Natural sonlar nimani anglatadi? Natural sonlar va ularning xossalari

1.1. Ta'rif

Odamlar hisoblashda foydalanadigan raqamlar chaqiriladi tabiiy(masalan, bir, ikki, uch,..., yuz, yuz bir,..., uch ming ikki yuz yigirma bir,...) Natural sonlarni yozish uchun maxsus belgilar (belgilar) ishlatiladi, chaqirdi raqamlarda.

Hozirgi kunda u qabul qilinadi o'nlik sanoq tizimi. Raqamlarni yozishning o'nlik tizimi (yoki usuli) qo'llaniladi Arab raqamlari. Bu o'n xil raqamli belgilar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Eng kam natural son - bu son bitta, bu kasrli raqam yordamida yozilgan - 1. Keyingi natural son oldingisidan (bittadan tashqari) 1 (bir) ni qo'shish orqali olinadi. Ushbu qo'shimchani ko'p marta bajarish mumkin (cheksiz ko'p marta). Bu shuni anglatadiki Yo'q eng buyuk natural son. Shuning uchun ular natural sonlar qatorini cheksiz yoki cheksiz deb aytishadi, chunki uning oxiri yo'q. Natural sonlar o'nlik raqamlar yordamida yoziladi.

1.2. "nol" raqami

Biror narsa yo'qligini ko'rsatish uchun raqamdan foydalaning " nol"yoki" nol". U raqamlar yordamida yoziladi 0 (nol). Masalan, qutidagi barcha to'plar qizil rangda. Ulardan nechtasi yashil rangda? - Javob: nol . Bu qutida yashil sharlar yo'qligini anglatadi! 0 raqami biror narsa tugaganligini anglatishi mumkin. Masalan, Mashada 3 ta olma bor edi. U ikkitasini do'stlari bilan baham ko'rdi va birini o'zi yedi. Shunday qilib, u ketdi 0 (nol) olma, ya'ni. bittasi qolmadi. 0 raqami biror narsa sodir bo'lmaganligini anglatishi mumkin. Masalan, xokkey o'yini Rossiya jamoasi - Kanada jamoasi hisob bilan yakunlandi 3:0 (biz "uch - nol" ni o'qiymiz) Rossiya jamoasi foydasiga. Demak, Rossiya terma jamoasi 3ta, Kanada termasi esa 0ta gol urib, birorta ham gol ura olmadi. Biz eslashimiz kerak nol soni natural son emasligini.

1.3. Natural sonlarni yozish

Natural sonni yozishning o'nli usulida har bir raqam ma'nosini anglatishi mumkin turli raqamlar. Bu raqam yozuvidagi ushbu raqamning o'rniga bog'liq. Natural sonning yozuvidagi ma'lum bir joy deyiladi pozitsiya. Shuning uchun o'nlik sanoq sistemasi deyiladi pozitsion. 7777 ning o'nlik belgisini ko'rib chiqing etti ming yetti yuz etmish yetti. Bu yozuvda yetti ming, yetti yuz, yetti oʻnlik va yetti birlik bor.

Raqamning kasr belgisidagi har bir joy (pozitsiya) deyiladi tushirish. Har uch raqam birlashtiriladi Sinf. Ushbu birlashma o'ngdan chapga (raqam yozuvining oxiridan) amalga oshiriladi. Turli toifalar va sinflar o'z nomlariga ega. Natural sonlar diapazoni cheksizdir. Shuning uchun darajalar va sinflar soni ham cheklanmagan ( cheksiz). C soni misolida daraja va sinflarning nomlarini ko'rib chiqamiz kasrli belgi

38 001 102 987 000 128 425:

Sinflar va darajalar
kvintillionlar		yuzlab kvintillon
		o'nlab kvintillionlar
		kvintillionlar
kvadrillionlar		yuzlab kvadrillion
		o'nlab kvadrillion
		kvadrillionlar
trillionlar		yuzlab trillionlar
		o'nlab trillionlar
		trillionlar
milliardlab		yuzlab milliardlar
		o'nlab milliardlar
		milliardlab
millionlab		yuzlab millionlar
		o'n millionlab
		millionlab
		yuz minglab
		o'n minglab

Shunday qilib, sinflar, eng kichigidan boshlab, nomlarga ega: birliklar, minglar, millionlar, milliardlar, trillionlar, kvadrillionlar, kvintillionlar.

1.4. Bit birliklari

Natural sonlar yozuvidagi sinflarning har biri uchta raqamdan iborat. Har bir daraja bor raqamli birliklar. Quyidagi raqamlar raqam birliklari deb ataladi:

1 - birliklarning raqamli birligi raqam,

10-raqamli o'nlik birligi,

100 - yuzlab raqamli birlik,

1 000 - ming raqamli birlik,

10 000 - o'n minglab o'rin birligi,

100 000 - bu yuz minglar uchun joy birligi,

1 000 000 million raqam birligi va boshqalar.

Har qanday raqamlardagi raqam ushbu raqamning birliklari sonini ko'rsatadi. Shunday qilib, yuzlab milliardlar o'rtasidagi 9 raqami, 38,001,102,987,000 128,425 soni to'qqiz milliardni o'z ichiga olganligini bildiradi (ya'ni, 9 marta 1,000,000,000 yoki milliardlar o'rtasidagi 9 raqamli birlik). Yuzlab kvintillionning boʻsh joyi berilgan sonda yuzlab kvintillion yoʻqligini yoki ularning soni nolga teng ekanligini bildiradi. Bunda 38 001 102 987 000 128 425 raqamini quyidagicha yozish mumkin: 038 001 102 987 000 128 425.

Siz uni boshqacha yozishingiz mumkin: 000 038 001 102 987 000 128 425. Raqamning boshidagi nollar yuqori tartibli boʻsh raqamlarni bildiradi. Odatda ular bo'sh raqamlarni belgilovchi o'nlik yozuv ichidagi nollardan farqli o'laroq yozilmaydi. Shunday qilib, millionlar sinfidagi uchta nol yuz millionlar, o'n millionlar va millionlar birliklari bo'sh ekanligini anglatadi.

1.5. Raqamlarni yozish uchun qisqartmalar

Natural sonlarni yozishda qisqartmalar ishlatiladi. Mana bir nechta misollar:

1000 = 1 ming (ming)

23 000 000 = 23 million (yigirma uch million)

5 000 000 000 = 5 milliard (besh milliard)

203 000 000 000 000 = 203 trillion. (ikki yuz uch trillion)

107 000 000 000 000 000 = 107 kvadrat metr. (bir yuz etti kvadrillion)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kVt. (bir kvintillon)

Blok 1.1. Lug'at

1-§dan yangi atama va ta’riflar lug‘atini tuzing. Buning uchun quyidagi atamalar ro‘yxatidan bo‘sh katakchalarga so‘zlarni yozing. Jadvalda (blok oxirida) har bir ta'rif uchun ro'yxatdagi atama sonini ko'rsating.

Blok 1.2. O'z-o'zini tayyorlash

Katta raqamlar dunyosida

Iqtisodiyot .

1. uchun Rossiya byudjeti Keyingi yil bo'ladi: 6328251684128 rubl.
2. Bu yil uchun rejalashtirilgan xarajatlar: 5124983252134 rubl.
3. Mamlakat daromadi xarajatlardan 1203268431094 rublga oshdi.

Savol va topshiriqlar

1. Berilgan uchta raqamni ham o'qing
2. Uchta raqamning har biri uchun millionlar sinfidagi raqamlarni yozing.

1. Raqam yozuvining oxiridan yettinchi o'rinda joylashgan raqam har bir raqamning qaysi bo'limiga tegishli?
2. Birinchi raqamning kiritilishida 2 raqami bilan qanday raqam birliklari ko'rsatilgan?... ikkinchi va uchinchi raqamlarning kiritilishida?
3. Uchta raqam yozuvida oxiridan sakkizinchi o'rin uchun raqam birligini nomlang.

Geografiya (uzunlik)

1. Yerning ekvatorial radiusi: 6378245 m
2. Ekvator aylanasi: 40075696 m
3. Dunyo okeanining eng katta chuqurligi ( Mariana xandaqi Tinch okeanida) 11500 m

Savol va topshiriqlar

1. Barcha uchta qiymatni santimetrga aylantiring va olingan raqamlarni o'qing.
2. Birinchi raqam (sm) uchun raqamlarni bo'limlarga yozing:

yuz minglab _______

o'n millionlar _______

minglab _______

milliardlar _______

yuzlab millionlar _______

1. Ikkinchi raqam uchun (sm) raqamlar yozuvidagi 4, 7, 5, 9 raqamlariga mos keladigan raqam birliklarini yozing.

1. Uchinchi qiymatni millimetrga aylantiring va natijada olingan raqamni o'qing.
2. Uchinchi raqam (mm) yozuvidagi barcha pozitsiyalar uchun jadvaldagi raqamlar va raqam birliklarini ko'rsating:

Geografiya (kvadrat)

1. Yerning butun yuzasining maydoni 510,083 ming kvadrat kilometrni tashkil qiladi.
2. Yerdagi so'mlarning yuzasi 148,628 ming kvadrat kilometrni tashkil qiladi.
3. Yerning suv sathining maydoni 361,455 ming kvadrat kilometrni tashkil qiladi.

Savol va topshiriqlar

1. Barcha uchta qiymatni kvadrat metrga aylantiring va olingan raqamlarni o'qing.
2. Ushbu raqamlarni yozishda noldan farqli raqamlarga mos keladigan sinflar va toifalarni nomlang (kv. m).
3. Uchinchi raqamni yozishda (kv. m) 1, 3, 4, 6 raqamlariga mos keladigan raqam birliklarini nomlang.
4. Ikkinchi qiymatdagi ikkita yozuvda (kv. km va kvadrat metrda) 2 raqami qaysi raqamlarga tegishli ekanligini ko'rsating.
5. Ikkinchi miqdor belgilarida 2-raqam uchun joy qiymat birliklarini yozing.

Blok 1.3. Kompyuter bilan dialog.

Ma'lumki, ko'pincha astronomiyada katta raqamlar qo'llaniladi. Keling, misollar keltiraylik. Oyning Yerdan oʻrtacha masofasi 384 ming km. Yerning Quyoshdan masofasi (o'rtacha) 149504 ming km, Yer Marsdan 55 mln. Kompyuterda Word matn muharriridan foydalanib, ko'rsatilgan raqamlarni kiritishdagi har bir raqam alohida katakchada (yacheykada) bo'lishi uchun jadvallar yarating. Buning uchun asboblar panelidagi buyruqlarni bajaring: jadval → jadval qo'shish → qatorlar soni (“1” ni o'rnatish uchun kursordan foydalaning) → ustunlar soni (o'zingiz hisoblang). Boshqa raqamlar uchun jadvallar yarating ("O'z-o'zini tayyorlash" blokida).

Blok 1.4. Katta raqamlar estafetasi

Jadvalning birinchi qatori katta raqamni o'z ichiga oladi. O'qing. Keyin vazifalarni bajaring: raqamlar yozuvidagi raqamlarni o'ngga yoki chapga siljitish orqali keyingi raqamlarni oling va ularni o'qing. (Raqam oxiridagi nollarni siljitmang!). Sinfda tayoqchani bir-biriga uzatish orqali amalga oshirish mumkin.

2-qator . Birinchi qatordagi raqamning barcha raqamlarini ikkita katak orqali chapga o'tkazing. 5 raqamlarini keyingi raqam bilan almashtiring. Bo'sh kataklarni nol bilan to'ldiring. Raqamni o'qing.

3-qator . Ikkinchi qatordagi raqamning barcha raqamlarini uchta katak orqali o'ngga o'tkazing. Raqamdagi 3 va 4 raqamlarini quyidagi raqamlar bilan almashtiring. Bo'sh kataklarni nol bilan to'ldiring. Raqamni o'qing.

4-qator. 3-qatordagi raqamning barcha raqamlarini bitta katakchaga chapga siljiting. Trillionlar sinfidagi 6 raqamini oldingi raqam bilan, milliardlar sinfidagi esa keyingi raqam bilan almashtiring. Bo'sh kataklarni nol bilan to'ldiring. Olingan raqamni o'qing.

5-qator . 4-qatordagi raqamning barcha raqamlarini bitta katakka o'ngga siljiting. "O'n minglab" toifasidagi 7 raqamini oldingi raqam bilan, "o'nlab millionlar" toifasidagi keyingi raqam bilan almashtiring. Olingan raqamni o'qing.

6-qator . 5-qatordagi raqamning barcha raqamlarini 3 katak orqali chapga siljiting. Yuzlab milliardlar qatoridagi 8 raqamini oldingi raqam bilan, yuzlab millionlar o‘rtasidagi 6 raqamini esa keyingi raqam bilan almashtiring. Bo'sh kataklarni nol bilan to'ldiring. Olingan sonni hisoblang.

7-qator . 6-qatordagi raqamning barcha raqamlarini bitta katakka o'ngga o'tkazing. Raqamlarni o'nlab kvadrillion va o'nlab milliardlab joylarga almashtiring. Olingan raqamni o'qing.

8-qator . 7-qatordagi raqamning barcha raqamlarini bitta katak orqali chapga o'tkazing. Raqamlarni kvintilion va kvadrillion joylariga almashtiring. Bo'sh kataklarni nol bilan to'ldiring. Olingan raqamni o'qing.

9-qator . 8-qatordagi raqamning barcha raqamlarini uchta katak orqali o'ngga o'tkazing. Raqamlar qatoridagi millionlar va trillionlar sinflaridan ikkita qo'shni raqamni almashtiring. Olingan raqamni o'qing.

10-qator . 9-qatordagi raqamning barcha raqamlarini bitta katakka o'ngga siljiting. Olingan raqamni o'qing. Moskva Olimpiadasi yilini ko'rsatadigan raqamlarni tanlang.

Blok 1.5. keling o'ynaymiz

Olovni yoqing

O'yin maydoni chizilgan Rojdestvo daraxti. Unda 24 ta lampochka bor. Ammo ulardan faqat 12 tasi elektr tarmog‘iga ulangan. Bog'langan lampalarni tanlash uchun siz "Ha" yoki "Yo'q" bilan savollarga to'g'ri javob berishingiz kerak. Xuddi shu o'yinni kompyuterda o'ynash mumkin; to'g'ri javob lampochkani "yoqadi".

1. Raqamlar natural sonlarni yozish uchun maxsus belgilar ekanligi rostmi? (1 - ha, 2 - yo'q)
2. 0 eng kichik natural son ekanligi rostmi? (3 - ha, 4 - yo'q)
3. Pozitsion sanoq sistemasida bir xil raqam turli raqamlarni ifodalashi mumkinligi rostmi? (5 - ha, 6 - yo'q)
4. Raqamlarning o'nli yozuvidagi ma'lum bir o'rin joy deyiladi, rostmi? (7 - ha, 8 - yo'q)
5. 543384 soni berilgan.Undagi eng yuqori raqamli birliklar soni 543, eng quyi raqamlari esa 384 ekanligi rostmi? (9 - ha, 10 - yo'q)
6. Milliardlar sinfida eng yuqori raqam birligi yuz milliard, eng pasti esa bir milliard ekanligi rostmi? (11 - ha, 12 - yo'q)
7. 458,121 soni berilgan.Yuqori raqamli birliklar soni va eng past birliklar soni yig'indisi 5 ga teng ekanligi rostmi? (13 - ha, 14 - yo'q)
8. Trillion sinfidagi eng yuqori raqamli birlik million sinfidagi eng yuqori raqamli birlikdan million marta katta ekanligi rostmi? (15 - ha, 16 - yo'q)
9. 637,508 va 831 ikkita son berilgan. Birinchi raqamning eng yuqori raqamli birligi ikkinchi sonning eng yuqori raqamli birligidan 1000 marta katta ekanligi rostmi? (17 - ha, 18 - yo'q)
10. 432 raqami berilgan. Bu sonning eng yuqori raqamli birligi eng kichigidan 2 marta katta ekanligi rostmi? (19 - ha, 20 - yo'q)
11. 100 000 000 soni berilgan. Undagi 10 000 ni tashkil etuvchi raqam birliklari soni 1000 ga teng ekanligi rostmi? (21 - ha, 22 - yo'q)
12. Trillionlar sinfidan oldin kvadrillionlar sinfi va bu sinfdan oldin kvintilionlar sinfi borligi rostmi? (23 - ha, 24 - yo'q)

1.6. Raqamlar tarixidan

Qadim zamonlardan beri odamlar narsalarning sonini hisoblash, narsalarning miqdorini solishtirish (masalan, beshta olma, etti o'q...; bir qabilada 20 erkak va o'ttiz ayol bor,... ). Shuningdek, ma'lum miqdordagi ob'ektlar doirasida tartib o'rnatish zarurati paydo bo'ldi. Masalan, ov qilganda qabila boshlig‘i birinchi o‘rinda, qabila boshlig‘i ikkinchi o‘rinda turadi va hokazo. Ushbu maqsadlar uchun raqamlar ishlatilgan. Ular uchun maxsus nomlar ixtiro qilingan. Nutqda ular sonlar deyiladi: bir, ikki, uch va boshqalar asosiy sonlar, birinchi, ikkinchi, uchinchi raqamlar esa tartib raqamlari. Raqamlar maxsus belgilar - raqamlar yordamida yozildi.

Vaqt o'tishi bilan paydo bo'ldi sanoq tizimlari. Bu raqamlarni yozish usullarini o'z ichiga olgan tizimlar va turli harakatlar ularning ustida. Ma'lum bo'lgan eng qadimgi sanoq tizimlari Misr, Bobil va Rim sanoq tizimlaridir. Qadim zamonlarda rus tilida raqamlarni yozish uchun maxsus ~ (sarlavha) belgisi bo'lgan alifbo harflari ishlatilgan. Hozirgi vaqtda o'nlik sanoq tizimi eng ko'p qo'llaniladi. Ikkilik, sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalari, ayniqsa, kompyuter dunyosida keng qo‘llaniladi.

Shunday qilib, bir xil raqamni yozish uchun siz turli xil belgilar - raqamlardan foydalanishingiz mumkin. Shunday qilib, to'rt yuz yigirma besh raqamini Misr raqamlari - ierogliflar bilan yozish mumkin:

Bu raqamlarni yozishning Misr usuli. Bu Rim raqamlari bilan bir xil raqam: CDXXV(Raqamlarni yozishning rim usuli) yoki o'nlik raqamlar 425 (o‘nlik sanoq sistemasi). IN ikkilik tizim yozuvlari quyidagicha ko'rinadi: 110101001 (ikkilik yoki ikkilik sanoq sistemasi) va sakkiztalikda - 651 (sakkizlik sanoq sistemasi). O'n oltilik sanoq sistemasida quyidagicha yoziladi: 1A9(on oltilik sanoq sistemasi). Siz buni juda oddiy qilishingiz mumkin: xuddi Robinzon Kruzoga o'xshab, yog'och ustunga to'rt yuz yigirma besh tirqish (yoki zarba) qiling - IIIIIIIII…... III. Bu natural sonlarning birinchi tasvirlari.

Demak, sonlarni yozishning oʻnlik tizimida (sonlarni oʻnli yozish usulida) arab raqamlari qoʻllaniladi. Bular o'n xil belgilar - raqamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . Ikkilik tizimda - ikkita ikkilik raqam: 0, 1; sakkiztalikda - sakkizta sakkizta raqam: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; o'n oltilik tizimda - o'n oltita turli xil o'n oltilik raqamlar: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; sexagesimal (bobil tilida) - oltmish xil belgi - raqamlar va boshqalar)

O'nlik raqamlar Evropa mamlakatlariga Yaqin Sharq va arab davlatlaridan kelgan. Shuning uchun ism - Arab raqamlari. Ammo ular arablarga Hindistondan kelgan, u erda ular birinchi ming yillikning o'rtalarida ixtiro qilingan.

1.7. Rim sanoq tizimi

Hozirgi kunda qo'llanilayotgan qadimgi sanoq sistemalaridan biri Rim tizimidir. Biz jadvalda Rim sanoq tizimining asosiy raqamlarini va o'nlik sanoq tizimining mos keladigan raqamlarini keltiramiz.

Rim raqami					C
				50 ellik		500 besh yuz	1000 ming

Rim sanoq tizimi qo'shish tizimi. Unda pozitsion tizimlardan farqli o'laroq (masalan, o'nlik), har bir raqam bir xil sonni ifodalaydi. Ha, yozib oling II- ikki raqamni bildiradi (1 + 1 = 2), belgi III- uchinchi raqam (1 + 1 + 1 = 3), belgi XXX- o'ttiz raqami (10 + 10 + 10 = 30) va boshqalar. Raqamlarni yozishda quyidagi qoidalar qo'llaniladi.

1. Agar pastki raqam bo'lsa keyin kattaroq bo'lsa, u kattaroqqa qo'shiladi: VII- ettinchi raqam (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- o'n ettinchi raqam (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- bir ming bir yuz ellik soni (1000 + 100 + 50 = 1150).
2. Agar pastki raqam bo'lsa oldin kattaroq bo'lsa, u kattadan ayiriladi: IX- to'qqizinchi raqam (9 = 10 - 1), L.M.- to'qqiz yuz ellik soni (1000 - 50 = 950).

Katta raqamlarni yozish uchun yangi belgilar - raqamlardan foydalanish (ixtiro qilish) kerak. Shu bilan birga, raqamlarni yozish juda og'ir bo'lib chiqadi va Rim raqamlari bilan hisob-kitoblarni amalga oshirish juda qiyin. Shunday qilib, birinchi sun'iy Yer sun'iy yo'ldoshi uchirilgan yil (1957) Rim yozuvlarida shaklga ega. MCMLVII .

Blok 1. 8. Perfokarta

Natural sonlarni o'qish

Bu vazifalar doiralar bilan xarita yordamida tekshiriladi. Keling, uning qo'llanilishini tushuntiramiz. Barcha topshiriqlarni bajarib, to'g'ri javoblarni topib (ular A, B, C va boshqalar harflari bilan ko'rsatilgan) xaritaga shaffof qog'oz varag'ini joylashtiring. Undagi to'g'ri javoblarni belgilash uchun "X" belgilaridan, shuningdek, mos keladigan "+" belgisidan foydalaning. Keyin ro'yxatga olish belgilari bir qatorda bo'lishi uchun varaqni varaq ustiga qo'ying. Agar barcha "X" belgilari ushbu sahifadagi kulrang doiralarda bo'lsa, unda vazifalar to'g'ri bajarilgan.

1.9. Natural sonlarni o'qish tartibi

Natural sonni o'qiyotganda quyidagi amallarni bajaring.

1. Raqamni o'ngdan chapga, sonning oxiridan uchlikka (sinflarga) bo'ling.

1. Kichik sinfdan boshlab, o'ngdan chapga (son oxiridan) sinflarning nomlarini yozing: birliklar, minglar, millionlar, milliardlar, trillionlar, kvadrillionlar, kvintillionlar.
2. Ular o'rta maktabdan boshlab raqamni o'qiydilar. Bunda bit birliklari soni va sinf nomi chaqiriladi.
3. Agar bitda nol bo'lsa (bit bo'sh), u chaqirilmaydi. Agar nomlangan sinfning uchta raqami ham nol bo'lsa (raqamlar bo'sh), unda bu sinf chaqirilmaydi.

1 - 4-bosqichlarga muvofiq jadvalda yozilgan raqamni (ismini) o'qib chiqamiz (§1-ga qarang). Bu sondagi sinflar, oxiridan boshlab uning yozuvlari: birliklar, minglar, millionlar, milliardlar, trillionlar, kvadrillionlar, kvintillionlar. Endi siz yuqori sinfdan boshlab raqamni o'qishingiz mumkin. Biz uch xonali, ikki xonali va bir xonali raqamlarni nomlaymiz, tegishli sinf nomini qo'shamiz. Biz bo'sh sinflarni nomlamaymiz. Biz quyidagi raqamni olamiz:

• 038 - o'ttiz sakkiz kvintillion
• 001 - bir kvadrillion
• 102 - bir yuz ikki trillion
• 987 - to'qqiz yuz sakson yetti milliard
• 000 - biz ism bermaymiz (o'qimang)
• 128 - bir yuz yigirma sakkiz ming
• 425 - to'rt yuz yigirma besh

Natijada 38 001 102 987 000 128 425 natural sonini quyidagicha o‘qiymiz: "o'ttiz sakkiz kvintilyon bir kvadrillion bir yuz ikki trillion to'qqiz yuz sakson yetti milliard bir yuz yigirma sakkiz ming to'rt yuz yigirma besh".

1.9. Natural sonlarni yozish tartibi

Natural sonlar quyidagi tartibda yoziladi.

1. Har bir sinfning uchta raqamini, eng yuqori sinfdan boshlab, birlar qatoriga yozing. Bunday holda, yuqori sinf uchun ikkita yoki bitta raqam bo'lishi mumkin.
2. Agar sinf yoki toifa nomlanmagan bo'lsa, unda tegishli toifalarga nollar yoziladi.

Masalan, raqam yigirma besh million uch yuz ikki shaklida yozilgan: 25 000 302 (minglar sinfi nomlanmagan, shuning uchun minglar sinfining barcha raqamlari nol bilan yoziladi).

1.10. Natural sonlarni raqamli hadlar yig'indisi sifatida ko'rsatish

Bir misol keltiramiz: 7 563 429 sonning o‘nlik belgisidir etti million besh yuz oltmish uch ming to'rt yuz yigirma to'qqiz. Bu raqam etti million, besh yuz ming, olti o'n ming, uch ming, to'rt yuz, ikki o'n va to'qqiz birlikni o'z ichiga oladi. U yig'indi sifatida ifodalanishi mumkin: 7 563 429 = 7 000 000 + 500 000 + 60 000 + + 3 000 + 400 + 20 + 9. Bu belgi natural sonni raqamli hadlar yig'indisi sifatida ifodalash deyiladi.

Blok 1.11. keling o'ynaymiz

Dungeon xazinalari

O'yin maydonida Kiplingning "Maugli" ertakidan chizilgan rasm. Beshta sandiqda qulflar bor. Ularni ochish uchun siz muammolarni hal qilishingiz kerak. Shu bilan birga, yog'och sandiqni ochib, siz bir ball olasiz. Qalay sandiqni ochish sizga ikki ball, mis ko'krak uch ball, kumush sandiq to'rt ball va oltin sandiq besh ball oladi. Barcha sandiqlarni tezroq ochgan kishi g'alaba qozonadi. Xuddi shu o'yinni kompyuterda o'ynash mumkin.

1. Yog'och sandiq

Ushbu sandiqda qancha pul (ming rubl) borligini toping. Buning uchun siz topishingiz kerak umumiy soni raqam uchun million sinfining eng past raqamli birliklari: 125308453231.

1. Qalay ko'krak

Ushbu sandiqda qancha pul (ming rubl) borligini toping. Buning uchun 12530845323 raqamidan birliklar sinfining eng past raqamli birliklari sonini va millionlar sinfining eng past raqamli birliklari sonini toping. Keyin bu raqamlarning yig'indisini toping va o'ngdagi o'n millionlar joyidagi raqamni qo'shing.

1. Mis ko'krak

Ushbu sandiqdagi pulni (minglab rubllarda) topish uchun siz 751305432198203 raqamidan trillionlar sinfidagi eng past raqamli birliklar sonini va milliardlar sinfidagi eng past birliklar sonini topishingiz kerak. Keyin bu sonlarning yig'indisini toping va o'ng tomonga bu sonning birliklari sinfining natural sonlarini ularning joylashuvi tartibida yozing.

1. Kumush sandiq

Ushbu sandiqdagi pullar (million rubllarda) ikkita raqamning yig'indisi bilan ko'rsatiladi: minglar sinfining eng past raqamli birliklari soni va 481534185491502 raqami uchun milliardlar sinfining o'rta raqamli birliklari.

1. Oltin sandiq

800123456789123456789 raqami berilgan.Bu raqamning barcha sinflarining eng yuqori raqamlaridagi raqamlarni ko'paytirsak, bu sandiqning pulini million rublga olamiz.

Blok 1.12. Match

Natural sonlarni yozish. Natural sonlarni raqamli hadlar yig'indisi sifatida ko'rsatish

Chap ustundagi har bir vazifa uchun o'ng ustundan yechimni tanlang. Javobni quyidagi shaklda yozing: 1a; 2 g; 3b…

	Raqamni raqamlar bilan yozing: besh million yigirma besh ming
	Raqamni raqamlar bilan yozing: besh milliard yigirma besh million
	Raqamni raqamlar bilan yozing: besh trillion yigirma besh
	Raqamni raqamlar bilan yozing: yetmish yetti million yetmish yetti ming yetti yuz yetmish yetti
	Raqamni raqamlar bilan yozing: yetmish yetti trillion yetti yuz yetmish yetti ming yetti
	Raqamni raqamlar bilan yozing: yetmish yetti million yetti yuz yetmish yetti ming yetti
	Raqamni raqamlar bilan yozing: bir yuz yigirma uch milliard to'rt yuz ellik olti million etti yuz sakson to'qqiz ming
	Raqamni raqamlar bilan yozing: bir yuz yigirma uch million to'rt yuz ellik olti ming etti yuz sakson to'qqiz
	Raqamni raqamlar bilan yozing: uch milliard o'n bir
	Raqamni raqamlar bilan yozing: uch milliard o'n bir million

Variant 2

	o'ttiz ikki milliard bir yuz etmish besh million ikki yuz to'qson sakkiz ming uch yuz qirq bir		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Raqamni raqamli shartlar yig'indisi sifatida ko'rsating: uch yuz yigirma bir million qirq bir		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Raqamni raqamli shartlar yig'indisi sifatida ko'rsating: 321000175298341
	Raqamni raqamli shartlar yig'indisi sifatida ko'rsating: 101010101
	Raqamni raqamli shartlar yig'indisi sifatida ko'rsating: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	Raqamli hadlar yig'indisi sifatida berilgan sonni o'nli tizimda yozing: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Raqamli hadlar yig'indisi sifatida berilgan sonni o'nli tizimda yozing: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	Raqamli hadlar yig'indisi sifatida berilgan sonni o'nli tizimda yozing: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	Raqamli hadlar yig'indisi sifatida berilgan sonni o'nli tizimda yozing: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Blok 1.13. Faset testi

Sinovning nomi "hasharotlarning murakkab ko'zlari" so'zidan kelib chiqqan. Bu individual "ocelli" dan iborat murakkab ko'zdir. Faset test topshiriqlari raqamlar bilan ko'rsatilgan alohida elementlardan tuziladi. Odatda faset testlari ko'p sonli vazifalarni o'z ichiga oladi. Ammo bu testda faqat to'rtta muammo bor, lekin ular tuzilgan katta raqam elementlar. Bu sizga test muammolarini qanday qilib "yig'ishni" o'rgatish uchun mo'ljallangan. Agar siz ularni yarata olsangiz, boshqa faset testlarini osongina engishingiz mumkin.

Uchinchi topshiriq misolidan foydalanib, vazifalar qanday tuzilganligini tushuntiramiz. U raqamlangan test elementlaridan iborat: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« Agar» 1) jadvaldan raqamlarni (raqamni) oling; 4) 7; 7) uni toifaga joylashtiring; 11) milliardlar; 1) jadvaldan raqamni oling; 5) 8; 7) uni toifalarga joylashtiring; 9) o'n millionlab; 10) yuzlab millionlar; 16) yuz minglab; 17) o'n minglab; 22) 9 va 6 raqamlarini minglar va yuzliklar qatoriga qo'ying. 21) qolgan bitlarni nol bilan to'ldiring; " BU» 26) biz Pluton sayyorasining Quyosh atrofida aylanish vaqtiga (davriga) sekundlarda (s) teng sonni olamiz; " Bu raqam ga teng": 7880889600 p. Javoblarda bu harf bilan ko'rsatilgan "V".

Masalalarni yechishda jadval kataklariga raqamlarni qalam yordamida yozing.

Faset testi. Raqam tuzing

Jadvalda raqamlar mavjud:

Agar

1) jadvaldan raqamlarni oling:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) bu raqam(lar)ni raqam(lar)ga joylashtiring;

8) yuzlab kvadrillion va oʻnlab kvadrillion;

9) o'n millionlab;

10) yuzlab millionlar;

11) milliardlar;

12) kvintilionlar;

13) o'nlab kvintilionlar;

14) yuzlab kvintillion;

15) trillion;

16) yuz minglab;

17) o'n minglab;

18) sinf(lar)ni u (ular) bilan to'ldirish;

19) kvintilionlar;

20) milliard;

21) qolgan bitlarni nol bilan to'ldirish;

22) 9 va 6 sonlarini minglik va yuzlik qatoriga qo‘ying;

23) biz o'nlab tonnalarda Yerning massasiga teng sonni olamiz;

24) biz kubometrda Yerning hajmiga taxminan teng bo'lgan raqamni olamiz;

25) biz Quyoshdan eng uzoq sayyoragacha bo'lgan masofaga (metrda) teng raqamni olamiz quyosh sistemasi Pluton;

26) Pluton sayyorasining Quyosh atrofida aylanish vaqtiga (davriga) sekundlarda (s) teng sonni olamiz;

Bu raqam quyidagilarga teng:

a) 5929000000000

b) 9999900000000000000000

d) 5980000000000000000000

Muammolarni hal qilish:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

Javoblar

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - ichida

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

Miloddan avvalgi V asrda qadimgi yunon faylasufi Eleyalik Zenon o'zining mashhur aporiyalarini tuzgan, ulardan eng mashhuri "Axilles va toshbaqa" aporiyasidir. Bu qanday eshitiladi:

Aytaylik, Axilles toshbaqadan o'n barobar tezroq yuguradi va undan ming qadam orqada. Bu masofani bosib o'tish uchun Axilles kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Axilles yuz qadam yugurganda, toshbaqa yana o'n qadam sudraladi va hokazo. Jarayon infinitum davom etadi, Axilles hech qachon toshbaqaga yetib bormaydi.

Bu mulohaza barcha keyingi avlodlar uchun mantiqiy zarba bo'ldi. Aristotel, Diogen, Kant, Gegel, Gilbert... Ularning barchasi Zenonning aporiyasini u yoki bu tarzda hisoblagan. Shok shu qadar kuchli ediki " ...hozirgi vaqtda munozaralar davom etmoqda, keling umumiy fikr ilmiy jamoatchilik hali paradokslar mohiyatini tushunishga erisha olmadi... masalani o‘rganishga matematik tahlil, to‘plamlar nazariyasi, yangi fizik-falsafiy yondashuvlar jalb etildi; ularning hech biri muammoning umumiy qabul qilingan yechimiga aylanmadi ..."[Vikipediya, "Zeno's Aporia". Hamma ularni aldashayotganini tushunadi, lekin hech kim yolg'on nimadan iboratligini tushunmaydi.

Matematik nuqtai nazardan Zenon o'z aporiyasida miqdordan ga o'tishni aniq ko'rsatdi. Ushbu o'tish doimiy o'rniga dasturni nazarda tutadi. Men tushunganimdek, o'zgaruvchan o'lchov birliklaridan foydalanish uchun matematik apparat hali ishlab chiqilmagan yoki Zenon aporiyasiga qo'llanilmagan. Odatdagi mantiqimizni qo'llash bizni tuzoqqa olib boradi. Biz fikrlash inertsiyasi tufayli o'zaro qiymatga doimiy vaqt birliklarini qo'llaymiz. Jismoniy nuqtai nazardan, bu Axilles toshbaqani quvib yetgan paytda to'liq to'xtaguncha vaqt sekinlashayotganga o'xshaydi. Vaqt to'xtasa, Axilles endi toshbaqadan o'tib keta olmaydi.

Agar biz odatdagi mantiqimizni aylantirsak, hamma narsa joyiga tushadi. Axilles doimiy tezlikda yuguradi. Uning yo'lining har bir keyingi qismi avvalgisidan o'n baravar qisqaroq. Shunga ko'ra, uni engish uchun sarflangan vaqt avvalgisidan o'n baravar kam. Agar biz ushbu vaziyatda "abadiylik" tushunchasini qo'llasak, "Axilles toshbaqani cheksiz tezlikda ushlaydi" deyish to'g'ri bo'ladi.

Ushbu mantiqiy tuzoqdan qanday qochish kerak? Doimiy vaqt birliklarida qoling va o'zaro birliklarga o'tmang. Zenon tilida bu shunday ko'rinadi:

Axilles ming qadam yugurishi kerak bo'lgan vaqt ichida toshbaqa xuddi shu yo'nalishda yuz qadam sudraladi. Birinchisiga teng bo'lgan keyingi vaqt oralig'ida Axilles yana ming qadam yuguradi, toshbaqa esa yuz qadam sudraladi. Endi Axilles toshbaqadan sakkiz yuz qadam oldinda.

Bu yondashuv voqelikni mantiqiy paradokslarsiz adekvat tasvirlaydi. Lekin unday emas to'liq yechim Muammolar. Eynshteynning yorug'lik tezligining chidab bo'lmasligi haqidagi bayonoti Zenonning "Axilles va toshbaqa" aporiyasiga juda o'xshaydi. Biz bu muammoni hali o'rganishimiz, qayta o'ylab ko'rishimiz va hal qilishimiz kerak. Va yechimni cheksiz ko'p sonlarda emas, balki o'lchov birliklarida izlash kerak.

Zenonning yana bir qiziqarli aporiyasi uchadigan o'q haqida gapiradi:

Uchib yuruvchi o'q harakatsiz, chunki u har daqiqada dam oladi va har daqiqada dam bo'lgani uchun u doimo dam oladi.

Ushbu aporiyada mantiqiy paradoks juda sodda tarzda engib o'tiladi - har bir vaqtning har bir lahzasida uchuvchi o'q kosmosning turli nuqtalarida tinch holatda bo'lishini aniqlashtirish kifoya, bu aslida harakatdir. Shu o‘rinda yana bir jihatga e’tibor qaratish lozim. Yo'lda avtomobilning bitta fotosuratidan uning harakatlanish faktini ham, unga bo'lgan masofani ham aniqlab bo'lmaydi. Mashinaning harakatlanayotganligini aniqlash uchun sizga vaqtning turli nuqtalarida bir nuqtadan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo siz ulardan masofani aniqlay olmaysiz. Avtomobilgacha bo'lgan masofani aniqlash uchun sizga bir vaqtning o'zida kosmosning turli nuqtalaridan olingan ikkita fotosurat kerak, ammo ulardan siz harakat faktini aniqlay olmaysiz (albatta, hisob-kitoblar uchun sizga hali ham qo'shimcha ma'lumotlar kerak, trigonometriya sizga yordam beradi ). Men nimani ta'kidlamoqchiman Maxsus e'tibor, shundan iboratki, vaqtning ikki nuqtasi va kosmosdagi ikkita nuqta chalkashmaslik kerak bo'lgan turli xil narsalardir, chunki ular tadqiqot uchun turli imkoniyatlarni beradi.

2018 yil 4-iyul, chorshanba

To'plam va multiset o'rtasidagi farqlar Vikipediyada juda yaxshi tasvirlangan. Ko'raylikchi.

Ko'rib turganingizdek, "to'plamda ikkita bir xil element bo'lishi mumkin emas", lekin to'plamda bir xil elementlar mavjud bo'lsa, bunday to'plam "ko'p to'plam" deb ataladi. Aqlli mavjudotlar bunday bema'ni mantiqni hech qachon tushunmaydilar. Bu "to'liq" so'zidan aqlga ega bo'lmagan gapiradigan to'tiqushlar va o'qitilgan maymunlarning darajasi. Matematiklar oddiy murabbiy sifatida harakat qilib, bizga o'zlarining bema'ni g'oyalarini targ'ib qilishadi.

Bir vaqtlar ko'prikni qurgan muhandislar ko'prikni sinovdan o'tkazayotganda ko'prik ostidagi qayiqda bo'lishgan. Agar ko'prik qulab tushsa, o'rtamiyona muhandis o'zi yaratgan vayronalar ostida vafot etdi. Agar ko'prik yukga bardosh bera olsa, iste'dodli muhandis boshqa ko'priklarni qurdi.

Matematiklar qanday qilib "meni vidala, men uydaman" yoki aniqrog'i "matematikani o'rganish" iborasi orqasida yashirinishmasin. mavhum tushunchalar", ularni haqiqat bilan chambarchas bog'laydigan bitta kindik bor. Bu kindik puldir. Keling, matematik to'plamlar nazariyasini matematiklarning o'zlariga tatbiq qilaylik.

Biz matematikani juda yaxshi o'rgandik va hozir biz kassada o'tirib, maosh beramiz. Shunday qilib, matematik bizga pul uchun keladi. Biz unga to'liq miqdorni hisoblaymiz va uni stolimizga turli xil qoziqlarga qo'yamiz, ularga bir xil nomdagi veksellarni joylashtiramiz. Keyin biz har bir qoziqdan bitta hisob-kitobni olib, matematikaga uning "ish haqining matematik to'plamini" beramiz. Keling, matematikaga bir xil elementlari bo'lmagan to'plam bir xil elementlarli to'plamga teng emasligini isbotlagandagina qolgan hisob-kitoblarni olishini tushuntirib beraylik. Qiziq shu erda boshlanadi.

Avvalo, deputatlarning “Buni boshqalarga nisbatan qo‘llash mumkin, lekin menga emas!” degan mantig‘i ishlaydi. Keyin ular bizni bir xil nomdagi veksellar turli xil veksel raqamlariga ega ekanligiga ishontirishni boshlaydilar, ya'ni ularni bir xil elementlar deb hisoblash mumkin emas. Mayli, maoshlarni tangalarda hisoblaylik - tangalarda raqamlar yo'q. Bu erda matematik fizikani hayajon bilan eslay boshlaydi: har xil tangalar har xil miqdordagi axloqsizlikka ega, kristal tuzilishi va atomlarning joylashishi har bir tanga uchun o'ziga xosdir ...

Va endi menda eng ko'p narsa bor qiziqish so'rang: ko'p to'plam elementlari to'plam elementlariga aylanadigan chiziq qayerda va aksincha? Bunday chiziq mavjud emas - hamma narsani shamanlar hal qiladi, fan bu erda yolg'on gapirishga ham yaqin emas.

Mana qarang. Biz maydon maydoni bir xil bo'lgan futbol stadionlarini tanlaymiz. Maydonlarning maydonlari bir xil - bu bizda multiset mavjudligini anglatadi. Ammo bir xil stadionlarning nomlariga qarasak, nomlari har xil bo'lgani uchun ko'plarini olamiz. Ko'rib turganingizdek, bir xil elementlar to'plami ham to'plam, ham multisetdir. Qanday to'g'ri? Va bu erda matematik-shaman-o'tkir yengidan ko'zni chiqarib, bizga to'plam yoki multiset haqida gapira boshlaydi. Har holda, u bizni o'zining haq ekanligiga ishontiradi.

Zamonaviy shamanlar to'plamlar nazariyasi bilan qanday ishlashini tushunish uchun uni haqiqatga bog'lash uchun bitta savolga javob berish kifoya: bir to'plamning elementlari boshqa to'plamning elementlaridan qanday farq qiladi? Men sizga hech qanday "yaxlit bir butun sifatida tasavvur qilinmaydigan" yoki "bir butun sifatida tasavvur qilib bo'lmaydigan" holda ko'rsataman.

Yakshanba, 18-mart, 2018-yil

Raqam raqamlarining yig'indisi - bu matematikaga hech qanday aloqasi bo'lmagan shamanlarning daf bilan raqsi. Ha, matematika darslarida bizga son raqamlari yig'indisini topish va undan foydalanish o'rgatiladi, lekin shuning uchun ular shamanlar, o'z avlodlariga o'z mahoratlari va donoliklarini o'rgatishlari kerak, aks holda shamanlar shunchaki o'lib ketadi.

Sizga dalil kerakmi? Vikipediyani oching va "Raqam raqamlari yig'indisi" sahifasini topishga harakat qiling. U mavjud emas. Matematikada biron bir raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun ishlatiladigan formula yo'q. Oxir oqibat, raqamlar biz raqamlarni yozadigan grafik belgilardir va matematika tilida vazifa quyidagicha eshitiladi: "Har qanday raqamni ifodalovchi grafik belgilar yig'indisini toping." Matematiklar bu muammoni hal qila olmaydilar, ammo shamanlar buni osonlikcha hal qilishlari mumkin.

Keling, raqamlar yig'indisini topish uchun nima va qanday qilishimizni aniqlaymiz berilgan raqam. Shunday qilib, 12345 raqamiga ega bo'lsin. Bu raqamning raqamlari yig'indisini topish uchun nima qilish kerak? Keling, barcha bosqichlarni tartibda ko'rib chiqaylik.

1. Raqamni qog'ozga yozing. Biz nima qildik? Biz raqamni grafik raqam belgisiga aylantirdik. Bu matematik operatsiya emas.

2. Olingan bitta rasmni alohida raqamlarni o'z ichiga olgan bir nechta rasmga kesib tashladik. Rasmni kesish matematik operatsiya emas.

3. Alohida grafik belgilarni raqamlarga aylantirish. Bu matematik operatsiya emas.

4. Olingan raqamlarni qo'shing. Endi bu matematika.

12345 raqamining raqamlari yig'indisi 15 ga teng. Bu matematiklar foydalanadigan shamanlar tomonidan o'qitiladigan "kesish va tikish kurslari". Lekin bu hammasi emas.

Matematik nuqtai nazardan, sonni qaysi sanoq sistemasida yozishimiz muhim emas. Shunday qilib, ichida turli tizimlar Hisoblashda bir xil sonning raqamlari yig'indisi boshqacha bo'ladi. Matematikada sanoq sistemasi sonning o'ng tomonida pastki belgisi sifatida ko'rsatilgan. BILAN katta raqam 12345 Men boshimni aldashni xohlamayman, keling, haqidagi maqoladan 26 raqamini ko'rib chiqaylik. Bu sonni ikkilik, sakkizlik, o‘nlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarida yozamiz. Biz har bir qadamni mikroskop ostida ko'rib chiqmaymiz; biz buni allaqachon qilganmiz. Keling, natijani ko'rib chiqaylik.

Ko'rib turganingizdek, turli sanoq tizimlarida bir xil son raqamlari yig'indisi har xil bo'ladi. Bu natijaning matematikaga hech qanday aloqasi yo'q. Bu xuddi to'rtburchakning maydonini metr va santimetrda aniqlaganingiz bilan bir xil, siz butunlay boshqacha natijalarga erishasiz.

Nol barcha sanoq tizimlarida bir xil ko'rinadi va raqamlar yig'indisiga ega emas. Bu haqiqat foydasiga yana bir dalil. Matematiklar uchun savol: matematikada raqam bo'lmagan narsa qanday qilib belgilanadi? Nima, matematiklar uchun raqamlardan boshqa hech narsa yo'q? Men shamanlar uchun ruxsat berishim mumkin, ammo olimlar uchun emas. Haqiqat faqat raqamlardan iborat emas.

Olingan natija sanoq sistemalarining sonlar uchun o'lchov birliklari ekanligiga dalil sifatida qaralishi kerak. Axir, biz raqamlarni turli o'lchov birliklari bilan taqqoslay olmaymiz. Agar bir xil miqdorning turli o'lchov birliklari bilan bir xil harakatlar ularni solishtirgandan keyin turli xil natijalarga olib keladigan bo'lsa, unda bu matematikaga hech qanday aloqasi yo'q.

Haqiqiy matematika nima? Bu matematik operatsiya natijasi raqamning o'lchamiga, ishlatiladigan o'lchov birligiga va bu harakatni kim bajarishiga bog'liq bo'lmaganda.

Eshikda imzo qo'ying U eshikni ochadi va aytadi:

Oh! Bu ayollar hojatxonasi emasmi?
- Yosh ayol! Bu jannatga ko'tarilish paytida qalblarning muqaddasligini o'rganish uchun laboratoriya! Yuqorida halo va yuqoriga o'q. Yana qanday hojatxona?

Ayol... Yuqoridagi halo va pastga o'q erkakdir.

Agar bunday dizayn san'ati asari kuniga bir necha marta ko'z oldingizda porlab tursa,

Shunda siz to'satdan mashinangizda g'alati belgini topsangiz ajablanarli emas:

Shaxsan men najas qilayotgan odamda minus to'rt darajani ko'rishga harakat qilaman (bitta rasm) (bir nechta rasmlarning kompozitsiyasi: minus belgisi, to'rtta raqam, darajalar belgisi). Men esa bu qizni ahmoq deb o‘ylamayman, yo‘q fizika fanidan bilimga ega. U shunchaki grafik tasvirlarni idrok etishning kuchli stereotipiga ega. Va matematiklar buni bizga doimo o'rgatishadi. Mana bir misol.

1A "minus to'rt daraja" yoki "bir a" emas. Bu "pooping man" yoki o'n oltilik tizimda "yigirma olti" raqami. Ushbu sanoq tizimida doimiy ravishda ishlaydigan odamlar avtomatik ravishda raqam va harfni bitta grafik belgi sifatida qabul qiladilar.

Natural sonlarni hisoblash uchun foydalanish mumkin (bitta olma, ikkita olma va boshqalar).

Butun sonlar(latdan. naturalis- tabiiy; natural sonlar) - hisoblashda tabiiy ravishda paydo bo'ladigan raqamlar (masalan, 1, 2, 3, 4, 5...). O'sish tartibida joylashtirilgan barcha natural sonlar ketma-ketligi deyiladi yonida tabiiy.

Natural sonlarni aniqlashda ikkita yondashuv mavjud:

• sanash (raqamlash) buyumlar ( birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi "...);
• natural sonlar qachon paydo bo'ladigan sonlardir miqdorni belgilash buyumlar ( 0 ta element, 1 ta element, 2 ta element, 3 ta element, 4 ta element, 5 ta element "...).

Birinchi holda, natural sonlar qatori birdan, ikkinchisida - noldan boshlanadi. Ko'pgina matematiklar o'rtasida birinchi yoki ikkinchi yondashuvning afzalligi (ya'ni, nolni hisoblash kerakmi) haqida konsensus yo'q. natural son yoki yo'q). Rus manbalarining aksariyati an'anaviy ravishda birinchi yondashuvni qabul qiladi. Ikkinchi yondashuv, masalan, Nikolas Burbakining asarlarida qo'llaniladi, bu erda natural sonlar cheklangan to'plamlarning kardinalliklari sifatida aniqlanadi.

Manfiy va butun son bo'lmagan (ratsional, haqiqiy, ...) sonlar natural sonlar hisoblanmaydi.

Barcha natural sonlar to'plami N (\displaystyle \mathbb (N)) belgisini belgilash odatiy holdir (lat.dan. naturalis- tabiiy). Natural sonlar to'plami cheksizdir, chunki har qanday natural son n (\displaystyle n) uchun n (\displaystyle n) dan katta natural son mavjud.

Nolning mavjudligi natural sonlar arifmetikasida ko'plab teoremalarni shakllantirish va isbotlashni osonlashtiradi, shuning uchun birinchi yondashuv foydali tushunchani taqdim etadi. kengaytirilgan tabiiy diapazon, shu jumladan nol. Kengaytirilgan qator N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) yoki Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) bilan belgilanadi.

Natural sonlar to'plamini aniqlash imkonini beruvchi aksiomalar

Natural sonlar uchun Peano aksiomalari

Asosiy maqola: Peano aksiomalari

Agar biror element o‘zgarmas bo‘lsa, N (\displaystyle \mathbb (N)) to‘plamini natural sonlar to‘plami deb ataymiz. 1 (birlik) N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N))) va N (\displaystyle \mathbb) domeniga ega S (\displaystyle S) funksiyasiga tegishli. (N) ) va qiymatlar diapazoni N (\displaystyle \mathbb (N) ) (ketma-ket funksiya deb ataladi; S: N → N (\displaystyle S\kolon \mathbb (N) \to \mathbb (N)) )) quyidagi shartlar bajarilishi uchun:

1. biri natural son (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
2. natural sondan keyingi raqam ham natural sondir (agar x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) ), u holda S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\mathbb (N) da) ));
3. biri hech qanday natural songa ergashmaydi (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \mathbb (N) \(S(x)=1)da x\mavjud));
4. agar a (\displaystyle a) natural soni darhol b (\displaystyle b) va natural sondan c (\displaystyle c) ga ergashsa, u holda b = c (\displaystyle b=c) (agar S (b ) ) = a (\displaystyle S(b)=a) va S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , keyin b = c (\displaystyle b=c));
5. (induksiya aksiomasi) agar n = 1 (\displaystyle n=1) natural soni uchun P (\displaystyle P) har qanday jumla (ibora) isbotlangan bo'lsa (\displaystyle P) induksion asos) va agar u boshqa natural son uchun n (\displaystyle n) uchun to‘g‘ri degan taxmindan kelib chiqadiki, u keyingi natural son uchun (\displaystyle n) ( induktiv gipoteza), u holda bu gap barcha natural sonlar uchun toʻgʻri boʻladi (P (n) (\displaystyle P(n)) parametri n natural soni (\displaystyle n) boʻlgan baʼzi bir oʻrinli (unar) predikat boʻlsin). U holda, agar P (1 ) (\displaystyle P(1)) va ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n)))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Oʻng strelka P(S(n)) ))) , keyin ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Sanab o'tilgan aksiomalar bizning tabiiy qatorlar va raqamlar chizig'i haqidagi intuitiv tushunchamizni aks ettiradi.

Asosiy haqiqat shundaki, bu aksiomalar tabiiy sonlarni (Peano aksioma tizimining kategorik tabiati) o'ziga xos tarzda aniqlaydi. Ya'ni, isbotlanishi mumkin (qisqa dalilga ham qarang) agar (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) va (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) Peano aksioma tizimi uchun ikkita model bo'lsa, ular majburiy ravishda izomorf bo'ladi, ya'ni u erda f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))) shundayki f (1) = 1 ~ (\displaystyle) teskari xaritalash (bijection) hisoblanadi. f( 1)=(\tilda (1))) va f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilde (S))(f) (x ))) hamma uchun x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Shuning uchun natural sonlar to'plamining har qanday o'ziga xos modelini N (\displaystyle \mathbb (N) ) sifatida tuzatish kifoya.

Natural sonlarning to'plam nazariy ta'rifi (Frej-Rassel ta'rifi)

To'plamlar nazariyasiga ko'ra, har qanday matematik tizimlarni qurish uchun yagona ob'ekt to'plamdir.

Shunday qilib, natural sonlar ham to'plam tushunchasi asosida ikkita qoidaga muvofiq kiritiladi:

• S (n) = n ∪ ( n ) (\ displaystyle S (n) = n \ chashka \ chap \ (n \ o'ng \)) .

Shu tarzda aniqlangan raqamlar tartib deyiladi.

Keling, birinchi bir nechta tartib sonlarni va ularga mos keladigan natural sonlarni tavsiflaymiz:

• 0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing );
• 1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\ displaystyle 1 =\ chap \ (0 \ o'ng \) = \ chap \ (\ varnothing \ o'ng \)) ;
• 2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\left\(0,1\o'ng\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \) o'ng \)(\ katta \))) ;
• 3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\left\(0,1,2\o'ng\)=(\Katta \() \varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )).

Natural son sifatida nol

Ba'zan, ayniqsa xorijiy va tarjima adabiyotlarida, birinchi va uchinchi Peano aksiomalarida bir nolga almashtiriladi. Bunda nol natural son hisoblanadi. Teng to'plamlar sinflari orqali aniqlanganda, nol ta'rifi bo'yicha natural sondir. Uni ataylab rad etish g'ayritabiiy bo'lar edi. Bundan tashqari, bu nazariyani keyingi qurish va qo'llashni sezilarli darajada murakkablashtiradi, chunki ko'pgina konstruktsiyalarda nol, bo'sh to'plam kabi, alohida narsa emas. Nolga natural son sifatida qarashning yana bir afzalligi shundaki, u N (\displaystyle \mathbb (N) ) ni monoid qiladi.

Rus adabiyotida nol odatda natural sonlar sonidan chiqarib tashlanadi (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), nolga teng natural sonlar toʻplami esa N 0 (\displaystyle \mathbb) bilan belgilanadi. (N) _(0) ). Agar natural sonlar taʼrifiga nol kiritilgan boʻlsa, natural sonlar toʻplami N (\displaystyle \mathbb (N) ) , nolsiz esa N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) koʻrinishida yoziladi. ).

Xalqaro matematik adabiyotlarda yuqoridagilarni hisobga olgan holda va noaniqliklarga yo‘l qo‘ymaslik uchun ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) to‘plam odatda musbat butun sonlar to‘plami deb ataladi va Z bilan belgilanadi. + (\displaystyle \ mathbb(Z)_(+)) . ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) koʻpincha manfiy boʻlmagan butun sonlar toʻplami deb ataladi va Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _() bilan belgilanadi. \geqslant 0)) .

Natural sonlar toʻplamining (N (\displaystyle \mathbb (N) )) butun sonlar (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), ratsional sonlar (Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) toʻplamlari orasidagi oʻrni. ), haqiqiy sonlar (R (\displaystyle \mathbb (R) )) va irratsional sonlar (R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q) ))

Natural sonlar to'plamining kattaligi

Cheksiz to'plamning o'lchami "to'plamning kardinalligi" tushunchasi bilan tavsiflanadi, bu cheksiz to'plam elementlari sonining cheksiz to'plamlarga umumlashtirilishi. Kattalik (ya'ni kardinallik) bo'yicha natural sonlar to'plami har qanday chekli to'plamdan kattaroq, lekin har qanday intervaldan kichikroq, masalan, interval (0, 1) (\displaystyle (0,1)). Natural sonlar to'plami ratsional sonlar to'plami bilan bir xil kardinallikka ega. Natural sonlar to'plami bilan bir xil kardinallik to'plami sanaladigan to'plam deb ataladi. Shunday qilib, har qanday ketma-ketlikning shartlari to'plamini sanash mumkin. Shu bilan birga, har bir natural son cheksiz ko'p marta paydo bo'ladigan ketma-ketlik mavjud, chunki natural sonlar to'plami ajratilgan sanaladigan to'plamlarning sanaladigan birlashmasi sifatida ifodalanishi mumkin (masalan, N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0) )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\o‘ng))).

Natural sonlar ustida amallar

Natural sonlar ustidagi yopiq amallar (natural sonlar toʻplamidan natija chiqmaydigan amallar) quyidagi arifmetik amallarni oʻz ichiga oladi:

• qo'shimcha: muddat + muddat = yig'indi;
• ko'paytirish: omil × omil = mahsulot;
• eksponentsiya: a b (\displaystyle a^(b)) , bu yerda a (\displaystyle a) daraja asosi, b (\displaystyle b) koʻrsatkich. Agar a (\displaystyle a) va b (\displaystyle b) natural sonlar bo'lsa, natijada natural son bo'ladi.

Bundan tashqari, yana ikkita operatsiya ko'rib chiqiladi (rasmiy nuqtai nazardan, ular natural sonlar bo'yicha amallar emas, chunki ular uchun aniqlanmagan. hamma raqamlar juftligi (ba'zida mavjud, ba'zida yo'q)):

• ayirish: minuend - subtrahend = farq. Bunday holda, minuend ayirboshlashdan katta bo'lishi kerak (yoki nolni natural son deb hisoblasak, unga teng);
• qoldiq bilan bo'linish: dividend / bo'luvchi = (bo'lim, qoldiq). a (\displaystyle a) ni b (\displaystyle b) ga bo‘lishdan olingan p (\displaystyle p) va qolgan r (\displaystyle r) quyidagi tarzda aniqlanadi: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a=p). \cdot b+ r) , va 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) shaklida ifodalanishi mumkin, ya’ni har qanday sonni qisman deb hisoblash mumkin. , va qolgan a (\displaystyle a) .

Shuni ta'kidlash kerakki, qo'shish va ko'paytirish amallari asosiy hisoblanadi. Xususan, butun sonlar halqasi qo‘shish va ko‘paytirishning ikkilik amallari orqali aniq aniqlanadi.

Asosiy xususiyatlar

• Qo'shishning kommutativligi:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

• Ko'paytirishning kommutativligi:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

• Qo'shimcha assotsiativlik:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

• Ko'paytirishning assotsiativligi:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

• Ko'paytirishning qo'shishga nisbatan taqsimlanishi:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a) \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(holatlar))) .

Algebraik tuzilish

Qo'shish natural sonlar to'plamini birlikli yarim guruhga aylantiradi, birlik rolini o'ynaydi 0 . Ko'paytirish, shuningdek, natural sonlar to'plamini o'ziga xoslik elementi bo'lgan yarim guruhga aylantiradi. 1 . Qo'shish-ayirish va ko'paytirish-bo'lish amallari ostida yopilishdan foydalanib, biz butun Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) guruhlari va Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^( ratsional musbat sonlar guruhlarini olamiz. *)) mos ravishda.

To‘plam nazariyasi ta’riflari

Keling, natural sonlar taʼrifidan chekli toʻplamlarning ekvivalentlik sinflari sifatida foydalanamiz. Agar to'plamning ekvivalentlik sinfini belgilasak A, bijeksiyalar orqali hosil qilingan, yordamida kvadrat qavslar: [A], asosiy arifmetik amallar quyidagicha aniqlanadi:

• [ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
• [ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
• [ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=),

• A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - to'plamlarning ajralgan birlashmasi;
• A × B (\displaystyle A\times B) - bevosita mahsulot;
• A B (\displaystyle A^(B)) - dan xaritalashlar to'plami B V A.

Ko'rsatish mumkinki, sinflar bo'yicha hosil bo'lgan amallar to'g'ri kiritilgan, ya'ni ular sinf elementlarini tanlashga bog'liq emas va induktiv ta'riflar bilan mos keladi.

Natural son nima? Tarixi, qamrovi, xususiyatlari

Matematika umumiy falsafadan miloddan avvalgi VI asrda paydo bo'lgan. e. va shu paytdan boshlab uning butun dunyo bo'ylab g'alabali yurishi boshlandi. Rivojlanishning har bir bosqichi yangi narsalarni kiritdi - elementar hisoblash rivojlandi, differentsial va integral hisoblarga aylandi, asrlar o'tdi, formulalar tobora chalkash bo'ldi va "eng murakkab matematika boshlandi - undan barcha raqamlar yo'qoldi". Lekin asos nima edi?

Vaqtning boshlanishi

Natural sonlar birinchi matematik amallar bilan birga paydo bo'ldi. Bir umurtqa pog'onasi, ikkita umurtqa pog'onasi, uchta umurtqa pog'onasi ... Ular birinchi ishlab chiqqan hind olimlari tufayli paydo bo'ldi pozitsiya tizimi Hisoblash.
"Pozitivlik" so'zi raqamdagi har bir raqamning joylashuvi qat'iy belgilanganligini va uning darajasiga mos kelishini anglatadi. Misol uchun, 784 va 487 raqamlari bir xil raqamlar, lekin raqamlar ekvivalent emas, chunki birinchisida 7 yuzlik, ikkinchisida esa atigi 4. Hindiston yangiliklarini raqamlarni shaklga keltirgan arablar qabul qilishgan. Biz hozir bilamiz.

Qadim zamonlarda raqamlar berilgan mistik ma'no, eng buyuk matematik Pifagor dunyoning yaratilishida asosiy elementlar - olov, suv, er, havo bilan bir qatorda raqam ham bor deb hisoblagan. Agar biz hamma narsani faqat matematik tomondan ko'rib chiqsak, unda natural son nima? Natural sonlar maydoni N bilan belgilanadi va butun va musbat sonlar qatori cheksizdir: 1, 2, 3, … + ∞. Nol bundan mustasno. Asosan elementlarni hisoblash va tartibni ko'rsatish uchun ishlatiladi.

Matematikada natural son nima? Peano aksiomalari

N maydoni elementar matematika asoslanadigan asosiy maydondir. Vaqt o'tishi bilan butun sonlar, ratsionallar va kompleks sonlar sohalari aniqlandi.

Italiyalik matematik Juzeppe Peanoning ishi arifmetikaning keyingi tuzilishiga imkon berdi, uning rasmiyligiga erishdi va N dala maydonidan tashqariga chiqadigan keyingi xulosalar uchun yo'l tayyorladi. Natural son nima ekanligi avvalroq aniqlangan edi oddiy tilda, quyida biz Peano aksiomalariga asoslangan matematik ta'rifni ko'rib chiqamiz.

• Bittasi natural son hisoblanadi.
• Natural sondan keyin keladigan son natural sondir.
• Bittadan oldin natural son yo'q.
• Agar b soni c soniga ham, d soniga ham ergashsa, c=d.
• Induksiya aksiomasi, bu o'z navbatida natural son nima ekanligini ko'rsatadi: agar parametrga bog'liq bo'lgan ba'zi bir bayonot 1 raqami uchun to'g'ri bo'lsa, u holda N natural sonlar maydonidan n soni uchun ham ishlaydi deb faraz qilamiz. gap N natural sonlar maydonidan n =1 uchun ham to'g'ri.

Natural sonlar maydoni uchun asosiy amallar

N maydoni matematik hisob-kitoblar uchun birinchi bo'lganligi sababli, ta'rif sohalari ham, quyidagi operatsiyalarning qiymatlari diapazonlari ham unga tegishli. Ular yopiq va yo'q. Asosiy farq shundaki, yopiq operatsiyalar qanday raqamlar ishtirok etishidan qat'i nazar, natijani N to'plam ichida qoldirishi kafolatlanadi. Ularning tabiiy bo'lishi kifoya. Boshqa raqamli o'zaro ta'sirlarning natijasi endi unchalik aniq emas va to'g'ridan-to'g'ri ifodada qanday raqamlar ishtirok etishiga bog'liq, chunki u asosiy ta'rifga zid bo'lishi mumkin. Shunday qilib, yopiq operatsiyalar:

• qo'shish - x + y = z, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan;
• ko'paytirish - x * y = z, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan;
• eksponentsiya - xy, bu erda x, y N maydoniga kiritilgan.

"Natural son" ta'rifi kontekstida natijasi bo'lmasligi mumkin bo'lgan qolgan operatsiyalar quyidagilardir:

N maydoniga tegishli sonlarning xossalari

Keyingi barcha matematik mulohazalar quyidagi xususiyatlarga asoslanadi, eng ahamiyatsiz, ammo muhim emas.

• Qo'shishning kommutativ xossasi x + y = y + x bo'lib, bu erda x, y raqamlari N maydoniga kiritilgan. Yoki hammaga ma'lum bo'lgan "ayrimlarning joylarini o'zgartirish bilan yig'indi o'zgarmaydi".
• Ko'paytirishning kommutativ xususiyati x * y = y * x bo'lib, bu erda x, y raqamlari N maydoniga kiritilgan.
• Qo'shishning kombinatsiyaviy xossasi (x + y) + z = x + (y + z) bo'lib, bu erda x, y, z N maydoniga kiritilgan.
• Ko'paytirishning mos xossasi (x * y) * z = x * (y * z), bu erda x, y, z raqamlari N maydoniga kiritilgan.
• taqsimlovchi xususiyat – x (y + z) = x * y + x * z, bu erda x, y, z raqamlari N maydoniga kiritilgan.

Pifagor stoli

Talabalar qaysi sonlar natural sonlar deb ataladiganini o‘zlari tushunib olgandan so‘ng, boshlang‘ich matematikaning butun tuzilishini bilishlaridagi birinchi qadamlardan biri Pifagor jadvalidir. Uni nafaqat ilm-fan nuqtai nazaridan, balki eng qimmatli ilmiy yodgorlik sifatida ham qarash mumkin.

Ushbu ko'paytirish jadvali vaqt o'tishi bilan bir qator o'zgarishlarga duch keldi: undan nol o'chirildi va 1 dan 10 gacha bo'lgan raqamlar buyurtmalarni hisobga olmagan holda (yuzlab, minglab ...) o'zlarini ifodalaydi. Bu jadval bo'lib, unda satr va ustun sarlavhalari raqamlardan iborat bo'lib, ular kesishgan katakchalarning tarkibi ularning mahsulotiga tengdir.

So'nggi o'n yilliklarda o'qitish amaliyotida Pifagor jadvalini "tartibda" yodlash zarurati paydo bo'ldi, ya'ni yodlash birinchi o'rinda turadi. 1 ga ko'paytirish chiqarib tashlandi, chunki natija ko'paytma 1 yoki undan katta edi. Ayni paytda, yalang'och ko'z bilan jadvalda siz naqshni ko'rishingiz mumkin: raqamlar mahsuloti bir qadamga ortadi, bu chiziq sarlavhasiga teng. Shunday qilib, ikkinchi omil bizga kerakli mahsulotni olish uchun birinchisini necha marta olishimiz kerakligini ko'rsatadi. Bu tizim O'rta asrlarda qo'llanilganidan ancha qulayroq: hatto natural son nima ekanligini va u qanchalik ahamiyatsiz ekanligini tushunib, odamlar ikkining kuchiga asoslangan tizim yordamida kundalik hisoblashni murakkablashtirishga muvaffaq bo'lishdi.

Matematikaning beshigi sifatida kichik to'plam

Yoniq bu daqiqa natural sonlar maydoni N faqat kompleks sonlarning kichik to'plamlaridan biri sifatida ko'rib chiqiladi, ammo bu ularni fanda kamroq qimmatli qilmaydi. Natural son - bola o'zini o'rganishda o'rganadigan birinchi narsa va dunyo. Bir barmoq, ikki barmoq... Uning sharofati bilan inson rivojlanadi mantiqiy fikrlash, shuningdek, sababni aniqlash va natijani chiqarish qobiliyati, buyuk kashfiyotlar uchun yo'l ochib beradi.

Munozara: Natural son

Nol atrofida bahslar

Negadir men nolni natural son sifatida tasavvur qila olmayman... Aftidan, qadimgilar nolni umuman bilishmagan. Va TSB nolni natural son deb hisoblamaydi. Shunday qilib, hech bo'lmaganda bu bahsli bayonot. Nol haqida neytralroq narsa ayta olamizmi? Yoki jiddiy dalillar bormi? --.:Ajvol:. 18:18, 9-sentabr 2004 (UTC)

Orqaga burildi oxirgi o'zgarish. --Maxal 20:24, 9-sentabr 2004 (UTC)

Frantsiya akademiyasi bir vaqtning o'zida maxsus farmon chiqardi, unga ko'ra 0 natural sonlar to'plamiga kiritilgan. Endi bu standart, menimcha, "rus natural soni" tushunchasini kiritishning hojati yo'q, lekin ushbu standartga rioya qilish kerak. Tabiiyki, shuni aytish kerakki, bir vaqtlar bunday bo'lmagan (nafaqat Rossiyada, balki hamma joyda). Tosha 23:16, 9-sentabr 2004 (UTC)

Fransuz akademiyasi biz uchun farmon emas. Ingliz tilidagi matematik adabiyotlarda ham bu masala bo'yicha aniq fikr yo'q. Misol uchun qarang, --Maxal 23:58, 9-sentabr 2004 (UTC)

U erda shunday deyilgan: "Agar siz munozarali masala haqida maqola yozayotgan bo'lsangiz, unda turli fikrlarga havolalar berib, barcha nuqtai nazarlarni taqdim etishga harakat qiling." Bes oroli 23:15, 2004 yil 25 dekabr (UTC)

Men bu erda bahsli masalani ko'rmayapman, lekin men ko'raman: 1) boshqa ishtirokchilarning matnini sezilarli darajada o'zgartirish/o'chirish orqali hurmatsizlik (muhim o'zgarishlar qilishdan oldin ularni muhokama qilish odat tusiga kiradi); 2) qat'iy ta'riflarni (to'plamlarning kardinalligini ko'rsatadigan) noaniq ta'riflar bilan almashtirish ("raqamlash" va "miqdorni bildirish" o'rtasida katta farq bormi?). Shuning uchun men yana orqaga qaytyapman, lekin yakuniy sharh qoldiraman. --Maksal 23:38, 2004 yil 25 dekabr (UTC)

Hurmatsizlik, men sizning zarbalaringizni xuddi shunday baholayman. Shunday ekan, bu haqda gapirmaylik. Mening tahririm mohiyatini o‘zgartirmaydi maqola, u faqat ikkita ta'rifni aniq shakllantiradi. Maqolaning oldingi versiyasida "nolsiz" ta'rifi asosiy, "nol bilan" esa o'ziga xos norozilik sifatida shakllantirilgan. Bu Vikipediya talablariga mutlaqo javob bermaydi (yuqoridagi iqtibosga qarang), shuningdek, avvalgi versiyadagi taqdimotning mutlaqo ilmiy uslubiga mos kelmaydi. “Miqdor denotatsiyasi”ga tushuntirish sifatida “to‘plamning kardinalligi” so‘zini, “raqamlash”ga “sanoqlash” so‘zini qo‘shdim. Va agar siz "raqamlash" va "miqdorlarni belgilash" o'rtasidagi farqni ko'rmasangiz, mendan so'rayman, nega matematik maqolalarni tahrir qilasiz? Bes oroli 23:58, 2004 yil 25 dekabr (UTC)

"Mohiyatni o'zgartirmaydi" ga kelsak - oldingi versiyada ta'riflardagi farq faqat nolni natural sonlarga nisbat berishda ekanligini ta'kidlagan. Sizning versiyangizda ta'riflar tubdan farq qiladi. "Asosiy" ta'rifga kelsak, u shunday bo'lishi kerak, chunki ushbu maqolada rus Vikipediya, ya'ni siz aytgan narsangizga amal qilishingiz kerak rus matematika maktablarida umumiy qabul qilingan. Men hujumlarga e'tibor bermayman. --Maksal 00:15, 2004 yil 26 dekabr (UTC)

Aslida, yagona aniq farq nolga teng. Darhaqiqat, bu tabiiy sonlarning tabiatini turlicha tushunishdan kelib chiqadigan tub farq: bir versiyada - miqdor sifatida; ikkinchisida - raqamlar sifatida. Bu mutlaqo turli tushunchalar, buni tushunmasligingizni qanchalik yashirishga harakat qilsangiz ham.

Rus Vikipediyasida ruscha nuqtai nazarni ustun deb ko'rsatish talab qilinishiga kelsak. Bu yerga diqqat bilan qarang. Rojdestvo haqidagi inglizcha maqolaga qarang. Rojdestvoni 25 dekabrda nishonlash kerak, deb aytilmagan, chunki Angliya va AQShda u shunday nishonlanadi. U erda ikkala nuqtai nazar ham berilgan (va ular "nol" va "nolsiz" natural sonlar o'rtasidagi farqdan ko'p va kam emas) va ulardan qaysi biri to'g'riroq ekanligi haqida bir so'z ham yo'q.

Maqolaning mening versiyamda ikkala nuqtai nazar ham mustaqil va teng huquqli deb belgilangan. Rossiya standarti siz yuqorida aytib o'tgan so'zlar bilan ko'rsatilgan.

Ehtimol, falsafiy nuqtai nazardan, tabiiy sonlar tushunchalari haqiqatan ham mutlaqo har xil, lekin maqola mohiyatan matematik ta'riflarni taklif qiladi, bunda barcha farq 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) yoki 0 ∉ N (\displaystyle 0\n \mathbb (N) ) ga teng. Dominant nuqtai nazar yoki yo'q - bu nozik masala. Men iborani qadrlayman 25 dekabrda G'arb dunyosining aksariyat qismida kuzatilgan birinchi xatboshida boshqa sanalar berilmaganiga qaramay, hukmron nuqtai nazarning ifodasi sifatida Rojdestvo haqidagi ingliz maqolasidan. Aytgancha, natural sonlar haqidagi maqolaning oldingi versiyasida qanday qilib to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatmalar ham yo'q edi zarur natural sonlarni aniqlash uchun oddiygina nolsiz ta'rif keng tarqalgan (Rossiyada) sifatida taqdim etilgan. Har holda, murosa topilgani yaxshi. --Maxal 00:53, 2004 yil 26 dekabr (UTC)

"Rus adabiyotida nol odatda natural sonlar sonidan chiqarib tashlanadi" iborasi biroz yoqimsiz hayratlanarli; janoblar, agar butun dunyoda boshqacha ko'rsatilmagan bo'lsa, nol natural son hisoblanmaydi. Xuddi shu frantsuzlar, men ularni o'qiganimdek, nolni kiritishni alohida ta'kidlaydi. Albatta, N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) tez-tez ishlatiladi, lekin agar, masalan, men ayollarni yoqtirsam, men erkaklarni ayollarga almashtirmayman. Druid. 2014-02-23

Natural sonlarning mashhur emasligi

Menimcha, tabiiy sonlar matematika hujjatlarida mashhur bo'lmagan mavzudir (ehtimol, umumiy ta'rif yo'qligi sababli). O'z tajribamga ko'ra, men matematik maqolalardagi atamalarni tez-tez ko'raman manfiy bo'lmagan butun sonlar Va musbat butun sonlar(ular bir ma'noda talqin qilinadi) o'rniga butun sonlar. Manfaatdor tomonlardan ushbu mulohazaga o'z roziligini bildirishlari so'raladi. Agar ushbu kuzatish qo'llab-quvvatlansa, uni maqolada ko'rsatish mantiqan. --Maksal 01:12, 2004 yil 26 dekabr (UTC)

Shubhasiz, siz bayonotingizning qisqacha qismida haqsiz. Bularning barchasi aniq ta'riflardagi farqlar tufayli. Ba'zi hollarda men o'zim nolni kiritish bilan bog'liq kelishmovchiliklarni oldini olish uchun "tabiiy" o'rniga "musbat butun sonlar" yoki "manfiy bo'lmagan butun sonlar" ni ko'rsatishni afzal ko'raman. Va, umuman olganda, men operativ qismga qo'shilaman. Bes oroli 01:19, 26 dekabr 2004 yil (UTC) Maqolada - ha, ehtimol shundaydir. Biroq, uzunroq matnlarda, shuningdek, kontseptsiya tez-tez ishlatiladigan joylarda ular odatda foydalanadilar butun sonlar, ammo, avvalo, biz "qanday" natural sonlar haqida gapirayotganimizni tushuntiramiz - nol yoki nolsiz. LoKi 19:31, 2005 yil 30 iyul (UTC)

Raqamlar

Ushbu maqolaning oxirgi qismida raqamlarning nomlarini (bir, ikki, uch va hokazo) sanab o'tishga arziydimi? Buni “Raqam” maqolasiga qo‘yish mantiqiyroq emasmi? Shunga qaramay, bu maqola, mening fikrimcha, tabiatan ko'proq matematik bo'lishi kerak. Nima deb o'ylaysiz? --LoKi 19:32, 2005 yil 30 iyul (UTC)

Umuman olganda, * bo'sh * to'plamlardan oddiy natural sonni qanday olish mumkinligi g'alati? Umuman, bo'shliq bilan bo'shliqni qanchalik birlashtirmang, bo'shlikdan boshqa hech narsa chiqmaydi! Bu umuman muqobil ta'rif emasmi? 2009-yil 17-iyul, 21:46 da eʼlon qilingan (Moskva)

Peano aksioma tizimining kategoriyaliligi

Men Peano aksioma tizimining kategorik tabiati haqida eslatma qo'shdim, bu mening fikrimcha. Iltimos, kitobga havolani to'g'ri formatlang [[Ishtirokchi: A_Devyatkov 06:58, 2010 yil 11 iyun (UTC)]]

Peano aksiomalari

Deyarli barcha xorijiy adabiyotlarda va Vikipediyada Peano aksiomalari "0 - natural son" bilan boshlanadi. Darhaqiqat, asl manbada "1 - natural son" deb yozilgan. Biroq, 1897 yilda Peano o'zgartirish kiritadi va 1 dan 0 ga o'zgaradi. Bu "Formulaire de mathematiques" da yozilgan, Tome II - No 2. 81-bet. Bu kerakli sahifadagi elektron versiyaga havola:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (frantsuz).

Ushbu o'zgarishlarning tushuntirishlari "Rivista di matematica", 6-7-jild, 1899, 76-betda keltirilgan. Shuningdek, kerakli sahifadagi elektron versiyaga havola:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (italyancha).

0=0

"Raqamli aylanuvchi stollarning aksiomalari" nima?

Men maqolani eng so'nggi patrul versiyasiga qaytarmoqchiman. Birinchidan, kimdir Peano aksiomalarini Piano aksiomalariga o'zgartirdi, shuning uchun havola ishlashni to'xtatdi. Ikkinchidan, ma'lum bir Tvorogov maqolaga juda katta ma'lumotni qo'shib qo'ydi, menimcha, bu maqolada mutlaqo noo'rin. U ensiklopedik bo'lmagan tarzda yozilgan, bundan tashqari, Tvorogovning natijalari va o'z kitobiga havola berilgan. Men ushbu maqoladan "raqamli aylanuvchi stol aksiomalari" haqidagi bo'limni olib tashlashni talab qilaman. P.s. Nega nol raqami haqidagi bo'lim olib tashlandi? mesyarik 14:58, 2014 yil 12 mart (UTC)

Mavzu yoritilmagan, natural sonlarning aniq ta'rifi zarur

Iltimos, bid'at yozmang " Natural sonlar (tabiiy sonlar) - hisoblashda tabiiy ravishda paydo bo'ladigan sonlar.“Hech narsa miyada tabiiy ravishda paydo bo'lmaydi.

Besh yoshli bola qaysi son natural son ekanligini qanday tushuntirishi mumkin? Axir, shunday odamlar borki, ularni besh yoshga to'lgandek tushuntirish kerak. Natural son oddiy sondan qanday farq qiladi? Misollar kerak! 1, 2, 3 tabiiy va 12 tabiiy va -12? va to'rtdan uch, yoki masalan, 4,25 tabiiymi? 95.181.136.132 15:09, 2014 yil 6-noyabr (UTC)

• Natural sonlar asosiy tushuncha, asl abstraksiyadir. Ularni aniqlash mumkin emas. Siz falsafaga xohlaganingizcha chuqur kirib borishingiz mumkin, lekin oxir-oqibat siz yoki qat'iy metafizik pozitsiyani tan olishingiz kerak (e'tiqodda qabul qilasizmi?) yoki mutlaq ta'rif yo'qligini tan olishingiz kerak, natural sonlar sun'iy rasmiy tizimning bir qismidir, inson (yoki Xudo) tomonidan ixtiro qilingan model. Men ushbu mavzu bo'yicha qiziqarli risolani topdim. Ushbu variant sizga qanday yoqadi, masalan: "Har qanday o'ziga xos Peano tizimi tabiiy qator deb ataladi, ya'ni Peano aksiomatik nazariyasi modeli." O'zingizni yaxshi his qilyapsizmi? RomanSuzi 17:52, 2014-yil 6-noyabr (UTC)
  • Sizning modellaringiz va aksiomatik nazariyalaringiz bilan siz hamma narsani murakkablashtirayotganga o'xshaysiz. Eng yaxshi holatda, bu ta'rifni ming kishidan ikkitasi tushunadi. Shuning uchun, menimcha, birinchi xatboshida jumla yo'q " Oddiy so'zlar bilan aytganda: natural sonlar bittadan boshlanadigan musbat sonlardir." Bu ta'rif ko'pchilik uchun normal ko'rinadi. Va bu natural sonning ta'rifiga shubha qilish uchun hech qanday asos yo'q. Axir maqolani o'qib chiqib, natural sonlar nima ekanligini to'liq tushunmadim. bor va 807423 soni natural yoki natural sonlar bu raqamni tashkil etuvchi raqamlar, ya'ni 8 0 7 4 2 3. Ko'pincha asoratlar hamma narsani buzadi. Natural sonlar haqidagi ma'lumotlar boshqa sahifalarga havolalarda emas, balki ushbu sahifada bo'lishi kerak. 95.181.136.132 10:03, 7-noyabr, 2014-yil (UTC)
    • Bu erda ikkita vazifani ajratib ko'rsatish kerak: (1) aniq (qat'iy bo'lmasa ham) matematikadan uzoq bo'lgan o'quvchiga natural son nima ekanligini tushuntirib bering, u ozmi-ko'pmi to'g'ri tushunadi; (2) uning asosiy xossalari kelib chiqadigan natural songa shunday qat'iy ta'rif bering. Siz muqaddimada birinchi variantni to'g'ri qo'llab-quvvatlaysiz, lekin maqolada aynan shunday berilgan: natural son - hisoblashning matematik rasmiylashtirilishi: bir, ikki, uch va hokazo. Sizning misolingiz (807423) albatta qachon olinishi mumkin. hisoblash, ya'ni bu ham natural son. Nima uchun raqamni va uning raqamlarda yozilishini chalkashtirib yuborganingizni tushunmayapman; bu alohida mavzu, raqamning ta'rifi bilan bevosita bog'liq emas. Sizning tushuntirish versiyangiz: " natural sonlar bittadan boshlanadigan musbat sonlardir"Yaxshi emas, chunki kamroq narsani aniqlash mumkin emas umumiy tushuncha(tabiiy son) hali aniqlanmagan umumiy (son) orqali. Musbat butun son nima ekanligini biladigan, lekin natural son nima ekanligini bilmaydigan o‘quvchini tasavvur qilish men uchun qiyin. LGB 12:06, 2014-yil 7-noyabr (UTC)
      • Natural sonlarni butun sonlar bilan aniqlash mumkin emas. RomanSuzi 17:01, 2014-yil 7-noyabr (UTC)

• "Hech narsa miyada tabiiy ravishda paydo bo'lmaydi." Yaqinda o'tkazilgan tadqiqotlar shuni ko'rsatadiki, (men hozir hech qanday havola topa olmayapman) inson miyasi tildan foydalanishga tayyor. Shunday qilib, tabiiyki, bizning genlarimizda tilni o'zlashtirishga tayyormiz. Tabiiy sonlar uchun bu kerak. "1" kontseptsiyasi sizning qo'lingiz bilan ko'rsatilishi mumkin, keyin esa indüksiya orqali siz tayoqlarni qo'shishingiz, 2, 3 va hokazolarni olishingiz mumkin. Yoki: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Lekin, ehtimol sizda nufuzli manbalarga asoslanib, maqolani takomillashtirish bo'yicha aniq takliflaringiz bordir? RomanSuzi 17:57, 2014-yil 6-noyabr (UTC)

Matematikada natural son nima?

Vladimir z

Natural sonlar ob'ektlarni raqamlash va ularning miqdorini hisoblash uchun ishlatiladi. Raqamlash uchun 1 dan boshlab musbat butun sonlardan foydalaniladi.

Va raqamni hisoblash uchun ular ob'ektlarning yo'qligini ko'rsatadigan 0 ni ham o'z ichiga oladi.

Natural sonlar tushunchasi 0 raqamini o'z ichiga oladimi, aksiomatikaga bog'liq. Agar biron-bir matematik nazariyani taqdim etish natural sonlar to'plamida 0 ning mavjudligini talab qilsa, u holda bu nazariya doirasida o'zgarmas haqiqat (aksioma) nazarda tutiladi va hisoblanadi. 0 raqamining ijobiy va salbiy ta'rifi bunga juda yaqin keladi. Agar natural sonlar ta'rifini barcha MANFATIVE butun sonlar to'plami deb oladigan bo'lsak, unda savol tug'iladi, 0 soni nima - musbat yoki manfiy?

Amaliy ilovalarda, qoida tariqasida, 0 raqamini o'z ichiga olmaydigan birinchi ta'rif qo'llaniladi.

Qalam

Natural sonlar musbat butun sonlardir. Natural sonlar ob'ektlarni hisoblash (raqam) yoki ob'ektlar sonini ko'rsatish yoki ro'yxatdagi ob'ektning seriya raqamini ko'rsatish uchun ishlatiladi. Ba'zi mualliflar "tabiiy sonlar" kontseptsiyasiga sun'iy ravishda nolni kiritishadi. Boshqalar "tabiiy sonlar va nol" formulasidan foydalanadilar. Bu prinsipsiz. Natural sonlar to'plami cheksizdir, chunki har qanday katta natural son bilan siz boshqa natural son bilan qo'shish amalini bajarishingiz va undan ham kattaroq son olishingiz mumkin.

Manfiy va butun son bo'lmagan sonlar natural sonlar to'plamiga kiritilmaydi.

Sayan tog'lari

Natural sonlar - hisoblash uchun ishlatiladigan sonlar. Ular faqat ijobiy va butun bo'lishi mumkin. Bu misolda nimani anglatadi? Bu raqamlar hisoblash uchun ishlatilganligi sababli, keling, biror narsani hisoblashga harakat qilaylik. Nimani hisoblashingiz mumkin? Masalan, odamlar. Biz odamlarni shunday sanashimiz mumkin: 1 kishi, 2 kishi, 3 kishi va hokazo. Hisoblash uchun ishlatiladigan 1, 2, 3 va boshqa raqamlar natural sonlar bo'ladi. Biz hech qachon -1 (minus bir) kishi yoki 1,5 (bir yarim) kishi (so'z o'yinini kechirasiz:) demaymiz, shuning uchun -1 va 1,5 (barcha salbiy va kasr sonlar) tabiiy emas.

Lorelei

Natural sonlar - bu ob'ektlarni hisoblashda ishlatiladigan raqamlar.

Eng kichik natural son bitta. Ko'pincha nol natural sonmi degan savol tug'iladi. Yo'q, aksariyat rus manbalarida yo'q, lekin boshqa mamlakatlarda nol soni natural son sifatida tan olingan...

Moreljuba

Matematikadagi natural sonlar biror narsani yoki kimnidir ketma-ket sanash uchun ishlatiladigan raqamlarni bildiradi. Eng kichik natural son bitta deb hisoblanadi. Aksariyat hollarda nol natural son emas. Salbiy raqamlar ham bu erda kiritilmagan.

Salom slavyanlar

Natural sonlar, shuningdek, natural sonlar deb ham ataladi, bu paydo bo'lgan raqamlardir odatiy tarzda ularning soni noldan katta bo'lganda. Har bir natural sonning oʻsish tartibida joylashtirilgan ketma-ketligi natural qator deyiladi.

Elena Nikityuk

Matematikada natural son atamasi ishlatiladi. Musbat butun son natural son deyiladi. Eng kichik natural son “0” deb hisoblanadi. Har qanday narsani hisoblash uchun xuddi shu natural sonlar ishlatiladi, masalan, 1,2,3... va hokazo.

Natural sonlar biz hisoblaydigan sonlar, ya'ni bir, ikki, uch, to'rt, besh va boshqalar natural sonlardir.

Bular noldan katta bo'lgan musbat sonlardir.

Kasr sonlar ham natural sonlar to‘plamiga kirmaydi.

-orkide-

Biror narsani hisoblash uchun natural sonlar kerak. Ular bittadan boshlab faqat ijobiy raqamlar qatoridir. Bu raqamlar faqat butun sonlar ekanligini bilish muhimdir. Natural sonlar yordamida har qanday narsani hisoblashingiz mumkin.

Marlena

Natural sonlar - biz odatda ob'ektlarni hisoblashda ishlatadigan butun sonlar. Nol natural sonlar doirasiga kiritilmagan, chunki biz uni odatda hisob-kitoblarda ishlatmaymiz.

Inara-pd

Natural sonlar - biz hisoblashda ishlatadigan raqamlar - bir, ikki, uch va boshqalar.

Natural sonlar insonning amaliy ehtiyojlaridan kelib chiqqan.

Natural sonlar o'nta raqam yordamida yoziladi.

Nol natural son emas.

Natural son nima?

Naumenko

Natural sonlar sonlardir. tabiiy (gul, daraxt, hayvon, qush va hokazo) narsalarni raqamlash va sanashda ishlatiladi.

Butun sonlar deyiladi NATURAL sonlar, ularning qarama-qarshi tomonlari va nol,

Tushuntirish. Butun sonlar orqali natural nima noto'g'ri !! !

Raqamlar juft bo'lishi mumkin - 2 ga butunga bo'linadi va toq - 2 ga butunga bo'linmaydi.

Bosh sonlar sonlardir. faqat ikkita bo'luvchiga ega - bitta va o'zi ...
Sizning tenglamalaringizning birinchisi yechimga ega emas. ikkinchisi uchun x=6 6 natural sondir.

Natural sonlar (natural sonlar) sanashda tabiiy ravishda paydo boʻladigan sonlardir (ham sanash maʼnosida, ham hisob maʼnosida).

Barcha natural sonlar toʻplami odatda \mathbb(N) bilan belgilanadi. Natural sonlar to'plami cheksizdir, chunki har qanday natural son uchun kattaroq natural son mavjud.

Anna Semenchenko

sanoqda tabiiy ravishda paydo bo'ladigan sonlar (ham sanash ma'nosida, ham hisob ma'nosida).
Natural sonlarni aniqlashning ikkita yondashuvi mavjud - raqamlar quyidagilarda qo'llaniladi:
ob'ektlarni ro'yxatga olish (raqamlash) (birinchi, ikkinchi, uchinchi, ...);
ob'ektlar sonini belgilash (buyum yo'q, bitta buyum, ikkita narsa, ...). Burbakining asarlarida qabul qilingan, bu erda natural sonlar cheklangan to'plamlarning kardinalliklari sifatida aniqlanadi.
Manfiy va butun son bo'lmagan (ratsional, haqiqiy, ...) sonlar natural sonlar emas.
Barcha natural sonlar to'plami odatda belgi bilan belgilanadi. Natural sonlar to'plami cheksizdir, chunki har qanday natural son uchun kattaroq natural son mavjud.

Matematikani o'rganish qaerdan boshlanadi? Ha, to'g'ri, natural sonlar va ular bilan amallarni o'rganishdan.Butun sonlar (danlat. naturalis- tabiiy; natural sonlar) -raqamlar hisoblashda tabiiy ravishda yuzaga keladigan (masalan, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9...). O'sish tartibida joylashtirilgan barcha natural sonlar ketma-ketligiga natural qator deyiladi.

Natural sonlarni aniqlashda ikkita yondashuv mavjud:

1. sanash (raqamlash) buyumlar ( birinchi, ikkinchi, uchinchi, to'rtinchi, beshinchi "...);
2. natural sonlar qachon paydo bo'ladigan sonlardir miqdorni belgilash buyumlar ( 0 ta element, 1 ta element, 2 ta element, 3 ta buyumlar, 4 ta element, 5 ta ).

Birinchi holda natural sonlar qatori bittadan, ikkinchisida noldan boshlanadi. Ko‘pchilik matematiklar o‘rtasida birinchi yoki ikkinchi yondashuv afzalligi (ya’ni, nolni natural son deb hisoblash kerakmi yoki yo‘qmi) to‘g‘risida konsensus yo‘q. Rus manbalarining aksariyati an'anaviy ravishda birinchi yondashuvni qabul qiladi. Ikkinchi yondashuv, masalan, ishlarda qo'llaniladiNikolas Burbaki , bu erda natural sonlar sifatida aniqlanadikuch chekli to'plamlar .

Salbiy va butun (oqilona , haqiqiy ,...) sonlar natural sonlar hisoblanmaydi.

Barcha natural sonlar to'plami odatda N belgisi bilan belgilanadi (danlat. naturalis- tabiiy). Natural sonlar to'plami cheksizdir, chunki har qanday natural son uchun n dan katta natural son mavjud.

Nolning mavjudligi natural sonlar arifmetikasida ko'plab teoremalarni shakllantirish va isbotlashni osonlashtiradi, shuning uchun birinchi yondashuv foydali tushunchani taqdim etadi. kengaytirilgan tabiiy diapazon , shu jumladan nol. Kengaytirilgan seriya N bilan belgilanadi 0 yoki Z 0.

TOyopiq operatsiyalar Natural sonlar ustidagi (natural sonlar toʻplamidan natija chiqmaydigan amallar) quyidagi arifmetik amallarni oʻz ichiga oladi:

• qo'shimcha: muddat + muddat = summa;
• ko'paytirish: omil × omil = mahsulot;
• eksponentatsiya: a b , bu erda a - daraja asosi, b - ko'rsatkich. Agar a va b natural sonlar bo'lsa, natijada natural son bo'ladi.

Bundan tashqari, yana ikkita operatsiya ko'rib chiqiladi (rasmiy nuqtai nazardan, ular natural sonlar bo'yicha operatsiyalar emas, chunki ular hamma uchun aniqlanmagan.raqamlar juftligi (ba'zida mavjud, ba'zida yo'q)):

• ayirish: minuend - subtrahend = farq. Bunday holda, minuend ayirboshlashdan katta bo'lishi kerak (yoki nolni natural son deb hisoblasak, unga teng)
• qoldiq bilan bo'linish: dividend / bo'luvchi = (bo'lim, qoldiq). a ni b ga bo'lishdan olingan p qism va r qoldig'i quyidagicha aniqlanadi: a=p*r+b, 0 bilan<=r

Shuni ta'kidlash kerakki, qo'shish va ko'paytirish amallari asosiy hisoblanadi. Ayniqsa,

Natural sonlar eng qadimgi matematik tushunchalardan biridir.

Uzoq o'tmishda odamlar raqamlarni bilishmagan va ob'ektlarni (hayvonlarni, baliqlarni va boshqalarni) sanash kerak bo'lganda, ular buni biznikidan boshqacha qilishgan.

Ob'ektlar soni tananing qismlari bilan, masalan, qo'lning barmoqlari bilan taqqoslandi va ular: "Mening qo'limdagi barmoqlarimcha yong'oq bor", dedilar.

Vaqt o'tishi bilan odamlar beshta yong'oq, beshta echki va beshta quyonning umumiy mulki borligini tushunishdi - ularning soni beshga teng.

Eslab qoling!

Butun sonlar- bu ob'ektlarni sanash orqali olingan 1 dan boshlanadigan raqamlar.

1, 2, 3, 4, 5…

Eng kichik natural son — 1 .

Eng katta natural son mavjud emas.

Hisoblashda nol raqami ishlatilmaydi. Shuning uchun nol natural son hisoblanmaydi.

Odamlar raqamlarni hisoblashdan ko'ra ancha kechroq yozishni o'rgandilar. Birinchidan, ular bitta tayoq bilan bittasini, keyin ikkita tayoq bilan - 2 raqamini, uchtasi bilan - 3 raqamini tasvirlay boshladilar.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Keyin raqamlarni - zamonaviy raqamlarning o'tmishdoshlarini belgilash uchun maxsus belgilar paydo bo'ldi. Biz raqamlarni yozish uchun ishlatadigan raqamlar Hindistonda taxminan 1500 yil oldin paydo bo'lgan. Arablar ularni Yevropaga olib kelishgan, shuning uchun ham ular deyiladi Arab raqamlari.

Hammasi bo'lib o'nta raqam mavjud: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Bu raqamlar yordamida istalgan natural son yozishingiz mumkin.

Eslab qoling!

Tabiiy seriyalar barcha natural sonlar ketma-ketligi:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

Tabiiy qatorlarda har bir raqam oldingisidan 1 ga katta.

Tabiiy qator cheksizdir, unda eng katta natural son yo'q.

Biz foydalanadigan hisoblash tizimi deyiladi o'nlik pozitsion.

O'nlik, chunki har bir raqamning 10 birligi eng muhim raqamning 1 birligini tashkil qiladi. Pozitsion, chunki raqamning ma'nosi uning son yozuvidagi o'rniga, ya'ni u yozilgan raqamga bog'liq.

Muhim!

Milliarddan keyingi sinflar raqamlarning lotincha nomlariga ko'ra nomlanadi. Har bir keyingi birlik mingta oldingisini o'z ichiga oladi.

• 1 000 milliard = 1 000 000 000 000 = 1 trillion (“uch” lotincha “uch” degan ma’noni anglatadi)
• 1 000 trillion = 1 000 000 000 000 000 = 1 kvadrillion ("quadra" lotincha "to'rt" degan ma'noni anglatadi)
• 1 000 kvadrillion = 1 000 000 000 000 000 000 = 1 kvintillion (“quinta” lotincha “besh” degan ma’noni anglatadi)

Biroq, fiziklar butun Koinotdagi barcha atomlar (moddaning eng kichik zarralari) sonidan oshib ketadigan raqamni topdilar.

Bu raqam maxsus nom oldi - googol. Googol - bu 100 nolga ega bo'lgan raqam.

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin:

• Mavzu bo'yicha fizikadan (9-sinf) atom yadrolarining radioaktiv o'zgarishlari dars ishlanmasi;
• Neokantizm 19-asrning ikkinchi yarmidagi nemis falsafasining yo'nalishi -;
• Radioaktiv parchalanish qonuni;
• Irene Kao tomonidan barcha kitoblar Barcha sevgi uchun;
• "Konchining kasbi" mavzusidagi dars;
• Rezyumeni qanday yozish kerak: ish izlovchilarga maslahatimiz Smart rezyume;
• Kasb: ishlab chiqarish muharriri;
• Tovar birjalarining asosiy ishtirokchilari;