Ce înseamnă numerele naturale? Numerele naturale și proprietățile lor

1.1.Definiţie

Sunt apelate numerele pe care oamenii le folosesc atunci când numără natural(de exemplu, unu, doi, trei,..., o sută, o sută unu,..., trei mii două sute douăzeci și unu,...) Pentru a scrie numere naturale se folosesc semne speciale (simboluri), numit în cifre.

In zilele noastre este acceptat sistem numeric zecimal. Sistemul zecimal (sau metoda) de scriere a numerelor folosește cifre arabe. Acestea sunt zece caractere numerice diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Cel mai puţin un număr natural este un număr unul, ea scris folosind un număr zecimal - 1. Următorul număr natural se obține din cel anterior (cu excepția unuia) prin adăugarea a 1 (unu). Această adăugare se poate face de mai multe ori (un număr infinit de ori). Înseamnă că Nu cel mai bun numar natural. Prin urmare, ei spun că seria numerelor naturale este nelimitată sau infinită, deoarece nu are sfârșit. Numerele naturale sunt scrise folosind cifre zecimale.

1.2. Numărul „zero”

Pentru a indica absența a ceva, utilizați numărul " zero" sau " zero". Se scrie folosind numere 0 (zero). De exemplu, într-o cutie toate bilele sunt roșii. Câte dintre ele sunt verzi? - Răspuns: zero . Aceasta înseamnă că nu există bile verzi în cutie! Cifra 0 poate însemna că ceva s-a încheiat. De exemplu, Masha a avut 3 mere. Ea a împărțit două cu prietenii și a mâncat ea însăși unul. Deci ea a plecat 0 (zero) mere, i.e. nu a mai ramas nici unul. Cifra 0 poate însemna că ceva nu s-a întâmplat. De exemplu, meci de hochei Echipa Rusia - Echipa Canada s-a încheiat cu un scor 3:0 (citim „trei - zero”) în favoarea echipei ruse. Aceasta înseamnă că echipa rusă a marcat 3 goluri, iar echipa canadiană a marcat 0 goluri și nu a putut înscrie niciun gol. Trebuie să ne amintim că numărul zero nu este un număr natural.

1.3. Scrierea numerelor naturale

În modul zecimal de a scrie un număr natural, fiecare cifră poate însemna numere diferite. Depinde de locul acestei cifre în înregistrarea numărului. Se numește un anumit loc în notația unui număr natural poziţie. Prin urmare, sistemul numeric zecimal este numit pozițional. Luați în considerare notația zecimală de 7777 șapte mii șapte sute șaptezeci și șapte. Această intrare conține șapte mii, șapte sute, șapte zeci și șapte unități.

Fiecare dintre locurile (pozițiile) din notația zecimală a unui număr este numită deversare. Fiecare trei cifre sunt combinate în Clasă. Această îmbinare se face de la dreapta la stânga (de la sfârșitul înregistrării numărului). Diverse categorii și clase au propriile lor nume. Gama de numere naturale este nelimitată. Prin urmare, numărul de ranguri și clase nu este limitat ( la nesfârşit). Să ne uităm la numele rangurilor și claselor folosind exemplul numărului c notație zecimală

38 001 102 987 000 128 425:

Clasele și gradele
chintilioane		sute de chintilioane
		zeci de chintilioane
		chintilioane
cvadrilioane		sute de cvadrilioane
		zeci de cvadrilioane
		cvadrilioane
trilioane		sute de trilioane
		zeci de trilioane
		trilioane
miliarde		sute de miliarde
		zeci de miliarde
		miliarde
milioane		sute de milioane
		zeci de milioane
		milioane
		sute de mii
		zeci de mii

Deci, clasele, începând cu cele mai mici, au nume: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane.

1.4. Unități de biți

Fiecare dintre clasele de notare a numerelor naturale este formată din trei cifre. Fiecare rang are unități de cifre. Următoarele numere sunt numite unități de cifre:

1 - cifră unitate de unități cifra,

unitate de 10 cifre a zecilor locului,

100 - unitate de sute de cifre,

1 000 - unitate de mii de cifre,

10 000 este o unitate de loc de zeci de mii,

100.000 este o unitate de loc pentru sute de mii,

1.000.000 este unitatea de milioane de cifre etc.

Un număr din oricare dintre cifre arată numărul de unități ale acestei cifre. Astfel, numărul 9, în locul sutelor de miliarde, înseamnă că numărul 38.001.102.987.000 128.425 include nouă miliarde (adică, de 9 ori 1.000.000.000 sau unități de 9 cifre ale locului de miliarde). Un loc gol de sute de chintilioane înseamnă că nu există sute de chintilioane în numărul dat sau numărul lor este zero. În acest caz, numărul 38 001 102 987 000 128 425 se poate scrie astfel: 038 001 102 987 000 128 425.

Puteți scrie altfel: 000 038 001 102 987 000 128 425. Zerourile de la începutul numărului indică cifre goale de ordin înalt. De obicei, acestea nu sunt scrise, spre deosebire de zerourile din interiorul notației zecimale, care marchează în mod necesar cifrele goale. Astfel, trei zerouri din clasa milioane înseamnă că sutele de milioane, zeci de milioane și unitățile de milioane sunt goale.

1.5. Abrevieri pentru scrierea numerelor

La scrierea numerelor naturale se folosesc abrevieri. Aici sunt cateva exemple:

1.000 = 1 mie (o mie)

23.000.000 = 23 de milioane (douăzeci și trei de milioane)

5.000.000.000 = 5 miliarde (cinci miliarde)

203.000.000.000.000 = 203 trilioane. (două sute trei trilioane)

107.000.000.000.000.000 = 107 metri pătrați. (o sută șapte cvadrilioane)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kwt. (un chintilion)

Blocul 1.1. Dicţionar

Alcătuiește un dicționar de termeni și definiții noi din §1. Pentru a face acest lucru, scrieți cuvinte din lista de termeni de mai jos în celulele goale. În tabel (la sfârșitul blocului), indicați pentru fiecare definiție numărul termenului din listă.

Blocul 1.2. Auto-pregătire

În lumea numerelor mari

Economie .

1. Bugetul Rusiei pentru anul urmator va fi: 6328251684128 ruble.
2. Cheltuielile planificate pentru acest an sunt: ​​5124983252134 ruble.
3. Venitul țării a depășit cheltuielile cu 1203268431094 ruble.

Întrebări și sarcini

1. Citiți toate cele trei numere date
2. Scrieți cifrele din clasa milioanelor pentru fiecare dintre cele trei numere.

1. Cărei secțiuni din fiecare dintre numere îi aparține cifra situată în poziția a șaptea de la sfârșitul înregistrării numerelor?
2. Ce număr de unități de cifre indică numărul 2 în introducerea primului număr?... în introducerea celui de-al doilea și al treilea număr?
3. Numiți unitatea de cifre pentru poziția a opta de la sfârșitul în notația a trei numere.

Geografie (lungime)

1. Raza ecuatorială a Pământului: 6378245 m
2. Circumferința ecuatorului: 40075696 m
3. Cea mai mare adâncime a oceanelor lumii ( Mariana Trenchîn Oceanul Pacific) 11500 m

Întrebări și sarcini

1. Convertiți toate cele trei valori în centimetri și citiți numerele rezultate.
2. Pentru primul număr (în cm), scrieți numerele în secțiunile:

sute de mii _______

zeci de milioane _______

mii _______

miliarde _______

sute de milioane _______

1. Pentru al doilea număr (în cm), notați unitățile de cifre corespunzătoare numerelor 4, 7, 5, 9 în notația numerică

1. Convertiți a treia valoare în milimetri și citiți numărul rezultat.
2. Pentru toate pozițiile din introducerea celui de-al treilea număr (în mm), indicați cifrele și unitățile de cifre din tabel:

Geografie (pătrat)

1. Suprafața întregii suprafețe a Pământului este de 510.083 mii de kilometri pătrați.
2. Suprafața sumelor de pe Pământ este de 148.628 mii de kilometri pătrați.
3. Suprafața apei Pământului este de 361.455 mii de kilometri pătrați.

Întrebări și sarcini

1. Convertiți toate cele trei valori în metri pătrați și citiți numerele rezultate.
2. Denumiți clasele și categoriile corespunzătoare cifrelor diferite de zero din înregistrarea acestor numere (în mp).
3. În scrierea celui de-al treilea număr (în mp), numiți unitățile de cifre corespunzătoare numerelor 1, 3, 4, 6.
4. În două intrări ale celei de-a doua valori (în km pătrați și m²), indicați căreia dintre cifre aparține numărul 2.
5. Scrieți unitățile de valoare de loc pentru cifra 2 în a doua notație de cantitate.

Blocul 1.3. Dialog cu computerul.

Se știe că numerele mari sunt adesea folosite în astronomie. Să dăm exemple. Distanța medie a Lunii de Pământ este de 384 mii km. Distanța Pământului față de Soare (medie) este de 149.504 mii km, Pământul de la Marte este de 55 milioane km. Pe un computer, folosind editorul de text Word, creați tabele astfel încât fiecare cifră din introducerea numerelor indicate să fie într-o celulă (celulă) separată. Pentru a face acest lucru, executați comenzile din bara de instrumente: tabel → adăugați tabel → număr de rânduri (utilizați cursorul pentru a seta „1”) → număr de coloane (calculați-vă singur). Creați tabele pentru alte numere (în blocul „Pregătire personală”).

Blocul 1.4. Stafeu numere mari

Primul rând al tabelului conține un număr mare. Citește. Apoi finalizați sarcinile: mutând numerele din înregistrarea numerelor la dreapta sau la stânga, obțineți următoarele numere și citiți-le. (Nu mutați zerourile de la sfârșitul numărului!). În sala de clasă, ștafeta poate fi efectuată pasându-l unul altuia.

Randul 2 . Mutați toate cifrele numărului din prima linie spre stânga prin două celule. Înlocuiți numerele 5 cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul.

Linia 3 . Mutați toate cifrele numărului din a doua linie spre dreapta prin trei celule. Înlocuiți numerele 3 și 4 din număr cu următoarele numere. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul.

Linia 4. Mutați toate cifrele numărului din rândul 3 cu o celulă la stânga. Înlocuiți numărul 6 din clasa trilioanelor cu cel precedent, iar din clasa miliardelor cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul rezultat.

Linia 5 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 4 cu o celulă la dreapta. Înlocuiți numărul 7 din categoria „zeci de mii” cu cea anterioară, iar din categoria „zeci de milioane” cu următoarea. Citiți numărul rezultat.

Linia 6 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 5 spre stânga prin 3 celule. Înlocuiți numărul 8 din locul sute de miliarde cu cel precedent, iar numărul 6 din locul sute de milioane cu următorul număr. Umpleți celulele goale cu zerouri. Calculați numărul rezultat.

Linia 7 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 6 în celula din dreapta. Schimbați numerele în zeci de cvadrilioane și zeci de miliarde de locuri. Citiți numărul rezultat.

Linia 8 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 7 la stânga printr-o celulă. Schimbați numerele în locurile de cinci miliarde și cvadrilioane. Umpleți celulele goale cu zerouri. Citiți numărul rezultat.

Linia 9 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 8 la dreapta prin trei celule. Schimbați două cifre adiacente din clasele de milioane și trilioane într-o linie numerică. Citiți numărul rezultat.

Linia 10 . Mutați toate cifrele numărului din rândul 9 cu o celulă la dreapta. Citiți numărul rezultat. Selectați numerele care indică anul Olimpiadei de la Moscova.

Blocul 1.5. să ne jucăm

Aprindeți flacăra

Terenul de joc este un desen Brad de Crăciun. Are 24 de becuri. Dar doar 12 dintre ele sunt conectate la rețeaua electrică. Pentru a selecta lămpile conectate, trebuie să răspundeți corect la întrebări cu „Da” sau „Nu”. Același joc poate fi jucat pe computer, răspunsul corect „aprinde” becul.

1. Este adevărat că numerele sunt semne speciale pentru scrierea numerelor naturale? (1 - da, 2 - nu)
2. Este adevărat că 0 este cel mai mic număr natural? (3 - da, 4 - nu)
3. Este adevărat că în sistemul numeric pozițional aceeași cifră poate reprezenta numere diferite? (5 - da, 6 - nu)
4. Este adevărat că un anumit loc în notația zecimală a numerelor se numește loc? (7 - da, 8 - nu)
5. Este dat numărul 543.384. Este adevărat că numărul unităților cu cele mai mari cifre din el este 543, iar cifrele cele mai mici sunt 384? (9 - da, 10 - nu)
6. Este adevărat că în clasa miliardelor, cea mai mare unitate de cifre este de o sută de miliarde, iar cea mai mică este de un miliard? (11 - da, 12 - nu)
7. Este dat numărul 458.121. Este adevărat că suma numărului de unități cu cifrele cele mai mari și numărul celor mai mici este 5? (13 - da, 14 - nu)
8. Este adevărat că unitatea cu cea mai mare cifră din clasa trilionului este de un milion de ori mai mare decât unitatea cu cea mai mare cifră din clasa milionului? (15 - da, 16 - nu)
9. Având în vedere două numere 637.508 și 831. Este adevărat că cea mai mare unitate de cifre a primului număr este de 1000 de ori mai mare decât cea mai mare unitate de cifre a celui de-al doilea număr? (17 - da, 18 - nu)
10. Având în vedere numărul 432. Este adevărat că cea mai mare unitate de cifre a acestui număr este de 2 ori mai mare decât cea mai mică? (19 - da, 20 - nu)
11. Este dat numărul 100.000.000 Este adevărat că numărul de unități de cifre din el care alcătuiesc 10.000 este egal cu 1000? (21 - da, 22 - nu)
12. Este adevărat că înaintea clasei de trilioane există o clasă de cvadrilioane, iar înaintea acestei clase există o clasă de chintilioane? (23 - da, 24 - nu)

1.6. Din istoria numerelor

Din cele mai vechi timpuri, oamenii s-au confruntat cu nevoia de a număra numărul de lucruri, de a compara cantitățile de obiecte (de exemplu, cinci mere, șapte săgeți...; într-un trib sunt 20 de bărbați și treizeci de femei,... ). Era, de asemenea, necesitatea stabilirii ordinii într-un anumit număr de obiecte. De exemplu, atunci când vânează, liderul tribului merge primul, cel mai puternic războinic al tribului vine pe al doilea etc. Numerele au fost folosite în aceste scopuri. Pentru ei au fost inventate nume speciale. În vorbire se numesc numerale: unu, doi, trei etc. sunt numere cardinale, iar primul, al doilea, al treilea sunt numerale ordinale. Numerele au fost scrise folosind caractere speciale - numere.

De-a lungul timpului au apărut sisteme de numere. Acestea sunt sisteme care includ modalități de a scrie numere și diverse actiuni deasupra lor. Cele mai vechi sisteme de numere cunoscute sunt sistemele de numere egiptean, babilonian și roman. În antichitate, în Rus', literele alfabetului cu semnul special ~ (titlu) erau folosite pentru a scrie numere. În prezent, sistemul numeric zecimal este cel mai utilizat. Sistemele de numere binare, octale și hexazecimale sunt utilizate pe scară largă, în special în lumea computerelor.

Deci, pentru a scrie același număr, puteți folosi diferite semne - numere. Deci, numărul patru sute douăzeci și cinci poate fi scris cu cifre egiptene - hieroglife:

Acesta este modul egiptean de a scrie numerele. Acesta este același număr în cifre romane: CDXXV(modul roman de a scrie numere) sau cifre zecimale 425 (sistem de numere zecimale). ÎN sistem binar inregistreaza ca arata asa: 110101001 (sistem de numere binar sau binar), iar în octal - 651 (sistem de numere octale). În sistemul numeric hexazecimal se va scrie: 1A9(sistem de numere hexazecimale). Puteți face acest lucru simplu: faceți, ca Robinson Crusoe, patru sute douăzeci și cinci de crestături (sau lovituri) pe un stâlp de lemn - IIIIIIIII…... III. Acestea sunt primele imagini ale numerelor naturale.

Deci, în sistemul zecimal de scriere a numerelor (în modul zecimal de scriere a numerelor) sunt folosite cifre arabe. Acestea sunt zece simboluri diferite - numere: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . În binar - două cifre binare: 0, 1; în octal - opt cifre octale: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; în hexazecimal - șaisprezece cifre hexazecimale diferite: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; în sexagesimal (babilonian) - șaizeci de caractere diferite - numere etc.)

Numerele zecimale au venit în țările europene din Orientul Mijlociu și țările arabe. De aici și numele - cifre arabe. Dar au venit la arabi din India, unde au fost inventați pe la mijlocul primului mileniu.

1.7. Sistemul de numere romane

Unul dintre sistemele de numere antice care este folosit astăzi este sistemul roman. Prezentăm în tabel principalele numere ale sistemului numeric roman și numerele corespunzătoare ale sistemului zecimal.

numeral roman					C
				50 cincizeci		500 cinci sute	1000 de mii

Sistemul numeric roman este sistem de adăugare.În ea, spre deosebire de sistemele poziționale (de exemplu, zecimală), fiecare cifră reprezintă același număr. Da, înregistrează II- denotă numărul doi (1 + 1 = 2), notație III- numărul trei (1 + 1 + 1 = 3), notație XXX- numărul treizeci (10 + 10 + 10 = 30), etc. Următoarele reguli se aplică pentru scrierea numerelor.

1. Dacă numărul inferior este după mai mare, apoi se adaugă la cea mai mare: VII- numărul șapte (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- numărul șaptesprezece (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- numărul o mie o sută cincizeci (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Dacă numărul inferior este inainte de mai mare, atunci se scade din cea mai mare: IX- numărul nouă (9 = 10 - 1), L.M.- numărul nouă sute cincizeci (1000 - 50 = 950).

Pentru a scrie numere mari, trebuie să folosiți (inventați) simboluri noi - numere. În același timp, înregistrarea numerelor se dovedește a fi greoaie și este foarte dificil să efectuați calcule cu cifre romane. Astfel, anul lansării primului satelit artificial de Pământ (1957) din înregistrările romane are forma MCMLVII .

Blocul 1. 8. Card perforat

Citirea numerelor naturale

Aceste sarcini sunt verificate folosind o hartă cu cercuri. Să explicăm aplicarea acestuia. După finalizarea tuturor sarcinilor și găsirea răspunsurilor corecte (sunt indicate prin literele A, B, C etc.), așezați pe hartă o coală de hârtie transparentă. Utilizați semnele „X” pentru a marca pe el răspunsurile corecte, precum și semnul de potrivire „+”. Apoi așezați foaia transparentă peste pagină, astfel încât semnele de înregistrare să se alinieze. Dacă toate semnele „X” sunt în cercurile gri de pe această pagină, atunci sarcinile au fost finalizate corect.

1.9. Ordinea citirii numerelor naturale

Când citiți un număr natural, procedați după cum urmează.

1. Împărțiți mental numărul în triplete (clase) de la dreapta la stânga, de la sfârșitul numărului.

1. Începând de la clasa de juniori, de la dreapta la stânga (de la sfârșitul numărului) notează numele claselor: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane.
2. Au citit numărul începând din liceu. În acest caz, sunt apelate numărul de unități de biți și numele clasei.
3. Dacă un bit conține un zero (bitul este gol), atunci nu este apelat. Dacă toate cele trei cifre ale clasei numite sunt zerouri (cifrele sunt goale), atunci această clasă nu este apelată.

Să citim (numim) numărul scris în tabel (vezi §1), conform pașilor 1 - 4. Împărțim mental numărul 38001102987000128425 în clase de la dreapta la stânga: 038 001 102 987 000 128 425. Indicăm numele clase în acest număr, începând de la sfârșit înregistrările sale: unități, mii, milioane, miliarde, trilioane, cvadrilioane, chintilioane. Acum puteți citi numărul, începând cu clasa de seniori. Numim numere de trei cifre, două cifre și o singură cifră, adăugând numele clasei corespunzătoare. Nu denumim clase goale. Obținem următorul număr:

• 038 - treizeci și opt de chintilioane
• 001 - un cvadrilion
• 102 - o sută două trilioane
• 987 - nouă sute optzeci și șapte de miliarde
• 000 - nu denumim (nu citim)
• 128 - o sută douăzeci și opt de mii
• 425 - patru sute douăzeci și cinci

Ca urmare, citim numărul natural 38 001 102 987 000 128 425 după cum urmează: „treizeci și opt de chintilioane un cvadrilion o sută două trilioane nouă sute optzeci și șapte de miliarde o sută douăzeci și opt de mii patru sute douăzeci și cinci”.

1.9. Ordinea scrierii numerelor naturale

Numerele naturale sunt scrise în următoarea ordine.

1. Notați trei cifre ale fiecărei clase, începând cu clasa cea mai înaltă până la locul celor. În acest caz, pentru clasa senior pot exista două sau o cifre.
2. Dacă clasa sau categoria nu este denumită, atunci se scriu zerouri în categoriile corespunzătoare.

De exemplu, numărul douăzeci și cinci de milioane trei sute două scris sub forma: 25 000 302 (clasa miilor nu este numită, deci toate cifrele clasei miilor sunt scrise cu zerouri).

1.10. Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de termeni de cifre

Să dăm un exemplu: 7.563.429 este notația zecimală a unui număr șapte milioane cinci sute șaizeci și trei mii patru sute douăzeci și nouă. Acest număr conține șapte milioane, cinci sute de mii, șase zece mii, trei mii, patru sute, două zeci și nouă unități. Poate fi reprezentat ca suma: 7.563.429 = 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. Această notație se numește reprezentând un număr natural ca sumă de termeni de cifre.

Blocul 1.11. să ne jucăm

Temnita Treasures

Pe terenul de joc este un desen din basmul lui Kipling „Mowgli”. Cinci cufere au lacăte. Pentru a le deschide, trebuie să rezolvați problemele. În același timp, prin deschiderea unui cufăr de lemn, obțineți un punct. Deschiderea unui cufăr de tablă vă oferă două puncte, un cufăr de cupru primește trei puncte, un cufăr de argint primește patru puncte și un cufăr de aur primește cinci puncte. Câștigă cel care deschide toate cuferele cel mai repede. Același joc poate fi jucat pe computer.

1. Cufăr de lemn

Aflați câți bani (în mii de ruble) sunt în acest cufăr. Pentru a face acest lucru trebuie să găsiți numărul total cele mai mici unități de cifre din clasa milionului pentru numărul: 125308453231.

1. Cufă de tablă

Aflați câți bani (în mii de ruble) sunt în acest cufăr. Pentru a face acest lucru, în numărul 12530845323, găsiți numărul unităților cu cifrele cele mai mici ale clasei de unități și numărul unităților cu cifrele cele mai mici din clasa milioanelor. Apoi găsiți suma acestor numere și adăugați numărul din locul zecilor de milioane din dreapta.

1. Cufă de cupru

Pentru a găsi banii din acest cufăr (în mii de ruble), trebuie să găsiți în numărul 751305432198203 numărul unităților cu cele mai mici cifre din clasa trilioanelor și numărul celor mai mici unități din clasa miliardelor. Apoi găsiți suma acestor numere și scrieți în dreapta numerele naturale ale clasei de unități ale acestui număr în ordinea locației lor.

1. Cufăr de argint

Banii din acest cufăr (în milioane de ruble) vor fi afișați prin suma a două numere: numărul unităților cu cifrele cele mai mici din clasa miilor și unitățile cu cifrele mijlocii ale clasei de miliarde pentru numărul 481534185491502.

1. Cufăr de aur

Numărul 800123456789123456789 este dat dacă înmulțim numerele din cele mai mari cifre din toate clasele acestui număr, primim banii acestui cufăr într-un milion de ruble.

Blocul 1.12. Meci

Scrierea numerelor naturale. Reprezentarea numerelor naturale ca sumă de termeni de cifre

Pentru fiecare sarcină din coloana din stânga, selectați o soluție din coloana din dreapta. Scrieți răspunsul sub forma: 1a; 2g; 3b…

	Scrieți numărul în numere: cinci milioane douăzeci și cinci de mii
	Scrieți numărul în numere: cinci miliarde douăzeci și cinci de milioane
	Scrieți numărul în numere: cinci trilioane douăzeci și cinci
	Scrieți numărul în numere:șaptezeci și șapte de milioane șaptezeci și șapte de mii șapte sute șaptezeci și șapte
	Scrieți numărul în numere:șaptezeci și șapte de trilioane șapte sute șapte și șapte de mii șapte
	Scrieți numărul în numere:șaptezeci și șapte de milioane șapte sute șapte și șapte de mii șapte
	Scrieți numărul în numere: o sută douăzeci și trei de miliarde patru sute cincizeci și șase de milioane șapte sute optzeci și nouă de mii
	Scrieți numărul în numere: o sută douăzeci și trei de milioane patru sute cincizeci și șase de mii șapte sute optzeci și nouă
	Scrieți numărul în numere: trei miliarde unsprezece
	Scrieți numărul în numere: trei miliarde unsprezece milioane

Opțiunea 2

	treizeci și două de miliarde o sută șaptezeci și cinci de milioane două sute nouăzeci și opt de mii trei sute patruzeci și unu		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Prezentați numărul ca o sumă de termeni de cifre: trei sute douăzeci și unu de milioane patruzeci și unu		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Prezentați numărul ca o sumă de termeni de cifre: 321000175298341
	Prezentați numărul ca o sumă de termeni de cifre: 101010101
	Prezentați numărul ca o sumă de termeni de cifre: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Scrieți cu notație zecimală numărul prezentat ca o sumă de termeni de cifre: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Scrieți cu notație zecimală numărul prezentat ca o sumă de termeni de cifre: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Scrieți cu notație zecimală numărul prezentat ca o sumă de termeni de cifre: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Scrieți cu notație zecimală numărul prezentat ca o sumă de termeni de cifre: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Blocul 1.13. Testul fațetelor

Numele testului provine de la cuvântul „ochi compus de insecte”. Acesta este un ochi complex format din „ocelli” individuale. Sarcinile de testare fațetă sunt formate din elemente individuale indicate prin numere. De obicei teste fațete conţin un număr mare de sarcini. Dar în acest test sunt doar patru sarcini, dar sunt alcătuite din un numar mare elemente. Acesta este conceput pentru a vă învăța cum să „asamblați” problemele de testare. Dacă le puteți crea, puteți face față cu ușurință altor teste fațete.

Să explicăm cum sunt compuse sarcinile folosind exemplul celei de-a treia sarcini. Este compus din elemente de testare numerotate: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Dacă» 1) ia numere (cifra) din tabel; 4) 7; 7) plasați-l într-o categorie; 11) miliarde; 1) ia un număr de pe masă; 5) 8; 7) plasați-l în categorii; 9) zeci de milioane; 10) sute de milioane; 16) sute de mii; 17) zeci de mii; 22) Așezați numerele 9 și 6 în locurile cu mii și sute. 21) umpleți biții rămași cu zerouri; " ACEA» 26) obținem un număr egal cu timpul (perioada) de revoluție a planetei Pluto în jurul Soarelui în secunde (s); " Acest număr este egal cu": 7880889600 str. În răspunsuri este indicat prin literă „V”.

Când rezolvați probleme, folosiți un creion pentru a scrie numerele în celulele tabelului.

Testul fațetelor. Alcătuiește un număr

Tabelul conține numerele:

Dacă

1) luați numărul(ele) din tabel:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) plasați această(e) cifră(e) în cifre(e);

8) sute de cvadrilioane și zeci de cvadrilioane;

9) zeci de milioane;

10) sute de milioane;

11) miliarde;

12) chintilioane;

13) zeci de chintilioane;

14) sute de chintilioane;

15) trilioane;

16) sute de mii;

17) zeci de mii;

18) umpleți clasa(ele) cu aceasta (ele);

19) chintilioane;

20) miliarde;

21) umpleți biții rămași cu zerouri;

22) așezați numerele 9 și 6 în locurile miilor și sutelor;

23) obținem un număr egal cu masa Pământului în zeci de tone;

24) obținem un număr aproximativ egal cu volumul Pământului în metri cubi;

25) obținem un număr egal cu distanța (în metri) de la Soare la cea mai îndepărtată planetă sistem solar Pluton;

26) obținem un număr egal cu timpul (perioada) de revoluție a planetei Pluto în jurul Soarelui în secunde (s);

Acest număr este egal cu:

a) 5929000000000

b) 9999900000000000000000

d) 5980000000000000000000

Rezolva probleme:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Răspunsuri

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - în

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

În secolul al V-lea î.Hr., filosoful antic grec Zenon din Elea și-a formulat celebrele aporii, dintre care cea mai faimoasă este aporia „Achile și țestoasa”. Iată cum sună:

Să presupunem că Ahile aleargă de zece ori mai repede decât țestoasa și este la o mie de pași în spatele ei. În timpul necesar lui Ahile pentru a parcurge această distanță, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. Când Ahile aleargă o sută de pași, țestoasa se târăște încă zece pași și așa mai departe. Procesul va continua la infinit, Ahile nu va ajunge niciodată din urmă cu țestoasa.

Acest raționament a devenit un șoc logic pentru toate generațiile următoare. Aristotel, Diogene, Kant, Hegel, Hilbert... Toți au considerat într-un fel sau altul aporia lui Zenon. Șocul a fost atât de puternic încât " ...discuțiile continuă în prezent, haideți opinie generală comunitatea științifică nu a reușit încă să înțeleagă esența paradoxurilor... analiza matematică, teoria mulțimilor, noi abordări fizice și filozofice au fost implicate în studiul problemei; niciunul dintre ele nu a devenit o soluție general acceptată la problemă...„[Wikipedia, „Aporia lui Zeno”. Toată lumea înțelege că sunt păcăliți, dar nimeni nu înțelege în ce constă înșelăciunea.

Din punct de vedere matematic, Zenon în aporia sa a demonstrat clar trecerea de la cantitate la . Această tranziție presupune aplicare în loc de cele permanente. Din câte am înțeles, aparatul matematic pentru utilizarea unităților de măsură variabile fie nu a fost încă dezvoltat, fie nu a fost aplicat aporiei lui Zeno. Aplicarea logicii noastre obișnuite ne duce într-o capcană. Noi, datorită inerției gândirii, aplicăm unități constante de timp valorii reciproce. Din punct de vedere fizic, se pare că timpul încetinește până când se oprește complet în momentul în care Ahile ajunge din urmă cu țestoasa. Dacă timpul se oprește, Ahile nu mai poate depăși țestoasa.

Dacă ne întoarcem logica obișnuită, totul cade la locul său. Ahile aleargă cu o viteză constantă. Fiecare segment ulterior al drumului său este de zece ori mai scurt decât cel anterior. În consecință, timpul petrecut pentru depășirea acestuia este de zece ori mai mic decât cel anterior. Dacă aplicăm conceptul de „infinit” în această situație, atunci ar fi corect să spunem „Achile va ajunge din urmă broasca țestoasă infinit de repede”.

Cum să eviți această capcană logică? Rămâneți în unități constante de timp și nu treceți la unități reciproce. În limbajul lui Zeno arată astfel:

În timpul necesar lui Ahile să alerge o mie de pași, țestoasa se va târa o sută de pași în aceeași direcție. În următorul interval de timp egal cu primul, Ahile va alerga încă o mie de pași, iar țestoasa se va târa o sută de pași. Acum Ahile este cu opt sute de pași înaintea țestoasei.

Această abordare descrie în mod adecvat realitatea fără niciun paradox logic. Dar nu este solutie completa Probleme. Afirmația lui Einstein despre irezistibilitatea vitezei luminii este foarte asemănătoare cu aporia lui Zeno „Achile și broasca țestoasă”. Mai trebuie să studiem, să regândim și să rezolvăm această problemă. Iar soluția trebuie căutată nu în număr infinit de mare, ci în unități de măsură.

O altă aporie interesantă a lui Zeno spune despre o săgeată zburătoare:

O săgeată zburătoare este nemișcată, deoarece în fiecare moment de timp este în repaus și, deoarece este în repaus în fiecare moment de timp, este întotdeauna în repaus.

În această aporie, paradoxul logic este depășit foarte simplu - este suficient să clarificăm că în fiecare moment de timp o săgeată zburătoare este în repaus în diferite puncte din spațiu, care, de fapt, este mișcare. Un alt punct trebuie remarcat aici. Dintr-o fotografie a unei mașini de pe șosea este imposibil să se determine nici faptul mișcării acesteia, fie distanța până la ea. Pentru a determina dacă o mașină se mișcă, aveți nevoie de două fotografii făcute din același punct în momente diferite, dar nu puteți determina distanța față de ele. Pentru a determina distanța până la o mașină, aveți nevoie de două fotografii făcute din diferite puncte ale spațiului la un moment dat, dar din ele nu puteți determina faptul de mișcare (desigur, mai aveți nevoie de date suplimentare pentru calcule, trigonometria vă va ajuta ). Ce vreau să subliniez Atentie speciala, este că două puncte în timp și două puncte în spațiu sunt lucruri diferite care nu trebuie confundate, deoarece oferă oportunități diferite pentru cercetare.

miercuri, 4 iulie 2018

Diferențele dintre set și multiset sunt descrise foarte bine pe Wikipedia. Să vedem.

După cum puteți vedea, „nu pot exista două elemente identice într-o mulțime”, dar dacă există elemente identice într-o mulțime, un astfel de set se numește „multiset”. Ființele rezonabile nu vor înțelege niciodată o asemenea logică absurdă. Acesta este nivelul papagalilor vorbitori și al maimuțelor dresate, care nu au inteligență din cuvântul „complet”. Matematicienii acționează ca formatori obișnuiți, propovăduindu-ne ideile lor absurde.

Pe vremuri, inginerii care au construit podul se aflau într-o barcă sub pod în timp ce testau podul. Dacă podul s-a prăbușit, inginerul mediocru a murit sub dărâmăturile creației sale. Dacă podul putea rezista la sarcină, talentatul inginer a construit alte poduri.

Indiferent de cât de matematicieni se ascund în spatele expresiei „dune-mă, sunt în casă”, sau mai degrabă „studii de matematică concepte abstracte", există un cordon ombilical care le leagă indisolubil de realitatea. Acest cordon ombilical este bani. Să aplicăm teoria multimilor matematicienilor înșiși.

Am studiat foarte bine matematica și acum stăm la casa de marcat, dăm salarii. Deci un matematician vine la noi pentru banii lui. Îi numărăm întreaga sumă și o întindem pe masa noastră în grămezi diferite, în care punem bancnote de aceeași valoare. Apoi luăm o bancnotă din fiecare grămadă și îi dăm matematicianului „setul său matematic de salariu”. Să-i explicăm matematicianului că va primi bancnotele rămase doar atunci când va dovedi că o mulțime fără elemente identice nu este egală cu o mulțime cu elemente identice. Aici începe distracția.

În primul rând, logica deputaților va funcționa: „Acest lucru se poate aplica și altora, dar nu și mie!” Apoi vor începe să ne liniștească că bancnotele de aceeași denominație au numere de bancnote diferite, ceea ce înseamnă că nu pot fi considerate aceleași elemente. Bine, să numărăm salariile în monede - nu există numere pe monede. Aici matematicianul va începe să-și amintească frenetic de fizică: diferite monede au cantități diferite de murdărie, structura cristalină și aranjarea atomilor este unică pentru fiecare monedă...

Și acum am cel mai mult interes Întreabă: unde este linia dincolo de care elementele unui multiset se transforma in elemente ale unei multimi si invers? O astfel de linie nu există - totul este hotărât de șamani, știința nu este nici măcar aproape să zacă aici.

Uite aici. Selectăm stadioane de fotbal cu aceeași suprafață de teren. Zonele câmpurilor sunt aceleași - ceea ce înseamnă că avem un multiset. Dar dacă ne uităm la numele acestor stadioane, obținem multe, pentru că numele sunt diferite. După cum puteți vedea, același set de elemente este atât un set, cât și un multiset. Care este corect? Și aici matematicianul-șamanul-ascuțitor scoate un as de atuuri din mânecă și începe să ne vorbească fie despre un set, fie despre un multiset. În orice caz, ne va convinge că are dreptate.

Pentru a înțelege cum funcționează șamanii moderni cu teoria mulțimilor, legând-o de realitate, este suficient să răspundem la o întrebare: prin ce diferă elementele unui set de elementele altui set? Vă voi arăta, fără niciun „conceput ca nu un singur întreg” sau „neconceput ca un singur întreg”.

Duminică, 18 martie 2018

Suma cifrelor unui număr este un dans al șamanilor cu o tamburină, care nu are nimic de-a face cu matematica. Da, la lecțiile de matematică suntem învățați să găsim suma cifrelor unui număr și să o folosim, dar de aceea ei sunt șamani, pentru a-și învăța descendenții abilitățile și înțelepciunea, altfel șamanii pur și simplu vor muri.

Ai nevoie de dovezi? Deschideți Wikipedia și încercați să găsiți pagina „Suma cifrelor unui număr”. Ea nu există. Nu există nicio formulă în matematică care să poată fi folosită pentru a găsi suma cifrelor oricărui număr. La urma urmei, numerele sunt simboluri grafice cu care scriem numere, iar în limbajul matematicii sarcina sună astfel: „Găsiți suma simbolurilor grafice care reprezintă orice număr”. Matematicienii nu pot rezolva această problemă, dar șamanii o pot face cu ușurință.

Să ne dăm seama ce și cum facem pentru a găsi suma numerelor număr dat. Și așa, să avem numărul 12345. Ce trebuie făcut pentru a găsi suma cifrelor acestui număr? Să luăm în considerare toți pașii în ordine.

1. Notează numărul pe o foaie de hârtie. Ce am făcut? Am convertit numărul într-un simbol numeric grafic. Aceasta nu este o operație matematică.

2. Tăiem o imagine rezultată în mai multe imagini care conțin numere individuale. Decuparea unei imagini nu este o operație matematică.

3. Convertiți simbolurile grafice individuale în numere. Aceasta nu este o operație matematică.

4. Adăugați numerele rezultate. Acum asta e matematica.

Suma cifrelor numărului 12345 este 15. Acestea sunt „cursurile de tăiere și cusut” predate de șamani pe care le folosesc matematicienii. Dar asta nu este tot.

Din punct de vedere matematic, nu contează în ce sistem de numere scriem un număr. Deci, în sisteme diferiteÎn calcul, suma cifrelor aceluiași număr va fi diferită. În matematică, sistemul numeric este indicat ca indice în dreapta numărului. CU un numar mare 12345 Nu vreau să-mi păcălesc capul, să ne uităm la numărul 26 din articolul despre . Să scriem acest număr în sisteme de numere binar, octal, zecimal și hexazecimal. Nu ne vom uita la fiecare pas la microscop, am făcut-o deja. Să ne uităm la rezultat.

După cum puteți vedea, în sisteme numerice diferite, suma cifrelor aceluiași număr este diferită. Acest rezultat nu are nimic de-a face cu matematica. Este la fel ca și cum ai determina aria unui dreptunghi în metri și centimetri, ai obține rezultate complet diferite.

Zero arată la fel în toate sistemele de numere și nu are sumă de cifre. Acesta este un alt argument în favoarea faptului că. Întrebare pentru matematicieni: cum este ceva care nu este un număr desemnat în matematică? Ce, pentru matematicieni nu există nimic în afară de numere? Pot permite asta șamanilor, dar nu și oamenilor de știință. Realitatea nu este doar despre cifre.

Rezultatul obținut ar trebui considerat ca o dovadă că sistemele numerice sunt unități de măsură pentru numere. La urma urmei, nu putem compara numerele cu unități de măsură diferite. Dacă aceleași acțiuni cu diferite unități de măsură ale aceleiași mărimi duc la rezultate diferite după compararea lor, atunci acest lucru nu are nimic de-a face cu matematica.

Ce este matematica reală? Acesta este momentul în care rezultatul unei operații matematice nu depinde de mărimea numărului, de unitatea de măsură folosită și de cine efectuează această acțiune.

Semnează pe uşă El deschide ușa și spune:

Oh! Asta nu este toaleta pentru femei?
- Femeie tânără! Acesta este un laborator pentru studiul sfințeniei nefilice a sufletelor în timpul înălțării lor la cer! Halo în partea de sus și săgeată în sus. Ce altă toaletă?

Femeie... Aureola de sus și săgeata în jos sunt masculine.

Dacă o astfel de operă de artă de design îți fulgerează în fața ochilor de mai multe ori pe zi,

Atunci nu este surprinzător că găsiți brusc o pictogramă ciudată în mașina dvs.:

Personal, fac un efort să văd minus patru grade la o persoană care face caca (o poză) (o compoziție din mai multe imagini: un semn minus, numărul patru, o denumire de grade). Și nu cred că fata asta este proastă, nu cunoștințe în fizică. Ea are doar un stereotip puternic de a percepe imaginile grafice. Și matematicienii ne învață asta tot timpul. Iată un exemplu.

1A nu este „minus patru grade” sau „unu a”. Acesta este „pooping om” sau numărul „douăzeci și șase” în notație hexazecimală. Acei oameni care lucrează constant în acest sistem numeric percep automat un număr și o literă ca un simbol grafic.

Numerele naturale pot fi folosite pentru numărare (un măr, două mere etc.)

numere întregi(din lat. naturalis- naturala; numere naturale) - numere care apar în mod natural la numărare (de exemplu, 1, 2, 3, 4, 5...). Se numește șirul tuturor numerelor naturale dispuse în ordine crescătoare firesc alaturi.

Există două abordări pentru definirea numerelor naturale:

• numărare (numerotare) articole ( primul, al doilea, al treilea, Al patrulea, a cincea"…);
• numerele naturale sunt numere care apar atunci când desemnarea cantității articole ( 0 articole, 1 articol, 2 articole, 3 articole, 4 articole, 5 articole"...).

În primul caz, seria numerelor naturale începe de la unu, în al doilea - de la zero. Nu există un consens în rândul majorității matematicienilor cu privire la preferința primei sau celei de-a doua abordări (adică dacă să numărăm zero numar natural sau nu). Majoritatea covârșitoare a surselor rusești adoptă în mod tradițional prima abordare. A doua abordare, de exemplu, este folosită în lucrările lui Nicolas Bourbaki, unde numerele naturale sunt definite ca cardinalități ale mulțimilor finite.

Numerele negative și neîntregi (raționale, reale, ...) nu sunt considerate numere naturale.

Mulțimea tuturor numerelor naturale Se obișnuiește să se desemneze simbolul N (\displaystyle \mathbb (N)) (din lat. naturalis- naturale). Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural n (\displaystyle n) există un număr natural mai mare decât n (\displaystyle n) .

Prezența lui zero facilitează formularea și demonstrarea multor teoreme în aritmetica numerelor naturale, așa că prima abordare introduce conceptul util arie naturală extinsă, inclusiv zero. Seria extinsă se notează N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) sau Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Axiome care ne permit să determinăm mulțimea numerelor naturale

Axiomele lui Peano pentru numerele naturale

Articolul principal: Axiomele lui Peano

Vom numi o mulțime N (\displaystyle \mathbb (N) ) o mulțime de numere naturale dacă un element este fix 1 (unitate) aparținând lui N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )) și o funcție S (\displaystyle S) cu domeniul N (\displaystyle \mathbb (N) ) și intervalul N (\displaystyle \mathbb (N) ) (numită funcție de succesiune; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )) astfel încât sunt îndeplinite următoarele condiții:

1. unul este un număr natural (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. numărul care urmează numărului natural este, de asemenea, un număr natural (dacă x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) ), atunci S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
3. nu urmează niciun număr natural (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
4. dacă un număr natural a (\displaystyle a) urmează imediat atât unui număr natural b (\displaystyle b) cât și unui număr natural c (\displaystyle c) , atunci b = c (\displaystyle b=c) (dacă S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) și S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , apoi b = c (\displaystyle b=c));
5. (axioma de inducție) dacă orice propoziție (enunț) P (\displaystyle P) a fost dovedită pentru numărul natural n = 1 (\displaystyle n=1) ( bază de inducție) și dacă din ipoteza că este adevărat pentru un alt număr natural n (\displaystyle n) , rezultă că este adevărat pentru următorul număr natural (\displaystyle n) ( ipoteza inductivă), atunci această propoziție este adevărată pentru toate numerele naturale (fie P (n) (\displaystyle P(n)) un predicat cu un singur loc (unar) al cărui parametru este numărul natural n (\displaystyle n). Atunci, dacă P (1) (\displaystyle P(1)) și ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , apoi ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Axiomele enumerate reflectă înțelegerea noastră intuitivă a seriei naturale și a dreptei numerice.

Faptul fundamental este că aceste axiome definesc în mod esențial numerele naturale (natura categorială a sistemului de axiome Peano). Și anume, se poate dovedi (vezi și o scurtă dovadă) că dacă (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) și (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ stilul de afișare ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) sunt două modele pentru sistemul de axiome Peano, atunci ele sunt în mod necesar izomorfe, adică există este o mapare inversabilă (bijecție) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) astfel încât f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1)=(\tilde (1))) și f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f (x ))) pentru toate x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Prin urmare, este suficient să fixați ca N (\displaystyle \mathbb (N) ) orice model specific al mulțimii de numere naturale.

Definiția teoretică a mulțimilor a numerelor naturale (definiția Frege-Russell)

Conform teoriei mulțimilor, singurul obiect pentru construirea oricăror sisteme matematice este o mulțime.

Astfel, numerele naturale sunt introduse și pe baza conceptului de mulțime, după două reguli:

• S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\cup \left\(n\right\)) .

Numerele definite în acest fel se numesc ordinale.

Să descriem primele câteva numere ordinale și numerele naturale corespunzătoare:

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing ) ;
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\left\(0\right\)=\left\(\varnothing \right\)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\right\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \) dreapta\)(\mare \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\right\)=(\Big \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )).

Zero ca număr natural

Uneori, mai ales în literatura străină și tradusă, unul este înlocuit cu zero în prima și a treia axiomă Peano. În acest caz, zero este considerat un număr natural. Când este definit prin clase de mulțimi egale, zero este un număr natural prin definiție. Ar fi nefiresc să o respingem în mod deliberat. În plus, acest lucru ar complica semnificativ construcția și aplicarea ulterioară a teoriei, deoarece în majoritatea construcțiilor zero, ca și mulțimea goală, nu este ceva separat. Un alt avantaj de a trata zero ca număr natural este că face din N (\displaystyle \mathbb (N) ) un monoid.

În literatura rusă, zero este de obicei exclus din numărul de numere naturale (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), iar mulțimea numerelor naturale cu zero este notată ca N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ). Dacă zero este inclus în definiția numerelor naturale, atunci mulțimea numerelor naturale este scrisă ca N (\displaystyle \mathbb (N) ) și fără zero - ca N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

În literatura matematică internațională, ținând cont de cele de mai sus și pentru a evita ambiguitățile, mulțimea ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) este de obicei numită mulțimea numerelor întregi pozitive și notată Z + (\displaystyle \ mathbb(Z)_(+)) . Mulțimea ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) este adesea numită mulțimea de numere întregi nenegative și este notă cu Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _( \geqslant 0)) .

Poziția mulțimii de numere naturale (N (\displaystyle \mathbb (N) )) între mulțimile de numere întregi (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), numere raționale (Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) ) ), numere reale (R (\displaystyle \mathbb (R) )) și numere iraționale (R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

Mărimea mulțimii numerelor naturale

Mărimea unei mulțimi infinite este caracterizată de conceptul de „cardinalitate a unei mulțimi”, care este o generalizare a numărului de elemente ale unei mulțimi finite la mulțimi infinite. În mărime (adică cardinalitate), mulțimea numerelor naturale este mai mare decât orice mulțime finită, dar mai mică decât orice interval, de exemplu, intervalul (0, 1) (\displaystyle (0,1)). Mulțimea numerelor naturale are aceeași cardinalitate ca și mulțimea numerelor raționale. O mulțime de aceeași cardinalitate ca și mulțimea numerelor naturale se numește mulțime numărabilă. Astfel, setul de termeni ai oricărei secvențe este numărabil. În același timp, există o succesiune în care fiecare număr natural apare de un număr infinit de ori, deoarece mulțimea numerelor naturale poate fi reprezentată ca o uniune numărabilă de mulțimi numărabile disjunse (de exemplu, N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty)\left(\bigcup \limits _(n=0) )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\dreapta))).

Operatii pe numere naturale

Operațiile închise (operațiile care nu derivă un rezultat din mulțimea numerelor naturale) asupra numerelor naturale includ următoarele operații aritmetice:

• plus: termen + termen = suma;
• multiplicare: factor × factor = produs;
• exponentiare: a b (\displaystyle a^(b)) , unde a (\displaystyle a) este baza gradului, b (\displaystyle b) este exponentul. Dacă a (\displaystyle a) și b (\displaystyle b) sunt numere naturale, atunci rezultatul va fi un număr natural.

În plus, sunt luate în considerare încă două operații (din punct de vedere formal, nu sunt operații pe numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toata lumea perechi de numere (uneori există, alteori nu)):

• scădere: minuend - subtrahend = diferenta. În acest caz, minuendul trebuie să fie mai mare decât subtraend (sau egal cu acesta, dacă considerăm zero ca fiind un număr natural);
• împărțire cu rest: dividend / divizor = (cot, rest). Coeficientul p (\displaystyle p) și restul r (\displaystyle r) din împărțirea a (\displaystyle a) la b (\displaystyle b) sunt definite după cum urmează: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a=p \cdot b+ r) și 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r poate fi reprezentat ca a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) , adică orice număr ar putea fi considerat parțial , iar restul a (\displaystyle a) .

De remarcat că operațiile de adunare și înmulțire sunt fundamentale. În special, inelul numerelor întregi este definit tocmai prin operațiile binare de adunare și înmulțire.

Proprietăți de bază

• Comutativitatea adunării:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• Comutativitatea înmulțirii:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• Asociativitatea adăugării:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

• Asociativitatea înmulțirii:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• Distributivitatea înmulțirii în raport cu adunarea:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

Structura algebrică

Adunarea transformă mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu unitate, rolul de unitate îl joacă 0 . Înmulțirea transformă și mulțimea numerelor naturale într-un semigrup cu identitate, elementul identitate fiind 1 . Folosind închiderea în cadrul operațiilor de adunare-scădere și înmulțire-împărțire, obținem grupuri de numere întregi Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) și numere pozitive raționale Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^( *)) respectiv.

Definiții teoretice de mulțimi

Să folosim definiția numerelor naturale ca clase de echivalență de mulțimi finite. Dacă notăm clasa de echivalență a unei mulțimi A, generat prin bijecții, folosind paranteza patrata: [A], operațiile aritmetice de bază sunt definite după cum urmează:

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - uniunea disjunctă de mulțimi;
• A × B (\displaystyle A\times B) - produs direct;
• A B (\displaystyle A^(B)) - un set de mapări din B V A.

Se poate demonstra că operațiile rezultate pe clase sunt introduse corect, adică nu depind de alegerea elementelor de clasă și coincid cu definițiile inductive.

Ce este un număr natural? Istorie, domeniu de aplicare, proprietăți

Matematica a apărut din filosofia generală în jurul secolului al VI-lea î.Hr. e., iar din acel moment a început marșul ei victorios în jurul lumii. Fiecare etapă de dezvoltare a introdus ceva nou - numărătoarea elementară a evoluat, s-a transformat în calcul diferențial și integral, au trecut secolele, formulele au devenit din ce în ce mai confuze și a venit momentul în care „a început cea mai complexă matematică - toate numerele au dispărut din ea”. Dar care a fost baza?

Începutul timpului

Numerele naturale au apărut odată cu primele operații matematice. O coloană vertebrală, două țepi, trei țepi... Au apărut datorită oamenilor de știință indieni care l-au dezvoltat pe primul sistem de poziție Socoteala
Cuvântul „poziționalitate” înseamnă că locația fiecărei cifre dintr-un număr este strict definită și corespunde rangului său. De exemplu, numerele 784 și 487 sunt aceleași numere, dar numerele nu sunt echivalente, deoarece primul include 7 sute, în timp ce al doilea doar 4. Inovația indiană a fost preluată de arabi, care au adus numerele la forma pe care le știm acum.

În antichitate, se dădeau numere sens mistic, cel mai mare matematician Pitagora credea că numărul stă la baza creării lumii împreună cu elementele de bază - foc, apă, pământ, aer. Dacă luăm în considerare totul numai din punct de vedere matematic, atunci ce este un număr natural? Câmpul numerelor naturale se notează cu N și este o serie infinită de numere care sunt întregi și pozitive: 1, 2, 3, … + ∞. Zero este exclus. Folosit în principal pentru a număra articolele și a indica ordinea.

Ce este un număr natural în matematică? Axiomele lui Peano

Câmpul N este cel de bază pe care se bazează matematica elementară. De-a lungul timpului, au fost identificate câmpuri de numere întregi, raționale și complexe.

Lucrarea matematicianului italian Giuseppe Peano a făcut posibilă structurarea ulterioară a aritmeticii, a atins formalitatea acesteia și a pregătit calea pentru concluzii ulterioare care au depășit domeniul de câmp N. Ce este un număr natural a fost clarificat mai devreme într-un limbaj simplu, mai jos vom lua în considerare o definiție matematică bazată pe axiomele lui Peano.

• Unitatea este considerată un număr natural.
• Numărul care urmează unui număr natural este un număr natural.
• Nu există un număr natural înainte de unu.
• Dacă numărul b urmează atât numărul c cât și numărul d, atunci c=d.
• O axiomă de inducție, care la rândul ei arată ce este un număr natural: dacă o afirmație care depinde de un parametru este adevărată pentru numărul 1, atunci presupunem că funcționează și pentru numărul n din câmpul numerelor naturale N. Atunci afirmația este adevărată pentru n =1 din câmpul numerelor naturale N.

Operații de bază pentru domeniul numerelor naturale

Întrucât câmpul N a fost primul pentru calcule matematice, îi aparțin atât domeniile de definiție, cât și intervalele de valori ale unui număr de operații de mai jos. Sunt inchise si nu. Principala diferență este că operațiile închise sunt garantate pentru a lăsa rezultatul în mulțimea N, indiferent de ce numere sunt implicate. Este suficient ca sunt naturale. Rezultatul altor interacțiuni numerice nu mai este atât de clar și depinde direct de ce fel de numere sunt implicate în expresie, deoarece poate contrazice definiția principală. Deci, operațiuni închise:

• adunarea – x ​​+ y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
• înmulțire – x * y = z, unde x, y, z sunt incluse în câmpul N;
• exponentiație – xy, unde x, y sunt incluse în câmpul N.

Operațiunile rămase, al căror rezultat poate să nu existe în contextul definiției „ce este un număr natural”, sunt următoarele:

Proprietățile numerelor aparținând câmpului N

Toate raționamentele matematice ulterioare se vor baza pe următoarele proprietăți, cele mai banale, dar nu mai puțin importante.

• Proprietatea comutativă a adunării este x + y = y + x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N. Sau binecunoscutul „suma nu se schimbă prin schimbarea locurilor termenilor”.
• Proprietatea comutativă a înmulțirii este x * y = y * x, unde numerele x, y sunt incluse în câmpul N.
• Proprietatea combinațională a adunării este (x + y) + z = x + (y + z), unde x, y, z sunt incluse în câmpul N.
• Proprietatea de potrivire a înmulțirii este (x * y) * z = x * (y * z), unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.
• proprietate distributivă – x (y + z) = x * y + x * z, unde numerele x, y, z sunt incluse în câmpul N.

Masa lui Pitagora

Unul dintre primii pași în cunoașterea de către elevi a întregii structuri a matematicii elementare după ce au înțeles singuri care numere se numesc numere naturale este tabelul lui Pitagora. Poate fi considerat nu numai din punct de vedere al științei, ci și ca un monument științific cel mai valoros.

Această masă de înmulțire a suferit o serie de modificări de-a lungul timpului: zero a fost eliminat din ea, iar numerele de la 1 la 10 se reprezintă, fără a ține cont de ordine (sute, mii...). Este un tabel în care titlurile rândurilor și coloanelor sunt numere, iar conținutul celulelor în care se intersectează este egal cu produsul lor.

În practica predării din ultimele decenii, a fost nevoie de memorarea tabelului pitagoreic „în ordine”, adică memorarea a fost pe primul loc. Înmulțirea cu 1 a fost exclusă deoarece rezultatul a fost un multiplicator de 1 sau mai mare. Între timp, în tabelul cu ochiul liber puteți observa un model: produsul numerelor crește cu un pas, care este egal cu titlul liniei. Astfel, al doilea factor ne arată de câte ori trebuie să-l luăm pe primul pentru a obține produsul dorit. Acest sistem este mult mai convenabil decât cel care se practica în Evul Mediu: chiar și înțelegând ce este un număr natural și cât de banal este, oamenii au reușit să-și complice numărarea de zi cu zi folosind un sistem care se baza pe puterile a doi.

Subset ca leagăn al matematicii

Pe acest moment domeniul numerelor naturale N este considerat doar una dintre submulțimile numerelor complexe, dar acest lucru nu le face mai puțin valoroase în știință. Numărul natural este primul lucru pe care îl învață un copil când se studiază pe sine și lumea. Un deget, două degete... Datorită lui, o persoană se dezvoltă gandire logica, precum și capacitatea de a determina cauza și de a deduce efectul, deschizând calea unor mari descoperiri.

Discuție: Număr natural

Controversa în jurul zero

Cumva nu-mi pot imagina zero ca număr natural... Se pare că anticii nu știau zero deloc. Și TSB nu consideră zero un număr natural. Deci cel puțin aceasta este o declarație controversată. Putem spune ceva mai neutru despre zero? Sau există argumente convingătoare? --.:Ajvol:. 18:18, 9 septembrie 2004 (UTC)

Întors înapoi ultima schimbare. --Maxal 20:24, 9 septembrie 2004 (UTC)

La un moment dat, Academia Franceză a emis un decret special conform căruia 0 era inclus în setul de numere naturale. Acum, acesta este un standard, în opinia mea, nu este nevoie să introduceți conceptul de „număr natural rus”, ci să respectați acest standard. Desigur, trebuie menționat că odată nu a fost cazul (nu numai în Rusia, ci peste tot). Tosha 23:16, 9 septembrie 2004 (UTC)

Academia Franceză nu este un decret pentru noi. De asemenea, nu există o opinie stabilită cu privire la această chestiune în literatura de matematică în limba engleză. Vedeți, de exemplu, --Maxal 23:58, 9 septembrie 2004 (UTC)

Undeva acolo scrie: „Dacă scrieți un articol despre o problemă controversată, atunci încercați să prezentați toate punctele de vedere, oferind link-uri către diferite opinii.” Insula Bes 23:15, 25 decembrie 2004 (UTC)

Nu văd o problemă controversată aici, dar văd: 1) lipsă de respect față de ceilalți participanți prin modificarea/ștergerea semnificativă a textului lor (se obișnuiește să le discutăm înainte de a face modificări semnificative); 2) înlocuirea definițiilor stricte (care indică cardinalitatea mulțimilor) cu definiții vagi (există o diferență mare între „numerare” și „desemnare cantitate”?). Prin urmare, revin din nou, dar las un comentariu final. --Maxal 23:38, 25 decembrie 2004 (UTC)

Lipsa de respect este exact felul în care vă privesc kickback-urile. Deci să nu vorbim despre asta. Editarea mea nu schimbă esența articol, acesta formulează clar două definiții. Versiunea anterioară a articolului a formulat definiția „fără zero” ca principală și „cu zero” ca un fel de disidență. Acest lucru nu îndeplinește absolut cerințele Wikipedia (vezi citatul de mai sus), precum și stilul de prezentare nu în întregime științific din versiunea anterioară. Am adăugat formularea „cardinalitate a unui set” ca explicație la „denotarea cantității” și „enumerare” la „numerotare”. Și dacă nu vedeți diferența dintre „numerare” și „notare cantități”, atunci, permiteți-mă să vă întreb, de ce atunci editați articole matematice? Insula Bes 23:58, 25 decembrie 2004 (UTC)

În ceea ce privește „nu schimbă esența” - versiunea anterioară a subliniat că diferența de definiții este doar în atribuirea de zero numerelor naturale. În versiunea dvs., definițiile sunt prezentate ca fiind radical diferite. În ceea ce privește definiția „de bază”, atunci ar trebui să fie așa, deoarece acest articol în Rusă Wikipedia, ceea ce înseamnă că practic trebuie să rămâi la ceea ce ai spus general acceptat în școlile rusești de matematică. Ignoră atacurile. --Maxal 00:15, 26 decembrie 2004 (UTC)

De fapt, singura diferență evidentă este zero. De fapt, aceasta este tocmai diferența cardinală, care provine din diferite înțelegeri ale naturii numerelor naturale: într-o singură versiune - ca cantități; în celălalt – ca numere. Acest absolut concepte diferite, indiferent cât de mult ai încerca să ascunzi faptul că nu înțelegi acest lucru.

În ceea ce privește faptul că în Wikipedia rusă se cere să se citeze punctul de vedere rus ca fiind dominant. Privește cu atenție aici. Uită-te la articolul în limba engleză despre Crăciun. Nu spune că Crăciunul ar trebui sărbătorit pe 25 decembrie, pentru că așa se sărbătorește în Anglia și SUA. Ambele puncte de vedere sunt date acolo (și diferă nici mai mult, nici mai puțin decât diferența dintre numerele naturale „cu zero” și „fără zero”) și nici măcar un cuvânt despre care dintre ele se presupune că este mai adevărat.

În versiunea mea a articolului, ambele puncte de vedere sunt desemnate ca independente și îndreptățite în mod egal să existe. Standardul rusesc este indicat de cuvintele la care v-ați referit mai sus.

Poate că, din punct de vedere filozofic, conceptele de numere naturale sunt într-adevăr absolut diferit, dar articolul oferă definiții în esență matematice, unde toată diferența este 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) sau 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) . Punctul de vedere dominant sau nu este o chestiune delicată. Apreciez fraza observat în cea mai mare parte a lumii occidentale la 25 decembrie dintr-un articol englezesc despre Crăciun ca expresie a punctului de vedere dominant, în ciuda faptului că în primul paragraf nu sunt date alte date. Apropo, în versiunea anterioară a articolului despre numerele naturale nu existau nici instrucțiuni directe despre cum necesar pentru a determina numerele naturale, pur și simplu definiția fără zero a fost prezentată ca fiind mai comună (în Rusia). În orice caz, este bine că s-a găsit un compromis. --Maxal 00:53, 26 decembrie 2004 (UTC)

Expresia „În literatura rusă, zero este de obicei exclus din numărul de numere naturale” este oarecum neplăcut de surprinzător domnilor, zero nu este considerat un număr natural, dacă nu se specifică altfel, în întreaga lume. Aceeași franceză, din câte le-am citit, stipulează în mod specific includerea lui zero. Desigur, N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) este folosit mai des, dar dacă, de exemplu, îmi plac femeile, nu voi schimba bărbații în femei. Druid. 23-02-2014

Impopularitatea numerelor naturale

Mi se pare că numerele naturale sunt un subiect nepopular în lucrările de matematică (poate nu în ultimul rând din cauza lipsei unei definiții comune). Din experiența mea, văd adesea termenii în articolele de matematică numere întregi nenegativeȘi numere întregi pozitive(care sunt interpretate fără ambiguitate) mai degrabă decât numere întregi. Părțile interesate sunt rugate să își exprime (dez)acordul cu această observație. Dacă această observație găsește sprijin, atunci este logic să o indicați în articol. --Maxal 01:12, 26 decembrie 2004 (UTC)

Fără îndoială, ai dreptate în partea rezumată a declarației tale. Toate acestea se datorează diferențelor de definiție. În unele cazuri prefer să indice „întregi pozitive” sau „întregi nenegative” în loc de „naturale” pentru a evita discrepanțe în ceea ce privește includerea zero. Și, în general, sunt de acord cu dispozitivul. Insula Bes 01:19, 26 Dec 2004 (UTC) În articole - da, poate că așa este. Cu toate acestea, în textele mai lungi, precum și în cazul în care conceptul este folosit des, se folosesc de obicei numere întregi, totuși, explicând mai întâi „ce” numere naturale vorbim - cu sau fără zero. LoKi 19:31, 30 iulie 2005 (UTC)

Numerele

Merită să enumerați numele numerelor (unu, doi, trei etc.) în ultima parte a acestui articol? Nu ar avea mai mult sens să pun asta în articolul Number? Totuși, acest articol, în opinia mea, ar trebui să fie mai de natură matematică. Cum crezi? --LoKi 19:32, 30 iulie 2005 (UTC)

În general, este ciudat cum poți obține un număr natural obișnuit din seturi *goale*? În general, oricât de mult ai combina golul cu golul, nimic nu va ieși decât golul! Nu este aceasta deloc o definiție alternativă? Postat la 21:46, 17 iulie 2009 (Moscova)

Categoricitatea sistemului de axiome Peano

Am adăugat o remarcă despre natura categorică a sistemului de axiome Peano, care în opinia mea este fundamentală. Vă rugăm să formatați corect linkul către carte [[Participant: A_Devyatkov 06:58, 11 iunie 2010 (UTC)]]

Axiomele lui Peano

În aproape toată literatura străină și pe Wikipedia, axiomele lui Peano încep cu „0 este un număr natural”. Într-adevăr, în sursa originală este scris „1 este un număr natural”. Totuși, în 1897 Peano face o schimbare și schimbă 1 la 0. Acest lucru este scris în „Formulaire de mathematiques”, Tomul II - Nr. 2. pagina 81. Acesta este un link către versiunea electronică de pe pagina dorită:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (franceză).

Explicațiile pentru aceste modificări sunt date în „Rivista di matematica”, Vol. 6-7, 1899, pag. 76. De asemenea, un link către versiunea electronică pe pagina dorită:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (italiană).

0=0

Care sunt „axiomele plăcilor rotative digitale”?

Aș dori să returnez articolul la cea mai recentă versiune de patrulare. În primul rând, cineva a redenumit axiomele lui Peano în axiomele lui Piano, motiv pentru care legătura a încetat să funcționeze. În al doilea rând, un anume Tvorogov a adăugat articolului o informație foarte mare, care, după părerea mea, este complet nepotrivită în acest articol. Este scris într-o manieră non-enciclopedică, în plus, sunt date rezultatele lui Tvorogov și un link către propria sa carte. Insist ca secțiunea despre „axiomele platourilor digitale” ar trebui eliminată din acest articol. P.s. De ce a fost eliminată secțiunea despre numărul zero? mesyarik 14:58, 12 martie 2014 (UTC)

Subiectul nu este tratat, este necesară o definiție clară a numerelor naturale

Te rog nu scrie erezie ca " Numerele naturale (numerele naturale) sunt numere care apar în mod natural la numărare.„Nimic nu apare în mod natural în creier. Exact ceea ce vei pune acolo va fi.

Cum poate un copil de cinci ani să explice care număr este un număr natural? La urma urmei, există oameni cărora trebuie să li se explice de parcă ar fi avut cinci ani. Cum diferă un număr natural de un număr obișnuit? Sunt necesare exemple! 1, 2, 3 este natural și 12 este natural și -12? si trei sferturi, sau de exemplu 4,25 natural? 95.181.136.132 15:09, 6 noiembrie 2014 (UTC)

• Numerele naturale sunt un concept fundamental, abstracția originală. Ele nu pot fi determinate. Poți pătrunde cât îți place în filozofie, dar în cele din urmă fie trebuie să admiti (acceptați cu credință?) o poziție metafizică rigidă, fie să admiti că nu există o definiție absolută, numerele naturale fac parte dintr-un sistem formal artificial, un model care a fost inventat de om (sau Dumnezeu). Am găsit un tratat interesant pe această temă. Cum vă place această opțiune, de exemplu: „Orice sistem Peano specific se numește o serie naturală, adică un model al teoriei axiomatice a lui Peano.” Te simți mai bine? RomanSuzi 17:52, 6 noiembrie 2014 (UTC)
  • Se pare că cu modelele tale și teoriile axiomatice faci doar să complici totul. În cel mai bun caz, doi din o mie de oameni vor înțelege această definiție. Prin urmare, cred că din primul paragraf îi lipsește o propoziție " Cu cuvinte simple: numerele naturale sunt numere întregi pozitive începând de la unu inclusiv." Această definiție sună normal pentru majoritatea. Și nu oferă niciun motiv să ne îndoim de definiția unui număr natural. La urma urmei, după ce am citit articolul, nu am înțeles pe deplin ce numere naturale sunt și numărul 807423 este un numere naturale sau naturale sunt cele care alcătuiesc acest număr, adică 8 0 7 4 2 3. Adesea, complicațiile doar strica totul Informațiile despre numerele naturale ar trebui să fie pe această pagină și nu în numeroasele link-uri către alte pagini 7 noiembrie 2014 (UTC)
    • Aici este necesar să se facă distincția între două sarcini: (1) explică clar (chiar dacă nu strict) cititorului care este departe de matematică ce este un număr natural, astfel încât să înțeleagă mai mult sau mai puțin corect; (2) oferă o definiție atât de strictă a unui număr natural, din care rezultă proprietățile sale de bază. Susțineți corect prima opțiune în preambul, dar tocmai aceasta este dată în articol: un număr natural este o formalizare matematică a numărării: unu, doi, trei etc. Exemplul dvs. (807423) poate fi obținut cu siguranță atunci când numărare, ceea ce înseamnă și acesta un număr natural. Nu înțeleg de ce confundați un număr și felul în care este scris în numere, acesta este un subiect separat, care nu are legătură directă cu definiția unui număr. Versiunea dvs. a explicației: „ numerele naturale sunt numere întregi pozitive începând de la unu inclusiv„Nu este bine, pentru că este imposibil să definești mai puțin concept general(număr natural) printr-un (număr) mai general, nedefinit încă. Îmi este greu să-mi imaginez un cititor care știe ce este un număr întreg pozitiv, dar habar nu are ce este un număr natural. LGB 12:06, 7 noiembrie 2014 (UTC)
      • Numerele naturale nu pot fi definite în termeni de numere întregi. RomanSuzi 17:01, 7 noiembrie 2014 (UTC)

• „Nimic nu ia naștere în mod natural în creier.” Studii recente arată (nu găsesc nicio legătură în acest moment) că creierul uman este pregătit să folosească limbajul. Astfel, firesc, avem deja în genele noastre disponibilitatea de a stăpâni o limbă. Ei bine, pentru numerele naturale, asta este necesar. Conceptul de „1” poate fi arătat cu mâna, iar apoi, prin inducție, puteți adăuga bețe, obținând 2, 3 și așa mai departe. Sau: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Dar poate aveți sugestii specifice pentru îmbunătățirea articolului, bazate pe surse autorizate? RomanSuzi 17:57, 6 noiembrie 2014 (UTC)

Ce este un număr natural în matematică?

Vladimir z

Numerele naturale sunt folosite pentru a numerota obiecte și pentru a le număra cantitatea. Pentru numerotare se folosesc numere întregi pozitive, începând de la 1.

Și pentru a număra numărul, acestea includ și 0, indicând absența obiectelor.

Dacă conceptul de numere naturale conține numărul 0 depinde de axiomatică. Dacă prezentarea oricărei teorii matematice necesită prezența lui 0 în mulțimea numerelor naturale, atunci aceasta este stipulată și considerată un adevăr imuabil (axiomă) în cadrul acestei teorii. Definiția numărului 0, atât pozitiv, cât și negativ, se apropie foarte mult de aceasta. Dacă luăm definiția numerelor naturale ca mulțime a tuturor numerelor întregi NEnegative, atunci se pune întrebarea, care este numărul 0 - pozitiv sau negativ?

În aplicațiile practice, de regulă, se utilizează prima definiție, care nu include numărul 0.

Creion

Numerele naturale sunt numere întregi pozitive. Numerele naturale sunt folosite pentru a număra (număra) obiecte sau pentru a indica numărul de obiecte sau pentru a indica numărul de serie al unui obiect dintr-o listă. Unii autori includ în mod artificial zero în conceptul de „numere naturale”. Alții folosesc formula „numere naturale și zero”. Acest lucru este lipsit de principii. Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece cu orice număr natural mare se poate efectua operația de adunare cu un alt număr natural și se obține un număr și mai mare.

Numerele negative și non-întregi nu sunt incluse în setul de numere naturale.

Munții Sayan

Numerele naturale sunt numere care sunt folosite pentru numărare. Ele pot fi doar pozitive și întregi. Ce înseamnă asta în exemplu? Deoarece aceste numere sunt folosite pentru numărare, să încercăm să calculăm ceva. Ce poți număra? De exemplu, oamenii. Putem număra oameni astfel: 1 persoană, 2 persoane, 3 persoane etc. Numerele 1, 2, 3 și altele folosite pentru numărare vor fi numere naturale. Nu spunem niciodată -1 (minus o persoană) sau 1,5 (una și jumătate) persoană (scuzați jocul de cuvinte:), deci -1 și 1,5 (ca toate negative și numere fracționare) nu sunt naturale.

Lorelei

Numerele naturale sunt acele numere care sunt folosite la numărarea obiectelor.

Cel mai mic număr natural este unul. Se pune adesea întrebarea dacă zero este un număr natural. Nu, nu este în majoritatea surselor rusești, dar în alte țări numărul zero este recunoscut ca număr natural...

Moreljuba

Numerele naturale în matematică se referă la numerele folosite pentru a număra ceva sau pe cineva în mod succesiv. Cel mai mic număr natural este considerat a fi unul. Zero în majoritatea cazurilor nu aparține categoriei numerelor naturale. Nici numerele negative nu sunt incluse aici.

Salutări slavilor

Numerele naturale, cunoscute și ca numere naturale, sunt acele numere care apar în mod obișnuit când numărul lor este mai mare decât zero. Succesiunea fiecărui număr natural, aranjată în ordine crescătoare, se numește serie naturală.

Elena Nikityuk

Termenul de număr natural este folosit în matematică. Un număr întreg pozitiv se numește număr natural. Cel mai mic număr natural este considerat a fi „0”. Pentru a calcula orice, se folosesc aceleași numere naturale, de exemplu 1,2,3... și așa mai departe.

Numerele naturale sunt numerele cu care numărăm, adică unu, doi, trei, patru, cinci iar altele sunt numere naturale.

Acestea sunt în mod necesar numere pozitive mai mari decât zero.

Numerele fracționale, de asemenea, nu aparțin mulțimii numerelor naturale.

-Orhidee-

Numerele naturale sunt necesare pentru a număra ceva. Sunt o serie de numere numai pozitive, începând cu unul. Este important de știut că aceste numere sunt exclusiv numere întregi. Puteți calcula orice cu numere naturale.

Marlena

Numerele naturale sunt numere întregi pe care le folosim de obicei atunci când numărăm obiectele. Zero ca atare nu este inclus în domeniul numerelor naturale, deoarece de obicei nu îl folosim în calcule.

Inara-pd

Numerele naturale sunt numerele pe care le folosim atunci când numărăm - unu, doi, trei și așa mai departe.

Numerele naturale au apărut din nevoile practice ale omului.

Numerele naturale sunt scrise folosind zece cifre.

Zero nu este un număr natural.

Ce este un număr natural?

Naumenko

Numerele naturale sunt numere. folosit la numerotarea și numărarea obiectelor naturale (floare, copac, animal, pasăre etc.).

Se numesc numere întregi numerele naturale, opusele lor și zero,

Explica. ce sunt naturale prin numere întregi este incorect!! !

Numerele pot fi pare - divizibile cu 2 cu un întreg și impare - nu pot fi divizibile cu 2 cu un întreg.

Numerele prime sunt numere. având doar 2 divizori - unul și el însuși...
Prima dintre ecuațiile tale nu are soluții. pentru al doilea x=6 6 este un număr natural.

Numerele naturale (numerele naturale) sunt numere care apar în mod natural la numărare (atât în ​​sensul de enumerare, cât și în sensul de calcul).

Mulțimea tuturor numerelor naturale este de obicei notată cu \mathbb(N). Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural există un număr natural mai mare.

Anna Semencenko

numere care apar în mod natural la numărare (atât în ​​sensul de enumerare, cât și în sensul de calcul).
Există două abordări pentru definirea numerelor naturale - numerele utilizate în:
enumerarea (numerotarea) articolelor (primul, al doilea, al treilea, ...);
desemnarea numărului de articole (nici un articol, un articol, două articole, ...). Adoptat în lucrările lui Bourbaki, unde numerele naturale sunt definite ca cardinalități ale mulțimilor finite.
Numerele negative și neîntregi (raționale, reale, ...) nu sunt numere naturale.
Setul tuturor numerelor naturale este de obicei notat cu un semn. Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural există un număr natural mai mare.

De unde începe învățarea matematicii? Da, așa este, din studierea numerelor naturale și a operațiilor cu ele.numere întregi (dinlat. naturalis- naturala; numere naturale) -numere care apar în mod natural la numărare (de exemplu, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). Secvența tuturor numerelor naturale dispuse în ordine crescătoare se numește serie naturală.

Există două abordări pentru definirea numerelor naturale:

1. numărare (numerotare) articole ( primul, al doilea, al treilea, Al patrulea, a cincea"…);
2. numerele naturale sunt numere care apar atunci când desemnarea cantității articole ( 0 articole, 1 articol, 2 articole, 3 articole, 4 articole, 5 articole ).

În primul caz, seria numerelor naturale începe cu unu, în al doilea - cu zero. Nu există un consens în rândul majorității matematicienilor dacă prima sau a doua abordare este de preferat (adică dacă zero ar trebui considerat un număr natural sau nu). Majoritatea covârșitoare a surselor rusești adoptă în mod tradițional prima abordare. A doua abordare, de exemplu, este utilizată în lucrăriNicolas Bourbaki , unde numerele naturale sunt definite caputere multimi finite .

Negativ și întreg (raţional , real ,...) numerele nu sunt considerate numere naturale.

Mulțimea tuturor numerelor naturale de obicei notat cu simbolul N (dinlat. naturalis- naturale). Mulțimea numerelor naturale este infinită, deoarece pentru orice număr natural n există un număr natural mai mare decât n.

Prezența lui zero facilitează formularea și demonstrarea multor teoreme în aritmetica numerelor naturale, așa că prima abordare introduce conceptul util arie naturală extinsă , inclusiv zero. Seria extinsă este desemnată N 0 sau Z 0 .

LAoperațiuni închise (operațiile care nu derivă un rezultat din mulțimea numerelor naturale) asupra numerelor naturale includ următoarele operații aritmetice:

• plus: termen + termen = suma;
• multiplicare: factor × factor = produs;
• exponentiare: A b , unde a este baza gradului, b este exponentul. Dacă a și b sunt numere naturale, atunci rezultatul va fi un număr natural.

În plus, sunt luate în considerare încă două operații (din punct de vedere formal, nu sunt operații pe numere naturale, deoarece nu sunt definite pentru toateperechi de numere (uneori există, alteori nu)):

• scădere: minuend - subtrahend = diferență. În acest caz, minuendul trebuie să fie mai mare decât subtraend (sau egal cu acesta, dacă considerăm zero un număr natural)
• împărțire cu rest: dividend / divizor = (cot, rest). Coeficientul p și restul r din împărțirea a la b se definesc astfel: a=p*r+b, cu 0<=r

De remarcat că operațiile de adunare și înmulțire sunt fundamentale. În special,

Numerele naturale sunt unul dintre cele mai vechi concepte matematice.

În trecutul îndepărtat, oamenii nu știau numerele și atunci când aveau nevoie să numere obiecte (animale, pești etc.), o făceau altfel decât noi acum.

Numărul de obiecte a fost comparat cu părți ale corpului, de exemplu, cu degetele pe o mână, și au spus: „Am atâtea nuci câte degete sunt pe mâna mea”.

De-a lungul timpului, oamenii și-au dat seama că cinci nuci, cinci capre și cinci iepuri au o proprietate comună - numărul lor este egal cu cinci.

Tine minte!

numere întregi- acestea sunt numere, incepand de la 1, obtinute prin numararea obiectelor.

1, 2, 3, 4, 5…

Cel mai mic număr natural — 1 .

Cel mai mare număr natural nu exista.

La numărare, numărul zero nu este folosit. Prin urmare, zero nu este considerat un număr natural.

Oamenii au învățat să scrie numere mult mai târziu decât să numere. În primul rând, au început să înfățișeze unul cu un bețișor, apoi cu două bețe - numărul 2, cu trei - numărul 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Apoi au apărut semne speciale pentru a desemna numere - predecesorii numerelor moderne. Cifrele pe care le folosim pentru a scrie numere au apărut în India cu aproximativ 1.500 de ani în urmă. Arabii i-au adus în Europa, motiv pentru care sunt numiti cifre arabe.

Sunt zece numere în total: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Folosind aceste numere puteți scrie orice număr natural.

Tine minte!

Seria naturală este o succesiune a tuturor numerelor naturale:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

În seria naturală, fiecare număr este mai mare decât precedentul cu 1.

Seria naturală este infinită, nu există cel mai mare număr natural în ea.

Sistemul de numărare pe care îl folosim se numește pozițional zecimal.

Decimală deoarece 10 unități din fiecare cifră formează 1 unitate din cifra cea mai semnificativă. Pozițional deoarece semnificația unei cifre depinde de locul ei în înregistrarea numărului, adică de cifra în care este scrisă.

Important!

Clasele care urmează miliardului sunt denumite după denumirile latine ale numerelor. Fiecare unitate ulterioară conține o mie de unități anterioare.

• 1.000 de miliarde = 1.000.000.000.000 = 1 trilion („trei” înseamnă în latină „trei”)
• 1.000 trilion = 1.000.000.000.000.000 = 1 cvadrilion („quadra” înseamnă „patru”)
• 1.000 de cvadrilion = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 chintilion („quinta” este latină pentru „cinci”)

Cu toate acestea, fizicienii au găsit un număr care depășește numărul tuturor atomilor (cele mai mici particule de materie) din întregul Univers.

Acest număr a primit un nume special - googol. Googol este un număr cu 100 de zerouri.

 

Ar putea fi util să citiți:

• Experții s-au exprimat în favoarea extinderii operațiunii ISS;
• Structura și activitatea vitală a ciliatelor folosind exemplul ciliatului papuc;
• Arhiepiscopul Jonathan (Eletsky): La originile nașterii Bisericii Ortodoxe Ucrainene;
• Autoritățile din regiunea Kurgan nu plătesc capitala regională, guvernatorul Osipov îndeplinește orientările federale pentru transparența alegerilor.;
• Salata cu varza chinezeasca si batoane de crab Salata cu varza chinezeasca si porumb cu crab;
• Lucuma - descrierea fructului și proprietățile sale cu fotografii;
• Rețete de supă de mei cu o notă istorică din pește, carne, slabă;
• Ce spune cartea de vis a lui Tsvetkov?;