen im ersten Fall entsprechen: A = 90, C = 70 Grad.

Berechnungen:

Zeichne ein DreieckA 1 B 1 C 1 , in dem der Winkel Eine 1 =88 und der WinkelC 1 =70 Grad. LiniensegmentA 1 C 1 Zur Vereinfachung der Messung nehmen wir 4 Zentimeter. Jetzt messen wir das SegmentA 1 B 1 . Es stellte sich heraus, dass es ungefähr 11 cm waren. Wir rechnen die Ergebnisse in Meter um und sammeln sie im Verhältnis:

AB/A 1 B 1 = Wechselstrom/A 1 C 1

AB-? ;A 1 B 1 =0,11 M; AC=4M; A 1 C 1 =0,04 M.

Wir drücken ausAB:

AB =AC*A 1 B 1 / A 1 C 1 ;

AB=4*0,11/0,04;

AB=0,44/0,04=11m

Im ersten Fall beträgt die Breite des Teiches also 11 m.

Nach der gleichen Methode ermitteln wir alle Seiten und ermitteln die Proportionen. Da die Winkel jedoch ungefähr gleich sind, fielen die Ergebnisse gleich aus. Also haben wir die Breite des Teiches an zwei Stellen gemessen und ein Ergebnis erhalten: 11 Meter.

Vorhin habe ich angegeben, dass die Länge des Baggerauslegers 10 Meter beträgt, d. h. Es reicht völlig aus, den Teich von einem Ufer aus zu reinigen.

Ich vermute also, dass es an der Geometrie liegt in diesem Fall Die Ähnlichkeit von Dreiecken hilft, soziale Probleme richtig zu lösen. Ich habe bewiesen, dass man mit Hilfe von Ähnlichkeiten die Höhe von Gebäuden und die Breite eines Teiches berechnen kann.

Schließlich möchten Sie manchmal wirklich, dass Ihre Heimat, der Ort, an dem Sie und ich leben, in neuen Farben erstrahlt und Sie stolz macht. Ich möchte irgendwohin zu einem Fluss oder Teich gehen und schwimmen gehen, ohne Angst um meine Gesundheit haben zu müssen. Ich möchte stolz auf mein kleines Mutterland sein. Und dafür müssen wir alle versuchen. Alles in unseren Händen.

Ich habe recherchiert verschiedene Wege Messung der Höhe und Breite von Objekten auf dem Boden mithilfe ähnlicher Dreiecke

Abschluss

Ich habe viel über die Verwendung von Dreiecksähnlichkeiten gelernt.

Wie finde ich die Entfernung zu einem unzugänglichen Punkt? Wie kann man den Abstand zwischen zwei unzugänglichen Punkten A und B ermitteln, indem man ähnliche Dreiecke konstruiert? Wie finde ich die Höhe eines Objekts, dessen Basis angefahren werden kann?

Die Lösung solcher Probleme trägt zur Entwicklung bei logisches Denken, die Fähigkeit, eine Situation zu analysieren und die Dreiecksähnlichkeitsmethode zu ihrer Lösung zu verwenden, verbessert dadurch die mathematische Kultur und entwickelt mathematische Fähigkeiten.Sie können das von mir überprüfte geometrische Material sowohl im Geometrie- und Physikunterricht als auch zur Vorbereitung auf die staatliche Abschlussprüfung verwenden.

Geometrie ist eine Wissenschaft, die alle Eigenschaften von Kristallglas besitzt: transparent in der Argumentation, tadellos in den Beweisen, klar in den Antworten, und vereint auf harmonische Weise Transparenz des Denkens und Schönheit menschlicher Verstand. Geometrie ist keine vollständig verstandene Wissenschaft, und vielleicht erwarten Sie viele Entdeckungen.

Literatur:

1. Glazer G.I. Geschichte der Mathematik in der Schule 7-8 Klassen. - M.: Bildung, 1982.-240 S.

2. Savin A.P. Ich erkunde die Welt – M.: LLC Publishing House AST-LTD, 1998.-480 S.

3. Savin A.P. Enzyklopädisches Wörterbuch junger Mathematiker. - M.: Pädagogik, 1989, - 352 S.

4. Atanasyan L.S. und andere. Geometrie 7-9: Lehrbuch. für die Allgemeinbildung Institutionen. - M.: Bildung, 2005, -245 S.

5. G. I. Bavrin. Tolles Nachschlagewerk für Schulkinder. Mathematik. M. Trappe. 2006 435s

6.Ja. I. Perelman. Interessante Geometrie. Domodedowo. 1994 11-27s.

7. http:// canegor. urc. ac. ru/ zg/59825123. html

Projektname

Kurze Zusammenfassung des Projekts

Das Projekt wurde mit Designtechnologie vorbereitet. Umgesetzt im Rahmen des Geometrieprogramms der 8. Klasse zum Thema „Ähnlichkeitszeichen von Dreiecken“. Das Projekt umfasst einen Informations- und Forschungsteil. Die analytische Arbeit mit Informationen systematisiert das Wissen über solche Zahlen. Die eigenständige Recherche der Studierenden sowie die erworbenen praktischen Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten lehren sie, die Bedeutung dieses theoretischen Materials für die praktische Anwendung zu erkennen. Didaktische Aufgaben helfen dabei, den Grad der Beherrschung des Lehrmaterials zu überwachen.

Leitende Fragen

Die grundlegende Frage lautet: „Spricht die Natur die Sprache der Ähnlichkeit?“

„Ist es möglich, um uns herum Beispiele für Ähnlichkeit zu finden?“, „Wie kann ich die Höhe meines Hauses messen?“, „Warum werden solche Dreiecke benötigt?“

Projektplan

1.Brainstorming (Formulierung studentischer Forschungsthemen).

2. Bildung von Gruppen zur Durchführung von Forschungen, zur Aufstellung von Hypothesen und zur Diskussion von Lösungsmöglichkeiten für Probleme.

3. Wahl eines kreativen Namens für das Projekt.

4. Diskussion der theoretischen und praktische Arbeit Schüler in der Gruppe.

5. Diskussion mit Studierenden über mögliche Informationsquellen.

6. Unabhängige Arbeit von Gruppen.

7. Die Studierenden bereiten Präsentationen und Berichte zu Fortschrittsberichten vor.

8. Präsentation von Forschungsarbeiten.

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