რიცხვთა სისტემას მხოლოდ ენა ეწოდება. რიცხვითი სისტემები

საზოგადოების განვითარების ადრეულ ეტაპზე ადამიანებმა თითქმის არ იცოდნენ დათვლა. ისინი განასხვავებდნენ ორი და სამი ობიექტის კომპლექტს; ნებისმიერი კოლექცია, რომელიც შეიცავს უფრო მეტ ობიექტს, გაერთიანებული იყო კონცეფციაში "ბევრი". დათვლისას საგნებს ჩვეულებრივ ადარებდნენ თითებსა და ფეხის თითებს. როგორც ცივილიზაცია განვითარდა, ადამიანის მოთხოვნილება დათვლა გახდა საჭირო. თავდაპირველად ბუნებრივ რიცხვებს გამოსახავდნენ გარკვეული რაოდენობის ტირეების ან ჯოხების გამოყენებით, შემდეგ დაიწყეს ასოების ან სპეციალური ნიშნების გამოყენება მათი გამოსახატავად. ძველ ნოვგოროდში გამოიყენებოდა სლავური სისტემა, სადაც იყენებდნენ სლავური ანბანის ასოებს; რიცხვების გამოსახვისას მათ ზემოთ მოთავსებული იყო ნიშანი ~ (სათაური).

ძველი რომაელები იყენებდნენ ნუმერაციას, რომელიც დღემდე შემორჩა სახელწოდებით "რომაული ნუმერაცია", რომელშიც რიცხვები წარმოდგენილია ლათინური ანბანის ასოებით. დღესდღეობით იგი გამოიყენება საიუბილეო თარიღების აღსანიშნავად, წიგნის ზოგიერთი გვერდის ნუმერაციისთვის (მაგალითად, წინასიტყვაობის გვერდები), თავები წიგნებში, სტროფები ლექსებში და ა.შ. მათი გვიანდელი ფორმით, რომაული ციფრები ასე გამოიყურება:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000.

რომაული ციფრების წარმოშობის შესახებ სანდო ინფორმაცია არ არსებობს. რიცხვი V თავდაპირველად შეიძლება ხელის გამოსახულება იყოს, ხოლო X რიცხვი შეიძლება შედგებოდეს ორი ხუთეულისგან. რომაულ ნუმერაციაში აშკარად ჩანს ხუთმაგი რიცხვების სისტემის კვალი. ყველა მთელი რიცხვი (5000-მდე) იწერება ზემოაღნიშნული რიცხვების გამეორებით. უფრო მეტიც, თუ უფრო დიდი რიცხვი მოდის უფრო მცირეზე, მაშინ ემატება ისინი, მაგრამ თუ უფრო მცირე მოდის უფრო დიდზე (ამ შემთხვევაში მისი გამეორება შეუძლებელია), მაშინ უფრო მცირეს აკლდება უფრო დიდი). მაგალითად, VI = 6, ე.ი. 5 + 1, IV = 4, ე.ი. 5 – 1, XL = 40, ანუ 50 – 10, LX = 60, ე.ი. 50 + 10. იგივე რიცხვი მოთავსებულია არაუმეტეს სამჯერ ზედიზედ: LXX = 70; LXXX = 80; რიცხვი 90 იწერება XC (არა LXXXX).

პირველი 12 რიცხვი რომაული ციფრებით ასე იწერება:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

სხვა ნომრები იწერება, მაგალითად, როგორც:

XXVIII = 28; ХХХIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818 წ.

ამ აღნიშვნით მრავალნიშნა რიცხვებზე არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება ძალიან რთულია. თუმცა, რომაული ნუმერაცია ჭარბობდა იტალიაში მე-13 საუკუნემდე, ხოლო დასავლეთ ევროპის სხვა ქვეყნებში მე-16 საუკუნემდე.

სლავურ ნუმერაციის სისტემაში ანბანის ყველა ასო გამოიყენებოდა რიცხვების ჩასაწერად, თუმცა ანბანური რიგის გარკვეული დარღვევით. სხვადასხვა ასო ნიშნავდა ერთეულების განსხვავებულ რაოდენობას, ათეულს და ასეულს. მაგალითად, რიცხვი 231 დაიწერა როგორც ~ SLA (C – 200, L – 30, A – 1).

ეს სისტემები ხასიათდება ორი ნაკლოვანებით, რამაც გამოიწვია მათი გადაადგილება სხვების მიერ: საჭიროება დიდი რიცხვისხვადასხვა ნიშნები, განსაკუთრებით სურათებისთვის დიდი რაოდენობითდა, რაც მთავარია, არითმეტიკული მოქმედებების შესრულების უხერხულობა.

უფრო მოსახერხებელი და ზოგადად მიღებული და ყველაზე გავრცელებული არის ათობითი რიცხვების სისტემა, რომელიც გამოიგონეს ინდოეთში, იქ არაბებმა ისესხეს და შემდეგ გარკვეული პერიოდის შემდეგ ევროპაში მოვიდა. ათობითი რიცხვების სისტემაში საფუძველია რიცხვი 10.

არსებობდა საანგარიშო სისტემები სხვა ბაზებით. მაგალითად, ძველ ბაბილონში გამოიყენებოდა სექსუალური რიცხვების სისტემა. მის ნარჩენებს ვპოულობთ საათის ან გრადუსის 60 წუთზე და წუთების 60 წამზე დაყოფაში, რაც დღემდეა შემონახული.

ძველ დროში გავრცელებული იყო თორმეტგოჯა ნაწლავის სისტემაც, რომლის წარმოშობა, სავარაუდოდ, ათობითი სისტემის მსგავსად, თითებით თვლას უკავშირდება: ერთი ხელის ოთხი თითის ფალანგები (ცალკეული სახსარი), რომლებიც დათვლისას მოძრაობდნენ. როგორც მთვლელი ერთეული. ცერა თითიიგივე ხელი. ამ რიცხვთა სისტემის ნაშთები დღემდეა შემორჩენილი, როგორც ზეპირ მეტყველებაში, ასევე წეს-ჩვეულებებში. კარგად ცნობილია, მაგალითად, მეორე კატეგორიის ერთეულის სახელი - ნომერი 12 - "ათეული". შემორჩენილია მრავალი ნივთის არა ათობით, არამედ ათეულობით დათვლის ჩვეულება, მაგალითად, დანაჩანგალი სერვისში ან სკამები ავეჯის კომპლექტში. თორმეტგოჯა ნაწლავის სისტემაში მესამე ციფრის სახელი - მთლიანი - ახლა იშვიათია, მაგრამ ვაჭრობის პრაქტიკაში საუკუნის დასაწყისში ის ჯერ კიდევ არსებობდა. მაგალითად, 1928 წელს დაწერილ ლექსში პლიუშკინიმაიაკოვსკი, დასცინოდა ხალხს, ვინც ყველაფერს ზედიზედ ყიდულობს, წერდა: ”...მე ვიყიდე თორმეტი გროსი ხელკეტი”. რიგი აფრიკული ტომები და Ანტიკური ჩინეთიგამოიყენებოდა ხუთჯერადი რიცხვების სისტემა. ცენტრალურ ამერიკაში (ძველ აცტეკებსა და მაიას შორის) და მათ შორის, ვინც ბინადრობდა დასავლეთ ევროპაძველი კელტები იყენებდნენ ათობითი სისტემას. ყველა მათგანი ასევე ასოცირდება თითებზე დათვლასთან.

ყველაზე ახალგაზრდა რიცხვების სისტემა სამართლიანად შეიძლება ჩაითვალოს ორობითი. ამ სისტემას აქვს მთელი რიგი თვისებები, რაც მას ძალიან ხელსაყრელს ხდის გამოთვლით მანქანებსა და თანამედროვე კომპიუტერებში გამოსაყენებლად.

პოზიციური და არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები.

მრავალფეროვნება სხვადასხვა სისტემებირიცხვები, რომლებიც ადრე არსებობდა და რომლებიც ჩვენს დროში გამოიყენება, შეიძლება დაიყოს არაპოზიციურ და პოზიციურებად. რიცხვების ჩასაწერად გამოყენებულ ნიშნებს ციფრები ეწოდება.

არაპოზიციური რიცხვების სისტემებში ციფრის პოზიცია რიცხვის აღნიშვნაში არ არის დამოკიდებული მის წარმოდგენილ მნიშვნელობაზე. არაპოზიციური რიცხვების სისტემის მაგალითია რომაული სისტემა, რომელიც იყენებს ლათინურ ასოებს რიცხვებად.

პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში რიცხვში ციფრით აღნიშული მნიშვნელობა დამოკიდებულია მის პოზიციაზე. გამოყენებული ციფრების რაოდენობას რიცხვითი სისტემის საფუძველი ეწოდება. რიცხვში თითოეული ციფრის ადგილს პოზიცია ეწოდება. პირველი სისტემა, რომელიც ჩვენთვის ცნობილია პოზიციური პრინციპით, არის ბაბილონური სექსიმალი. მასში რიცხვები ორგვარი იყო, რომელთაგან ერთი აღნიშნავდა ერთეულებს, მეორე - ათეულებს.

თუმცა, ყველაზე ხშირად გამოყენებული ინდო-არაბული ათობითი სისტემა აღმოჩნდა. ინდიელებმა პირველებმა გამოიყენეს ნული რიცხვების სტრიქონში სიდიდის პოზიციური მნიშვნელობის აღსანიშნავად. ამ სისტემას ათობითი ეწოდება , რადგან მას აქვს ათი ციფრი.

განსხვავება პოზიციურ და არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემებს შორის ყველაზე ადვილად გასაგებია ორი რიცხვის შედარებით. პოზიციური რიცხვების სისტემაში ორი რიცხვის შედარება ხდება შემდეგნაირად: განსახილველ რიცხვებში, მარცხნიდან მარჯვნივ, ერთსა და იმავე პოზიციებზე მყოფი ციფრები შედარებულია. უფრო დიდი რიცხვი შეესაბამება უფრო დიდ რიცხვს. მაგალითად, 123 და 234 რიცხვებისთვის 1 ნაკლებია 2-ზე, ამიტომ 234 მეტია 123-ზე. არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემაში ეს წესი არ გამოიყენება. ამის მაგალითი იქნება ორი IX და VI რიცხვის შედარება. მიუხედავად იმისა, რომ I V-ზე პატარაა, IX უფრო დიდია ვიდრე VI.

პოზიციური რიცხვების სისტემები.

რიცხვითი სისტემის საფუძველი, რომელშიც რიცხვი იწერება, ჩვეულებრივ მითითებულია ქვესკრიპტით. მაგალითად, 555 7 არის რიცხვი, რომელიც დაწერილია ათობითი რიცხვების სისტემაში. თუ რიცხვი იწერება ათობითი სისტემაში, მაშინ ბაზა ჩვეულებრივ არ არის მითითებული. სისტემის საფუძველიც არის რიცხვი და მას ჩვეულებრივ ათობითი სისტემაში მივუთითებთ. ზოგადად, რიცხვი xშეიძლება წარმოდგენილი იყოს ბაზის მქონე სისტემაში გვ, Როგორ x = a n· p n+a n- 1· p n–1 + ა 1· გვ 1 + ა 0· გვ 0, სადაც a n...ა 0 – ციფრები მოცემული რიცხვის წარმომადგენლობაში. Მაგალითად,

1035 10 =1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;

1010 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 10.

კომპიუტერზე მუშაობისას ყველაზე დიდი ინტერესი არის რიცხვითი სისტემები 2, 8 და 16 ბაზებით. ზოგადად, ეს რიცხვითი სისტემები, როგორც წესი, საკმარისია როგორც ადამიანის, ისე კომპიუტერის სრულფასოვანი მუშაობისთვის, მაგრამ ზოგჯერ, სხვადასხვა გარემოებების გამო. , თქვენ კვლავ უნდა მიმართოთ სხვა სისტემების რიცხვთა სისტემებს, როგორიცაა სამეული, სეპტალი ან ბაზის 32.

ასეთ არატრადიციულ სისტემებში ჩაწერილი რიცხვებით მუშაობისთვის, უნდა გაითვალისწინოთ, რომ ისინი ძირეულად არ განსხვავდებიან ჩვეულებრივი ათობითი სისტემისგან. მათში შეკრება, გამოკლება და გამრავლება ხორციელდება იმავე სქემის მიხედვით.

რატომ არ გამოიყენება სხვა რიცხვითი სისტემები? ძირითადად იმიტომ, რომ ში Ყოველდღიური ცხოვრებისხალხი მიჩვეულია ათობითი რიცხვების სისტემის გამოყენებას და სხვა არ არის საჭირო. კომპიუტერებში გამოიყენება ორობითი რიცხვების სისტემა, რადგან საკმაოდ მარტივია ორობითი ფორმით დაწერილი რიცხვებით მუშაობა.

თექვსმეტობითი სისტემა ხშირად გამოიყენება კომპიუტერულ მეცნიერებაში, რადგან მასში რიცხვების ჩაწერა ბევრად უფრო მოკლეა, ვიდრე რიცხვების ჩაწერა ბინარულ სისტემაში. შეიძლება გაჩნდეს კითხვა: რატომ არ გამოვიყენოთ რიცხვითი სისტემა, მაგალითად, ფუძე 50, ძალიან დიდი რიცხვების დასაწერად? ასეთი რიცხვების სისტემა მოითხოვს 10 ჩვეულებრივ ციფრს პლუს 40 ნიშანს, რაც შეესაბამებოდა 10-დან 49-მდე რიცხვებს და ნაკლებად სავარაუდოა, რომ ვინმეს სურდეს ამ ორმოცი სიმბოლოსთან მუშაობა. ამიტომ შიგნით ნამდვილი ცხოვრება 16-ზე მეტ ბაზებზე დაფუძნებული რიცხვითი სისტემები პრაქტიკულად არ გამოიყენება.

რიცხვების გადაყვანა ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე.

ყველაზე გავრცელებული რიცხვითი სისტემებია ორობითი, თექვსმეტობითი და ათობითი. როგორ არის დაკავშირებული რიცხვების წარმოდგენები ერთმანეთთან? სხვადასხვა სისტემებიმკვდარი გაანგარიშება? ჭამე სხვადასხვა გზებირიცხვების გადაყვანა ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე კონკრეტული მაგალითების გამოყენებით.

ვთქვათ, ჩვენ უნდა გადავიყვანოთ რიცხვი 567 ათწილადიდან ორობითში. პირველ რიგში, ორის მაქსიმალური სიმძლავრე განისაზღვრება, ისე, რომ ამ სიმძლავრის ორი არის თავდაპირველ რიცხვზე ნაკლები ან ტოლი. IN ამ შემთხვევაშიეს არის 9, რადგან 2 9 = 512 და 2 10 = 1024, რაც საწყის რიცხვზე მეტია. ეს იძლევა შედეგში ციფრების რაოდენობას; ის უდრის 9 + 1 = 10-ს, ასე რომ, შედეგი იქნება 1. xxxxxxxxxxxxxx, სადაც ნაცვლად Xშეიძლება იყოს ნებისმიერი ორობითი ციფრი. შედეგის მეორე ციფრი ასე მოიძებნება - ორი ამაღლებულია 9-ის ხარისხზე და აკლდება თავდაპირველ რიცხვს: 567 - 2 9 = 55. დანარჩენი შედარებულია რიცხვთან 2 8 = 256. ვინაიდან 55 ნაკლებია. 256, მეცხრე ციფრი არის ნული, ე.ი. შედეგი გამოიყურება 10 xxxxxxxxxxxx. განვიხილოთ მერვე კატეგორია. ვინაიდან 2 7 = 128 > 55, მაშინ ის ასევე იქნება ნული.

მეშვიდე ციფრიც გამოდის ნული. რიცხვის საჭირო ორობითი წარმოდგენა იღებს 1000 ფორმას xxxxxxxx. 2 5 = 32 xxxxx). დანარჩენისთვის 55 – 32 = 23, შემდეგი უტოლობა მართალია: 2 4 = 16

567 = 1·2 9 + 0·2 8 + 0·2 7 + 0·2 6 + 1·2 5 + 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0

რიცხვების კონვერტაციის კიდევ ერთი მეთოდი იყენებს სვეტის გაყოფის ოპერაციას. თუ აიღებთ იგივე რიცხვს 567 და გაყოფთ 2-ზე, მიიღებთ კოეფიციენტს 283 და დარჩენილია 1. იგივე ოპერაცია შესრულებულია 283 რიცხვთან. 2-ით და ასე შემდეგ სანამ კოეფიციენტი არ იქნება გამყოფზე ნაკლები. ახლა ორობითი რიცხვების სისტემაში რიცხვის მისაღებად საკმარისია ბოლო კოეფიციენტის ჩაწერა, ე.ი. 1 და უკუ თანმიმდევრობით დაამატეთ მას გაყოფის პროცესში მიღებული ყველა ნარჩენი.

შედეგი, რა თქმა უნდა, არ შეცვლილა: ორობითი რიცხვების სისტემაში 567 იწერება როგორც 1,000,110,111.

ეს ორი მეთოდი გამოიყენება ათწილადი სისტემიდან ნებისმიერი ბაზის სისტემაში რიცხვის გადაყვანისას. მაგალითად, რიცხვის 567-ის მე-16-ად გადაქცევისას, რიცხვი ჯერ გაფართოვდება ბაზის ძალაში. საჭირო რიცხვი შედგება სამი ციფრისგან, რადგან 16 2 = 256 xx, სადაც ნაცვლად Xშეიძლება იყოს ნებისმიერი თექვსმეტობითი ციფრი. რჩება რიცხვის 55 (567 – 512) განაწილება შემდეგ ციფრებს შორის. 3 16 = 48

მეორე მეთოდი შედგება სვეტად თანმიმდევრული დაყოფისგან, ერთადერთი განსხვავება ისაა, რომ თქვენ უნდა გაყოთ არა 2-ზე, არამედ 16-ზე და გაყოფის პროცესი მთავრდება, როდესაც კოეფიციენტი ხდება მკაცრად 16-ზე ნაკლები.

რა თქმა უნდა, რიცხვის თექვსმეტობით ჩასაწერად, თქვენ უნდა შეცვალოთ 10 A-ით, 11 B-ით და ა.შ.

ათობითი სისტემაში გადაყვანის ოპერაცია გაცილებით მარტივია, რადგან ნებისმიერი ათობითი რიცხვი შეიძლება წარმოდგენილი იყოს როგორც x = ა 0· p n + ა 1· p n–1 +... + a n-1· გვ 1 + a n· გვ 0, სადაც ა 0 ... a n- ეს არის მოცემული რიცხვის ციფრები ფუძის მქონე რიცხვთა სისტემაში გვ.

მაგალითად, ასე შეგიძლიათ გადაიყვანოთ რიცხვი 4A3F ათობითი სისტემაში. განმარტებით, 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. A 10-ით და F 15-ით ჩანაცვლებისას მივიღებთ 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007 წ. .

რიცხვების კონვერტაციის უმარტივესი გზა ბინარული სისტემასისტემებში, რომელთა ბაზა ტოლია ორი სიმძლავრის (8 და 16) და პირიქით. მთელი რიცხვის ორობითი რიცხვის ჩაწერა საბაზისო 2 რიცხვების სისტემაში ნ, თქვენ უნდა დაყოთ ეს ორობითი რიცხვი მარჯვნიდან მარცხნივ ჯგუფებად მიხედვით ნ- ნომრები თითოეულში; თუ ბოლო მარცხენა ჯგუფი შეიცავს n-ზე ნაკლებ ციფრს, მაშინ დაამატეთ ნულები ციფრების საჭირო რაოდენობას; განიხილეთ თითოეული ჯგუფი, როგორც ნ-ბიტი ორობითი რიცხვი და შეცვალეთ იგი შესაბამისი ციფრით საბაზისო 2 რიცხვების სისტემაში ნ .

ცხრილი 1. ორობითი თექვსმეტობითი ცხრილი
ცხრილი 1. ორობითი-თექვსმეტობითი ცხრილი
მე-2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
მე-16 0 1 2 3 4 5 6 7
მე-2 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
მე-16 8 9 ა ბ C დ ე ფ

ცნობილი ფრანგი ასტრონომი, მათემატიკოსი და ფიზიკოსი პიერ სიმონ ლაპლასი (1749–1827) წერდა. ისტორიული განვითარებარიცხვითი სისტემები, რომ ”ყველა რიცხვის ცხრა ნიშნით გამოხატვის იდეა, მათი მინიჭება, გარდა ფორმის მნიშვნელობისა, ასევე მნიშვნელობის ადგილზე, იმდენად მარტივია, რომ ზუსტად ამ სიმარტივის გამო ძნელია იმის გაგება, თუ რამდენად საოცარია. ეს არის. რამდენად რთული იყო ამ მეთოდის მიღწევა, ამას ვხედავთ ბერძნული სწავლების უდიდესი გენიოსების, არქიმედესა და აპოლონიუსის მაგალითზე, რომელთაგანაც ეს იდეა დაფარული დარჩა“.

ათობითი რიცხვების სისტემის შედარება სხვა პოზიციურ სისტემებთან მათემატიკოსებს და დიზაინერ ინჟინრებს საშუალებას აძლევდა გამოეჩინათ თანამედროვე არაათწილადი რიცხვითი სისტემების საოცარი შესაძლებლობები, რამაც უზრუნველყო კომპიუტერული ტექნოლოგიების განვითარება.

ანა ჩუგაინოვა

ერთეული (უნარული) რიცხვითი სისტემა რიცხვითი სისტემების სია

აღნიშვნა:

  • იძლევა რიცხვთა სიმრავლის (მთლიანი ან/და რეალური) გამოსახულებებს;
  • თითოეულ რიცხვს აძლევს უნიკალურ წარმოდგენას (ან მინიმუმ სტანდარტულ წარმოდგენას);
  • ასახავს რიცხვების ალგებრულ და არითმეტიკულ სტრუქტურას.

რიცხვითი სისტემები იყოფა პოზიციური, არაპოზიციურიდა შერეული.

პოზიციური რიცხვების სისტემები

პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში რიცხვის აღნიშვნაში იგივე რიცხვითი ნიშანი (ციფრი) აქვს სხვადასხვა მნიშვნელობაადგილის (კატეგორიის) მიხედვით, სადაც მდებარეობს. პოზიციური ნუმერაციის გამოგონება, რომელიც ეფუძნება ციფრების ადგილის მნიშვნელობას, მიეწერება შუმერებსა და ბაბილონელებს; ასეთი ნუმერაცია შეიმუშავეს ინდუსებმა და ფასდაუდებელი შედეგები მოჰყვა კაცობრიობის ცივილიზაციის ისტორიაში. ასეთ სისტემებს მიეკუთვნება თანამედროვე ათობითი რიცხვების სისტემა, რომლის გაჩენა დაკავშირებულია თითებზე დათვლასთან. იგი შუა საუკუნეების ევროპაში გაჩნდა იტალიელი ვაჭრების მეშვეობით, რომლებმაც ის თავის მხრივ ისესხეს მუსლიმებისგან.

პოზიციური რიცხვების სისტემა ჩვეულებრივ ეხება მდიდარი რიცხვების სისტემას, რომელიც განისაზღვრება მოწოდებული მთელი რიცხვით საფუძველირიცხვითი სისტემები. უსახელო მთელი რიცხვი -ary რიცხვების სისტემაში წარმოდგენილია როგორც რიცხვის ძალაუფლების სასრული წრფივი კომბინაცია:

, სადაც მთელ რიცხვებს უწოდებენ რიცხვებში, უთანასწორობის დაკმაყოფილება.

ასეთ ნოტაციაში თითოეულ ხარისხს წოდების წონა ეწოდება. ციფრების და მათი შესაბამისი ციფრების ასაკი განისაზღვრება ინდიკატორის მნიშვნელობით (ციფრის ნომერი). როგორც წესი, არანულოვან რიცხვებში, მარცხენა ნულები გამოტოვებულია.

თუ არ არის შეუსაბამობები (მაგალითად, როდესაც ყველა რიცხვი წარმოდგენილია უნიკალური წერილობითი სიმბოლოების სახით), რიცხვი იწერება მისი ალფაციფრული ციფრების თანმიმდევრობით, რომელიც ჩამოთვლილია მარცხნიდან მარჯვნივ ციფრების უპირატესობის კლებადობით:

მაგალითად, ნომერი ას სამიათობითი რიცხვების სისტემაში წარმოდგენილია როგორც:

ამჟამად ყველაზე ხშირად გამოყენებული პოზიციური სისტემებია:

პოზიციურ სისტემებში, რაც უფრო დიდია სისტემის საფუძველი, მით უფრო ნაკლები რიცხვია საჭირო რიცხვის ჩაწერისას.

შერეული რიცხვების სისტემები

შერეული რიცხვების სისტემაარის მდიდარი რიცხვითი სისტემის განზოგადება და ასევე ხშირად ეხება პოზიციურ რიცხვთა სისტემებს. შერეული რიცხვების სისტემის საფუძველია რიცხვების მზარდი თანმიმდევრობა და მასში თითოეული რიცხვი წარმოდგენილია როგორც წრფივი კომბინაცია:

, სადაც კოეფიციენტები იწოდება როგორც ადრე რიცხვებში, მოქმედებს გარკვეული შეზღუდვები.

რიცხვის ჩაწერა შერეულ რიცხვთა სისტემაში არის მისი ციფრების ჩამოთვლა ინდექსის კლებადი მიმდევრობით, დაწყებული პირველი არანულოვანი ერთით.

ტიპებიდან გამომდინარე, როგორც ფუნქცია, შერეული რიცხვითი სისტემები შეიძლება იყოს სიმძლავრე, ექსპონენციალური და ა.შ. როდესაც ზოგიერთისთვის შერეული რიცხვითი სისტემა ემთხვევა ექსპონენციალურ-მდიდარ რიცხვთა სისტემას.

შერეული რიცხვების სისტემის ყველაზე ცნობილი მაგალითია დროის წარმოდგენა დღეების, საათების, წუთების და წამების რიცხვად. ამ შემთხვევაში „დღეების, საათების, წუთების, წამების“ მნიშვნელობა შეესაბამება წამების მნიშვნელობას.

ფაქტორული რიცხვების სისტემა

IN ფაქტორული რიცხვების სისტემაფუძეები არის ფაქტორების თანმიმდევრობა და თითოეული ნატურალური რიცხვი წარმოდგენილია როგორც:

, სად .

ფაქტორული რიცხვების სისტემა გამოიყენება როცა პერმუტაციების დეკოდირება ინვერსიების სიებით: პერმუტაციის რიცხვის მქონე, შეგიძლიათ მისი გამრავლება შემდეგნაირად: რიცხვზე ერთით ნაკლები (დარიცხვა იწყება ნულიდან) იწერება ფაქტორულ რიცხვთა სისტემაში, ხოლო i რიცხვის კოეფიციენტი! აღნიშნავს i+1 ელემენტის ინვერსიების რაოდენობას ნაკრებში, რომელშიც შესრულებულია პერმუტაციები (ი+1-ზე ნაკლები ელემენტების რაოდენობა, მაგრამ მდებარეობს მისგან მარჯვნივ სასურველ პერმუტაციაში)

მაგალითი: განიხილეთ 5 ელემენტის პერმუტაციების ნაკრები, სულ არის 5! = 120 (პერმუტაციის ნომრიდან 0 - (1,2,3,4,5) გადანაცვლების რიცხვამდე 119 - (5,4,3,2,1)), ვიპოვოთ 101-ე პერმუტაცია: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; მოდით ti იყოს i! რიცხვის კოეფიციენტი, შემდეგ t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, შემდეგ: ელემენტების რაოდენობა 5-ზე ნაკლები, მაგრამ მარჯვნივ მდებარეობს არის 4; ელემენტების რაოდენობა 4-ზე ნაკლები, მაგრამ განლაგებულია მარჯვნივ არის 0; ელემენტების რაოდენობა 3-ზე ნაკლები, მაგრამ მარჯვნივ მდებარეობს 2; ელემენტების რაოდენობა 2-ზე ნაკლები, მაგრამ მარჯვნივ მდებარეობს არის 0 (პერმუტაციის ბოლო ელემენტი "იდება" ერთადერთ დარჩენილ ადგილზე) - ამრიგად, 101-ე პერმუტაცია ასე გამოიყურება: (5,3,1,2). ,4) ამ მეთოდის შემოწმება შეიძლება განხორციელდეს პერმუტაციის თითოეული ელემენტისთვის ინვერსიების უშუალო დათვლით.

ფიბონაჩის რიცხვების სისტემაფიბონაჩის რიცხვებზე დაყრდნობით. თითოეული ნატურალური რიცხვი წარმოდგენილია სახით:

, სად არის ფიბონაჩის რიცხვები, და კოეფიციენტებს აქვთ ერთეულების სასრული რიცხვი და ზედიზედ ორი არ არის.

არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები

არაპოზიციური რიცხვების სისტემებში, მნიშვნელობა, რომელსაც აღნიშნავს ციფრი, არ არის დამოკიდებული მის პოზიციაზე რიცხვში. ამ შემთხვევაში, სისტემას შეუძლია დააწესოს შეზღუდვები რიცხვების პოზიციაზე, მაგალითად, ისე, რომ ისინი განლაგდეს კლებადობით.

ბინომალური რიცხვების სისტემა

წარმოდგენა ბინომალური კოეფიციენტების გამოყენებით

, სად .

ნარჩენი კლასის სისტემა (RSS)

ნარჩენების კლასის სისტემაში რიცხვის წარმოდგენა ეფუძნება ნარჩენის კონცეფციას და ჩინური ნარჩენების თეორემას. RNS განისაზღვრება შედარებით მარტივი სიმრავლით მოდულებიპროდუქტთან ისე, რომ სეგმენტიდან თითოეული მთელი რიცხვი ასოცირდება ნარჩენების ერთობლიობასთან, სადაც

…

ამავდროულად, ჩინური ნარჩენების თეორემა გარანტიას იძლევა ინტერვალიდან რიცხვების წარმოდგენის უნიკალურობას.

RNS-ში არითმეტიკული მოქმედებები (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა) შესრულებულია კომპონენტის მიხედვით, თუ შედეგი ცნობილია, რომ არის მთელი რიცხვი და ასევე დევს .

RNS-ის უარყოფითი მხარეა რიცხვების მხოლოდ შეზღუდული რაოდენობის წარმოდგენის შესაძლებლობა, ასევე RNS-ში წარმოდგენილი რიცხვების შედარების ეფექტური ალგორითმის ნაკლებობა. შედარება ჩვეულებრივ ხორციელდება არგუმენტების თარგმნით RNS-დან შერეული რადიქსის რიცხვების სისტემაში.

შტერნი-ბროკოტის ნომრების სისტემა- პოზიტივის ჩაწერის გზა რაციონალური რიცხვიშტერნი-ბროკოტის ხეზე დაფუძნებული.

სხვადასხვა ერების რიცხვითი სისტემა

ერთეულის ნომრის სისტემა

როგორც ჩანს, ქრონოლოგიურად პირველი რიცხვითი სისტემა ყველა ერისა, რომელმაც დათვლა დაეუფლა. ნატურალური რიცხვი წარმოდგენილია იგივე ნიშნის (ტირე ან წერტილი) გამეორებით. მაგალითად, ნომრის 26-ის გამოსასახავად, თქვენ უნდა დახაზოთ 26 ხაზი (ან გააკეთოთ 26 ჭრილი ძვალზე, ქვაზე და ა.შ.). შემდგომში, დიდი რიცხვების აღქმის მოხერხებულობისთვის, ეს ნიშნები ჯგუფდება სამ ან ხუთ ჯგუფად. შემდეგ ნიშნების თანაბარი მოცულობის ჯგუფების შეცვლა იწყება ახალი ნიშნით - ასე წარმოიქმნება მომავალი რიცხვების პროტოტიპები.

ძველი ეგვიპტური რიცხვების სისტემა

ბაბილონის რიცხვთა სისტემა

ანბანური რიცხვითი სისტემები

ანბანურ რიცხვთა სისტემებს იყენებდნენ ძველი სომხები, ქართველები, ბერძნები (იონური რიცხვითი სისტემა), არაბები (აბჯადია), ებრაელები (იხ. გემატრია) და ახლო აღმოსავლეთის სხვა ხალხები. სლავურ ლიტურგიულ წიგნებში ბერძნული ანბანური სისტემა ითარგმნა კირიული ასოებით.

ებრაული რიცხვების სისტემა

ბერძნული რიცხვების სისტემა

რომაული რიცხვების სისტემა

თითქმის არაპოზიციური რიცხვების სისტემის კანონიკური მაგალითია რომაული, რომელიც იყენებს ლათინურ ასოებს რიცხვებად:
მე ვდგავარ 1-ზე,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
მ - 1000

მაგალითად, II = 1 + 1 = 2
აქ სიმბოლო I არის 1 რიცხვში მისი ადგილის მიუხედავად.

ფაქტობრივად, რომაული სისტემა არ არის სრულიად არაპოზიციური, რადგან მას აკლდება პატარა ციფრი, რომელიც უფრო დიდზე დგას, მაგალითად:

IV = 4, ხოლო:
VI = 6

მაიას რიცხვითი სისტემა

იხილეთ ასევე

შენიშვნები

ბმულები

  • გაშკოვი S.B.რიცხვითი სისტემები და მათი გამოყენება. - M.: MTsNMO, 2004. - (ბიბლიოთეკა „მათემატიკური განათლება“).
  • ფომინი ს.ვ.რიცხვითი სისტემები. - მ.: ნაუკა, 1987. - 48გვ. - (პოპულარული ლექციები მათემატიკაში).
  • იაგლომ I.რიცხვითი სისტემები // კვანტური. - 1970. - No 6. - გვ 2-10.
  • რიცხვები და რიცხვების სისტემები. ონლაინ ენციკლოპედია მთელ მსოფლიოში.
  • სტახოვი ა.რიცხვითი სისტემების როლი კომპიუტერების ისტორიაში.
  • Mikushin A.V ნომრის სისტემები. ლექციების კურსი "ციფრული მოწყობილობები და მიკროპროცესორები"
  • ბატლერი ჯ.ტ., სასაო ტ. ზედმეტი მრავალმნიშვნელოვანი რიცხვითი სისტემები სტატიაში განხილულია რიცხვითი სისტემები, რომლებიც იყენებენ ერთზე მეტ ციფრებს და აძლევენ ზედმეტობას რიცხვების წარმოდგენისას.

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

თქვენი კარგი სამუშაოს გაგზავნა ცოდნის ბაზაში მარტივია. გამოიყენეთ ქვემოთ მოცემული ფორმა

Კარგი ნამუშევარიასაიტზე">

სტუდენტები, კურსდამთავრებულები, ახალგაზრდა მეცნიერები, რომლებიც იყენებენ ცოდნის ბაზას სწავლასა და მუშაობაში, ძალიან მადლობლები იქნებიან თქვენი.

გამოქვეყნდა http://www.allbest.ru/

საკვლევი იპოთეკის დასახელება

” რიცხვითი სისტემების სახეები ”

რიცხვების სისტემის კონცეფცია. რიცხვითი სისტემების სახეები

აღნიშვნა-- რამდენიმე სახელისა და ნიშნის კოლექცია, რომელიც საშუალებას გაძლევთ ჩაწეროთ ნებისმიერი რიცხვი და მისცეთ სახელი.

აღნიშვნა:

· იძლევა რიცხვთა სიმრავლის (მთლიანი ან/და რეალური) გამოსახულებებს;

· თითოეულ რიცხვს აძლევს უნიკალურ წარმოდგენას (ან მინიმუმ სტანდარტულ წარმოდგენას);

· ასახავს რიცხვთა ალგებრულ და არითმეტიკულ სტრუქტურას.

რიცხვითი სისტემები იყოფა:

· პოზიციური;

· არაპოზიციური;

· შერეული.

პოზიციური რიცხვების სისტემები

პოზიციური რიცხვების სისტემაარის სისტემა, რომელშიც თითოეული ციფრის მნიშვნელობა დამოკიდებულია მის რიცხვობრივ ეკვივალენტზე და მის ადგილს (პოზიციაზე) რიცხვში, ე.ი. ერთსა და იმავე სიმბოლოს (ნომერს) შეუძლია სხვადასხვა მნიშვნელობა მიიღოს.

პოზიციური ნუმერაციის გამოგონება, რიცხვების ადგილის მნიშვნელობიდან გამომდინარე, მიეწერება შუმერებსა და ბაბილონელებს. ასეთი ნუმერაცია შეიმუშავეს ინდუსებმა და ფასდაუდებელი შედეგები მოჰყვა კაცობრიობის ცივილიზაციის ისტორიაში.

ყველაზე ცნობილი პოზიციური რიცხვების სისტემა არის ათობითი რიცხვების სისტემა, რომლის წარმოშობა დაკავშირებულია თითებზე დათვლასთან. იგი შუა საუკუნეების ევროპაში გაჩნდა იტალიელი ვაჭრების მეშვეობით, რომლებმაც ის თავის მხრივ ისესხეს მუსლიმებისგან.

ნებისმიერი პოზიციური რიცხვითი სისტემა ხასიათდება ფუძით. ბუნებრივი პოზიციური რიცხვების სისტემის საფუძველი ან საფუძველი (n) არის ნიშნების ან სიმბოლოების რაოდენობა, რომლებიც გამოიყენება მოცემულ სისტემაში რიცხვის წარმოსაჩენად. ამიტომ შესაძლებელია უსასრულო რაოდენობის პოზიციური სისტემები, რადგან ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი n>1 შეიძლება მივიღოთ ფუძედ, რომელიც ქმნის ახალი სისტემაგაანგარიშება.

პოზიციური რიცხვების სისტემაში გარკვეული რიცხვის წარმოდგენის ან ჩაწერისას, ნომრის შესაბამისი ციფრები მოთავსებულია ცალკეულ საჭირო პოზიციებზე, რომლებსაც ჩვეულებრივ უწოდებენ რიცხვის ციფრებს მოცემულ პოზიციურ რიცხვთა სისტემაში. რიცხვში ციფრების რაოდენობას ეწოდება რიცხვის ბიტის სიღრმე და ემთხვევა მის სიგრძეს.

ზოგადი რიცხვების სისტემა შეიძლება განისაზღვროს, როგორც მთელი და წილადი რიცხვების დაჯგუფება, რომელშიც თითოეული მათგანი წარმოდგენილია ფორმულით:

სადაც x არის თვითნებური რიცხვი, რომელიც იწერება რიცხვთა სისტემაში n ფუძით; სიმბოლო ai არის სერიის კოეფიციენტი, ე.ი. რიცხვითი ჩანაწერის მე-ე ციფრი; k, m -- მთელი და წილადი ციფრების რაოდენობა, შესაბამისად.

თითოეულ სიმძლავრის nk ასეთ აღნიშვნაში ეწოდება რანგის შეწონვის კოეფიციენტი. ციფრების და მათი შესაბამისი ციფრების ასაკი განისაზღვრება k ინდიკატორის მნიშვნელობით (ციფრის ნომერი). პოზიციური რიცხვების სისტემაში ციფრების რიცხვები ითვლება ათობითი წერტილის მარცხნივ მთელ რიცხვში, ხოლო წილადში - ათობითი წერტილიდან მარჯვნივ. უფრო მეტიც, ციფრების ნუმერაცია იწყება 0-დან. პოზიციური რიცხვითი სისტემის ფუძის მნიშვნელობა განსაზღვრავს მის სახელს: ათობითი სისტემისთვის ეს იქნება 10, რვატული სისტემისთვის იქნება 8, ორობითი სისტემისთვის იქნება 2. და ა.შ. ჩვეულებრივ, რიცხვითი სისტემის სახელის ნაცვლად გამოიყენება ტერმინი „ნომრის კოდი“. მაგალითად, ორობითი კოდის ცნება ნიშნავს რიცხვს, რომელიც წარმოდგენილია ორობით რიცხვთა სისტემაში, ათობითი კოდის ცნება ნიშნავს რიცხვს, რომელიც წარმოდგენილია ათობითი რიცხვების სისტემაში და ა.შ.

თუ არ არსებობს შეუსაბამობები (მაგალითად, როდესაც ყველა რიცხვი წარმოდგენილია უნიკალური წერილობითი სიმბოლოების სახით), რიცხვი x იწერება, როგორც მისი n-წლიან ციფრების თანმიმდევრობა, რომელიც ჩამოთვლილია მარცხნიდან მარჯვნივ ციფრების უპირატესობის კლებადობით:

ამჟამად ყველაზე ხშირად გამოყენებული პოზიციური სისტემებია:

· 2 -- ორობითი (დისკრეტულ მათემატიკაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში, პროგრამირებაში);

· 3 - სამიანი (სამიანი კომპიუტერებში (მაგალითად, "Setun"));

· 8 -- რვატული (გამოიყენება პროგრამირებაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში);

· 10 -- ათობითი (გამოიყენება ყველგან);

· 12 - თორმეტგოჯა (ათეულობით დათვლა);

· 16 -- თექვსმეტობითი (გამოიყენება პროგრამირებაში, კომპიუტერულ მეცნიერებაში);

· 60 -- sexagesimal (დროის ერთეული, კუთხეების საზომი და, კერძოდ, კოორდინატები, გრძედი და გრძედი).

პოზიციურ სისტემებში, რაც უფრო დიდია სისტემის საფუძველი, მით უფრო ნაკლები რიცხვია საჭირო რიცხვის ჩაწერისას.

ორობითი რიცხვების სისტემა-- პოზიციური რიცხვების სისტემა 2 ფუძით. ციფრულ ელექტრონულ სქემებში მისი პირდაპირი განხორციელების წყალობით, ლოგიკური კარიბჭეების გამოყენებით, ბინარული სისტემა გამოიყენება თითქმის ყველა თანამედროვე კომპიუტერში და სხვა გამოთვლით ელექტრონულ მოწყობილობებში. ბინარული რიცხვების სისტემაში რიცხვები იწერება ორი სიმბოლოს გამოყენებით (0 და 1). დაბნეულობის თავიდან აცილების მიზნით, თუ რომელ რიცხვთა სისტემაშია ჩაწერილი ნომერი, მას აქვს ინდიკატორი ქვედა მარჯვენა კუთხეში. მაგალითად, რიცხვი ათობითი სისტემაში არის 510, ორობითში ეს არის 1012. ზოგჯერ ორობითი რიცხვი აღინიშნება პრეფიქსით 0b, მაგალითად 0b101.

თარგმანის წესები

ნებისმიერი რიცხვითი სისტემიდან ათწილად რიცხვთა სისტემაში გადაყვანა

ნებისმიერი რიცხვითი სისტემიდან ათწილადად გადასაყვანად, თქვენ უნდა ჩაწეროთ ეს რიცხვი ზოგადი ფორმით:

ანბნ+ან-1ბნ-1+ან-2ბნ-2+...+a2b2+a1b1+a0b0

მაგალითად: გადავიყვანოთ რიცხვი 12568 ათობითი რიცხვების სისტემაში.

12568=1·8 3 +2·8 2 +5·8 1 +6·8 0 =1·512+2·64+5·8+6·1=68610.

რიცხვის გადაქცევა ათობითი რიცხვითი სისტემიდან სხვა სისტემაში

1) მოცემული რიცხვი გავყოთ სისტემის ფუძეზე, რომელშიც უნდა გადაიყვანოთ რიცხვი.

2) მიღებული რიცხვი ანალოგიურად გავყოთ სისტემის საფუძველზე, რომელშიც რიცხვი უნდა გადაიყვანოს.

3) გაიმეორეთ წერტილი 2 მანამ, სანამ მიღებული კოეფიციენტი არ იქნება ნაკლები ფუძეზე.

4) ჩამოწერეთ ნაშთები გაყოფიდან თანმიმდევრობით ბოლოდან პირველამდე.

რიცხვების ორობითიდან რვადიანად გადაქცევის წესი

1) სამი ციფრის რაოდენობას ვყოფთ ჯგუფებად, დაწყებული ყველაზე დაბალი ციფრით.

თუ სამი ციფრი აკლია, მაშინ დაამატეთ ნულების საჭირო რაოდენობა მარცხნივ.

2) ჩვენ ვცვლით თითოეულ მიღებულ სამეულს რვა რიცხვების სისტემიდან.

ორობითი ტრიადები

რვა რიცხვები

3) წილადის ნაწილს ვყოფთ სამეულებად ათობითი წერტილის მარჯვნივ.

რიცხვების გადაყვანა ბინარიდან თექვსმეტობით

1) ოთხი ციფრის რაოდენობას ვყოფთ ჯგუფებად, დაწყებული ყველაზე დაბალი ციფრით.

თუ მთელი ოთხი ციფრი აკლია, მაშინ დაამატეთ საჭირო რაოდენობის ნულები მარცხნივ.

2) ჩვენ ვცვლით თითოეულ მიღებულ ოთხ ციფრს რიცხვით რვა რიცხვების სისტემიდან.

3) წილადის ნაწილს ვყოფთ ოთხად ათწილადის მარჯვნივ.

თუ არ არის საკმარისი რიცხვები, მაშინ ჩვენ ვაძლევთ ნულებს მარჯვნივ.

რიცხვების რვა რიცხვების სისტემიდან ორობითად გადაქცევის წესი

1) შეცვალეთ მოცემული რვა რიცხვის თითოეული ციფრი მისი შესაბამისი ორობითი ეკვივალენტით.

2) თუ არ არის საკმარისი რიცხვი სრულ სამამდე მისასვლელად, მაშინ ამ სამში ვამატებთ მარცხნივ ნულების გამოტოვებულ რაოდენობას.

რიცხვების თექვსმეტობითიდან ორობითად გადაქცევა

1) შეცვალეთ მოცემული თექვსმეტობითი რიცხვის თითოეული ციფრი მისი შესაბამისი ორობითი ეკვივალენტით.

2) თუ რიცხვები არ არის საკმარისი იმისათვის, რომ მივაღწიოთ სრულ ოთხს, მაშინ ამ ოთხში ვამატებთ ნულების გამოტოვებულ რაოდენობას მარჯვნივ.

არაჩვეულებრივი პოზიციური რიცხვითი სისტემები

უჩვეულო რიცხვები ფართოდ არ გამოიყენება, მაგრამ ისინი შეიძლება იყოს საინტერესო თეორიული თვალსაზრისით. უჩვეულო რიცხვთა სისტემებს შორის შეიძლება გამოვყოთ: რიცხვის პოზიციური სიმბოლური ნიშანი

· რიცხვითი სისტემები არაბუნებრივი ფუძეებით

o უარყოფითი,

o ირაციონალური,

o კომპლექსი (მაგ.: 1 + i);

· რიცხვითი სისტემები რამდენიმე ფუძით;

o წყობილი (ორობითი-ათწილადი, ათობითი-თექვსმეტობითი და ა.შ.)

· რიცხვითი სისტემები რიცხვების არასტანდარტული ნაკრებით:

ნულის მიმართ სიმეტრიული რიცხვების სიმრავლით.

რიცხვითი სისტემები უარყოფითი ბაზებით

უარყოფითი ფუძეები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ უარყოფითი რიცხვები ნიშნისთვის დამატებითი სიმბოლოს შემოღების გარეშე. რიცხვების გამოსახატავად, რიცხვების იგივე ნაკრები გამოიყენება, როგორც სისტემისთვის, რომლის ბუნებრივი ბაზა ტოლია აბსოლუტური მნიშვნელობით. ამრიგად, რიცხვის კენტ ციფრებს აქვთ უარყოფითი წონა.

რიცხვითი სისტემები ირაციონალური ფუძით

ფორმის ირაციონალური რიცხვი შეიძლება გამოისახოს რიცხვთა სისტემაში ირაციონალური ფუძის მქონე რიცხვების გამოყენებით.

რიცხვითი სისტემები რთული ბაზით

უარყოფითი ბაზის სისტემების მსგავსად, რთული ფუძეები საშუალებას გაძლევთ გამოხატოთ რთული რიცხვები.

ამისათვის რიცხვითი სისტემის საფუძველი აღებულია შემდეგნაირად:

პირობის დაკმაყოფილება - ნაკრებში ციფრების რაოდენობა.

საბაზისო სისტემები წყობილი ბაზებით

თუ უფრო დიდი ფუძის მქონე რიცხვითი სისტემის ციფრები წარმოდგენილია რიცხვებით რიცხვთა სისტემაში უფრო მცირე ფუძით, მაშინ მიიღება რიცხვითი სისტემის სპეციალური კომპოზიციური ტიპი.

ცნობილია ათწილად-თექვსმეტობითი რიცხვების სისტემა, რომელიც გამოიყენება დროის გასაზომად - ათწილადის სისტემაში ჩაწერილი საათები, წუთები და წამები აქ ჩნდება სქესობრივი რიცხვების სისტემის ციფრების სახით. ეს სისტემა მოვიდა ბაბილონიდან, სადაც სექსისიმალური სისტემა, რომელიც დაფუძნებულია მხოლოდ სამ ლურსმული სიმბოლოზე, ფართოდ გამოიყენებოდა რიცხვების დასაწერად:

· ვერტიკალური სოლი - გამონადენის ერთეული;

· სოლის კუთხე - ათი წოდება;

· დახრილი სოლი - ნული, ცარიელი ციფრი;

ორობითი ათობითი რიცხვების სისტემა გამოიყენება გამოთვლებში. ორობითი ციფრები დაჯგუფებულია ოთხკაციან ჯგუფად, სადაც თითოეული ტეტრადი (ტეტრადი, ნიბლი) შიფრავს ერთ ათობითი ციფრს. ეს საშუალებას გაძლევთ იმუშაოთ მოწყობილობებთან, რომლებსაც აქვთ ათობითი ჩვენება და შეყვანა რიცხვითი სისტემების კონვერტაციის გარეშე.

რიცხვების არასტანდარტული სიმრავლეები, სიმეტრიული სიმეტრიული ნულის მიმართ

უარყოფითი რიცხვების ჩაწერის ალტერნატიული გზა მინუს ნიშნის გამოყენების გარეშე (გარდა უარყოფითი საფუძვლებისა) არის უარყოფითი შეწონილი ციფრების გამოყენება. ამ შემთხვევაში, რიცხვის ჩასაწერად არ არის საჭირო სხვადასხვა ციფრის რაოდენობის გაზრდა - ნაკრების ნაცვლად შეგიძლიათ გამოიყენოთ ნებისმიერი ტიპის ნაკრები.

ამ მხრივ აღსანიშნავია რიცხვების სიმეტრიული სიმრავლის გამოყენება. თუ ავიღებთ რიცხვთა სისტემას მე-2 ტიპის კენტი ფუძით გვ+ 1, მაშინ რიცხვების ნაკრები ასე გამოიყურება.

ამ მიდგომამ იპოვა გამოყენება სამჯერ კომპიუტერებში (მაგალითად, "Setun").

შერეული რიცხვების სისტემა

შერეული რიცხვების სისტემაარის n-ary რიცხვითი სისტემის განზოგადება და ასევე ხშირად ეხება პოზიციურ რიცხვთა სისტემებს. შერეული რიცხვების სისტემის საფუძველია რიცხვების მზარდი თანმიმდევრობა და მასში თითოეული რიცხვი წარმოდგენილია როგორც წრფივი კომბინაცია:

ni-ს, როგორც ფუნქციის ტიპის მიხედვით, შერეული რიცხვითი სისტემები შეიძლება იყოს სიმძლავრე, ექსპონენციალური, ფაქტორული, ფიბონაჩი და ა.შ. როდესაც ზოგიერთი n-ისთვის შერეული რიცხვითი სისტემა ემთხვევა ექსპონენციალურ n-წლიან რიცხვთა სისტემას.

შერეული რიცხვების სისტემის ყველაზე ნათელი მაგალითია დროის წარმოდგენა დღეების, საათების, წუთებისა და წამების რაოდენობად. ამ შემთხვევაში მნიშვნელობა "d დღე, h საათი, m წუთი, s წამი" შეესაბამება მნიშვნელობას

არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები

არაპოზიციური რიცხვების სისტემა-- არის სისტემა, რომლისთვისაც სიმბოლოს მნიშვნელობა, ე.ი. რიცხვები, არ არის დამოკიდებული მის პოზიციაზე რიცხვში. ამ შემთხვევაში, სისტემას შეუძლია დააწესოს შეზღუდვები რიცხვების პოზიციაზე, მაგალითად, ისე, რომ ისინი განლაგდეს კლებადობით.

ბინომალური რიცხვების სისტემა

ბინომალური რიცხვების სისტემაში რიცხვი x წარმოდგენილია ორობითი კოეფიციენტების ჯამის სახით:

n-ის ნებისმიერი ფიქსირებული მნიშვნელობისთვის, თითოეული ნატურალური რიცხვი წარმოდგენილია უნიკალური გზით.

ნარჩენი კლასის სისტემა (RSS)

ნარჩენი კლასის სისტემაში რიცხვის წარმოდგენა ეფუძნება ნარჩენის კონცეფციას და ჩინური ნარჩენების თეორემას. RNS განისაზღვრება წყვილი coprime-ის სიმრავლით მოდულებიპროდუქტთან ისე, რომ სეგმენტიდან თითოეული მთელი რიცხვი ასოცირდება ნარჩენების ერთობლიობასთან, სადაც

RNS უზრუნველყოფს უნიკალურ წარმოდგენას ნომრებისთვის ინტერვალიდან

RNS-ში არითმეტიკული მოქმედებები (შეკრება, გამოკლება, გამრავლება, გაყოფა) შესრულებულია კომპონენტის მიხედვით, თუ შედეგი ცნობილია, რომ არის მთელი რიცხვი და ასევე დევს .

RNS-ის უარყოფითი მხარეა რიცხვების მხოლოდ შეზღუდული რაოდენობის წარმოდგენის შესაძლებლობა, ასევე RNS-ში წარმოდგენილი რიცხვების შედარების ეფექტური ალგორითმის ნაკლებობა.

ისტორიული რიცხვითი სისტემები

ერთეულის ნომრის სისტემა

ქრონოლოგიურად, ყველა ერის პირველი რიცხვითი სისტემა, რომელმაც დათვლა აითვისა. ნატურალური რიცხვი წარმოდგენილია იგივე ნიშნის (ტირე ან წერტილი) გამეორებით. შემდგომში, დიდი რიცხვების აღქმის მოხერხებულობისთვის, ეს ნიშნები ჯგუფდება სამ ან ხუთ ჯგუფად. შემდეგ ნიშნების თანაბარი მოცულობის ჯგუფების შეცვლა იწყება ახალი ნიშნით - ასე წარმოიქმნება მომავალი რიცხვების პროტოტიპები.

ხუთჯერადი რიცხვების სისტემა (დათვლა ქუსლების მიხედვითმ)

რუსეთში არსებობდა. მას ხალხი იყენებდა მე-18 საუკუნის ბოლომდე მაინც - XIX დასაწყისშისაუკუნეებს

ძველი ეგვიპტური რიცხვების სისტემა

ძველი ეგვიპტური ათობითი არაპოზიციური რიცხვების სისტემა წარმოიშვა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III ათასწლეულის მეორე ნახევარში. ე. სპეციალური ნომრები გამოიყენეს 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 რიცხვების აღსანიშნავად. ეგვიპტურ რიცხვთა სისტემაში რიცხვები იწერებოდა ამ ციფრების კომბინაციების სახით, რომლებშიც თითოეული ციფრი მეორდებოდა არაუმეტეს ცხრაჯერ. რიცხვის მნიშვნელობა უდრის მის ჩაწერაში ჩართული ციფრების მნიშვნელობების მარტივ ჯამს.

ანბანური რიცხვითი სისტემები

ანბანურ რიცხვთა სისტემებს იყენებდნენ ძველი სომხები, ქართველები, ბერძნები (იონური რიცხვითი სისტემა), არაბები (აბჯადია), ებრაელები და ახლო აღმოსავლეთის სხვა ხალხები. სლავურ ლიტურგიულ წიგნებში ბერძნული ანბანური სისტემა ითარგმნა კირიული ასოებით.

რომაული რიცხვების სისტემა

თითქმის არაპოზიციური რიცხვების სისტემის კანონიკური მაგალითია რომაული, რომელიც იყენებს ლათინურ ასოებს რიცხვებად:

მე ვდგავარ 1-ზე,

რომაული სისტემა არ არის სრულიად არაპოზიციური, რადგან მას აკლდება პატარა ციფრი, რომელიც უფრო დიდზე დგას.

მაიას რიცხვითი სისტემა

მაიაებმა გამოიყენეს საბაზისო-20 რიცხვითი სისტემა ერთი გამონაკლისით: მეორე ციფრს ჰქონდა არა 20, არამედ 18 გრადუსი, ანუ რიცხვს 17 19 მაშინვე მოჰყვა რიცხვი 1 0 0. ეს გაკეთდა კალენდრის გამოთვლების გასაადვილებლად. ციკლი, ვინაიდან 1 0 0 = 360 დაახლოებით უდრის მზის წელიწადში დღეების რაოდენობას.

ჩაწერისთვის მთავარი გმირები იყო წერტილები (ერთეულები) და სეგმენტები (ხუთები).

ინკა კვიპუ

მონაცემთა ბაზების პროტოტიპი ფართოდ გამოიყენება ცენტრალურ ანდებში (პერუ, ბოლივია) სახელმწიფო და საზოგადოებრივი მიზნებისთვის ჩვენს წელთაღრიცხვამდე 1-2 ათასწლეულში. ე., იყო ინკას - კვიპუს კვანძოვანი ჩანაწერი, რომელიც შედგებოდა როგორც რიცხვითი ჩანაწერებისგან ათობითი სისტემაში, ასევე არაციფრული ჩანაწერებისგან ორობითი კოდირების სისტემაში. დასტამ გამოიყენა პირველადი და მეორადი კლავიშები, პოზიციური ნომრები, ფერის კოდირება და განმეორებადი მონაცემების სერიალიზაცია. პირველად კაცობრიობის ისტორიაში, qipu გამოიყენეს აღრიცხვის ისეთი მეთოდის გამოსაყენებლად, როგორიცაა ორმაგი ჩანაწერი.

ბიბლიოგრაფია

1. A. G. Tsypkin. "მათემატიკის სახელმძღვანელო საშუალო სკოლებისთვის"

გამოქვეყნებულია Allbest.ru-ზე

...

მსგავსი დოკუმენტები

    რიცხვითი სისტემების კონცეფცია და მათემატიკური შინაარსი, მათი სახეობები და გამოყენების სფერო. მახასიათებლებიდა პოზიციური და არაპოზიციური, ორობითი და ათობითი რიცხვების სისტემების მახასიათებლები. რიცხვების ერთი სისტემიდან მეორეში გადაყვანის პროცედურა.

    პრეზენტაცია, დამატებულია 11/10/2010

    რიცხვითი სისტემა, რომელიც გამოიყენება თანამედროვე მათემატიკაში, გამოიყენება კომპიუტერებში. რიცხვების წერა რომაული ციფრებით. ათობითი რიცხვების სხვა რიცხვების სისტემებზე გადაყვანა. წილადი და შერეული ორობითი რიცხვების გადაქცევა. არითმეტიკა პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში.

    რეზიუმე, დამატებულია 07/09/2009

    რიცხვითი სისტემების ისტორიის შესწავლა. ერთეული და ორობითი რიცხვითი სისტემების აღწერა, ძველი ბერძნული, სლავური, რომაული და ბაბილონური ადგილების ნუმერაცია. ორობითი კოდირების ანალიზი კომპიუტერში. რიცხვების გადაყვანა ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეზე.

    ტესტი, დამატებულია 11/04/2013

    რიცხვების წერისა და კითხვის ტექნიკისა და წესების ნაკრები. ცნებების განმარტება: რიცხვთა სისტემა, ფიგურა, რიცხვი, ციფრი. რიცხვითი სისტემების ფუძის კლასიფიკაცია და განსაზღვრა. განსხვავება რიცხვსა და ციფრს, პოზიციურ და არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემებს შორის.

    პრეზენტაცია, დამატებულია 04/15/2015

    რიცხვების სისტემის კონცეფცია. რიცხვითი სისტემების განვითარების ისტორია. ნატურალური რიცხვის ცნება, რიგითი მიმართებები. ათობითი რიცხვების სისტემის მახასიათებლები. ზოგადი საკითხებიარაუარყოფითი მთელი რიცხვების ნუმერაციის შესწავლა საწყისი კურსიმათემატიკა.

    კურსის სამუშაო, დამატებულია 29/04/2017

    რიცხვების მათემატიკური თეორია. რიცხვითი სისტემების კონცეფცია. ორობითი რიცხვების სისტემის აპლიკაციები. კომპიუტერული ტექნოლოგია და საინფორმაციო ტექნოლოგიები. ანბანური არაერთგვაროვანი ორობითი კოდირება. ორობითი რიცხვების სისტემის უპირატესობები და უარყოფითი მხარეები.

    რეზიუმე, დამატებულია 25/12/2014

    რიცხვითი სისტემების განვითარების ისტორია. არაპოზიციური, პოზიციური და ათობითი რიცხვების სისტემები. რიცხვითი სისტემების გამოყენება კომპიუტერულ ტექნოლოგიაში და საინფორმაციო ტექნოლოგია. ინფორმაციის ორობითი კოდირება კომპიუტერში. ბინარული კოდების აგება.

    კურსის სამუშაო, დამატებულია 21/06/2010

    ანბანურ რიცხვთა სისტემაში რიცხვების ჩაწერის გაცნობა. y ასოების რიცხვითი მნიშვნელობების დადგენის თავისებურებები სლავური ხალხები. სლავურ რიცხვთა სისტემაში დიდი რიცხვების ჩაწერის განხილვა. "თემების", "ლეგიონების", "ლეორდების" და "გემბანების" აღნიშვნა.

    პრეზენტაცია, დამატებულია 09/30/2012

    რიცხვთა სისტემის, რიცხვების, რიცხვების, ანბანის განმარტებები. რიცხვითი სისტემების სახეები. ბინარული კოდების დადებითი და უარყოფითი მხარეები. თექვსმეტობითი სისტემის ოქტალად გადაქცევა და ტეტრადებად და ტრიადებად დაშლა. ბაშეს პრობლემის გადაჭრა სამიანი დაბალანსებული სისტემის მეთოდით.

    პრეზენტაცია, დამატებულია 06/20/2011

    ორობითი, ოქტალური და თექვსმეტობითი რიცხვითი სისტემების არსი, მათი გამორჩეული მახასიათებლებიდა ურთიერთდაკავშირება. რიცხვების ერთი სისტემიდან მეორეში გადაყვანის ალგორითმის მაგალითი. მოცემული ლოგიკური ფუნქციებისთვის სიმართლის ცხრილისა და ლოგიკური დიაგრამის შედგენა.

ამ თემის შესწავლის შემდეგ გაიგებთ და გაიმეორებთ:

რა რიცხვითი სისტემები არსებობს;
- როგორ ხდება რიცხვების გარდაქმნა ერთი რიცხვითი სისტემიდან მეორეში;
- რა რიცხვითი სისტემებით მუშაობს კომპიუტერი;
- როგორ წარმოადგენენ თავს სხვადასხვა ნომრებიკომპიუტერის მეხსიერებაში.

უძველესი დროიდან ადამიანებს აწყდებოდათ რიცხვითი ინფორმაციის აღნიშვნის (კოდირების) პრობლემა.

პატარა ბავშვები თითებზე აჩვენებენ ასაკს. მფრინავმა ჩამოაგდო თვითმფრინავი, ის ამისთვის იღებს ვარსკვლავს, რობინზონ კრუზო დღეებს ჭრილობებით ითვლიდა.

რიცხვი აღნიშნავს ზოგიერთ რეალურ ობიექტს, რომელთა თვისებებიც იგივე იყო. როცა რაღაცას ვითვლით ან ვიხსენებთ, თითქოს ობიექტებს ვაპირისპირებთ, ე.ი. ჩვენ ვგულისხმობთ, რომ მათი თვისებები იგივეა. მაგრამ რიცხვის ყველაზე მნიშვნელოვანი თვისება არის ობიექტის არსებობა, ე.ი. ერთეული და მისი არარსებობა, ე.ი. ნული.

რა არის რიცხვი?

ეს არის რიცხვების ანბანი, სიმბოლოების ერთობლიობა, რომლითაც ვაშიფრავთ რიცხვებს. რიცხვები არის რიცხვითი ანბანი.

რიცხვები და რიცხვები ორი განსხვავებული რამაა! განვიხილოთ ორი რიცხვი 5 2 და 2 5. რიცხვები იგივეა - 5 და 2.

რით განსხვავდება ეს რიცხვები?

რიცხვების მიხედვით? - დიახ! მაგრამ უმჯობესია ვთქვათ - ციფრის პოზიცია რიცხვში.

მოდით ვიფიქროთ რა არის რიცხვითი სისტემა?

ეს ციფრებს წერს? დიახ! მაგრამ ჩვენ არ შეგვიძლია დავწეროთ ისე, როგორც გვსურს - სხვებმა უნდა გაგვაგონ. ამიტომ, ასევე აუცილებელია მათი ჩაწერისთვის გარკვეული წესების გამოყენება.

რიცხვების სისტემის კონცეფცია

ნომრები გამოიყენება ობიექტების რაოდენობის შესახებ ინფორმაციის ჩასაწერად. რიცხვები იწერება სპეციალური ნიშნების სისტემების გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება რიცხვითი სისტემები. რიცხვითი სისტემების ანბანი შედგება სიმბოლოებისგან, რომლებსაც ციფრები ეწოდება. მაგალითად, ათობითი რიცხვების სისტემაში რიცხვები იწერება ათი ცნობილი ციფრის გამოყენებით: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

რიცხვითი სისტემა არის ხელმოწერილი სისტემა, რომელშიც რიცხვები იწერება გარკვეული წესების მიხედვით გარკვეული ანბანის სიმბოლოების გამოყენებით, რომელსაც ეწოდება ციფრები.

ყველა რიცხვითი სისტემა იყოფა ორ დიდ ჯგუფად: პოზიციური და არაპოზიციურირიცხვითი სისტემები. პოზიციურ რიცხვთა სისტემებში ციფრის მნიშვნელობა დამოკიდებულია მის პოზიციაზე რიცხვში, მაგრამ არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემებში ეს არ არის დამოკიდებული.

არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები წარმოიშვა უფრო ადრე, ვიდრე პოზიციური, ამიტომ პირველ რიგში განვიხილავთ სხვადასხვა არაპოზიციურ რიცხვთა სისტემას.

არაპოზიციური რიცხვითი სისტემები

არაპოზიციური რიცხვების სისტემა არის რიცხვითი სისტემა, რომელშიც ციფრის რაოდენობრივი ეკვივალენტი („წონა“) არ არის დამოკიდებული მის მდებარეობაზე რიცხვთა ჩანაწერში.

არაპოზიციურ სისტემებს მიეკუთვნება: რომაული რიცხვითი სისტემა, ანბანური რიცხვითი სისტემები და სხვა.

თავიდან ადამიანები უბრალოდ განასხვავებდნენ ერთ ობიექტს მათ წინ თუ არა. თუ იყო ერთზე მეტი ელემენტი, ისინი ამბობდნენ "ბევრი".

მათემატიკის პირველი ცნებები იყო "ნაკლები", "მეტი", "იგივე".

თუ ერთი ტომი დაჭერილ თევზს სხვა ტომის ხალხის მიერ დამზადებულ ქვის დანებში ცვლიდა, არ იყო საჭირო იმის დათვლა, რამდენი თევზი და რამდენი დანა მოიტანეს. საკმარისი იყო თითოეული თევზის გვერდით დანა დაედოთ, რათა ტომებს შორის გაცვლა მომხდარიყო.

ანგარიში გამოჩნდა მაშინ, როდესაც ადამიანს სჭირდებოდა ეცნობებინა თანატომელებს აღმოჩენილი საგნების რაოდენობის შესახებ.

და, რადგან ძველ დროში ბევრი ხალხი არ ურთიერთობდა ერთმანეთთან, მაშინ სხვადასხვა ერებსწარმოიშვა რიცხვებისა და ფიგურების ნუმერაციისა და წარმოდგენის სხვადასხვა სისტემა.

მრავალ ენაზე რიცხვები მიუთითებს იმაზე, რომ პრიმიტიული ადამიანის დათვლის ხელსაწყოები ძირითადად თითები იყო.

თითები შესანიშნავი გამოთვლითი მანქანა აღმოჩნდა. მათი დახმარებით 5-მდე დათვლა შეიძლებოდა, ხოლო თუ ორ ხელს აიღებ, მაშინ 10-მდე. ძველად ადამიანები ფეხშიშველი დადიოდნენ. ამიტომ მათ შეეძლოთ თითების და ფეხის თითების გამოყენება დასათვლელად. პოლინეზიაში ჯერ კიდევ არსებობს ტომები, რომლებიც იყენებენ მე-20 რიცხვთა სისტემას.

თუმცა ცნობილია ხალხები, რომელთა დათვლის ერთეულები იყო არა თითები, არამედ სახსრები.

საკმაოდ გავრცელებული იყო თორმეტგოჯა რიცხვების სისტემა. მისი წარმოშობა თითებით დათვლას უკავშირდება. დანარჩენი ოთხი თითის ფალანგები ცერით დათვალეს: სულ 12-ია.

თორმეტგოჯა რიცხვების სისტემის ელემენტები შენარჩუნდა ინგლისში ზომების სისტემაში (1 ფუტი = 12 ინჩი) და ფულად სისტემაში (1 შილინგი = 12 პენსი). ხშირად ყოველდღიურ ცხოვრებაში ვხვდებით თორმეტგოჯა რიცხვების სისტემას: ჩაის და მაგიდის კომპლექტი 12 ადამიანისთვის, ცხვირსახოცების ნაკრები - 12 ცალი.

რიცხვებს ინგლისურად ერთიდან თორმეტამდე აქვთ საკუთარი სახელი, შემდგომი რიცხვები შედგენილია:

13-დან 19-მდე რიცხვებისთვის, სიტყვების დასასრული არის მოზარდი. მაგალითად, 15 -- თხუთმეტი.

თითების დათვლა ზოგან დღემდეა შემორჩენილი. მაგალითად, მსოფლიოს უდიდეს მარცვლეულის ბირჟაზე, ჩიკაგოში, შეთავაზებებს და თხოვნებს, ისევე როგორც ფასებს, ბროკერები თითებზე ერთი სიტყვის გარეშე აცხადებენ.

ძნელი იყო დიდი რიცხვების დამახსოვრება, ამიტომ ხელებისა და ფეხების „დამთვლელ მანქანას“ დაემატა სხვადასხვა მოწყობილობები. საჭირო იყო ნომრების ჩაწერა.

საგნების რაოდენობა გამოსახული იყო ტირეების ან სერიების დახატვით ნებისმიერ მყარ ზედაპირზე: ქვა, თიხა...

ერთეული ("ჯოხი") ნომრის სისტემა

რიცხვების დაწერის აუცილებლობა გაჩნდა ძალიან ძველ დროში, როგორც კი ადამიანებმა დაიწყეს დათვლა. საგნების რაოდენობა გამოსახული იყო ხაზების ან სერიების დახატვით ნებისმიერ მყარ ზედაპირზე: ქვა, თიხა, ხე (ქაღალდის გამოგონება ჯერ კიდევ ძალიან, ძალიან შორს იყო). ასეთ ჩანაწერში თითოეული ობიექტი შეესაბამებოდა ერთ ხაზს. ასეთი „ჩანაწერები“ არქეოლოგებმა აღმოაჩინეს კულტურული ფენების გათხრების დროს, რომლებიც დათარიღებულია პალეოლითის პერიოდით (ძვ. წ. 10-11 ათასი წელი).

რიცხვების ჩაწერის ამ მეთოდს მეცნიერებმა უწოდეს ერთეული ("ჯოხი") რიცხვების სისტემა. მასში მხოლოდ ერთი ტიპის ნიშანი გამოიყენებოდა რიცხვების ჩასაწერად - „ჯოხი“. ასეთ რიცხვთა სისტემაში თითოეული რიცხვი ინიშნებოდა ჯოხებით შედგენილი ხაზის გამოყენებით, რომლის რაოდენობაც დანიშნულ რიცხვის ტოლი იყო. პერუელები რიცხვების დასამახსოვრებლად იყენებდნენ მრავალფეროვან თოკებს, რომელზეც კვანძები იყო მიბმული. რიცხვების ჩაწერის საინტერესო ხერხს იყენებდნენ ინდური ცივილიზაციები ჩვენს წელთაღრიცხვამდე VIII საუკუნეში. ახალი ერა. Ისინი გამოიყენება " კვანძის ასო"- ძაფები ერთმანეთთან არის დაკავშირებული. ამ ძაფებზე სიმბოლოები იყო კვანძები, ხშირად მათში ჩაქსოვილი ქვები ან ჭურვები. რიცხვების კვანძოვანი ჩანაწერი საშუალებას აძლევდა ინკებს გადაეცათ ინფორმაცია მეომრების რაოდენობის შესახებ, მიუთითეთ დაღუპულთა ან დაბადებულთა რაოდენობა კონკრეტულ პროვინციაში და ა.შ.


დაახლოებით 1100 წ ე. ინგლისის მეფეჰენრი I-მა გამოიგონა ისტორიაში ერთ-ერთი ყველაზე უჩვეულო ფულადი სისტემა, სახელწოდებით "საზომი ღერო" სისტემა. ეს ფულადი სისტემაგაგრძელდა 726 წელი და გაუქმდა 1826 წელს.

გაპრიალებული ხის ზოლი ნომინალის აღმნიშვნელი ჭრილებით იყო გაყოფილი მთელ სიგრძეზე ისე, რომ შენარჩუნებულიყო ჭრილები.

რიცხვების ჩაწერისთვის ასეთი სისტემის უხერხულობა და მისი გამოყენების შეზღუდვები აშკარაა: რაც უფრო დიდია რიცხვი, რომელიც უნდა დაიწეროს, მით უფრო გრძელია ჯოხების სტრიქონი. ხოლო დიდი რიცხვის ჩაწერისას ადვილია შეცდომის დაშვება ჯოხების დამატებითი რაოდენობის მიმატებით ან, პირიქით, არ ჩამოწერით.

ძველი ეგვიპტური ათობითი რიცხვების სისტემა (ძვ.წ. 2,5 ათასი)

ჩვენს წელთაღრიცხვამდე III ათასწლეულში ძველმა ეგვიპტელებმა გამოავლინეს საკუთარი რიცხვითი სისტემა, რომელშიც უნდა დაენიშნათ გასაღები ნომრები 1, 10, 100 და ა.შ. გამოიყენებოდა სპეციალური ხატები - იეროგლიფები.

ყველა სხვა რიცხვი შედგენილი იყო ამ საკვანძო რიცხვებიდან შეკრების ოპერაციის გამოყენებით. ძველი ეგვიპტის რიცხვითი სისტემა არის ათობითი, მაგრამ არაპოზიციური და დანამატი.

ნომრის ციფრები ჩაიწერა დაწყებული დიდი ღირებულებებიდა დამთავრებული პატარაებით. თუ არ იყო ათეული, ერთეული ან სხვა ციფრი, მაშინ გადავედით შემდეგ ციფრზე.

სცადეთ ამ ორი რიცხვის დამატება, იცოდეთ, რომ არ შეგიძლიათ გამოიყენოთ 9-ზე მეტი იდენტური იეროგლიფი და მაშინვე მიხვდებით, რომ ამ სისტემასთან მუშაობისთვის საჭიროა სპეციალური ადამიანი. ჩვეულებრივი ადამიანი ამას ვერ გააკეთებს.

რომაული ათობითი რიცხვების სისტემა (ძვ. წ. 2 ათასი წელი დღემდე)

არაპოზიციური რიცხვების სისტემებიდან ყველაზე გავრცელებულია რომაული სისტემა.

რომაული ციფრების მთავარი პრობლემა ის არის, რომ გამრავლება და გაყოფა რთულია. რომაული სისტემის კიდევ ერთი მინუსი არის: დიდი რიცხვების დაწერა მოითხოვს ახალი სიმბოლოების შემოღებას. ა წილადი რიცხვებიშეიძლება დაიწეროს მხოლოდ ორი რიცხვის თანაფარდობით. თუმცა, ისინი ძირითადი იყო შუა საუკუნეების ბოლომდე. მაგრამ ჩვენს დროში ისინი ჯერ კიდევ გამოიყენება.

გახსოვს სად?

ციფრის მნიშვნელობა არ არის დამოკიდებული მის პოზიციაზე რიცხვში.

მაგალითად, რიცხვში XXX (30) რიცხვი X ჩნდება სამჯერ და თითოეულ შემთხვევაში აღნიშნავს ერთსა და იმავე მნიშვნელობას - რიცხვი 10, 10-ის სამი რიცხვი ემატება 30-ს.

რიცხვის ზომა რომაულ ციფრულ სისტემაში განისაზღვრება, როგორც რიცხვის ციფრების ჯამი ან განსხვავება. თუ უფრო მცირე რიცხვი არის უფრო დიდის მარცხნივ, მაშინ მას აკლებს, თუ მარჯვნივ - ემატება.

გახსოვდეთ: 5, 50, 500 არ მეორდება!

რომელი შეიძლება განმეორდეს?

თუ მთავარი ციფრის მარცხნივ არის მცირე ციფრი, ის კლდება. თუ ყველაზე დაბალი ციფრი არის უმაღლესის მარჯვნივ, მაშინ მას ემატება - I, X, C, M შეიძლება განმეორდეს 3-ჯერ.

Მაგალითად:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004 წ

2) 149 = (ასი არის C, ორმოცი არის XL და ცხრა არის IX) = CXLIX

მაგალითად, ათობითი რიცხვის 1998 ჩაწერა რომაულ ციფრულ სისტემაში ასე გამოიყურება: MSMХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

ანბანური რიცხვითი სისტემები
სლავური კირილიცა ათობითი ანბანი

ეს ნუმერაცია შეიქმნა სლავურ ანბანურ სისტემასთან ერთად სლავებისთვის წმინდა ბიბლიური წიგნების გადასათარგმნად ბერძენი ბერების ძმების კირილისა და მეთოდიუსის მიერ მე-9 საუკუნეში. რიცხვების ჩაწერის ეს ფორმა ფართოდ გავრცელდა იმის გამო, რომ იგი სრულიად ჰგავდა რიცხვების ბერძნულ აღნიშვნას. მე-17 საუკუნემდე ნომრების ჩაწერის ეს ფორმა ოფიციალური იყო თანამედროვე რუსეთის, ბელორუსიის, უკრაინის, ბულგარეთის, უნგრეთის, სერბეთისა და ხორვატიის ტერიტორიაზე. აქამდე მართლმადიდებლური საეკლესიო წიგნები ამ ნუმერაციას იყენებენ.

რიცხვები იწერებოდა ციფრებიდან იმავე გზით მარცხნიდან მარჯვნივ, დიდიდან პატარამდე. 11-დან 19-მდე რიცხვები იწერებოდა ორციფრად, ერთეული კი ათამდე იყო:

ჩვენ ვკითხულობთ სიტყვასიტყვით "თოთხმეტი" - "ოთხი და ათი". როგორც გვესმის, ვწერთ: არა 10+4, არამედ 4+10, - ოთხი და ათი. რიცხვები 21-დან და ზემოთ იწერებოდა უკუღმა, პირველ რიგში სრული ათეულის ნიშანი.

სლავების მიერ გამოყენებული რიცხვის აღნიშვნა არის დანამატი, ანუ ის იყენებს მხოლოდ დამატებას:

= 800+60+3

იმისათვის, რომ არ აგვერიოს ასოები და რიცხვები, გამოიყენეს სათაურები - ჰორიზონტალური ხაზები ციფრების ზემოთ, რასაც ნახატზე ვხედავთ.

900-ზე მეტი რიცხვების აღსანიშნავად გამოყენებული იყო სპეციალური ხატები, რომლებიც დაემატა ასოს. ასე ჩამოყალიბდა ნომრები:

სლავური ნუმერაცია არსებობდა მე -17 საუკუნის ბოლომდე, სანამ პოზიციური ათობითი რიცხვების სისტემა რუსეთში არ მოვიდა ევროპიდან პეტრე I-ის რეფორმებით.

ძველი ინდური რიცხვითი სისტემები

ხაროშტის რიცხვითი სისტემა ინდოეთში გამოიყენებოდა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე VI საუკუნეში და ახ. ეს იყო არაპოზიციური დანამატის რიცხვითი სისტემა. მის შესახებ ცოტა რამ არის ცნობილი, რადგან იმ ეპოქის რამდენიმე წერილობითი დოკუმენტი შემორჩა. ხაროშტის სისტემა საინტერესოა იმით, რომ რიცხვი ოთხი არჩეულია შუალედურ საფეხურად ერთსა და ათს შორის. ნომრები იწერებოდა მარჯვნიდან მარცხნივ.

ამ სისტემასთან ერთად ინდოეთში არსებობდა კიდევ ერთი ბრაჰმის რიცხვითი სისტემა.

ბრაჰმის ნომრები იწერებოდა მარცხნიდან მარჯვნივ. თუმცა, ორივე სისტემას საკმაოდ ბევრი საერთო ჰქონდა. კერძოდ, პირველი სამი ციფრი ძალიან ჰგავს. გავრცელებული ის იყო, რომ ასამდე იყენებდნენ დანამატის მეთოდს, შემდეგ კი მრავლობითი მეთოდით. ბრაჰმის რიცხვებს შორის მნიშვნელოვანი განსხვავება იყო ის, რომ 4-დან 90-მდე რიცხვები მხოლოდ ერთი ნიშნით იყო წარმოდგენილი. ბრაჰმის ციფრების ეს თვისება მოგვიანებით გამოიყენეს ინდოეთში პოზიციური ათობითი სისტემის შესაქმნელად.

ძველ ინდოეთს ასევე ჰქონდა სიტყვიერი რიცხვების სისტემა. ეს იყო მრავლობითი და პოზიციური. ნულოვანი ნიშანი გამოითქმოდა როგორც "ცარიელი", ან "ცა", ან "ხვრელი". ერთეული ჰგავს "მთვარეს" ან "დედამიწას". ორი ჰგავს "ტყუპებს", ან "თვალებს", ან "ნესტოებს", ან "ტუჩებს". ოთხი, როგორც "ოკეანეები", "კარდინალური მიმართულებები". მაგალითად, ნომერი 2441 ასე გამოითქვა: ოკეანეების თვალები მთვარის კარდინალური მიმართულებებია.

არაპოზიციური რიცხვების სისტემების ნაკლოვანებები:

1. მუდმივი საჭიროებაა შემოვიდეს ახალი სიმბოლოები დიდი რიცხვების ჩასაწერად.

2. წილადი და უარყოფითი რიცხვების წარმოდგენა შეუძლებელია.

3. არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება რთულია, ვინაიდან არ არსებობს მათი შესრულების ალგორითმები. კერძოდ, ყველა ერს, რიცხვთა სისტემებთან ერთად, ჰქონდათ თითების დათვლის მეთოდები, ბერძნებს კი ჰქონდათ აბაკუს დამთვლელი დაფა - რაღაც ჩვენი აბაკუსი.

შუა საუკუნეების ბოლომდე რიცხვების ჩაწერის უნივერსალური სისტემა არ არსებობდა. მხოლოდ მათემატიკის, ფიზიკის, ტექნოლოგიების, ვაჭრობისა და ფინანსური სისტემის განვითარებით გაჩნდა ერთიანი უნივერსალური რიცხვითი სისტემის საჭიროება, თუმცა ახლაც ბევრი ტომი, ერი და ეროვნება იყენებს სხვა რიცხვთა სისტემებს.

მაგრამ ჩვენ მაინც ვიყენებთ არაპოზიციური რიცხვითი სისტემის ელემენტებს ყოველდღიურ მეტყველებაში, კერძოდ, ვამბობთ ასს და არა ათი ათეულს, ათასს, მილიონს, მილიარდს, ტრილიონს.

პოზიციური რიცხვების სისტემები

პოზიციური რიცხვების სისტემა არის რიცხვითი სისტემა, რომელშიც ციფრის რაოდენობრივი ეკვივალენტი („წონა“) დამოკიდებულია მის მდებარეობაზე რიცხვის აღნიშვნაში.

ნებისმიერი პოზიციური რიცხვითი სისტემა ხასიათდება მისი ფუძით.

პოზიციური რიცხვების სისტემის საფუძველი - სხვადასხვა ციფრების რაოდენობა, რომლებიც გამოიყენება რიცხვების წარმოსაჩენად მოცემულ რიცხვთა სისტემაში.

თქვენ შეგიძლიათ აიღოთ ნებისმიერი ნატურალური რიცხვი ფუძედ - ორი, სამი, ოთხი, ..., ახლის ფორმირება პოზიციის სისტემა: ორობითი, სამეული, მეოთხეული და ა.შ.

ბაბილონური ათობითი/სქესობრივი

ძველ ბაბილონში ჩვენს წელთაღრიცხვამდე მე-2 ათასწლეულში არსებობდა ასეთი რიცხვითი სისტემა - 60-ზე ნაკლები რიცხვები მითითებული იყო ორი ნიშნის გამოყენებით: ერთისთვის და ათისთვის. მათ სოლი ფორმის გარეგნობა ჰქონდათ, რადგან ბაბილონელები თიხის ფირფიტებზე სამკუთხა ჯოხებით წერდნენ. ეს ნიშნები განმეორდა სწორი ნომერიჯერ, მაგალითად

ითვლება, რომ შუმერებს ჰქონდათ ათობითი სისტემა და მას შემდეგ, რაც ისინი დაიპყრეს სემიტებმა, მათი სისტემა ადაპტირებული იყო სემიტების სექსუალურ სისტემასთან.

მთელი რიცხვების სქესობრივი აღნიშვნა ფართოდ არ იყო გამოყენებული ასურულ-ბაბილონის სამეფოს გარეთ, მაგრამ სქესობრივი წილადები კვლავ გამოიყენება დროის საზომში. მაგალითად, ერთი წუთი = 60 წამი, ერთი საათი = 60 წუთი.

ძველი ჩინური ათობითი

ეს სისტემა ერთ-ერთი უძველესი და პროგრესულია, რადგან ის შეიცავს იმავე პრინციპებს, რასაც ჩვენ ვიყენებთ თანამედროვე „არაბული“. ეს სისტემა დაახლოებით 4000 ათასი წლის წინ გაჩნდა ჩინეთში.

რიცხვები ამ სისტემაში, ისევე როგორც ჩვენში, იწერებოდა მარცხნიდან მარჯვნივ, უდიდესიდან უმცირესამდე. თუ არ იყო ათეული, ერთეული ან სხვა ციფრი, მაშინ თავიდან არაფერს აყენებდნენ და გადავიდნენ შემდეგ ციფრზე. (მინგის დინასტიის დროს შემოიღეს ცარიელი ციფრის ნიშანი - წრე - ჩვენი ნულის ანალოგი). იმისათვის, რომ ციფრები არ აგვერიოს, გამოიყენეს რამდენიმე სამსახურებრივი იეროგლიფი, რომლებიც დაიწერა მთავარი იეროგლიფის შემდეგ და აჩვენებს თუ რა მნიშვნელობას იღებს იეროგლიფის ციფრი მოცემულ ციფრში.

ეს არის მრავლობითი აღნიშვნა, რადგან ის იყენებს გამრავლებას. ის არის ათობითი, მას აქვს ნულოვანი ნიშანი და ამას გარდა პოზიციურია. იმათ. ის თითქმის შეესაბამება "არაბულ" რიცხვთა სისტემას.

მაიას ბაზის რიცხვითი სისტემა ან გრძელი დათვლა

ეს სისტემა ძალიან საინტერესოა, რადგან მის განვითარებაზე გავლენა არ მოუხდენია ევროპისა და აზიის არცერთ ცივილიზაციას. ეს სისტემა გამოიყენებოდა კალენდარული და ასტრონომიული დაკვირვებებისთვის. მისი დამახასიათებელი თვისება იყო ნულის არსებობა (ჭურვის გამოსახულება). ამ სისტემის საფუძველი იყო ნომერი 20, თუმცა ხუთმაგი სისტემის კვალი მკვეთრად ჩანს. პირველი 19 რიცხვი მიიღეს წერტილების (ერთი) და ტირეების (ხუთი) გაერთიანებით.

რიცხვი 20 გამოსახული იყო ორი ციფრით, ზევით ნული და ერთი და ეწოდა უინალუ. ნომრები ჩაწერილი იყო სვეტში, ქვემოთ ყველაზე პატარა და ზევით ყველაზე დიდი, რის შედეგადაც შეიქმნა "წიგნების კარადა" თაროებით. თუ რიცხვი ნული ჩნდებოდა ზედა ნაწილში ერთეულის გარეშე, ეს ნიშნავს, რომ ამ ციფრისთვის ერთეული არ იყო. მაგრამ, თუ მინიმუმ ერთი ერთეული იყო ამ ციფრში, მაშინ ნულის ნიშანი გაქრა, მაგალითად, რიცხვი 21, ეს იქნება . ასევე ჩვენს რიცხვთა სისტემაში: 10 – ნულით, 11 – მის გარეშე. აქ მოცემულია რამდენიმე ნომრის მაგალითი:

არსებობს გამონაკლისი უძველესი მაიას ბაზის-20 დათვლის სისტემაში: თუ 359 რიცხვს მხოლოდ ერთი პირველი რიგის ერთეულს დაუმატებთ, ეს გამონაკლისი მაშინვე მოქმედებს. მისი არსი შემდეგში იშლება: 360 არის მესამე რიგის საწყისი რიცხვი და მისი ადგილი აღარ არის მეორეზე, არამედ მესამე თაროზე.

მაგრამ შემდეგ გამოდის, რომ მესამე რიგის საწყისი რიცხვი არ არის ოცჯერ მეტი მეორის საწყის რიცხვზე (20x20 = 400 და არა 360!), არამედ მხოლოდ თვრამეტი! ეს იმას ნიშნავს, რომ ოცდამაჯერის პრინციპი დაირღვა! Სწორია. ეს არის გამონაკლისი.

ფაქტია, რომ მაიას ინდიელებს შორის 20 ნათესავი დღე ყალიბდებოდა თვეში ან უინალში. 18 თვე-უინალები წარმოიქმნება წელიწადში ან ტუნა (360 დღე წელიწადში) და ასე შემდეგ:

K"in = 1 დღე. Vinal = 20 k"in = 20 დღე. Tun = 18 Vinal = 360 დღე = დაახლოებით 1 წელი. K"atun = 20 tun = 7200 დღე = დაახლოებით 20 წელი. Bak"tun = 20 k"atun = 144,000 დღე = დაახლოებით 400 წელი. Pictun = 20 bak"tun = 2,880,000 დღე = დაახლოებით 8,000 წელი. კალაბტუნი = 20 პიკტუნი = 57 600 000 დღე = დაახლოებით 160 000 წელი. კ"ინჩილტუნი = 20 კალაბტუნი = 1152000000 დღე = დაახლოებით 3200000 წელი. ალავტუნი = 20 კ"ინჩილტუნი = 23040000000 დღე = დაახლოებით 64000000 წელი.

ეს არის საკმაოდ რთული რიცხვითი სისტემა, რომელსაც ძირითადად მღვდლები იყენებდნენ ასტრონომიული დაკვირვებებისთვის; მაიას კიდევ ერთი სისტემა იყო დანამატი, ეგვიპტურის მსგავსი და გამოიყენებოდა ყოველდღიურ ცხოვრებაში.

"არაბული" რიცხვების ისტორია.

ჩვენი ნაცნობი "არაბული" ნომრების ისტორია ძალიან დამაბნეველია. ზუსტად და საიმედოდ თქმა შეუძლებელია, როგორ მოხდა ისინი. აქ არის ამ წარმოშობის ამბის ერთი ვერსია. ერთი რამ ცხადია: ძველი ასტრონომების, კერძოდ მათი ზუსტი გამოთვლების წყალობით, ჩვენ გვაქვს ჩვენი ნომრები.

როგორც უკვე ვიცით, ბაბილონის რიცხვთა სისტემაში არის ნიშანი, რომელიც მიუთითებს დაკარგული ციფრების შესახებ. დაახლოებით II საუკუნეში ძვ. ბერძენი ასტრონომები (მაგალითად, კლავდიუს პტოლემე) გაეცნენ ბაბილონელთა ასტრონომიულ დაკვირვებებს. მათ მიიღეს თავიანთი პოზიციური რიცხვების სისტემა, მაგრამ ჩაწერეს მთელი რიცხვები არა სოლი, არამედ საკუთარი ანბანური ნუმერაციით და წილადები ბაბილონის სქესობრივი რიცხვების სისტემაში. მაგრამ ციფრის ნულოვანი მნიშვნელობის აღსანიშნავად, ბერძენმა ასტრონომებმა დაიწყეს სიმბოლო "0" (ბერძნული სიტყვის Ouden-ის პირველი ასო - არაფერი).

მე-2 და მე-6 საუკუნეებს შორის. ინდოელი ასტრონომები გაეცნენ ბერძნულ ასტრონომიას. მათ მიიღეს სექსისიმალური სისტემა და რაუნდი ბერძნული ნული. ინდიელებმა გააერთიანეს ბერძნული ნუმერაციის პრინციპები ჩინეთიდან აღებულ ათობითი გამრავლების სისტემასთან. მათ ასევე დაიწყეს რიცხვების აღნიშვნა ერთი ნიშნით, როგორც ეს იყო ჩვეული ძველ ინდურ ბრაჰმის ნუმერაციაში. ეს იყო ბოლო ნაბიჯი პოზიციური ათობითი რიცხვების სისტემის შესაქმნელად.

ინდოელი მათემატიკოსების ბრწყინვალე ნამუშევარი მიიღეს არაბმა მათემატიკოსებმა და ალ-ხვარეზმმა მე-9 საუკუნეში დაწერა წიგნი "დათვლის ინდური ხელოვნება", რომელშიც იგი აღწერს ათობითი პოზიციური რიცხვების სისტემას. პოზიციურ სისტემაში ჩაწერილი თვითნებურად დიდი რიცხვების დამატებისა და გამოკლების მარტივმა და მოხერხებულმა წესებმა იგი განსაკუთრებით პოპულარული გახადა ევროპელ ვაჭრებში.

მე-12 საუკუნეში. ხუან სევილიელმა ლათინურად თარგმნა წიგნი „დათვლის ინდური ხელოვნება“ და ინდური დათვლის სისტემა ფართოდ გავრცელდა მთელ ევროპაში. და ვინაიდან ალ-ხვარეზმის ნაშრომი დაიწერა არაბული, შემდეგ ევროპაში ინდურ ნუმერაციას არასწორი სახელი „არაბული“ მიენიჭა. მაგრამ თავად არაბები ციფრებს ინდურს უწოდებენ, ხოლო არითმეტიკას ათობითი სისტემის საფუძველზე - ინდური დათვლა.

დროთა განმავლობაში "არაბული" ციფრების ფორმა ძალიან შეიცვალა. ფორმა, რომლითაც მათ ვწერთ, დამკვიდრდა მე-16 საუკუნეში.

პუშკინმაც კი შესთავაზა არაბული რიცხვების ფორმის საკუთარი ვერსია. მან გადაწყვიტა, რომ ათივე არაბული რიცხვი, ნულის ჩათვლით, ჯადოსნურ კვადრატში ჯდებოდა.


ათწილადი პოზიციური რიცხვების სისტემა

ინდოელმა მეცნიერებმა მათემატიკაში ერთ-ერთი ყველაზე მნიშვნელოვანი აღმოჩენა გააკეთეს - მათ გამოიგონეს პოზიციური რიცხვების სისტემა, რომელსაც ახლა მთელი მსოფლიო იყენებს. ალ-ხვარეზმმა თავის წიგნში დეტალურად აღწერა ინდური არითმეტიკა.

მუჰამედ ბინ მუსა ალ-ხორეზმი

დაახლოებით 850 წ. მან დაწერა წიგნი ძირითადი წესებიარითმეტიკული ამოცანების ამოხსნა განტოლებების გამოყენებით. მას „ქიტაბ ალ-ჯაბრს“ ეძახდნენ. ამ წიგნმა თავისი სახელი დაარქვა ალგებრის მეცნიერებას.

სამასი წლის შემდეგ (1120 წელს) ეს წიგნი ითარგმნა ლათინური ენადა გახდა „ინდური“ არითმეტიკის პირველი სახელმძღვანელო ევროპის ყველა ქალაქისთვის.

ნულის ისტორია.

ნული შეიძლება განსხვავებული იყოს. პირველი, ნული არის ციფრი, რომელიც გამოიყენება ცარიელი ადგილის აღსანიშნავად; მეორეც, ნული არაჩვეულებრივი რიცხვია, ვინაიდან ნულზე ვერ გაყოფ და ნულზე გამრავლებისას ნებისმიერი რიცხვი ხდება ნული; მესამე, გამოკლებისთვის და შეკრებისთვის საჭიროა ნული, თორემ რამდენი იქნება თუ 5-ს გამოაკლებ?

ნული პირველად გამოჩნდა ძველ ბაბილონურ რიცხვთა სისტემაში; ის გამოიყენებოდა რიცხვებში დაკარგული ციფრების აღსანიშნავად, მაგრამ რიცხვები, როგორიცაა 1 და 60, იწერებოდა იმავე გზით, რადგან ისინი არ სვამდნენ ნულს რიცხვის ბოლოს. მათ სისტემაში ნული ტექსტში სივრცეს ასრულებდა.

დიდი ბერძენი ასტრონომი პტოლემე შეიძლება მივიჩნიოთ ნულის ფორმის გამომგონებლად, რადგან მის ტექსტებში კოსმოსური ნიშნის ნაცვლად არის ბერძნული ასო ომიკრონი, რომელიც ძალიან მოგვაგონებს თანამედროვე ნულოვან ნიშანს. მაგრამ პტოლემე ნულს იგივე გაგებით იყენებს, როგორც ბაბილონელები. კედლის წარწერაზე ინდოეთში მე-9 საუკუნეში. პირველად ნულის სიმბოლო ჩნდება რიცხვის ბოლოს. ეს არის პირველი ზოგადად მიღებული აღნიშვნა თანამედროვე ნულოვანი ნიშნისთვის. სწორედ ინდოელმა მათემატიკოსებმა გამოიგონეს ნული მისი სამივე გაგებით. მაგალითად, ინდოელი მათემატიკოსი ბრაჰმაგუპტა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე VII საუკუნეში. აქტიურად დაიწყო უარყოფითი რიცხვების გამოყენება და მოქმედებები ნულით. მაგრამ ის ამტკიცებდა, რომ რიცხვი გაყოფილი ნულზე არის ნული, რაც, რა თქმა უნდა, შეცდომაა, მაგრამ ნამდვილი მათემატიკური თავხედობა, რამაც გამოიწვია ინდოელი მათემატიკოსების კიდევ ერთი შესანიშნავი აღმოჩენა. და მე-12 საუკუნეში კიდევ ერთი ინდოელი მათემატიკოსი ბჰასკარა ცდილობდა გაიგოს რა მოხდება ნულზე გაყოფისას. ის წერს: „ნულზე გაყოფილი სიდიდე ხდება წილადი, რომლის მნიშვნელი არის ნული. ამ წილადს უსასრულობა ეწოდება“.

ლეონარდო ფიბონაჩი თავის ნაშრომში „Liber abaci“ (1202) ნიშანს 0-ს არაბულად ზეფირუმს უწოდებს. სიტყვა ზეფირუმი არის არაბული სიტყვა as-sifr, რომელიც მომდინარეობს ინდური სიტყვიდან sunya, ანუ ცარიელი, რომელიც იყო ნულის სახელწოდება. სიტყვიდან zephirum მოდის ფრანგული სიტყვა zero (ნულოვანი) და იტალიური სიტყვა zero. თავის მხრივ, არაბული სიტყვა as-sifr მოდის რუსული სიტყვანომერი. მე-17 საუკუნის შუა ხანებამდე ეს სიტყვა სპეციალურად გამოიყენებოდა ნულის აღსანიშნავად. ლათინური სიტყვა nullus (არაფერი) ხმარებაში შევიდა ნულის მნიშვნელობით მე-16 საუკუნეში.

ნული უნიკალური ნიშანია. ნული სუფთაა აბსტრაქტული კონცეფცია, ადამიანის ერთ-ერთი უდიდესი მიღწევა. ის არ გვხვდება ჩვენს გარშემო არსებულ ბუნებაში. თქვენ შეგიძლიათ მარტივად გააკეთოთ ნულის გარეშე გონებრივი გამოთვლებით, მაგრამ ეს შეუძლებელია ნომრების ზუსტი ჩაწერის გარეშე. გარდა ამისა, ნული განსხვავდება ყველა სხვა რიცხვისგან და უსასრულო სამყაროს სიმბოლოა. და თუ "ყველაფერი რიცხვია", მაშინ არაფერია ყველაფერი!

დღეს გამოყენებული ბაზები:

10 - ჩვეულებრივი ათობითი რიცხვების სისტემა (ხელებზე ათი თითი). ანბანი: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - გამოიგონეს ძველ ბაბილონში: საათის დაყოფა 60 წუთად, წუთი 60 წამად და კუთხე 360 გრადუსად.

12 - გავრცელებული ანგლო-საქსების მიერ: წელიწადში არის 12 თვე, დღეში 12 საათის ორი პერიოდი, 12 ინჩი ფეხით

7 - გამოიყენება კვირის დღეების დასათვლელად

ერთეულის ნომრის სისტემა

რიცხვების დაწერის აუცილებლობა ხალხში გაჩნდა ძველ დროში მას შემდეგ, რაც მათ ისწავლეს დათვლა. ამის დასტურია არქეოლოგიური აღმოჩენები პრიმიტიული ადამიანების ბანაკების ადგილებში, რომლებიც თარიღდება პალეოლითის ხანით (ძვ. წ. 10$-11$ ათასი წელი). თავდაპირველად, საგნების რაოდენობა გამოსახული იყო გარკვეული ნიშნების გამოყენებით: ტირეები, ჭრილები, ქვებზე, ხეზე ან თიხაზე მონიშნული წრეები, აგრეთვე კვანძები თოკებზე.

სურათი 1.

მეცნიერები ამ სისტემას რიცხვების აღნიშვნის სისტემას უწოდებენ ერთეული (ერთიანი), ვინაიდან მასში რიცხვი იქმნება ერთი ნიშნის გამეორებით, რომელიც ერთს განასახიერებს.

სისტემის ნაკლოვანებები:

    დიდი რიცხვის დაწერისას უნდა გამოიყენოთ დიდი რიცხვიჩხირები;

    ჯოხების წასმისას შეიძლება მარტივი იყოს შეცდომების დაშვება.

მოგვიანებით, დათვლის გასაადვილებლად, ადამიანებმა დაიწყეს ამ ნიშნების შერწყმა.

მაგალითი 1

ერთეულების რიცხვითი სისტემის გამოყენების მაგალითები შეგიძლიათ ნახოთ ჩვენს ცხოვრებაში. მაგალითად, მცირეწლოვანი ბავშვები ცდილობენ თითებზე გამოსახონ რამდენი წლის არიან, ან პირველ კლასში დათვლას ასწავლიან დათვლის ჯოხებს.

ერთეული სისტემამთლად მოსახერხებელი არ არის, რადგან ჩანაწერები ძალიან გრძელია და მათი ჩაწერა საკმაოდ დამღლელია, ამიტომ დროთა განმავლობაში, რიცხვების უფრო პრაქტიკული სისტემების გამოჩენა დაიწყო.

Აი ზოგიერთი მაგალითი.

ძველი ეგვიპტური ათობითი არაპოზიციური რიცხვების სისტემა

ეს რიცხვების სისტემა ჩვენს წელთაღრიცხვამდე დაახლოებით 3000 წელს გამოჩნდა. იმის შედეგად, რომ ძველი ეგვიპტის მკვიდრებმა გამოავლინეს საკუთარი რიცხვითი სისტემა, რომელშიც ძირითადი ნომრების აღნიშვნისას $1$, $10$, $100$ და ა.შ. გამოიყენებოდა იეროგლიფები, რაც მოსახერხებელი იყო თიხის დაფებზე წერისას, რომელიც ცვლიდა ქაღალდს. მათგან სხვა რიცხვები გაკეთდა მიმატების გამოყენებით. ჯერ იწერებოდა უმაღლესი რიგის ნომერი, შემდეგ კი ქვედა. ეგვიპტელები მრავლდებოდნენ და ყოფდნენ, თანმიმდევრულად აორმაგებდნენ რიცხვებს. თითოეული ციფრი შეიძლება განმეორდეს $9$-მდე. ამ სისტემის ნომრების მაგალითები მოცემულია ქვემოთ.

სურათი 2.

რომაული რიცხვების სისტემა

ეს სისტემა ფუნდამენტურად არ განსხვავდება წინაგან და დღემდე შემორჩა. იგი ემყარება შემდეგ ნიშნებს:

    $I$ (ერთი თითი) ნომრისთვის $1$;

    $V$ (ღია პალმა) ნომრისთვის $5$;

    $X$ (ორი დაკეცილი ხელი) $10$-ად;

    $100$, $500$ და $1000$ რიცხვების აღსანიშნავად გამოყენებულია შესაბამისი ლათინური სიტყვების პირველი ასოები ( სენტუმი- ასი, დემილი- ნახევარი ათასი, მილე- ათასი).

რიცხვების შედგენისას რომაელები იყენებდნენ შემდეგ წესებს:

    რიცხვი უდრის ზედიზედ განლაგებული რამდენიმე იდენტური "ციფრის" მნიშვნელობების ჯამს, რომლებიც ქმნიან პირველი ტიპის ჯგუფს.

    რიცხვი უდრის ორი "ციფრის" მნიშვნელობების სხვაობას, თუ უფრო პატარა არის დიდის მარცხნივ. ამ შემთხვევაში, პატარას მნიშვნელობა კლებულობს უფრო დიდ მნიშვნელობას. ისინი ერთად ქმნიან მეორე ტიპის ჯგუფს. ამ შემთხვევაში, მარცხენა "ციფრი" შეიძლება იყოს მარჯვენაზე ნაკლები მაქსიმუმ $1$ შეკვეთით: მხოლოდ $X(10$) შეიძლება იყოს $L(50)$ და $C(100$) წინ. „ყველაზე დაბალს“ შორის, მხოლოდ $X(10$) შეიძლება იყოს $D(500$) და $M(1000$) – მხოლოდ $C(100$), $V(5)-მდე – I( 1)$.

    რიცხვი უდრის ჯგუფის მნიშვნელობებისა და „ციფრების“ ჯამს, რომლებიც არ შედის $1$ ან $2$ ჯგუფებში.

სურათი 3.

რომაული ციფრები გამოიყენებოდა უძველესი დროიდან: ისინი მიუთითებენ თარიღებს, ტომების რაოდენობას, სექციებსა და თავებს. ადრე ჩვეულებრივად მეგონა არაბული ციფრებიადვილად შეიძლება გაყალბდეს.

ანბანური რიცხვითი სისტემები

ეს რიცხვითი სისტემები უფრო მოწინავეა. მათ შორისაა ბერძნული, სლავური, ფინიკიური, ებრაული და სხვა. ამ სისტემებში რიცხვები $1$-დან $9$-მდე, ასევე ათეულების ($10$-დან $90$-მდე), ასეულების ($100$-დან $900$-მდე) რიცხვები იყო მითითებული ანბანის ასოებით.

ძველ ბერძნულ ანბანურ რიცხვთა სისტემაში რიცხვები $1, 2, ..., 9$ წარმოდგენილი იყო ბერძნული ანბანის პირველი ცხრა ასოებით და ა.შ. შემდეგი $9$ ასოები გამოიყენებოდა $10, 20, ..., 90$ რიცხვების აღსანიშნავად, ხოლო ბოლო $9$ ასოები გამოიყენებოდა $100, 200, ..., 900$ რიცხვების აღსანიშნავად.

სლავურ ხალხებს შორის რიცხვითი მნიშვნელობებიასოები შეიქმნა სლავური ანბანის თანმიმდევრობის შესაბამისად, რომელიც თავდაპირველად გლაგოლიტურ ანბანს იყენებდა, შემდეგ კი კირიულს.

სურათი 4.

შენიშვნა 1

ასევე გამოიყენებოდა ანბანური სისტემა ძველი რუსეთი. მე-17 საუკუნის ბოლომდე, რიცხვებად გამოიყენებოდა $27$ კირიული ასოები.

არაპოზიციური რიცხვების სისტემებს აქვთ მრავალი მნიშვნელოვანი მინუსი:

    მუდმივი საჭიროებაა შემოვიტანოთ ახალი სიმბოლოები დიდი რიცხვების ჩასაწერად.

    წილადი და უარყოფითი რიცხვების წარმოდგენა შეუძლებელია.

    არითმეტიკული მოქმედებების შესრულება რთულია, რადგან არ არსებობს მათი შესრულების ალგორითმები.



 

შეიძლება სასარგებლო იყოს წაკითხვა: