Kaj pomenijo naravna števila? Naravna števila in njihove lastnosti

1.1. Opredelitev

Številke, ki jih ljudje uporabljajo pri štetju, se imenujejo naravno(npr. ena, dva, tri,..., sto, sto ena,..., tri tisoč dvesto enaindvajset,...) Za zapis naravnih števil se uporabljajo posebni znaki (simboli), klical v številkah.

Dandanes je sprejeto decimalni številski sistem. Decimalni sistem (ali metoda) zapisovanja števil uporablja arabske številke. To je deset različnih številskih znakov: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 .

Vsaj naravno število je število ena, to zapisano z decimalno številko - 1. Naslednje naravno število dobimo iz prejšnjega (razen ene) tako, da prištejemo 1 (ena). To dodajanje je mogoče narediti večkrat (neskončno velikokrat). To pomeni, da št Največji naravno število. Zato pravijo, da je vrsta naravnih števil neomejena oziroma neskončna, saj nima konca. Naravna števila so zapisana z decimalnimi števkami.

1.2. Številka "nič"

Če želite označiti odsotnost nečesa, uporabite številko " nič" ali " nič". Zapisuje se s številkami 0 (nič). Na primer, v škatli so vse kroglice rdeče. Koliko jih je zelenih? - Odgovor: nič . To pomeni, da v škatli ni zelenih kroglic! Število 0 lahko pomeni, da se je nekaj končalo. Na primer, Maša je imela 3 jabolka. Dva je delila s prijateljicami, enega pa je pojedla sama. Torej je odšla 0 (nič) jabolk, t.j. ni več niti enega. Število 0 lahko pomeni, da se nekaj ni zgodilo. na primer hokejska tekma Ekipa Rusija - ekipa Kanade se je končala z rezultatom 3:0 (beremo "tri - nič") v korist ruske ekipe. To pomeni, da je ruska ekipa dosegla 3 gole, kanadska ekipa pa 0 golov in ni mogla doseči niti enega zadetka. Moramo se spomniti da število nič ni naravno število.

1.3. Pisanje naravnih števil

Pri desetiškem zapisu naravnega števila lahko vsaka števka pomeni različne številke. Odvisno je od mesta te številke v zapisu številke. Določeno mesto v zapisu naravnega števila imenujemo položaj. Zato se imenuje decimalni številski sistem pozicijski. Razmislite o decimalnem zapisu 7777 sedem tisoč sedemsto sedeminsedemdeset. Ta vnos vsebuje sedem tisoč, sedemsto, sedem desetic in sedem enic.

Vsako od mest (pozicij) v decimalnem zapisu števila imenujemo praznjenje. Vsake tri števke so združene v Razred. To združevanje poteka od desne proti levi (od konca zapisa številke). Različne kategorije in razredi imajo svoja imena. Razpon naravnih števil je neomejen. Zato tudi število činov in razredov ni omejeno ( neskončno). Oglejmo si imena činov in razredov na primeru števila c decimalni zapis

38 001 102 987 000 128 425:

Razredi in čini
kvintiljonov		stotine kvintiljonov
		desetine kvintiljonov
		kvintiljonov
kvadrilijoni		na stotine kvadrilijonov
		desetine kvadrilijonov
		kvadrilijoni
bilijonov		na stotine trilijonov
		na desetine trilijonov
		bilijonov
milijarde		na stotine milijard
		desetine milijard
		milijarde
milijoni		na stotine milijonov
		desetine milijonov
		milijoni
		stotisoče
		na desettisoče

Torej, razredi, začenši z najmlajšimi, imajo imena: enote, tisoči, milijoni, milijarde, trilijoni, kvadrilijoni, kvintiljoni.

1.4. Bitne enote

Vsak od razredov v zapisu naravnih števil je sestavljen iz treh števk. Vsak rang ima številčne enote. Naslednja števila imenujemo števčne enote:

1 - številčna enota števke enot,

10-mestna enota za desetice,

100 - stomestna enota,

1 000 - tisočmestna enota,

10 000 je mestna enota za desettisoče,

100.000 je mestna enota za stotisoče,

1.000.000 je milijonmestna enota itd.

Številka v kateri koli števki kaže število enot te števke. Tako številka 9 na mestu stotin milijard pomeni, da število 38.001.102.987.000 128.425 vključuje devet milijard (tj. 9 krat 1.000.000.000 ali 9-mestne enote na mestu milijard). Prazno mesto stotin kvintiljonov pomeni, da v danem številu ni stotin kvintiljonov ali pa je njihovo število nič. V tem primeru lahko številko 38 001 102 987 000 128 425 zapišemo takole: 038 001 102 987 000 128 425.

Lahko ga zapišete drugače: 000 038 001 102 987 000 128 425. Ničle na začetku številke označujejo prazne višje števke. Običajno niso zapisane, za razliko od ničel znotraj decimalnega zapisa, ki nujno označujejo prazne števke. Tako tri ničle v razredu milijonov pomenijo, da so stotine milijonov, desetine milijonov in enote milijonov prazne.

1.5. Okrajšave za zapisovanje številk

Pri zapisu naravnih števil se uporabljajo okrajšave. Tukaj je nekaj primerov:

1.000 = 1 tisoč (en tisoč)

23.000.000 = 23 milijonov (triindvajset milijonov)

5.000.000.000 = 5 milijard (pet milijard)

203.000.000.000.000 = 203 bilijonov. (dvesto tri bilijone)

107.000.000.000.000.000 = 107 kvadratnih metrov. (sto sedem kvadrilijonov)

1.000.000.000.000.000.000 = 1 kwt. (en kvintiljon)

Blok 1.1. Slovar

Sestavite slovar novih pojmov in definicij iz §1. To storite tako, da v prazne celice napišete besede s spodnjega seznama izrazov. V tabeli (na koncu bloka) za vsako definicijo navedite številko pojma s seznama.

Blok 1.2. Samopriprava

V svetu velikih številk

Gospodarstvo .

Ruski proračun za naslednje leto bo: 6328251684128 rubljev.
Načrtovani stroški za letos so: 5124983252134 rubljev.
Dohodek države je presegel odhodke za 1203268431094 rubljev.

Vprašanja in naloge

Preberi vse tri navedene številke
Napišite števke v razredu milijonov za vsako od treh števil.

Kateremu razdelku v posameznem številu pripada števka, ki se nahaja na sedmem mestu od konca številskega zapisa?
Katero število števnih enot označuje številka 2 v zapisu prvega števila?... v zapisu drugega in tretjega števila?
Poimenuj številsko enoto za osmo mesto od konca v zapisu treh števil.

Geografija (dolžina)

Ekvatorialni polmer Zemlje: 6378245 m
Obseg ekvatorja: 40075696 m
Največja globina svetovnih oceanov ( Marianski jarek v Tihem oceanu) 11500 m

Vprašanja in naloge

Vse tri vrednosti pretvorite v centimetre in preberite nastale številke.
Za prvo številko (v cm) zapišite številke v razdelke:

stotisoči _______

desetine milijonov _______

na tisoče _______

milijarde _______

na stotine milijonov _______

Pri drugem številu (v cm) zapišite številske enote, ki ustrezajo številkam 4, 7, 5, 9 v zapisu števil.

Tretjo vrednost pretvorite v milimetre in preberite dobljeno število.
Za vsa mesta v vnosu tretje številke (v mm) navedite števke in števčne enote v tabeli:

Geografija (kvadrat)

Območje celotne površine Zemlje je 510.083 tisoč kvadratnih kilometrov.
Površina vsote na Zemlji je 148.628 tisoč kvadratnih kilometrov.
Območje vodne površine Zemlje je 361.455 tisoč kvadratnih kilometrov.

Vprašanja in naloge

Pretvorite vse tri vrednosti v kvadratne metre in preberite nastale številke.
Poimenujte razrede in kategorije, ki ustrezajo neničelnim števkam v zapisu teh števil (v kvadratnih metrih).
Pri pisanju tretje številke (v kvadratnih metrih) poimenujte številčne enote, ki ustrezajo številkam 1, 3, 4, 6.
V dveh vnosih druge vrednosti (v kvadratnih kilometrih in kvadratnih metrih) navedite, katerim cifram pripada številka 2.
Enote mestne vrednosti za števko 2 zapišite v druge zapise količine.

Blok 1.3. Dialog z računalnikom.

Znano je, da se v astronomiji pogosto uporabljajo velika števila. Navedimo primere. Povprečna oddaljenost Lune od Zemlje je 384 tisoč km. Oddaljenost Zemlje od Sonca (povprečje) je 149.504 tisoč km, Zemlja od Marsa 55 milijonov km. V računalniku z urejevalnikom besedil Word ustvarite tabele, tako da je vsaka številka v vnosu navedenih številk v ločeni celici (celici). To storite tako, da v orodni vrstici izvedete ukaze: tabela → dodaj tabelo → število vrstic (s kazalcem nastavite »1«) → število stolpcev (izračunajte sami). Ustvarite tabele za druge številke (v bloku »Samopriprava«).

Blok 1.4. Štafeta velikih številk

V prvi vrstici tabele je veliko število. Preberi. Nato dokončaj naloge: s premikanjem števil v številskem zapisu v desno ali levo dobiš naslednja števila in jih prebereš. (Ne premikajte ničel na koncu številke!). V razredu lahko štafetno palico izvajamo tako, da si jo podajamo.

vrstica 2 . Premaknite vse števke številke v prvi vrstici v levo skozi dve celici. Zamenjajte številke 5 z naslednjo številko. Prazne celice izpolnite z ničlami. Preberite številko.

vrstica 3 . Premaknite vse števke številke v drugi vrstici v desno skozi tri celice. Zamenjajte številki 3 in 4 v številu z naslednjimi številkami. Prazne celice izpolnite z ničlami. Preberite številko.

vrstica 4. Vse števke številke v vrstici 3 premaknite eno celico v levo. Število 6 v razredu bilijonov zamenjaj s prejšnjim, v razredu milijard pa z naslednjim številom. Prazne celice izpolnite z ničlami. Preberite dobljeno številko.

Vrstica 5 . Premaknite vse števke številke v vrstici 4 eno celico v desno. Številko 7 v kategoriji »desettisoč« zamenjajte s prejšnjo, v kategoriji »desetmilijoni« pa z naslednjo. Preberite dobljeno številko.

6. vrstica . Premaknite vse števke številke v vrstici 5 v levo skozi 3 celice. Število 8 na mestu stotin milijard zamenjajte s prejšnjim, število 6 na mestu stotin milijonov pa z naslednjim številom. Prazne celice izpolnite z ničlami. Izračunajte dobljeno število.

7. vrstica . Vse števke številke v vrstici 6 premaknite za eno celico desno. Zamenjajte številke na desetinah kvadrilijonov in desetin milijardah mest. Preberite dobljeno številko.

8. vrstica . Premaknite vse števke številke v vrstici 7 v levo skozi eno celico. Zamenjajte številki na kvintiljonskih in kvadrilijonskih mestih. Prazne celice izpolnite z ničlami. Preberite dobljeno številko.

9. vrstica . Premaknite vse števke številke v vrstici 8 v desno skozi tri celice. Zamenjajte dve sosednji števki iz razredov milijonov in bilijonov v številski premici. Preberite dobljeno številko.

10. vrstica . Premaknite vse števke številke v vrstici 9 eno celico v desno. Preberite dobljeno številko. Izberite številke, ki označujejo leto moskovske olimpijade.

Blok 1.5. Igrajmo

Prižgite plamen

Igralno polje je risba božična jelka. Ima 24 žarnic. A le 12 jih je priključenih na električno omrežje. Za izbiro priključenih svetilk morate na vprašanja pravilno odgovoriti z »Da« ali »Ne«. Isto igro lahko igrate na računalniku; pravilen odgovor "prižge" žarnico.

Ali drži, da so številke posebna znamenja za zapis naravnih števil? (1 - da, 2 - ne)
Ali drži, da je 0 najmanjše naravno število? (3 - da, 4 - ne)
Ali drži, da lahko v pozicijskem številskem sistemu ista števka predstavlja različna števila? (5 - da, 6 - ne)
Ali drži, da se določeno mesto v decimalnem zapisu števil imenuje mesto? (7 - da, 8 - ne)
Podano je število 543.384 Ali drži, da je število najvišjih števk v njem 543, najnižjih pa 384? (9 - da, 10 - ne)
Ali drži, da je v razredu milijard najvišja številčna enota sto milijard, najnižja pa ena milijarda? (11 - da, 12 - ne)
Podano je število 458.121 Ali drži, da je vsota števila najvišjih in najnižjih števk 5? (13 - da, 14 - ne)
Ali je res, da je najvišja številčna enota v razredu bilijonov milijonkrat večja od najvišje številčne enote v milijonskem razredu? (15 - da, 16 - ne)
Dani sta števili 637, 508 in 831. Ali drži, da je najvišja števna enota prvega števila 1000-krat večja od najvišje števne enote drugega števila? (17 - da, 18 - ne)
Dano je število 432. Ali drži, da je najvišja mestna enota tega števila 2-krat večja od najnižje? (19 - da, 20 - ne)
Podano je število 100.000.000. Ali drži, da je število števk v njem, ki sestavljajo 10.000, enako 1000? (21 - da, 22 - ne)
Ali je res, da je pred razredom bilijonov razred kvadrilijonov, pred tem razredom pa razred kvintiljonov? (23 - da, 24 - ne)

1.6. Iz zgodovine številk

Že v pradavnini so se ljudje soočali s potrebo po štetju stvari, primerjanju količin predmetov (na primer pet jabolk, sedem puščic ...; v plemenu je 20 moških in trideset žensk, ... ). Prav tako je bilo treba vzpostaviti red znotraj določenega števila predmetov. Na primer, pri lovu je vodja plemena prvi, najmočnejši bojevnik plemena drugi itd. V te namene so bile uporabljene številke. Zanje so si izmislili posebna imena. V govoru jih imenujemo števniki: ena, dve, tri itd. so glavni števniki, prvi, drugi, tretji pa vrstni števniki. Številke so bile zapisane s posebnimi znaki – številkami.

Sčasoma se je pojavilo številski sistemi. To so sistemi, ki vključujejo načine zapisovanja številk in razne akcije nad njimi. Najstarejši znani številski sistemi so egipčanski, babilonski in rimski številski sistemi. V starih časih so v Rusiji za pisanje številk uporabljali črke abecede s posebnim znakom ~ (naslov). Trenutno se najbolj uporablja decimalni številski sistem. Dvojiški, osmiški in šestnajstiški številski sistemi se pogosto uporabljajo, zlasti v računalniškem svetu.

Torej, če želite napisati isto številko, lahko uporabite različne znake - številke. Torej, številko štiristo petindvajset lahko zapišemo z egipčanskimi številkami - hieroglifi:

To je egipčanski način pisanja številk. To je isto število v rimskih številkah: CDXXV(rimski način zapisovanja števil) ali decimalne številke 425 (decimalni številski sistem). IN binarni sistem zapisa izgleda takole: 110101001 (binarni ali dvojiški številski sistem) in v oktalnem - 651 (osmiški številski sistem). V šestnajstiškem številskem sistemu bo zapisano: 1A9(šestnajstiški številski sistem). To lahko storite povsem preprosto: naredite, kot Robinson Crusoe, štiristo petindvajset zarez (ali potez) na lesenem drogu - IIIIIIIII…... III. To so prve slike naravnih števil.

Torej, v decimalnem sistemu pisanja števil (v decimalnem načinu pisanja števil) se uporabljajo arabske številke. To je deset različnih simbolov - številk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 . V binarnem - dve binarni števki: 0, 1; v osmiškem - osem osmiških števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7; v šestnajstiškem - šestnajst različnih šestnajstiških števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F; v šestdesetih (babilonsko) - šestdeset različnih znakov - številk itd.)

Decimalna števila so v evropske države prišla z Bližnjega vzhoda in arabskih držav. Od tod tudi ime - arabske številke. Toda k Arabcem so prišli iz Indije, kjer so jih izumili okoli sredine prvega tisočletja.

1.7. Rimski številski sistem

Eden od starodavnih številskih sistemov, ki se uporablja danes, je rimski sistem. V tabeli predstavljamo glavna števila rimskega številskega sistema in pripadajoča števila decimalnega sistema.

rimska številka					C
				50 petdeset		500 petsto	1000 tisoč

Rimski številski sistem je sistem dodajanja. V njem, za razliko od pozicijskih sistemov (na primer decimalnega), vsaka številka predstavlja isto število. Da, zapis II- označuje število dve (1 + 1 = 2), zapis III- številka tri (1 + 1 + 1 = 3), zapis XXX- število trideset (10 + 10 + 10 = 30) itd. Za pisanje številk veljajo naslednja pravila.

Če je nižja številka po večje, potem se doda večjemu: VII- številka sedem (5 + 2 = 5 + 1 + 1 = 7), XVII- število sedemnajst (10 + 7 = 10 + 5 + 1 + 1 = 17), MCL- število tisoč sto petdeset (1000 + 100 + 50 = 1150).
Če je nižja številka prej večje, potem se odšteje od večjega: IX- številka devet (9 = 10 - 1), L.M.- število devetsto petdeset (1000 - 50 = 950).

Za pisanje velikih števil je treba uporabiti (izumiti) nove simbole – številke. Hkrati se izkaže, da je snemanje številk okorno in je zelo težko izvesti izračune z rimskimi številkami. Tako ima letnica izstrelitve prvega umetnega zemeljskega satelita (1957) v rimskih zapisih obliko MCMLVII .

Blok 1. 8. Luknjana kartica

Branje naravnih števil

Te naloge preverjamo z zemljevidom s krogi. Razložimo njegovo uporabo. Ko opravite vse naloge in najdete pravilne odgovore (označeni so s črkami A, B, C itd.), Postavite list prozornega papirja na zemljevid. Z znaki »X« označite pravilne odgovore na njem in znak ujemanja »+«. Nato prozorni list položite čez stran, tako da se registrske oznake poravnajo. Če so vse oznake »X« v sivih krogih na tej strani, so bile naloge pravilno opravljene.

1.9. Vrstni red branja naravnih števil

Pri branju naravnega števila postopaj takole.

Mentalno razdelite število na trojčke (razrede) od desne proti levi, od konca števila.

Začenši z mlajšim razredom, od desne proti levi (od konca številke) zapišite imena razredov: enote, tisoči, milijoni, milijarde, bilijoni, kvadrilijoni, kvintiljoni.
Število berejo že v srednji šoli. V tem primeru se kliče število bitnih enot in ime razreda.
Če bit vsebuje ničlo (bit je prazen), se ne kliče. Če so vse tri števke imenovanega razreda ničle (števke so prazne), se ta razred ne kliče.

Preberimo (poimenujmo) številko, zapisano v tabeli (glej §1), v skladu s koraki 1 - 4. V mislih razdelimo številko 38001102987000128425 v razrede od desne proti levi: 038 001 102 987 000 128 425. Označimo imena razrede v tem številu, začenši s koncem njegovih zapisov: enote, tisoči, milijoni, milijarde, trilijoni, kvadrilijoni, kvintiljoni. Zdaj lahko preberete številko, začenši s starejšim razredom. Poimenujemo trimestna, dvomestna in enomestna števila ter dodamo ime ustreznega razreda. Ne poimenujemo praznih razredov. Dobimo naslednjo številko:

038 - osemintrideset kvintiljonov
001 - en kvadrilijon
102 - sto dva trilijona
987 - devetsto sedeminosemdeset milijard
000 - ne imenujemo (ne beremo)
128 - sto osemindvajset tisoč
425 - štiristo petindvajset

Posledično beremo naravno število 38 001 102 987 000 128 425 takole: "osemintrideset kvintilijonov ena kvadrilijonov sto dva bilijonov devetsto sedeminosemdeset milijard sto osemindvajset tisoč štiristo petindvajset."

1.9. Vrstni red zapisovanja naravnih števil

Naravna števila so zapisana v naslednjem vrstnem redu.

Zapišite tri števke vsakega razreda, začenši z najvišjim razredom do enic. V tem primeru sta lahko za višji razred dve ali ena številka.
Če razred ali kategorija ni imenovana, se v ustrezne kategorije vpišejo ničle.

Na primer številka petindvajset milijonov tristo dva zapisano v obliki: 25 000 302 (razred tisočic ni poimenovan, zato so vse števke tisočic zapisane z ničlami).

1.10. Predstavitev naravnih števil kot vsota števk

Navedimo primer: 7.563.429 je decimalni zapis števila sedem milijonov petsto triinšestdeset tisoč štiristo devetindvajset. To število vsebuje sedem milijonov, petsto tisoč, šest deset tisoč, tri tisoč, štiristo, dve desetici in devet enot. Lahko ga predstavimo kot vsoto: 7.563.429 = 7.000.000 + 500.000 + 60.000 + + 3.000 + 400 + 20 + 9. Ta zapis se imenuje predstavitev naravnega števila kot vsote števk.

Blok 1.11. Igrajmo

Dungeon Treasures

Na igralnem polju je risba iz Kiplingove pravljice "Mowgli". Pet skrinj ima ključavnice. Če jih želite odpreti, morate rešiti težave. Hkrati z odpiranjem lesene skrinje dobite eno točko. Odpiranje pločevinaste skrinje vam prinese dve točki, bakrena skrinja tri točke, srebrna skrinja štiri točke in zlata pet točk. Zmaga tisti, ki najhitreje odpre vse skrinje. Isto igro lahko igrate na računalniku.

Lesena skrinja

Ugotovite, koliko denarja (v tisoč rubljih) je v tej skrinji. Če želite to narediti, morate najti skupno število najnižje mestne enote milijonskega razreda za število: 125308453231.

Pločevinasta skrinja

Ugotovite, koliko denarja (v tisoč rubljih) je v tej skrinji. Če želite to narediti, v številu 12530845323 poiščite število najnižjih mestnih enot razreda enot in število najnižjih mestnih enot razreda milijonov. Nato poiščite vsoto teh števil in dodajte številko na mestu desetin milijonov na desni.

Bakrena skrinja

Če želite najti denar v tej skrinji (v tisočih rubljih), morate v številu 751305432198203 poiskati število najmanjštevestnih enot v razredu bilijonov in število najnižjih enot v razredu milijard. Nato poiščite vsoto teh števil in na desno zapišite naravna števila razreda enot tega števila po vrstnem redu njihove lokacije.

Srebrna skrinja

Denar v tej skrinji (v milijonih rubljev) bo prikazan z vsoto dveh števil: števila najnižjih števk v razredu tisočev in srednjih števk v razredu milijard za število 481534185491502.

Zlata skrinja

Podano je število 800123456789123456789, če pomnožimo najvišje števke vseh razredov tega števila, dobimo denar te skrinje v milijonih rubljev.

Blok 1.12. Ujemanje

Pisanje naravnih števil. Predstavitev naravnih števil kot vsota števk

Za vsako nalogo v levem stolpcu izberite rešitev iz desnega stolpca. Odgovor zapišite v obliki: 1a; 2g; 3b…


	Zapiši številko s številkami: pet milijonov petindvajset tisoč
	Zapiši številko s številkami: pet milijard petindvajset milijonov
	Zapiši številko s številkami: pet trilijonov petindvajset
	Zapiši številko s številkami: sedeminsedemdeset milijonov sedeminsedemdeset tisoč sedemsto sedeminsedemdeset
	Zapiši številko s številkami: sedeminsedemdeset bilijonov sedemsto sedeminsedemdeset tisoč sedem
	Zapiši številko s številkami: sedeminsedemdeset milijonov sedemsto sedeminsedemdeset tisoč sedem
	Zapiši številko s številkami: sto triindvajset milijard štiristo šestinpetdeset milijonov sedemsto devetinosemdeset tisoč
	Zapiši številko s številkami: sto triindvajset milijonov štiristo šestinpetdeset tisoč sedemsto devetinosemdeset
	Zapiši številko s številkami: tri milijarde enajst
	Zapiši številko s številkami: tri milijarde enajst milijonov

Možnost 2


	dvaintrideset milijard sto petinsedemdeset milijonov dvesto osemindevetdeset tisoč tristo enainštirideset		100000000 + 1000000 + 10000 + 100 + 1
	Število predstavi kot vsoto števk: tristo enaindvajset milijonov enainštirideset		30000000000 + 2000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	Število predstavi kot vsoto števk: 321000175298341
	Število predstavi kot vsoto števk: 101010101
	Število predstavi kot vsoto števk: 11111		300000000 + 20000000 + 1000000 +
	5000000 + 300000 + 20000 + 1000
	V decimalnem zapisu zapišite število, predstavljeno kot vsota števk: 5000000 + 300 + 20 + 1		30000000000000 + 2000000000000 + 1000000000000 + 100000000 + 70000000 + 5000000 + 200000 + 90000 + 8000 + 300 + 40 + 1
	V decimalnem zapisu zapišite število, predstavljeno kot vsota števk: 10000000000 + 2000000000 + 100000 + 10 + 9
	V decimalnem zapisu zapišite število, predstavljeno kot vsota števk: 10000000000 + 2000000000 + 100000000 + 10000000 + 9000000
	V decimalnem zapisu zapišite število, predstavljeno kot vsota števk: 9000000000000 + 9000000000 + 9000000 + 9000 + 9		10000 + 1000 + 100 + 10 + 1

Blok 1.13. Fasetni test

Ime testa izvira iz besede "sestavljeno oko insektov". To je kompleksno oko, sestavljeno iz posameznih "ocelli". Naloge fasetnega testa so sestavljene iz posameznih elementov, označenih s številkami. Običajno fasetni testi vsebujejo veliko število nalog. Toda v tem testu so samo štiri težave, ki pa so sestavljene iz veliko število elementi. To je zasnovano tako, da vas nauči, kako "sestaviti" testne težave. Če jih lahko ustvarite, se zlahka spopadete z drugimi fasetnimi testi.

Naj razložimo, kako so naloge sestavljene na primeru tretje naloge. Sestavljen je iz testnih elementov, oštevilčenih: 1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 9, 10, 16, 17, 22, 21, 25

« če» 1) vzeti številke (števka) iz tabele; 4) 7; 7) uvrstite v kategorijo; 11) milijarde; 1) vzemite številko iz tabele; 5) 8; 7) uvrstite v kategorije; 9) desetine milijonov; 10) na stotine milijonov; 16) stotisoče; 17) na desettisoče; 22) Števili 9 in 6 postavite na tisoče in stotice. 21) zapolnite preostale bite z ničlami; " TO» 26) dobimo število, ki je enako času (obdobju) revolucije planeta Plutona okoli Sonca v sekundah (s); " To število je enako": 7880889600 str. V odgovorih je označena s črko "V".

Ko rešujete naloge, s svinčnikom zapišite števila v celice tabele.

Fasetni test. Izmisli si številko

Tabela vsebuje številke:

če

1) vzemite številko(-e) iz tabele:

2) 4; 3) 5; 4) 7; 5) 8; 6) 9;

7) postavite to števko(-e) med števko(-e);

8) stotine kvadrilijonov in desetine kvadrilijonov;

9) desetine milijonov;

10) stotine milijonov;

11) milijarde;

12) kvintiljoni;

13) desetine kvintilijonov;

14) stotine kvintilijonov;

15) trilijon;

16) stotisoči;

17) desettisoči;

18) napolni razred(e) z njim(nimi);

19) kvintiljoni;

20) milijarde;

21) zapolnite preostale bite z ničlami;

22) števili 9 in 6 postavi na tisoče in stotice;

23) dobimo število, ki je enako masi Zemlje v desetinah ton;

24) dobimo številko, ki je približno enaka prostornini Zemlje v kubičnih metrih;

25) dobimo število, ki je enako razdalji (v metrih) od Sonca do najbolj oddaljenega planeta solarni sistem Pluton;

26) dobimo število, ki je enako času (obdobju) revolucije planeta Plutona okoli Sonca v sekundah (s);

To število je enako:

a) 5929000000000

b) 9999900000000000000000

d) 598000000000000000000

Reši probleme:

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25

odgovori

1, 3, 6, 5, 18, 19, 21, 23 - g

1, 6, 7, 14, 13, 12, 8, 21, 24 - b

1, 4, 7, 11, 1, 5, 7, 10, 9, 16, 17, 22, 21, 26 - v

1, 3, 7, 15, 1, 6, 2, 6, 18, 20, 21, 25 - a

V petem stoletju pred našim štetjem je starogrški filozof Zenon iz Eleje oblikoval svoje znamenite aporije, med katerimi je najbolj znana aporija »Ahil in želva«. Takole zveni:

Recimo, da Ahil teče desetkrat hitreje od želve in je tisoč korakov za njo. V času, ki ga Ahil potrebuje, da preteče to razdaljo, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. Ko Ahil preteče sto korakov, se želva plazi še deset korakov in tako naprej. Proces se bo nadaljeval ad infinitum, Ahil ne bo nikoli dohitel želve.

To razmišljanje je postalo logični šok za vse naslednje generacije. Aristotel, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Vsi so tako ali drugače obravnavali Zenonove aporije. Šok je bil tako močan, da " ...razprave se trenutno nadaljujejo, pridite na splošno mnenje znanstvena skupnost še ni uspela razumeti bistva paradoksov ... v preučevanje problematike so bili vključeni matematična analiza, teorija množic, novi fizikalni in filozofski pristopi; nobeden od njih ni postal splošno sprejeta rešitev problema ..."[Wikipedia, "Zeno's Aporia". Vsi razumejo, da so preslepljeni, vendar nihče ne razume, v čem je prevara.

Z matematičnega vidika je Zenon v svoji aporiji jasno prikazal prehod od kvantitete k . Ta prehod pomeni uporabo namesto stalnih. Kolikor razumem, matematični aparat za uporabo spremenljivih merskih enot še ni bil razvit ali pa ni bil uporabljen pri Zenonovi aporiji. Uporaba naše običajne logike nas pripelje v past. Mi pa zaradi vztrajnosti mišljenja na recipročno vrednost dodajamo stalne časovne enote. S fizičnega vidika je to videti kot upočasnjevanje časa, dokler se popolnoma ne ustavi v trenutku, ko Ahil dohiti želvo. Če se čas ustavi, Ahil ne more več prehiteti želve.

Če obrnemo našo običajno logiko, se vse postavi na svoje mesto. Ahil teče s konstantno hitrostjo. Vsak naslednji segment njegove poti je desetkrat krajši od prejšnjega. Skladno s tem je čas, porabljen za njegovo premagovanje, desetkrat manjši od prejšnjega. Če v tej situaciji uporabimo koncept "neskončnosti", potem bi bilo pravilno reči, da bo Ahil dohitel želvo neskončno hitro."

Kako se izogniti tej logični pasti? Ostanite v stalnih časovnih enotah in ne preklopite na recipročne enote. V Zenonovem jeziku je to videti takole:

V času, ki ga potrebuje Ahil, da preteče tisoč korakov, bo želva odplazila sto korakov v isto smer. V naslednjem časovnem intervalu, ki je enak prvemu, bo Ahil pretekel še tisoč korakov, želva pa se bo plazila sto korakov. Zdaj je Ahil osemsto korakov pred želvo.

Ta pristop ustrezno opisuje realnost brez logičnih paradoksov. Ampak ni popolna rešitev Težave. Einsteinova izjava o neustavljivosti svetlobne hitrosti je zelo podobna Zenonovi aporiji "Ahil in želva". Ta problem moramo še preučiti, premisliti in rešiti. In rešitev je treba iskati ne v neskončno velikem številu, ampak v merskih enotah.

Druga zanimiva Zenonova aporija govori o leteči puščici:

Leteča puščica je negibna, saj v vsakem trenutku miruje, in ker v vsakem trenutku miruje, vedno miruje.

V tej aporiji je logični paradoks premagan zelo preprosto - dovolj je pojasniti, da leteča puščica v vsakem trenutku miruje na različnih točkah v prostoru, kar je pravzaprav gibanje. Tukaj je treba opozoriti na drugo točko. Iz ene fotografije avtomobila na cesti ni mogoče ugotoviti niti dejstva njegovega gibanja niti razdalje do njega. Če želite ugotoviti, ali se avto premika, potrebujete dve fotografiji, posneti z iste točke v različnih časovnih točkah, vendar ne morete določiti razdalje od njiju. Za določitev razdalje do avtomobila potrebujete dve fotografiji, posneti iz različnih točk v prostoru v enem trenutku, vendar iz njih ne morete ugotoviti dejstva gibanja (seveda še vedno potrebujete dodatne podatke za izračune, trigonometrija vam bo pomagala ). Kaj želim poudariti Posebna pozornost, je, da sta dve točki v času in dve točki v prostoru različni stvari, ki ju ne smemo zamenjevati, saj ponujata različne možnosti za raziskovanje.

Sreda, 4. julij 2018

Razlike med množico in množico so zelo dobro opisane na Wikipediji. Pa poglejmo.

Kot lahko vidite, »v nizu ne moreta biti dva enaka elementa«, če pa so v nizu enaki elementi, se tak niz imenuje »multiset«. Razumna bitja ne bodo nikoli razumela takšne absurdne logike. To je raven govorečih papig in dresiranih opic, ki nimajo pameti od besede "popolnoma". Matematiki delujejo kot navadni trenerji in nam pridigajo svoje absurdne ideje.

Nekoč so bili inženirji, ki so gradili most, v čolnu pod mostom, medtem ko so preizkušali most. Če se je most zrušil, je povprečen inženir umrl pod ruševinami svoje stvaritve. Če je most zdržal obremenitev, je nadarjeni inženir zgradil druge mostove.

Ne glede na to, kako se matematiki skrivajo za besedno zvezo »jebi me, doma sem« ali bolje rečeno »matematika študira abstraktni pojmi", obstaja ena popkovina, ki jih neločljivo povezuje z realnostjo. Ta popkovina je denar. Uporabimo matematično teorijo množic za same matematike.

Zelo dobro smo se učili matematiko in zdaj sedimo za blagajno in delimo plače. Matematik torej pride k nam po svoj denar. Celoten znesek mu preštejemo in ga razporedimo po svoji mizi v različne kupčke, v katere damo bankovce enakih vrednosti. Nato iz vsakega kupa vzamemo po en račun in damo matematiku njegov »matematični nabor plače«. Pojasnimo matematiku, da bo preostale račune prejel šele, ko bo dokazal, da množica brez enakih elementov ni enaka množici z enakimi elementi. Tu se začne zabava.

Najprej bo delovala logika poslancev: "To lahko velja za druge, zame pa ne!" Potem nas bodo začeli prepričevati, da imajo bankovci istega apoena različne številke bankovcev, kar pomeni, da jih ni mogoče šteti za iste elemente. V redu, preštejmo plače v kovancih - na kovancih ni številk. Tu se bo matematik začel mrzlično spominjati fizike: različni kovanci imajo različno količino umazanije, kristalna struktura in razporeditev atomov je edinstvena za vsak kovanec ...

In zdaj imam največ zanimanje Vprašaj: kje je črta, za katero se elementi multimnožice spremenijo v elemente množice in obratno? Takšna linija ne obstaja – o vsem odločajo šamani, znanost tu niti približno ne laže.

Poglej tukaj. Izberemo nogometne stadione z enako površino igrišča. Območja polj so enaka – kar pomeni, da imamo multimnožico. Če pa pogledamo imena teh istih stadionov, jih dobimo veliko, saj so imena različna. Kot lahko vidite, je ista množica elementov hkrati množica in multimnožica. Katera je pravilna? In tu matematik-šaman-oštar potegne iz rokava asa adutov in nam začne pripovedovati ali o množici ali multimnožici. V vsakem primeru nas bo prepričal, da ima prav.

Da bi razumeli, kako sodobni šamani operirajo s teorijo množic in jo povezujejo z realnostjo, je dovolj odgovoriti na eno vprašanje: kako se elementi enega sklopa razlikujejo od elementov drugega? Pokazal vam bom, brez kakršnih koli "predstavljivo kot enotna celota" ali "ni predstavljivo kot ena sama celota."

Nedelja, 18. marec 2018

Vsota števk števila je ples šamanov s tamburinom, ki nima nobene zveze z matematiko. Da, pri pouku matematike nas učijo najti vsoto števk števila in jo uporabiti, a zato so šamani, da svoje potomce učijo svojih veščin in modrosti, sicer bodo šamani preprosto izumrli.

Potrebujete dokaz? Odprite Wikipedijo in poskusite najti stran "Vsota števk števila." Ona ne obstaja. V matematiki ni formule, s katero bi lahko našli vsoto števk katerega koli števila. Navsezadnje so številke grafični znaki, s katerimi pišemo števila, v matematičnem jeziku pa naloga zveni takole: »Poišči vsoto grafičnih znakov, ki predstavljajo poljubno število.« Matematiki tega problema ne morejo rešiti, šamani pa to z lahkoto.

Ugotovimo, kaj in kako naredimo, da bi našli vsoto števil dano številko. In tako imamo številko 12345. Kaj je treba storiti, da bi našli vsoto števk tega števila? Razmislimo o vseh korakih po vrstnem redu.

1. Zapišite številko na list papirja. Kaj smo storili? Število smo pretvorili v grafični številski simbol. To ni matematična operacija.

2. Eno nastalo sliko razrežemo na več slik, ki vsebujejo posamezne številke. Rezanje slike ni matematična operacija.

3. Posamezne grafične znake pretvorite v številke. To ni matematična operacija.

4. Seštej dobljena števila. Zdaj je to matematika.

Vsota števk števila 12345 je 15. To so »tečaji krojenja in šivanja«, ki jih poučujejo šamani, uporabljajo pa jih matematiki. A to še ni vse.

Z matematičnega vidika ni vseeno, v katerem številskem sistemu zapišemo število. Torej, v različne sisteme V računstvu bo vsota števk istega števila drugačna. V matematiki je številski sistem označen kot indeks na desni strani števila. Z veliko število 12345 Nočem si delati glave, poglejmo številko 26 iz članka o . Zapišimo to število v dvojiškem, osmiškem, decimalnem in šestnajstiškem številskem sistemu. Ne bomo pogledali vsakega koraka pod mikroskopom; Poglejmo rezultat.

Kot lahko vidite, je v različnih številskih sistemih vsota števk istega števila različna. Ta rezultat nima nobene zveze z matematiko. To je enako, kot če bi določili površino pravokotnika v metrih in centimetrih, bi dobili popolnoma drugačne rezultate.

Ničla je videti enako v vseh številskih sistemih in nima vsote števk. To je še en argument v prid dejstvu, da. Vprašanje za matematike: kako se v matematiki označi nekaj, kar ni številka? Kaj, za matematike ne obstaja nič razen številk? Šamanom to lahko dovolim, znanstvenikom pa ne. Realnost niso samo številke.

Dobljeni rezultat je treba obravnavati kot dokaz, da so številski sistemi merske enote za števila. Navsezadnje ne moremo primerjati števil z različnimi merskimi enotami. Če enaka dejanja z različnimi merskimi enotami iste količine po primerjavi privedejo do različnih rezultatov, potem to nima nobene zveze z matematiko.

Kaj je prava matematika? To je takrat, ko rezultat matematične operacije ni odvisen od velikosti števila, uporabljene merske enote in od tega, kdo to dejanje izvaja.

Znak na vratih Odpre vrata in reče:

Oh! Ali ni to žensko stranišče?
- Mlada ženska! To je laboratorij za preučevanje nedefilske svetosti duš med njihovim vnebovzetjem v nebesa! Halo na vrhu in puščica navzgor. Kakšno drugo stranišče?

Ženska... Avreol na vrhu in puščica navzdol sta moški.

Če se vam takšno umetniško delo večkrat na dan zasveti pred očmi,

Potem ni presenetljivo, da nenadoma najdete čudno ikono v svojem avtomobilu:

Osebno se trudim, da pri kakajočem človeku vidim minus štiri stopinje (ena slika) (kompozicija večih slik: znak minus, številka štiri, oznaka stopinj). In ne mislim, da je to dekle neumno, ne poznavalec fizike. Samo ima močan stereotip dojemanja grafičnih podob. In tega nas matematiki ves čas učijo. Tukaj je primer.

1A ni "minus štiri stopinje" ali "en a". To je "človek, ki se pokaka" ali številka "šestindvajset" v šestnajstiškem zapisu. Tisti ljudje, ki nenehno delajo v tem sistemu številk, samodejno zaznajo številko in črko kot en grafični simbol.

Za štetje lahko uporabimo naravna števila (eno jabolko, dve jabolki itd.)

Cela števila(iz lat. naturalis- naravna; naravna števila) - števila, ki naravno nastanejo pri štetju (npr. 1, 2, 3, 4, 5...). Zaporedje vseh naravnih števil, urejenih v naraščajočem vrstnem redu, se imenuje naravno zraven.

Obstajata dva pristopa k definiranju naravnih števil:

štetje (številčenje) predmeti ( prvi, drugo, tretji, četrti, peti"…);
naravna števila so števila, ki nastanejo, ko oznaka količine predmeti ( 0 predmetov, 1 element, 2 predmeta, 3 predmeti, 4 artikli, 5 predmetov"…).

V prvem primeru se vrsta naravnih števil začne od ena, v drugem - od nič. Med večino matematikov ni soglasja o tem, ali ima prednost prvi ali drugi pristop (to je, ali šteti nič naravno število ali ne). Velika večina ruskih virov tradicionalno uporablja prvi pristop. Drugi pristop je na primer uporabljen v delih Nicolasa Bourbakija, kjer so naravna števila definirana kot kardinalnosti končnih množic.

Negativna in necela (racionalna, realna, ...) števila se ne štejejo za naravna števila.

Množica vseh naravnih števil Običajno je označen simbol N (\displaystyle \mathbb (N)) (iz lat. naturalis- naravno). Množica naravnih števil je neskončna, saj za vsako naravno število n (\displaystyle n) obstaja naravno število, večje od n (\displaystyle n).

Prisotnost ničle olajša oblikovanje in dokazovanje številnih izrekov v aritmetiki naravnih števil, zato prvi pristop uvaja uporaben koncept razširjeno naravno območje, vključno z ničlo. Razširjeni niz je označen z N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)) ali Z 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _(0)) .

Aksiomi, ki nam omogočajo določitev množice naravnih števil

Peanovi aksiomi za naravna števila

Glavni članek: Peanovi aksiomi

Množico N (\displaystyle \mathbb (N)) bomo imenovali množica naravnih števil, če je nek element fiksen 1 (enota), ki pripada N (\displaystyle \mathbb (N) ) (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) )), in funkcija S (\displaystyle S) z domeno N (\displaystyle \mathbb (N) ) in obseg N (\displaystyle \mathbb (N) ) (imenovan funkcija nasledstva; S: N → N (\displaystyle S\colon \mathbb (N) \to \mathbb (N) )), tako da so izpolnjeni naslednji pogoji:

ena je naravno število (1 ∈ N (\displaystyle 1\in \mathbb (N) ));
število, ki sledi naravnemu številu, je tudi naravno število (če je x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ), potem je S (x) ∈ N (\displaystyle S(x)\in \mathbb (N) )) ;
ne sledi nobenemu naravnemu številu (∄ x ∈ N (S (x) = 1) (\displaystyle \nexists x\in \mathbb (N) \ (S(x)=1)));
če naravno število a (\displaystyle a) sledi takoj naravnemu številu b (\displaystyle b) in naravnemu številu c (\displaystyle c), potem je b = c (\displaystyle b=c) (če je S (b) = a (\displaystyle S(b)=a) in S (c) = a (\displaystyle S(c)=a) , nato b = c (\displaystyle b=c));
(aksiom indukcije), če je kateri koli stavek (izjava) P (\displaystyle P) dokazan za naravno število n = 1 (\displaystyle n=1) ( indukcijsko podlago) in če iz predpostavke, da velja za drugo naravno število n (\displaystyle n), sledi, da velja za naslednje naravno število (\displaystyle n) ( induktivna hipoteza), potem ta stavek velja za vsa naravna števila (naj bo P (n) (\displaystyle P(n)) nek enomestni (unarni) predikat, katerega parameter je naravno število n (\displaystyle n). Potem, če P (1 ) (\displaystyle P(1)) in ∀ n (P (n) ⇒ P (S (n))) (\displaystyle \forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)) ))) , potem ∀ n P (n) (\displaystyle \forall n\;P(n))).

Našteti aksiomi odražajo naše intuitivno razumevanje naravne vrste in številske premice.

Temeljno dejstvo je, da ti aksiomi v bistvu enolično definirajo naravna števila (kategorična narava sistema aksiomov Peano). Namreč lahko se dokaže (glej tudi kratek dokaz), da če (N , 1 , S) (\displaystyle (\mathbb (N) ,1,S)) in (N ~ , 1 ~ , S ~) (\ displaystyle ((\tilde (\mathbb (N) )),(\tilde (1)),(\tilde (S)))) sta dva modela za Peanov aksiomski sistem, potem sta nujno izomorfna, kar pomeni, je invertibilna preslikava (bijekcija) f: N → N ~ (\displaystyle f\colon \mathbb (N) \to (\tilde (\mathbb (N) ))), tako da je f (1) = 1 ~ (\displaystyle f( 1)=(\tilda (1))) in f (S (x)) = S ~ (f (x)) (\displaystyle f(S(x))=(\tilda (S))(f (x ))) za vse x ∈ N (\displaystyle x\in \mathbb (N) ) .

Zato je dovolj, da kot N (\displaystyle \mathbb (N)) določimo katerikoli določen model množice naravnih števil.

Teoretična definicija naravnih števil (Frege-Russellova definicija)

V skladu s teorijo množic je edini objekt za konstruiranje matematičnih sistemov množica.

Tako so tudi naravna števila uvedena na podlagi koncepta množice, po dveh pravilih:

S (n) = n ∪ ( n ) (\displaystyle S(n)=n\skodelica \levo\(n\desno\)) .

Tako definirana števila imenujemo ordinalna.

Opišimo prvih nekaj vrstnih števil in pripadajoča naravna števila:

0 = ∅ (\displaystyle 0=\varnothing ) ;
1 = ( 0 ) = ( ∅ ) (\displaystyle 1=\levo\(0\desno\)=\levo\(\varnothing \desno\)) ;
2 = ( 0 , 1 ) = ( ∅ , ( ∅ ) ) (\displaystyle 2=\levo\(0,1\desno\)=(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \ desno\)(\veliko \))) ;
3 = ( 0 , 1 , 2 ) = ( ∅ , ( ∅ ) , ( ∅ , ( ∅ ) ) ) (\displaystyle 3=\levo\(0,1,2\desno\)=(\Veliko \() \varnothing ,\;\levo\(\varnothing \right\),\;(\big \()\varnothing ,\;\left\(\varnothing \right\)(\big \))(\Big \) )).

Ničla kot naravno število

Včasih, zlasti v tuji in prevodni literaturi, je ena v prvem in tretjem Peanovem aksiomu zamenjana z ničlo. V tem primeru se nič šteje za naravno število. Ko je definirana skozi razrede enakih množic, je nič naravno število po definiciji. Bilo bi nenaravno, če bi ga namerno zavrnili. Poleg tega bi to bistveno otežilo nadaljnjo gradnjo in uporabo teorije, saj v večini konstrukcij ničla, tako kot prazna množica, ni nekaj ločenega. Druga prednost obravnave ničle kot naravnega števila je, da postane N (\displaystyle \mathbb (N) ) monoid.

V ruski literaturi je nič običajno izključena iz števila naravnih števil (0 ∉ N (\displaystyle 0\notin \mathbb (N) )), množica naravnih števil z ničlo pa je označena kot N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0) ). Če je v definiciji naravnih števil vključena ničla, potem je množica naravnih števil zapisana kot N (\displaystyle \mathbb (N) ) , brez ničle pa kot N ∗ (\displaystyle \mathbb (N) ^(*) ) .

V mednarodni matematični literaturi, ob upoštevanju zgoraj navedenega in v izogib dvoumnostim, množico ( 1 , 2 , … ) (\displaystyle \(1,2,\dots \)) običajno imenujemo množica pozitivnih celih števil in jo označimo z Z + (\displaystyle \ mathbb(Z)_(+)) . Množica ( 0 , 1 , … ) (\displaystyle \(0,1,\dots \)) se pogosto imenuje množica nenegativnih celih števil in je označena z Z ⩾ 0 (\displaystyle \mathbb (Z) _( \geqslant 0)) .

Položaj množice naravnih števil (N (\displaystyle \mathbb (N) )) med množicami celih števil (Z (\displaystyle \mathbb (Z) )), racionalnih števil (Q (\displaystyle \mathbb (Q) ) ), realna števila (R (\displaystyle \mathbb (R))) in iracionalna števila (R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (R) \setminus \mathbb (Q)))

Velikost množice naravnih števil

Za velikost neskončne množice je značilen koncept "kardinalnosti množice", ki je posplošitev števila elementov končne množice na neskončne množice. V velikosti (to je kardinalnosti) je množica naravnih števil večja od katere koli končne množice, a manjša od katerega koli intervala, na primer intervala (0, 1) (\displaystyle (0,1)). Množica naravnih števil ima enako kardinalnost kot množica racionalnih števil. Množica enake kardinalnosti kot množica naravnih števil se imenuje števna množica. Tako je množica členov katerega koli zaporedja števna. Hkrati obstaja zaporedje, v katerem se vsako naravno število pojavi neskončno velikokrat, saj lahko množico naravnih števil predstavimo kot števno unijo disjunktnih števnih množic (npr. N = ⋃ k = 0 ∞ ( ⋃ n = 0 ∞ (2 n + 1) 2 k) (\displaystyle \mathbb (N) =\bigcup \limits _(k=0)^(\infty )\left(\bigcup \limits _(n=0) )^(\infty )(2n+ 1)2^(k)\desno))).

Operacije z naravnimi števili

Zaprte operacije (operacije, ki ne izpeljejo rezultata iz množice naravnih števil) nad naravnimi števili vključujejo naslednje aritmetične operacije:

dodatek: člen + člen = vsota;
množenje: faktor × faktor = produkt;
potenciranje: a b (\displaystyle a^(b)) , kjer je a (\displaystyle a) osnova stopnje, b (\displaystyle b) je eksponent. Če sta a (\displaystyle a) in b (\displaystyle b) naravni števili, bo rezultat naravno število.

Dodatno sta obravnavani še dve operaciji (s formalnega vidika nista operaciji nad naravnimi števili, saj nista definirani za vsi pari številk (včasih obstajajo, včasih ne)):

odštevanje: minuend - subtrahend = razlika. V tem primeru mora biti minuend večji od subtrahenda (oz. enak, če menimo, da je nič naravno število);
deljenje z ostankom: dividenda / delitelj = (količnik, ostanek). Kvocient p (\displaystyle p) in ostanek r (\displaystyle r) pri deljenju a (\displaystyle a) z b (\displaystyle b) sta definirana kot sledi: a = p ⋅ b + r (\displaystyle a=p \cdot b+ r) in 0 ⩽ r b (\displaystyle 0\leqslant r je mogoče predstaviti kot a = p ⋅ 0 + a (\displaystyle a=p\cdot 0+a) , kar pomeni, da je katero koli število mogoče obravnavati kot delno , in ostanek a (\displaystyle a) .

Upoštevati je treba, da sta operaciji seštevanja in množenja temeljni. Zlasti obroč celih števil je natančno definiran z binarnimi operacijami seštevanja in množenja.

Osnovne lastnosti

Komutativnost seštevanja:

a + b = b + a (\displaystyle a+b=b+a) .

Komutativnost množenja:

a ⋅ b = b ⋅ a (\displaystyle a\cdot b=b\cdot a) .

Asociativnost dodatka:

(a + b) + c = a + (b + c) (\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)) .

Množenje asociativnosti:

(a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c) (\displaystyle (a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)) .

Distributivnost množenja glede na seštevanje:

( a ⋅ (b + c) = a ⋅ b + a ⋅ c (b + c) ⋅ a = b ⋅ a + c ⋅ a (\displaystyle (\begin(cases)a\cdot (b+c)=a \cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end(cases))) .

Algebrska struktura

Seštevanje spremeni množico naravnih števil v polskupino z enoto, vlogo enote igra 0 . Množenje tudi spremeni množico naravnih števil v polskupino z identiteto, pri čemer je element identitete 1 . Z uporabo zaprtja pri operacijah seštevanja-odštevanja in množenja-deljenja dobimo skupine celih števil Z (\displaystyle \mathbb (Z) ) in racionalnih pozitivnih števil Q + ∗ (\displaystyle \mathbb (Q) _(+)^( *)) oz.

Teoretične definicije množic

Uporabimo definicijo naravnih števil kot ekvivalenčnih razredov končnih množic. Če označimo ekvivalenčni razred množice A, ustvarjen s bijekcijami, z uporabo oglati oklepaji: [A] so osnovne aritmetične operacije definirane na naslednji način:

[ A ] + [ B ] = [ A ⊔ B ] (\displaystyle [A]+[B]=) ;
[ A ] ⋅ [ B ] = [ A × B ] (\displaystyle [A]\cdot [B]=) ;
[ A ] [ B ] = [ A B ] (\displaystyle ([A])^([B])=) ,

A ⊔ B (\displaystyle A\sqcup B) - disjunktna unija množic;
A × B (\displaystyle A\times B) - neposredni izdelek;
A B (\displaystyle A^(B)) - niz preslikav iz B V A.

Lahko se pokaže, da so nastale operacije na razredih uvedene pravilno, to je, da niso odvisne od izbire elementov razreda in sovpadajo z induktivnimi definicijami.

Kaj je naravno število? Zgodovina, obseg, lastnosti

Matematika se je pojavila iz splošne filozofije okoli šestega stoletja pr. e., in od tega trenutka se je začel njen zmagoviti pohod po svetu. Vsaka stopnja razvoja je prinesla nekaj novega - elementarno štetje se je razvilo, preoblikovalo v diferencialni in integralni račun, stoletja so minevala, formule so postajale vse bolj zmedene in prišel je trenutek, ko se je "začela najbolj zapletena matematika - vse številke so izginile iz nje." Toda kaj je bila osnova?

Začetek časa

Naravna števila so se pojavila skupaj s prvimi matematičnimi operacijami. Ena bodica, dve bodici, tri bodice ... Pojavili so se zahvaljujoč indijskim znanstvenikom, ki so razvili prvo položajni sistem Obračun.
Beseda "pozicionalnost" pomeni, da je lokacija vsake števke v številu strogo določena in ustreza njenemu rangu. Na primer, števili 784 in 487 sta enaki števili, vendar števili nista enakovredni, saj prvo vključuje 7 stotic, drugo pa samo 4. Indijsko novost so povzeli Arabci, ki so števila pripeljali do oblike ki jih poznamo Zdaj.

V starih časih so dajali številke mistični pomen, največji matematik Pitagora je verjel, da je število skupaj z osnovnimi elementi - ognjem, vodo, zemljo, zrakom - osnova nastanka sveta. Če vse obravnavamo samo z matematične strani, kaj je potem naravno število? Polje naravnih števil je označeno z N in je neskončen niz števil, ki so cela in pozitivna: 1, 2, 3, … + ∞. Nič je izključena. Uporablja se predvsem za štetje predmetov in označevanje vrstnega reda.

Kaj je naravno število v matematiki? Peanovi aksiomi

Polje N je tisto osnovno, na katerem temelji elementarna matematika. Sčasoma so bila identificirana polja celih, racionalnih in kompleksnih števil.

Delo italijanskega matematika Giuseppeja Peana je omogočilo nadaljnje strukturiranje aritmetike, doseglo njeno formalnost in pripravilo pot za nadaljnje zaključke, ki so presegli področje N. Kaj je naravno število, smo razjasnili prej v preprostem jeziku, spodaj bomo obravnavali matematično definicijo, ki temelji na Peanovih aksiomih.

Ena velja za naravno število.
Število, ki sledi naravnemu številu, je naravno število.
Pred ena ni naravnega števila.
Če število b sledi številu c in številu d, potem je c=d.
Aksiom indukcije, ki posledično pokaže, kaj je naravno število: če neka trditev, ki je odvisna od parametra, velja za število 1, potem predpostavimo, da velja tudi za število n iz polja naravnih števil N. Potem trditev velja tudi za n =1 iz polja naravnih števil N.

Osnovne operacije za polje naravnih števil

Ker je bilo polje N prvo za matematične izračune, mu pripadajo tako domene definicije kot razponi vrednosti številnih operacij spodaj. So zaprti in ne. Glavna razlika je v tem, da zaprte operacije zajamčeno pustijo rezultat znotraj niza N, ne glede na to, za katera števila gre. Dovolj je, da so naravne. Izid drugih numeričnih interakcij ni več tako jasen in je neposredno odvisen od tega, kakšna števila so vključena v izraz, saj je lahko v nasprotju z glavno definicijo. Torej, zaprte operacije:

seštevanje – x + y = z, kjer so x, y, z vključeni v polje N;
množenje – x * y = z, kjer so x, y, z vključeni v polje N;
potenciranje – xy, kjer sta x, y vključena v polje N.

Preostale operacije, katerih rezultat morda ne obstaja v kontekstu definicije "kaj je naravno število", so naslednje:

Lastnosti števil, ki pripadajo polju N

Vse nadaljnje matematično razmišljanje bo temeljilo na naslednjih lastnostih, najbolj trivialnih, a nič manj pomembnih.

Komutativna lastnost seštevanja je x + y = y + x, kjer sta števili x, y vključeni v polje N. Ali dobro znano "vsota se ne spremeni, če zamenjamo mesta členov."
Komutativna lastnost množenja je x * y = y * x, kjer sta števili x, y vključeni v polje N.
Kombinacijska lastnost seštevanja je (x + y) + z = x + (y + z), kjer so x, y, z vključeni v polje N.
Lastnost ujemanja množenja je (x * y) * z = x * (y * z), kjer so števila x, y, z vključena v polje N.
distribucijska lastnost – x (y + z) = x * y + x * z, kjer so števila x, y, z vključena v polje N.

Pitagorejska tabela

Eden od prvih korakov učenca pri spoznavanju celotne strukture elementarne matematike, potem ko so sami razumeli, katera števila imenujemo naravna števila, je Pitagorova tabela. Lahko ga štejemo ne le z vidika znanosti, ampak tudi za najdragocenejši znanstveni spomenik.

Ta tabela množenja je skozi čas doživela številne spremembe: iz nje so odstranili ničlo, številke od 1 do 10 pa predstavljajo same sebe, brez upoštevanja vrstnega reda (stotice, tisočice ...). Je tabela, v kateri so naslovi vrstic in stolpcev številke, vsebina celic, kjer se sekata, pa je enaka njihovemu zmnožku.

V praksi poučevanja v zadnjih desetletjih se je pojavila potreba po pomnjenju Pitagorejske tabele »po vrsti«, torej pomnjenje je bilo na prvem mestu. Množenje z 1 je bilo izključeno, ker je bil rezultat množitelj 1 ali več. Medtem lahko v tabeli s prostim očesom opazite vzorec: produkt številk se poveča za en korak, kar je enako naslovu vrstice. Tako nam drugi faktor pokaže, kolikokrat moramo vzeti prvega, da dobimo želeni izdelek. Ta sistem je veliko bolj priročen od tistega, ki se je izvajal v srednjem veku: ljudje so kljub razumevanju, kaj je naravno število in kako nepomembno je, uspeli zakomplicirati vsakodnevno štetje z uporabo sistema, ki je temeljil na potencah dvojke.

Podmnožica kot zibelka matematike

Vklopljeno ta trenutek polje naravnih števil N obravnavamo le kot eno od podmnožic kompleksnih števil, vendar zaradi tega niso manj vredni v znanosti. Naravno število je prva stvar, ki se jo otrok nauči, ko se uči samega sebe in svet. En prst, dva prsta ... Zahvaljujoč njemu se človek razvija logično razmišljanje, kot tudi sposobnost ugotavljanja vzroka in sklepanja o posledici, kar utira pot velikim odkritjem.

Razprava:Naravno število

Polemika okrog nule

Nekako si ne morem predstavljati ničle kot naravnega števila ... Zdi se, da stari ničle sploh niso poznali. In TSB ničle ne šteje za naravno število. Torej je to vsaj kontroverzna izjava. Lahko rečemo kaj bolj nevtralnega o ničli? Ali pa obstajajo prepričljivi argumenti? --.:Ajvol:. 18:18, 9. september 2004 (UTC)

Vrnjeno nazaj zadnja sprememba. --Maxal 20:24, 9. september 2004 (UTC)

Francoska akademija je nekoč izdala poseben odlok, po katerem je bila 0 vključena v niz naravnih števil. Zdaj je to standard, po mojem mnenju ni treba uvajati koncepta "ruskega naravnega števila", ampak se je treba držati tega standarda. Seveda je treba omeniti, da nekoč ni bilo tako (ne samo v Rusiji, ampak povsod). Toša 23:16, 9. september 2004 (UTC)

Francoska akademija za nas ni dekret. Tudi v matematični literaturi v angleškem jeziku o tem ni ustaljenega mnenja. Glej na primer, --Maxal 23:58, 9. september 2004 (UTC)

Tam nekje piše: "Če pišete članek o kontroverzni temi, poskusite predstaviti vsa stališča in navedite povezave do različnih mnenj." Otok Bes 23:15, 25. december 2004 (UTC)

Tu ne vidim spornega vprašanja, vidim pa: 1) nespoštovanje drugih udeležencev s pomembnim spreminjanjem/brisanjem njihovega besedila (o njih je običajno razpravljati, preden naredimo pomembne spremembe); 2) zamenjava strogih definicij (ki kažejo na kardinalnost množic) z nejasnimi (ali obstaja velika razlika med "številčenjem" in "označevanjem količine"?). Zato se vračam nazaj, vendar pustim zadnji komentar. --Maxal 23:38, 25. december 2004 (UTC)

Nespoštovanje je točno to, kako jaz gledam na vaše povračila. Torej ne govoriva o tem. Moje urejanje ne spremeni bistvačlena le jasno oblikuje dve definiciji. Prejšnja različica članka je oblikovala definicijo "brez ničle" kot glavno in "z ničlo" kot nekakšno disidentstvo. To absolutno ne ustreza zahtevam Wikipedije (glej zgornji citat), kot tudi ne povsem znanstvenemu slogu predstavitve v prejšnji verziji. Besedilo »kardinalnost množice« sem dodal kot razlago k »označevanju količine« in »naštevanje« k »številčenju«. In če ne vidite razlike med "številčenjem" in "označevanjem količin", potem naj vprašam, zakaj potem urejate matematične članke? Otok Bes 23:58, 25. december 2004 (UTC)

Kar zadeva "ne spremeni bistva" - prejšnja različica je poudarila, da je razlika v definicijah le v pripisovanju nič naravnim številom. V vaši različici so definicije predstavljene kot radikalno drugačne. Kar zadeva "osnovno" definicijo, bi moralo biti tako, ker ta članek v ruski Wikipedia, kar pomeni, da se morate v bistvu držati tega, kar ste rekli splošno sprejet v ruskih matematičnih šolah. Ignoriram napade. --Maxal 00:15, 26. december 2004 (UTC)

Pravzaprav je edina očitna razlika nič. Pravzaprav je to kardinalna razlika, ki izhaja iz različnih razumevanj narave naravnih števil: v eni različici - kot količine; v drugi - kot številke. to absolutno različnih konceptov, ne glede na to, kako težko se trudite prikriti dejstvo, da tega ne razumete.

Glede tega, da se v ruski Wikipediji zahteva navajanje ruskega stališča kot prevladujočega. Pazljivo poglejte tukaj. Poglej angleški članek o božiču. Ne piše, da je treba božič praznovati 25. decembra, ker se tako praznuje v Angliji in ZDA. Tam sta podana oba stališča (in se razlikujeta nič več in nič manj kot razlika med naravnimi števili »z ničlo« in »brez ničle«) in niti ene besede o tem, katero od njiju naj bi bilo bolj resnično.

V moji različici članka sta obe stališči označeni kot neodvisni in enako upravičeni do obstoja. Ruski standard je označen z besedami, ki ste jih navedli zgoraj.

Morda so s filozofskega vidika koncepti naravnih števil res absolutno drugačen, vendar članek ponuja v bistvu matematične definicije, kjer je vsa razlika 0 ∈ N (\displaystyle 0\in \mathbb (N) ) ali 0 ∉ N (\displaystyle 0\not \in \mathbb (N) ) . Prevladujoče stališče ali ne je občutljiva zadeva. Cenim besedo v večini zahodnega sveta opazili 25. decembra iz angleškega članka o božiču kot izrazu prevladujočega stališča, kljub temu, da v prvem odstavku ni navedenih drugih datumov. Mimogrede, v prejšnji različici članka o naravnih številih tudi ni bilo neposrednih navodil, kako potrebno za določitev naravnih števil je bila preprosto definicija brez ničle predstavljena kot pogostejša (v Rusiji). Vsekakor pa je dobro, da se je našel kompromis. --Maxal 00:53, 26. december 2004 (UTC)

Izraz »V ruski literaturi je ničla običajno izključena iz števila naravnih števil« je nekoliko neprijetno presenetljiv, gospodje, ničla se po vsem svetu ne šteje za naravno število, razen če je navedeno drugače. Isti Francozi, kolikor jih berem, posebej določajo vključitev ničle. Seveda se pogosteje uporablja N 0 (\displaystyle \mathbb (N) _(0)), a če so mi na primer všeč ženske, moških ne bom spremenil v ženske. Druid. 2014-02-23

Nepriljubljenost naravnih števil

Zdi se mi, da so naravna števila nepriljubljena tema v matematičnih člankih (morda nenazadnje tudi zaradi pomanjkanja skupne definicije). Po mojih izkušnjah pogosto vidim izraze v matematičnih člankih nenegativna cela števila in pozitivna cela števila(ki se razlagajo nedvoumno) namesto cela števila. Zainteresirane prosimo, da izrazijo svoje (ne)strinjanje s to ugotovitvijo. Če ta ugotovitev najde podporo, potem je smiselno, da jo navedete v članku. --Maxal 01:12, 26. december 2004 (UTC)

Brez dvoma imate prav v povzetku svoje izjave. Vse to je prav zaradi razlik v definiciji. V nekaterih primerih sam raje navedem "pozitivna cela števila" ali "nenegativna cela števila" namesto "naravnih", da se izognem neskladjem glede vključitve ničle. In na splošno se strinjam z izrekom. Bes island 01:19, 26. december 2004 (UTC) V člankih - ja, morda je tako. Vendar pa v daljših besedilih, pa tudi tam, kjer se koncept pogosto uporablja, običajno uporabljajo cela števila, vendar najprej razložimo, o "katerih" naravnih številih govorimo - z ničlo ali brez nje. LoKi 19:31, 30. julij 2005 (UTC)

Številke

Ali je vredno navesti imena števil (ena, dva, tri itd.) v zadnjem delu tega članka? Ali ne bi bilo bolj smiselno to dati v članek Številka? Kljub temu bi moral biti ta članek po mojem mnenju bolj matematične narave. kako misliš --LoKi 19:32, 30. julij 2005 (UTC)

Na splošno je čudno, kako lahko dobiš navadno naravno število iz *praznih* množic? Na splošno, ne glede na to, koliko kombinirate praznino s praznino, ne bo prišlo nič drugega kot praznina! Ali to sploh ni alternativna definicija? Objavljeno ob 21:46, 17. julij 2009 (Moskva)

Kategoričnost Peanovega sistema aksiomov

Dodal sem opombo o kategorični naravi sistema Peanovih aksiomov, ki je po mojem mnenju temeljna. Prosimo, da pravilno oblikujete povezavo do knjige [[Udeleženec: A_Devyatkov 06:58, 11. junij 2010 (UTC)]]

Peanovi aksiomi

V skoraj vsej tuji literaturi in na Wikipediji se Peanovi aksiomi začnejo z "0 je naravno število." Dejansko je v izvirniku zapisano "1 je naravno število." Vendar leta 1897 Peano naredi spremembo in spremeni 1 v 0. To je zapisano v "Formulaire de mathematiques", Tome II - št. 2. stran 81. To je povezava do elektronske različice na želeni strani:

http://archive.org/stream/formulairedemat02peangoog#page/n84/mode/2up (francoščina).

Pojasnila za te spremembe so podana v "Rivista di matematica", zvezek 6-7, 1899, stran 76. Tudi povezava do elektronske različice na želeni strani:

http://archive.org/stream/rivistadimatema01peangoog#page/n69/mode/2up (italijanščina).

0=0

Kaj so "aksiomi digitalnih gramofonov"?

Rad bi povrnil članek na najnovejšo patruljirano različico. Prvič, nekdo je Peanove aksiome preimenoval v Pianove aksiome, zato je povezava nehala delovati. Drugič, neki Tvorogov je v članek dodal zelo veliko informacijo, ki je po mojem mnenju v tem članku popolnoma neprimerna. Napisana je na neenciklopedičen način, poleg tega so podani rezultati samega Tvorogova in povezava do njegove knjige. Vztrajam, da je treba razdelek o "aksiomih digitalnih gramofonov" odstraniti iz tega članka. P.s. Zakaj je bil odstranjen razdelek o številki nič? mesyarik 14:58, 12. marec 2014 (UTC)

Tema ni obdelana, potrebna je jasna definicija naravnih števil

Prosim, ne pišite krivoverstva, kot je " Naravna števila (naravna števila) so števila, ki naravno nastanejo pri štetju.»Nič ne nastane naravno v možganih. Točno tisto, kar vnesete tja, bo tam.

Kako naj petletnik razloži, katero število je naravno? Navsezadnje obstajajo ljudje, ki jim je treba razlagati, kot da so stari pet let. V čem se naravno število razlikuje od navadnega? Potrebujemo primere! 1, 2, 3 je naravno in 12 je naravno in -12? in tričetrt ali na primer 4,25 naravne? 95.181.136.132 15:09, 6. november 2014 (UTC)

Naravna števila so temeljni koncept, izvorna abstrakcija. Ni jih mogoče opredeliti. Lahko se spuščaš v filozofijo, kolikor hočeš, a na koncu moraš bodisi priznati (sprejeti na vero?) neko togo metafizično stališče, bodisi priznati, da ni absolutne definicije, da so naravna števila del umetnega formalnega sistema, model, ki ga je izumil človek (ali Bog). Na to temo sem našel zanimivo razpravo. Kako vam je všeč ta možnost, na primer: "Vsak specifičen Peanov sistem se imenuje naravna serija, to je model Peanove aksiomatske teorije." Počutiti se bolje? RomanSuzi 17:52, 6. november 2014 (UTC)
- Zdi se, da s svojimi modeli in aksiomatskimi teorijami vse samo komplicirate. V najboljšem primeru bosta to definicijo razumela dva od tisoč ljudi. Zato menim, da v prvem odstavku manjka stavek " Z enostavnimi besedami: naravna števila so pozitivna cela števila, ki se začnejo od vključno ena." Ta definicija se večini sliši normalno. In ne daje razloga za dvom o definiciji naravnega števila. Konec koncev, ko sem prebral članek, nisem popolnoma razumel, kaj so naravna števila so in število 807423 je naravno ali naravna števila so tista, ki sestavljajo to število, to je 8 0 7 4 2 3. Pogosto zapleti vse pokvarijo. Informacije o naravnih številih bi morale biti na tej strani in ne v številnih povezavah na druge strani 7. november 2014 (UTC)
  - Pri tem je treba razlikovati med dvema nalogama: (1) bralcu, ki je daleč od matematike, jasno (četudi ne strogo) razložiti, kaj je naravno število, tako da bolj ali manj pravilno razume; (2) dati tako strogo definicijo naravnega števila, iz katere sledijo njegove osnovne lastnosti. Pravilno zagovarjate prvo možnost v preambuli, vendar je v članku podana prav ta: naravno število je matematična formalizacija štetja: ena, dve, tri itd. Vaš primer (807423) lahko zagotovo dobite, ko štetje, kar pomeni tudi to naravno število. Ne razumem, zakaj mešate število in način zapisa v številkah; to je posebna tema, ki ni neposredno povezana z definicijo števila. Vaša različica razlage: " naravna števila so pozitivna cela števila od vključno ena"ni dobro, ker je nemogoče definirati manj splošni koncept(naravno število) preko splošnejšega (število), ki še ni opredeljeno. Težko si predstavljam bralca, ki ve, kaj je pozitivno celo število, nima pa pojma, kaj je naravno število. LGB 12:06, 7. november 2014 (UTC)
    - Naravnih števil ni mogoče definirati s celimi števili. RomanSuzi 17:01, 7. november 2014 (UTC)

"Nič ne nastane naravno v možganih." Nedavne študije kažejo (trenutno ne najdem nobene povezave), da so človeški možgani pripravljeni na uporabo jezika. Tako imamo pripravljenost za obvladovanje jezika seveda že v genih. No, za naravna števila je to potrebno. Koncept "1" lahko pokažete z roko, nato pa z indukcijo lahko dodate palice, tako da dobite 2, 3 itd. Ali: I, II, III, IIII, ..., IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII. Imate morda konkretne predloge za izboljšavo članka, ki temeljijo na verodostojnih virih? RomanSuzi 17:57, 6. november 2014 (UTC)

Kaj je naravno število v matematiki?

Vladimir z

Naravna števila se uporabljajo za številčenje predmetov in za štetje njihove količine. Za številčenje se uporabljajo pozitivna cela števila, začenši z 1.

Za štetje števila vključujejo tudi 0, kar pomeni odsotnost predmetov.

Ali pojem naravnih števil vsebuje število 0, je odvisno od aksiomatike. Če predstavitev katere koli matematične teorije zahteva prisotnost 0 v množici naravnih števil, potem je to določeno in velja za nespremenljivo resnico (aksiom) v okviru te teorije. Definicija števila 0, tako pozitivnega kot negativnega, je zelo blizu temu. Če vzamemo definicijo naravnih števil kot množico vseh NEGATIVNIH celih števil, potem se pojavi vprašanje, kaj je število 0 - pozitivno ali negativno?

V praktičnih aplikacijah se praviloma uporablja prva definicija, ki ne vključuje števila 0.

Svinčnik

Naravna števila so pozitivna cela števila. Naravna števila se uporabljajo za štetje (oštevilčenje) predmetov ali za označevanje števila predmetov ali za označevanje zaporedne številke predmeta na seznamu. Nekateri avtorji umetno vključujejo ničlo v koncept "naravnih števil". Drugi uporabljajo formulacijo "naravna števila in ničla." To je nenačelno. Množica naravnih števil je neskončna, saj lahko s katerimkoli velikim naravnim številom izvedeš operacijo seštevanja z drugim naravnim številom in dobiš še večje število.

Negativna in necela števila ne sodijo v množico naravnih števil.

Sayan Mountains

Naravna števila so števila, ki se uporabljajo za štetje. Lahko so le pozitivne in celovite. Kaj to pomeni v primeru? Ker se te številke uporabljajo za štetje, poskusimo nekaj izračunati. Kaj lahko šteješ? Na primer ljudje. Osebe lahko štejemo takole: 1 oseba, 2 osebi, 3 osebe itd. Števila 1, 2, 3 in druga, ki se uporabljajo za štetje, bodo naravna števila. Nikoli ne rečemo -1 (minus ena) oseba ali 1,5 (ena in pol) oseba (oprostite besedni igri:), torej -1 in 1,5 (kot vsi negativni in ulomkov) niso naravne.

Lorelei

Naravna števila so tista števila, ki se uporabljajo pri štetju predmetov.

Najmanjše naravno število je ena. Pogosto se pojavi vprašanje, ali je nič naravno število. Ne, v večini ruskih virov je ni, v drugih državah pa je število nič priznano kot naravno število ...

Moreljuba

Naravna števila v matematiki pomenijo števila, ki se uporabljajo za zaporedno štetje nečesa ali nekoga. Za najmanjše naravno število velja ena. V večini primerov ničla ni naravno število. Tukaj tudi niso vključena negativna števila.

Lep pozdrav Slovani

Naravna števila, znana tudi kot naravna števila, so tista števila, ki nastanejo na običajen način ko je njihovo število večje od nič. Zaporedje vsakega naravnega števila, urejenega v naraščajočem vrstnem redu, imenujemo naravni niz.

Elena Nikitjuk

Izraz naravno število se uporablja v matematiki. Pozitivno celo število imenujemo naravno število. Najmanjše naravno število se šteje za "0". Za izračun česar koli se uporabljajo ta ista naravna števila, na primer 1,2,3 ... in tako naprej.

Naravna števila so števila, s katerimi štejemo, torej ena, dve, tri, štiri, pet in druga so naravna števila.

To so nujno pozitivna števila, večja od nič.

Tudi ulomka ne sodijo v množico naravnih števil.

-Orhideja-

Za štetje so potrebna naravna števila. So niz samo pozitivnih števil, začenši z enico. Pomembno je vedeti, da so ta števila izključno cela števila. Z naravnimi števili lahko izračunaš karkoli.

Marlena

Naravna števila so cela števila, ki jih običajno uporabljamo pri štetju predmetov. Ničle kot take ne sodimo v področje naravnih števil, saj je običajno ne uporabljamo v izračunih.

Inara-pd

Naravna števila so števila, ki jih uporabljamo pri štetju – ena, dve, tri in tako naprej.

Naravna števila so nastala iz praktičnih potreb človeka.

Naravna števila so zapisana z desetimi števkami.

Nič ni naravno število.

Kaj je naravno število?

Naumenko

Naravna števila so števila. uporablja se pri oštevilčevanju in štetju naravnih (roža, drevo, žival, ptica itd.) predmetov.

Cela števila se imenujejo NARAVNA števila, NJIHOVA NASPROTJA IN NIČLA,

Pojasni. kaj so naravna števila skozi cela števila, ni pravilno!! !

Števila so lahko soda – deljiva z 2 na celoto in liha – nedeljiva z 2 na celoto.

Praštevila so števila. ki ima samo 2 delilnika - enega in samega sebe...
Prva od vaših enačb nima rešitev. za drugi x=6 je 6 naravno število.

Naravna števila (naravna števila) so števila, ki naravno nastajajo pri štetju (tako v smislu štetja kot v smislu računanja).

Množico vseh naravnih števil običajno označimo z \mathbb(N). Množica naravnih števil je neskončna, saj za vsako naravno število obstaja večje naravno število.

Ana Semenčenko

števila, ki naravno nastajajo pri štetju (tako v smislu naštevanja kot v smislu računanja).
Obstajata dva pristopa k definiranju naravnih števil - števila, ki se uporabljajo v:
naštevanje (številčenje) artiklov (prvi, drugi, tretji, ...);
označba števila artiklov (brez artikla, en artikel, dva artikla, ...). Sprejeto v delih Bourbakija, kjer so naravna števila definirana kot kardinalnosti končnih množic.
Negativna in necela (racionalna, realna, ...) števila niso naravna števila.
Množico vseh naravnih števil običajno označimo z znakom. Množica naravnih števil je neskončna, saj za vsako naravno število obstaja večje naravno število.

Kje se začne učenje matematike? Ja, tako je, od učenja naravnih števil in operacij z njimi.Cela števila (izlat. naturalis- naravna; naravna števila) -številke ki se naravno pojavljajo pri štetju (na primer 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 ...). Zaporedje vseh naravnih števil, urejenih v naraščajočem vrstnem redu, imenujemo naravni niz.

Obstajata dva pristopa k definiranju naravnih števil:

štetje (številčenje) predmeti ( prvi, drugo, tretji, četrti, peti"…);
naravna števila so števila, ki nastanejo, ko oznaka količine predmeti ( 0 elementov, 1 element, 2 predmeta, 3 predmeti, 4 predmeti, 5 predmetov ).

V prvem primeru se serija naravnih števil začne z eno, v drugem - z ničlo. Med večino matematikov ni soglasja o tem, ali je boljši prvi ali drugi pristop (to je, ali je treba nič obravnavati kot naravno število ali ne). Velika večina ruskih virov tradicionalno uporablja prvi pristop. Drugi pristop se na primer uporablja v delihNicolas Bourbaki , kjer so naravna števila definirana kotmoč končne množice .

Negativno in celo število (racionalno , resnično ,...) števila ne štejemo za naravna števila.

Množica vseh naravnih števil običajno označen s simbolom N (izlat. naturalis- naravno). Množica naravnih števil je neskončna, saj za vsako naravno število n obstaja naravno število, večje od n.

Prisotnost ničle olajša oblikovanje in dokazovanje številnih izrekov v aritmetiki naravnih števil, zato prvi pristop uvaja uporaben koncept razširjeno naravno območje , vključno z ničlo. Razširjena serija je označena z N 0 ali Z 0 .

TOzaprte operacije (operacije, ki ne izpeljejo rezultata iz množice naravnih števil) na naravnih številih vključujejo naslednje aritmetične operacije:

dodatek:člen + člen = vsota;
množenje: faktor × faktor = produkt;
potenciranje: a b , kjer je a osnova stopnje, b je eksponent. Če sta a in b naravni števili, bo rezultat naravno število.

Dodatno sta upoštevani še dve operaciji (s formalnega vidika nista operaciji nad naravnimi števili, saj nista definirani za vsepari številk (včasih obstajajo, včasih ne)):

odštevanje: minuend - subtrahend = razlika. V tem primeru mora biti minuend večji od subtrahenda (ali enak, če menimo, da je nič naravno število)
deljenje z ostankom: dividenda / delitelj = (količnik, ostanek). Kvocient p in ostanek r pri deljenju a z b sta definirana takole: a=p*r+b, pri čemer je 0<=r

Upoštevati je treba, da sta operaciji seštevanja in množenja temeljni. Še posebej,

Naravna števila so eden najstarejših matematičnih konceptov.

V daljni preteklosti ljudje niso poznali številk in ko so morali prešteti predmete (živali, ribe ipd.), so to počeli drugače kot mi zdaj.

Število predmetov so primerjali z deli telesa, na primer s prsti na roki, in rekli: "Imam toliko orehov, kolikor je prstov na moji roki."

Sčasoma so ljudje spoznali, da ima pet orehov, pet koz in pet zajcev skupno lastnost - njihovo število je enako petim.

Ne pozabite!

Cela števila- to so številke, ki se začnejo z 1, pridobljene s štetjem predmetov.

1, 2, 3, 4, 5…

Najmanjše naravno število — 1 .

Največje naravno število ne obstaja.

Pri štetju se številka nič ne uporablja. Zato se nič ne šteje za naravno število.

Ljudje so se naučili pisati številke veliko kasneje kot šteti. Najprej so začeli upodabljati eno z eno palico, nato z dvema palicama - številko 2, s tremi - številko 3.

| — 1, || — 2, ||| — 3, ||||| — 5 …

Nato so se pojavili posebni znaki za označevanje številk - predhodnikov sodobnih številk. Številke, ki jih uporabljamo za pisanje števil, izvirajo iz Indije pred približno 1500 leti. Arabci so jih prinesli v Evropo, zato se imenujejo arabske številke.

Skupaj je deset številk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. S temi številkami lahko zapišete poljubno naravno število.

Ne pozabite!

Naravna serija je zaporedje vseh naravnih števil:

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 …

V naravnem nizu je vsako število večje od prejšnjega za 1.

Naravni niz je neskončen, v njem ni največjega naravnega števila.

Sistem štetja, ki ga uporabljamo, se imenuje decimalno pozicijsko.

Decimalno, ker 10 enot vsake števke tvori 1 enoto najpomembnejše števke. Pozicijski zato, ker je pomen števke odvisen od njenega mesta v številskem zapisu, torej od števke, v kateri je zapisana.

Pomembno!

Razredi, ki sledijo milijardi, so poimenovani po latinskih imenih števil. Vsaka naslednja enota vsebuje tisoč prejšnjih.

1.000 milijard = 1.000.000.000.000 = 1 bilijon (»tri« je latinsko za »tri«)
1.000 trilijonov = 1.000.000.000.000.000 = 1 kvadrilijon (»quadra« je latinsko za »štiri«)
1.000 kvadrilijonov = 1.000.000.000.000.000.000 = 1 kvintilijon (»quinta« je latinsko za »pet«)

Fiziki pa so našli število, ki presega število vseh atomov (najmanjših delcev snovi) v celotnem vesolju.

Ta številka je dobila posebno ime - googol. Googol je število s 100 ničlami.

Morda bi bilo koristno prebrati: