Bir sayı sistemine yalnızca dil denir. Sayı sistemleri

Toplumun gelişiminin ilk aşamalarında insanlar neredeyse nasıl sayılacağını bilmiyorlardı. İki ve üç nesneden oluşan kümeler arasında ayrım yaptılar; daha fazla sayıda nesne içeren herhangi bir koleksiyon “çok” kavramında birleştirildi. Sayarken nesneler genellikle el ve ayak parmaklarıyla karşılaştırıldı. Medeniyet geliştikçe insanın sayma ihtiyacı gerekli hale geldi. Başlangıçta, doğal sayılar belirli sayıda tire veya çubuk kullanılarak tasvir ediliyordu, daha sonra bunları tasvir etmek için harfler veya özel işaretler kullanılmaya başlandı. Eski Novgorod'da, Slav alfabesinin harflerinin kullanıldığı Slav sistemi kullanıldı; Sayıları tasvir ederken üstlerine ~ (başlık) işareti yerleştirildi.

Eski Romalılar, sayıların Latin alfabesindeki harflerle temsil edildiği, günümüze kadar “Roma numaralandırması” adı altında kalan numaralandırmayı kullandılar. Günümüzde yıldönümlerini belirtmek, bir kitabın bazı sayfalarını (örneğin önsöz sayfalarını), kitaplardaki bölümleri, şiirlerdeki kıtaları vb. numaralandırmak için kullanılmaktadır. Daha sonraki hallerinde Romen rakamları şöyle görünür:

ben = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000.

Romen rakamlarının kökeni hakkında güvenilir bir bilgi bulunmamaktadır. V sayısı başlangıçta bir elin görüntüsü olabilir ve X sayısı iki beşten oluşabilir. Roma numaralandırmasında beşli sayı sisteminin izleri açıkça görülmektedir. Tüm tam sayılar (5000'e kadar) yukarıdaki sayıların tekrarlanmasıyla yazılır. Ayrıca büyük sayı küçük sayıdan önce gelirse toplanır, küçük sayı büyük sayıdan önce gelirse (bu durumda tekrarlanamaz), küçük olan büyük olandan çıkarılır. Örneğin VI = 6, yani. 5 + 1, IV = 4, yani. 5 – 1, XL = 40 yani 50 – 10, LX = 60 yani 50 + 10. Aynı sayı art arda en fazla üç kez yerleştirilebilir: LXX = 70; LXXX = 80; 90 sayısı XC olarak yazılır (LXXXX değil).

İlk 12 sayı Romen rakamlarıyla şu şekilde yazılmıştır:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Diğer sayılar örneğin şu şekilde yazılır:

XXVIII = 28; ХХХIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Bu gösterimde çok basamaklı sayılar üzerinde aritmetik işlemler yapmak oldukça zordur. Ancak İtalya'da 13. yüzyıla kadar, diğer Batı Avrupa ülkelerinde ise 16. yüzyıla kadar Roma numaralandırması geçerliydi.

Slav numaralandırma sisteminde, alfabetik sıranın bir miktar ihlal edilmesine rağmen, alfabenin tüm harfleri sayıları kaydetmek için kullanıldı. Farklı harfler, farklı sayıda birim, onlarca ve yüzlerce anlamına geliyordu. Örneğin 231 sayısı ~SLA (C – 200, L – 30, A – 1) şeklinde yazılmıştır.

Bu sistemler, başkaları tarafından yerlerinden edilmelerine yol açan iki eksiklikle karakterize edilir: çok sayıdaözellikle resimler için çeşitli işaretler büyük sayılar ve daha da önemlisi aritmetik işlemleri gerçekleştirmenin zorluğu.

Daha uygun, genel kabul görmüş ve en yaygın olanı, Hindistan'da icat edilen, Araplar tarafından oradan ödünç alınan ve bir süre sonra Avrupa'ya gelen ondalık sayı sistemidir. Ondalık sayı sisteminde taban 10 sayısıdır.

Başka temellere sahip matematik sistemleri de vardı. Örneğin Eski Babil'de altmışlık sayı sistemi kullanılıyordu. Günümüze kadar korunan bir saatin veya derecenin 60 dakikaya, dakikanın 60 saniyeye bölünmesinde bunun kalıntılarını buluyoruz.

On ikilik sistem de eski zamanlarda yaygındı ve kökeni muhtemelen ondalık sistem gibi parmak sayımıyla bağlantılıydı: sayarken hareket eden bir elin dört parmağının falanksları (bireysel eklemler) alındı sayma birimi olarak baş parmak aynı el. Bu sayı sisteminin kalıntıları hem sözlü konuşmada hem de geleneklerde günümüze kadar gelmiştir. Örneğin, ikinci kategorideki birimin adı - 12 sayısı - "düzine" iyi bilinmektedir. Pek çok öğeyi düzinelerce değil düzinelerce sayma geleneği korunmuştur, örneğin servisteki çatal bıçak takımı veya mobilya setindeki sandalyeler. On ikilik sistemdeki üçüncü basamaklı birimin adı - brüt - artık nadirdir, ancak yüzyılın başındaki ticari uygulamada hala mevcuttur. Mesela 1928'de yazılmış bir şiirde Plyushkin Her şeyi arka arkaya satın alan insanlarla alay eden V.V. Mayakovsky şunları yazdı: "...On iki brüt cop aldım." Bazı Afrika kabileleri ve Antik Çin Beş katlı sayı sistemi kullanıldı. Orta Amerika'da (eski Aztekler ve Mayalar arasında) ve orada yaşayanlar arasında Batı Avrupa Eski Keltler ondalık sistemi kullanıyordu. Hepsi aynı zamanda parmakla saymakla da ilişkilidir.

En genç sayı sistemi haklı olarak ikili kabul edilebilir. Bu sistem, onu bilgisayar makinelerinde ve modern bilgisayarlarda kullanım için çok avantajlı kılan bir takım niteliklere sahiptir.

Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri.

Çeşitlilik farklı sistemler Daha önce var olan ve zamanımızda kullanılan sayılar konumsal olmayan ve konumsal olarak ayrılabilir. Sayıları yazmak için kullanılan işaretlere rakam denir.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinde rakamın sayı gösterimindeki konumu temsil ettiği değere bağlı değildir. Konumsal olmayan sayı sistemine bir örnek, sayı olarak Latin harflerini kullanan Roma sistemidir.

Konumsal sayı sistemlerinde bir sayının içindeki rakamın gösterdiği değer, o sayının konumuna bağlıdır. Kullanılan rakam sayısına sayı sisteminin tabanı denir. Bir sayıdaki her rakamın yerine konum denir. Konum ilkesine dayalı olarak bildiğimiz ilk sistem Babil altmışlık sistemidir. İçindeki sayılar iki türdendi; biri birimleri, diğeri ise onlukları ifade ediyordu.

Ancak Hint-Arap ondalık sisteminin en yaygın kullanılan sistem olduğu ortaya çıktı. Bir sayı dizisinde bir miktarın konumsal önemini belirtmek için sıfırı ilk kullananlar Kızılderililerdi. Bu sisteme ondalık sayı denir , çünkü on rakamı var.

Konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri arasındaki fark, en kolay şekilde iki sayının karşılaştırılmasıyla anlaşılır. Konumsal sayı sisteminde iki sayının karşılaştırılması şu şekilde gerçekleşir: Söz konusu sayılarda soldan sağa aynı konumdaki rakamlar karşılaştırılır. Daha büyük bir sayı, daha büyük bir sayı değerine karşılık gelir. Örneğin 123 ve 234 sayıları için 1, 2'den küçüktür, dolayısıyla 234, 123'ten büyüktür. Konumsal olmayan sayı sisteminde bu kural geçerli değildir. Bunun bir örneği iki sayı IX ve VI'nın karşılaştırılması olabilir. I, V'den küçük olmasına rağmen IX, VI'dan büyüktür.

Konumsal sayı sistemleri.

Bir sayının yazıldığı sayı sisteminin tabanı genellikle bir alt simge ile gösterilir. Örneğin 555 7 ondalık sayı sisteminde yazılan bir sayıdır. Bir sayı ondalık sistemde yazılmışsa, taban genellikle belirtilmez. Sistemin tabanı da bir sayıdır ve bunu olağan ondalık sistemde göstereceğiz. Genel olarak sayı X tabanlı bir sistemde temsil edilebilir P, Nasıl X = BİR· pn+BİR- 1· pn–1 + A 1· P 1 + A 0· P 0, nerede BİR...A 0 – belirli bir sayının temsilindeki rakamlar. Örneğin,

1035 10 =1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;

1010 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 10.

Bilgisayarda çalışırken en büyük ilgi, 2, 8 ve 16 tabanlı sayı sistemleridir. Genel olarak konuşursak, bu sayı sistemleri genellikle hem kişinin hem de bilgisayarın tam teşekküllü çalışması için yeterlidir, ancak bazen çeşitli koşullar nedeniyle , yine de üçlü, septal veya 32 tabanlı gibi diğer sistem sayı sistemlerine dönmeniz gerekiyor.

Bu tür geleneksel olmayan sistemlerde yazılan sayılarla işlem yapabilmek için bunların temelde alışılagelmiş ondalık sistemden hiçbir farkı olmadığını unutmamanız gerekir. İçlerinde toplama, çıkarma ve çarpma aynı şemaya göre yapılır.

Neden diğer sayı sistemleri kullanılmıyor? Esas olarak çünkü Gündelik Yaşam insanlar ondalık sayı sistemini kullanmaya alışkındır ve başka hiçbir şeye gerek yoktur. Bilgisayarlarda ikili biçimde yazılan sayılarla işlem yapmak oldukça basit olduğundan ikili sayı sistemi kullanılır.

Onaltılık sistem, bilgisayar bilimlerinde sıklıkla kullanılır, çünkü sayıların bu sisteme yazılması, ikili sistemde sayıların yazılmasından çok daha kısadır. Şu soru ortaya çıkabilir: Çok büyük sayıları yazmak için neden 50 tabanı gibi bir sayı sistemi kullanmıyorsunuz? Böyle bir sayı sistemi, 10 sıradan rakam artı 10'dan 49'a kadar olan sayılara karşılık gelen 40 işaret gerektirir ve herhangi birinin bu kırk karakterle çalışmak istemesi pek olası değildir. Bu nedenle gerçek hayat 16'dan büyük tabanlara dayalı sayı sistemleri pratikte kullanılmamaktadır.

Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme.

En yaygın sayı sistemleri ikili, onaltılı ve ondalıktır. Sayıların temsilleri birbirleriyle nasıl ilişkilidir? çeşitli sistemlerölü hesap mı? Yemek yemek çeşitli yollar belirli örnekler kullanarak sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme.

Diyelim ki 567 sayısını ondalıktan ikiliye çevirmemiz gerekiyor. Öncelikle ikinin maksimum kuvveti belirlenir, öyle ki ikinin bu kuvveti orijinal sayıdan küçük veya ona eşit olur. İÇİNDE bu durumda bu 9 çünkü 2 9 = 512 ve 2 10 = 1024, bu başlangıç ​​sayısından büyüktür. Bu sonuçtaki rakam sayısını verir; 9 + 1 = 10'a eşit olduğundan sonuç 1 gibi görünecektir. xxxxxxxxxxxxx, bunun yerine X Herhangi bir ikili rakam olabilir. Sonucun ikinci rakamı şu şekilde bulunur - ikinin 9'un üssü haline getirilip orijinal sayıdan çıkarılması: 567 - 2 9 = 55. Geriye kalan, 2 8 = 256 sayısıyla karşılaştırılır. 55, küçük olduğundan 256, dokuzuncu rakam sıfırdır, yani. sonuç 10 gibi görünüyor xxxxxxxxxxx. Sekizinci kategoriyi ele alalım. 2 7 = 128 > 55 olduğuna göre o da sıfır olacaktır.

Yedinci rakam da sıfır çıkıyor. Sayının gerekli ikili gösterimi 1000 formunu alır xxxxxxxx. 2 5 = 32 xxxx). Kalan 55 – 32 = 23 için aşağıdaki eşitsizlik doğrudur: 2 4 = 16

567 = 1·2 9 + 0·2 8 + 0·2 7 + 0·2 6 + 1·2 5 + 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0

Sayıları dönüştürmenin başka bir yöntemi de sütun bölme işlemini kullanır. Aynı 567 sayısını alıp 2'ye bölerseniz bölüm 283 olur, kalan 1 olur. 283 sayısı için de aynı işlem yapılır. Bölüm 141, kalan 1 olur. Yine çıkan bölüm bölünür. Bölüm bölenden küçük olmayacak şekilde 2'ye kadar devam eder. Şimdi ikili sayı sisteminde bir sayı elde etmek için son bölümü yazmanız yeterlidir, yani. 1'i seçin ve bölme işlemi sırasında elde edilen tüm kalıntıları ters sırayla ekleyin.

Sonuç elbette değişmedi: İkili sayı sisteminde 567, 1.000.110.111 olarak yazılıyor.

Bu iki yöntem, bir sayıyı ondalık sistemden herhangi bir tabana sahip bir sisteme dönüştürürken uygulanabilir. Örneğin, 567 sayısını 16 tabanına dönüştürürken, sayı ilk önce tabanın kuvvetlerine genişletilir. Gerekli sayı üç rakamdan oluşur çünkü 16 2 = 256 xx, bunun yerine X Herhangi bir onaltılık rakam olabilir. Geriye 55 (567 – 512) sayısını aşağıdaki rakamlara dağıtmak kalıyor. 3 16 = 48

İkinci yöntem, bir sütuna sıralı bölmeden oluşur; tek fark, 2'ye değil 16'ya bölmeniz gerektiğidir ve bölüm kesinlikle 16'dan küçük olduğunda bölme işlemi sona erer.

Elbette bir sayıyı onaltılık sistemde yazmak için 10'u A ile, 11'i B ile vb. değiştirmeniz gerekir.

Ondalık sisteme dönüştürme işlemi çok daha basit görünür çünkü herhangi bir ondalık sayı şu şekilde temsil edilebilir: X = A 0· pn + A 1· pn–1 +... + BİR-1· P 1 + BİR· P 0, nerede A 0 ... BİR– bunlar tabanlı bir sayı sisteminde belirli bir sayının rakamlarıdır P.

Örneğin 4A3F sayısını bu şekilde ondalık sisteme dönüştürebilirsiniz. Tanım gereği, 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. A'yı 10 ve F'yi 15 ile değiştirirsek, 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007 elde ederiz. .

Sayıları dönüştürmenin en kolay yolu İkili sistem tabanı ikinin (8 ve 16) kuvvetlerine eşit olan sistemlere ve bunun tersi de geçerlidir. 2 tabanlı sayı sisteminde tamsayı ikili sayı yazmak için N, bu ikili sayıyı sağdan sola aşağıdakilere göre gruplara ayırmanız gerekir: N- her birindeki sayılar; son sol grup n'den az basamak içeriyorsa, gerekli sayıda basamağa sıfır ekleyin; her grubu şöyle düşünün N-bit ikili sayı ve bunu 2 tabanlı sayı sistemindeki karşılık gelen rakamla değiştirin N .

Tablo 1. İkili Onaltılı Tablo
Tablo 1. İKİLİ-HEX TABLO
2. 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16. 0 1 2 3 4 5 6 7
2. 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16. 8 9 A B C D e F

Ünlü Fransız gökbilimci, matematikçi ve fizikçi Pierre Simon Laplace (1749–1827) şunları yazdı: tarihsel gelişim“Bütün sayıları dokuz işaretle ifade etme, onlara biçimsel anlamın yanı sıra yerinde anlam da verme fikri o kadar basittir ki, tam da bu basitlikten dolayı ne kadar şaşırtıcı olduğunu anlamak zordur. bu. Bu yönteme ulaşmanın ne kadar zor olduğunu, Yunan biliminin en büyük dehaları Arşimet ve Apollonius'un bu fikrin gizli kaldığı örneğinde görüyoruz.

Ondalık sayı sisteminin diğer konumsal sistemlerle karşılaştırılması, matematikçilerin ve tasarım mühendislerinin, bilgisayar teknolojisinin gelişmesini sağlayan modern ondalık olmayan sayı sistemlerinin şaşırtıcı yeteneklerini ortaya çıkarmalarına olanak sağladı.

Anna Chugainova

Birim (tekli) sayı sistemi Sayı sistemlerinin listesi

Gösterim:

  • bir sayı kümesinin (tamsayılar ve/veya gerçek sayılar) temsillerini verir;
  • her sayıya benzersiz bir temsil (veya en azından standart bir temsil) verir;
  • sayıların cebirsel ve aritmetik yapısını yansıtır.

Sayı sistemleri ikiye ayrılır konumsal, konumsal olmayan Ve karışık.

Konumsal sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemlerinde, bir sayının gösteriminde aynı sayısal işaret (rakam) vardır. Farklı anlamlar bulunduğu yere (kategoriye) bağlı olarak. Rakamların yer anlamına dayalı konumsal numaralandırmanın icadı Sümerlere ve Babillilere atfedilir; Bu tür numaralandırma Hindular tarafından geliştirildi ve insan uygarlığı tarihinde çok değerli sonuçlar doğurdu. Bu tür sistemler, ortaya çıkışı parmak sayımıyla ilişkili olan modern ondalık sayı sistemini içerir. Ortaçağ Avrupa'sında İtalyan tüccarlar aracılığıyla ortaya çıktı ve onlar da onu Müslümanlardan ödünç aldılar.

Konumsal sayı sistemi genellikle, adı verilen bir tamsayı tarafından belirlenen -zengin sayı sistemini ifade eder. temel sayı sistemleri. -ary sayı sistemindeki işaretsiz bir tam sayı, bir sayının kuvvetlerinin sonlu doğrusal birleşimi olarak temsil edilir:

tamsayılar nerede çağrılır sayılarla, eşitsizliği tatmin etmek.

Böyle bir gösterimdeki her dereceye sıra ağırlığı denir. Rakamların ve bunlara karşılık gelen rakamların kıdemi, göstergenin değerine (rakam numarası) göre belirlenir. Tipik olarak sıfır olmayan sayılarda soldaki sıfırlar atlanır.

Herhangi bir tutarsızlık yoksa (örneğin, tüm sayılar benzersiz yazılı karakterler biçiminde sunulduğunda), sayı, soldan sağa sayıların azalan önceliğine göre listelenen alfasayısal basamakların bir dizisi olarak yazılır:

Örneğin sayı yüz üç ondalık sayı sisteminde şu şekilde temsil edilir:

Şu anda en çok kullanılan konumsal sistemler şunlardır:

Konumsal sistemlerde, sistemin tabanı ne kadar büyük olursa, sayı yazarken gereken rakam sayısı (yani yazılı rakamlar) o kadar az olur.

Karışık sayı sistemleri

Karışık sayı sistemi-zengin sayı sisteminin bir genellemesidir ve sıklıkla konumsal sayı sistemlerine de atıfta bulunur. Karışık sayı sisteminin temeli artan bir sayı dizisidir ve içindeki her sayı doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilir:

katsayıların daha önce olduğu gibi çağrıldığı yer sayılarla bazı kısıtlamalar geçerlidir.

Karışık sayı sisteminde bir sayı yazmak, rakamlarının sıfırdan farklı olan ilk rakamdan başlayarak azalan indeks sırasına göre listelenmesidir.

Fonksiyon olarak türüne bağlı olarak karışık sayı sistemleri kuvvet, üstel vb. olabilir. Bazıları için karışık sayı sistemi üstel-zengin sayı sistemiyle çakışır.

Karışık sayı sisteminin en ünlü örneği, zamanın gün, saat, dakika ve saniye sayısı olarak temsil edilmesidir. Bu durumda “gün, saat, dakika, saniye” değeri saniye değerine karşılık gelir.

Faktöriyel sayı sistemi

İÇİNDE faktöriyel sayı sistemi bazlar bir faktöriyel dizisidir ve her doğal sayı şu şekilde temsil edilir:

, Nerede .

Faktoriyel sayı sistemi aşağıdaki durumlarda kullanılır: ters çevirme listeleriyle permütasyonların kodunun çözülmesi: permütasyon numarasına sahip olarak, bunu şu şekilde çoğaltabilirsiniz: sayıdan bir eksik olan bir sayı (numaralandırma sıfırdan başlar) faktöriyel sayı sistemine yazılır ve sayının katsayısı i! permütasyonların yapıldığı kümedeki i+1 elemanının ters çevrilme sayısını gösterecektir (i+1'den küçük ancak istenen permütasyonda onun sağında yer alan elemanların sayısı)

Örnek: 5 elementten oluşan bir permütasyon kümesi düşünün, toplamda 5 tane var! = 120 (0 - (1,2,3,4,5) numaralı permütasyondan 119 - (5,4,3,2,1) numaralı permütasyona kadar), 101'inci permütasyonu bulalım: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; i! sayısının katsayısı ti olsun, o zaman t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, o zaman: 5'ten küçük ancak sağda yer alan eleman sayısı 4; 4'ten küçük ancak sağda bulunan öğelerin sayısı 0'dır; 3'ten az fakat sağda yer alan elemanların sayısı 2'dir; 2'den küçük ancak sağda bulunan elemanların sayısı 0'dır (permütasyondaki son eleman kalan tek yere "koyulur") - böylece 101'inci permütasyon şöyle görünecektir: (5,3,1,2 ,4) Bu yöntemin kontrolü, permütasyonun her bir elemanı için ters çevirmelerin doğrudan sayılmasıyla gerçekleştirilebilir.

Fibonacci sayı sistemi Fibonacci sayılarına dayanmaktadır. Her doğal sayı şu biçimde temsil edilir:

, Fibonacci sayıları nerede ve katsayılar sonlu sayıda bire sahip ve arka arkaya iki bir yok.

Konumsal olmayan sayı sistemleri

Konumsal olmayan sayı sistemlerinde bir rakamın ifade ettiği değer, sayı içindeki konumuna bağlı değildir. Bu durumda sistem, örneğin sayıların azalan sırada düzenlenmesi için sayıların konumuna kısıtlamalar getirebilir.

Binom sayı sistemi

Binom katsayılarını kullanarak temsil

, Nerede .

Artık Sınıf Sistemi (RSS)

Kalıntı sınıfı sisteminde sayının temsili, kalıntı kavramına ve Çin kalan teoremine dayanmaktadır. RNS, bir dizi nispeten asal sayı tarafından belirlenir. modüllerürünle, segmentteki her bir tamsayı bir kalıntı kümesiyle ilişkilendirilecek şekilde ilişkilendirilir; burada

…

Aynı zamanda Çin kalan teoremi aralıktaki sayıların temsilinin benzersizliğini garanti eder.

RNS'de aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme), sonucun bir tam sayı olduğu biliniyorsa ve aynı zamanda içinde yer alıyorsa bileşen bazında gerçekleştirilir.

RNS'nin dezavantajları, yalnızca sınırlı sayıda sayıyı temsil edebilme yeteneğinin yanı sıra, RNS'de temsil edilen sayıları karşılaştırmak için etkili algoritmaların bulunmamasıdır. Karşılaştırma genellikle argümanların RNS'den karma taban sayı sistemine çevrilmesi yoluyla gerçekleştirilir.

Stern – Brocot sayı sistemi- pozitif kaydetmenin bir yolu rasyonel sayılar, Stern-Brocot ağacına dayanmaktadır.

Farklı ulusların sayı sistemleri

Birim numarası sistemi

Görünen o ki, kronolojik olarak her milletin sayma konusunda ustalaşmış ilk sayı sistemi. Bir doğal sayı aynı işaretin (çizgi veya nokta) tekrarlanmasıyla temsil edilir. Örneğin, 26 sayısını tasvir etmek için 26 çizgi çizmeniz (veya bir kemik, taş vb. Üzerine 26 çentik açmanız gerekir). Daha sonra büyük sayıların algılanmasında kolaylık sağlamak amacıyla bu işaretler üçlü veya beşli gruplar halinde gruplandırılır. Daha sonra eşit hacimli işaret grupları yeni bir işaretle değiştirilmeye başlar - gelecekteki sayıların prototipleri bu şekilde ortaya çıkar.

Eski Mısır sayı sistemi

Babil sayı sistemi

Alfabetik sayı sistemleri

Alfabetik sayı sistemleri eski Ermeniler, Gürcüler, Yunanlılar (İyonik sayı sistemi), Araplar (abjadia), Yahudiler (bkz. gematria) ve Orta Doğu'nun diğer halkları tarafından kullanılıyordu. Slav ayin kitaplarında Yunan alfabetik sistemi Kiril harflerine çevrildi.

Yahudi sayı sistemi

Yunan sayı sistemi

Roma sayı sistemi

Neredeyse konumsal olmayan sayı sisteminin kanonik örneği, sayı olarak Latin harflerini kullanan Roma sistemidir:
Ben 1'i temsil ediyorum,
V-5,
X - 10,
L - 50,
C-100,
D-500,
M-1000

Örneğin II = 1 + 1 = 2
burada I sembolü sayı içindeki yerine bakılmaksızın 1'i temsil etmektedir.

Aslında Roma sistemi tamamen konumsal olmayan bir sistem değildir, çünkü büyük olandan önce gelen daha küçük rakam ondan çıkarılır, örneğin:

IV = 4 iken:
VI = 6

Maya sayı sistemi

Ayrıca bakınız

Notlar

Bağlantılar

  • Gashkov S.B. Sayı sistemleri ve uygulamaları. - M .: MTsNMO, 2004. - (Kütüphane “Matematik Eğitimi”).
  • Fomin S.V. Sayı sistemleri. - M .: Nauka, 1987. - 48 s. - (Matematik üzerine popüler dersler).
  • Yaglom İ. Sayı sistemleri // Kuantum. - 1970. - No. 6. - S. 2-10.
  • Sayılar ve sayı sistemleri. Dünya Çapında Çevrimiçi Ansiklopedi.
  • Stakhov A. Sayı sistemlerinin bilgisayar tarihindeki rolü.
  • Mikushin A.V. Sayı sistemleri. Dersler "Dijital cihazlar ve mikroişlemciler"
  • Butler J. T., Sasao T. Yedekli Çok Değerli Sayı Sistemleri Makalede birden büyük rakamlar kullanan ve sayıların temsilinde fazlalığa izin veren sayı sistemleri ele alınmaktadır.

Wikimedia Vakfı. 2010.

İyi çalışmanızı bilgi tabanına göndermek basittir. Aşağıdaki formu kullanın

İyi iş siteye">

Bilgi tabanını çalışmalarında ve çalışmalarında kullanan öğrenciler, lisansüstü öğrenciler, genç bilim insanları size çok minnettar olacaklardır.

Yayınlanan http://www.allbest.ru/

ÇALIŞMA İPOTEKİNİN ADI

” Sayı sistemi türleri ”

Sayı sistemi kavramı. Sayı sistemi türleri

Gösterim-- herhangi bir sayıyı yazıp ona bir ad vermenizi sağlayan çeşitli ad ve işaretlerden oluşan bir koleksiyon.

Gösterim:

· bir dizi sayının temsillerini verir (tamsayılar ve/veya gerçek sayılar);

· her sayıya benzersiz bir temsil (veya en azından standart bir temsil) verir;

· Sayıların cebirsel ve aritmetik yapısını yansıtır.

Sayı sistemleri ikiye ayrılır:

· Konumsal;

· Konumsal olmayan;

· Karışık.

Konumsal sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemi her rakamın anlamının sayısal eşdeğerine ve sayı içindeki yerine (konumuna) bağlı olduğu bir sistemdir; aynı sembol (sayı) farklı anlamlar üstlenebilir.

Sayıların yer anlamına dayalı konumsal numaralandırmanın icadı Sümerlere ve Babillilere atfedilmektedir. Bu tür numaralandırma Hindular tarafından geliştirildi ve insan uygarlığı tarihinde çok değerli sonuçlar doğurdu.

En ünlü konumsal sayı sistemi, kökeni parmak sayımıyla ilişkilendirilen ondalık sayı sistemidir. Ortaçağ Avrupa'sında İtalyan tüccarlar aracılığıyla ortaya çıktı ve onlar da onu Müslümanlardan ödünç aldılar.

Herhangi bir konumsal sayı sistemi bir tabanla karakterize edilir. Doğal konumsal sayı sisteminin tabanı veya temeli (n), belirli bir sistemdeki bir sayıyı temsil etmek için kullanılan işaret veya sembollerin sayısıdır. Bu nedenle sonsuz sayıda konumsal sistem mümkündür, çünkü herhangi bir n>1 doğal sayısı taban olarak alınabilir; yeni sistem Hesaplaşma.

Bir konumsal sayı sisteminde belirli bir sayıyı temsil ederken veya yazarken, sayının karşılık gelen basamakları, belirli bir konumsal sayı sisteminde genellikle sayının basamakları olarak adlandırılan ayrı ayrı gerekli konumlara yerleştirilir. Bir sayıdaki basamak sayısına sayının bit derinliği denir ve uzunluğuna denk gelir.

Genel bir sayı sistemi, her birinin aşağıdaki formülle temsil edildiği tam ve kesirli sayıların bir gruplaması olarak tanımlanabilir:

burada x, n tabanına sahip bir sayı sisteminde yazılan rastgele bir sayıdır; ai sembolü serinin katsayısıdır, yani. sayı kaydının i'inci basamağı; k, m -- sırasıyla tam sayı ve kesirli basamak sayısı.

Böyle bir gösterimdeki her bir üs nk'ye derecenin ağırlıklandırma katsayısı denir. Rakamların ve bunlara karşılık gelen rakamların kıdemi, k göstergesinin (hane sayısı) değeri ile belirlenir. Konumsal sayı sistemindeki basamak sayıları, ondalık noktanın solundaki tam sayı kısmında ve ondalık noktanın sağındaki kesirli kısımda sayılır. Üstelik rakamların numaralandırılması 0'dan başlar. Konumsal sayı sisteminin tabanının değeri adını belirler: ondalık sistem için 10, sekizli sistem için 8, ikili sistem için 2 olacaktır. , vesaire. Genellikle sayı sisteminin adı yerine “sayı kodu” terimi kullanılır. Örneğin, ikili kod kavramı, ikili sayı sisteminde temsil edilen bir sayı anlamına gelir; ondalık kod kavramı, ondalık sayı sisteminde temsil edilen bir sayı anlamına gelir, vb.

Herhangi bir tutarsızlık yoksa (örneğin, tüm sayılar benzersiz yazılı karakterler olarak temsil edildiğinde), x sayısı, sayıların soldan sağa azalan öncelik sırasına göre listelendiği n'lik basamak dizisi olarak yazılır:

Şu anda en çok kullanılan konumsal sistemler şunlardır:

· 2 -- ikili (ayrık matematik, bilgisayar bilimi, programlamada);

· 3 - üçlü (üçlü bilgisayarlarda (örneğin, “Setun”));

· 8 -- sekizli (programlamada, bilgisayar bilimlerinde kullanılır);

· 10 -- ondalık sayı (her yerde kullanılır);

· 12 - on ikilik sayı (düzinelerce sayma);

· 16 -- onaltılık (programlamada, bilgisayar bilimlerinde kullanılır);

· 60 -- altmışlık (zaman birimleri, açıların ölçümü ve özellikle koordinatlar, boylam ve enlem).

Konumsal sistemlerde, sistemin tabanı ne kadar büyük olursa, sayı yazarken gereken rakam sayısı (yani yazılı rakamlar) o kadar az olur.

İkili sayı sistemi-- 2 tabanlı konumsal sayı sistemi. Mantık kapılarını kullanan dijital elektronik devrelerde doğrudan uygulanması sayesinde, ikili sistem neredeyse tüm modern bilgisayarlarda ve diğer bilgi işlem elektronik cihazlarında kullanılmaktadır. İkili sayı sisteminde sayılar iki sembol (0 ve 1) kullanılarak yazılır. Numaranın hangi sayı sisteminde yazıldığı konusunda karışıklığı önlemek için sağ altta bir gösterge bulunmaktadır. Örneğin, ondalık sistemde bir sayı 510, ikili sistemde 1012'dir. Bazen ikili bir sayı 0b önekiyle gösterilir, örneğin 0b101.

Çeviri kuralları

Herhangi bir sayı sisteminden ondalık sayı sistemine dönüştürme

Herhangi bir sayı sisteminden bir tam sayıyı ondalık sayıya dönüştürmek için bu sayıyı genel biçimde yazmanız gerekir:

anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0

Örnek: 12568 sayısını ondalık sayı sistemine çevirelim.

12568=1·8 3 +2.8 2 +5.8 1 +6·8 0 =1·512+2·64+5·8+6·1=68610.

Bir sayıyı ondalık sayı sisteminden başka bir sisteme dönüştürme

1) Verilen sayıyı, sayının dönüştürülmesi gereken sistemin tabanına bölün.

2) Ortaya çıkan sayıyı, sayının dönüştürülmesi gereken sistemin tabanına benzer şekilde bölün.

3) Ortaya çıkan bölüm tabandan küçük olana kadar 2. noktayı tekrarlayın.

4) Bölmeden kalanları sondan birinciye doğru yazınız.

Sayıları ikili sayıdan sekizli sayıya dönüştürme kuralı

1) Üç basamaklı sayıyı en düşük basamaktan başlayarak gruplara ayırıyoruz.

En fazla üç rakam eksikse, gerekli sayıda sıfırı sola ekleyin.

2) Ortaya çıkan her üçlü rakamı sekizli sayı sisteminden bir rakamla değiştiririz.

İkili üçlüler

Sekizli basamak

3) Kesirli kısmı virgülün sağında üçe bölüyoruz.

Sayıları ikiliden onaltılıya dönüştürme

1) Dört haneli sayıyı en düşük rakamdan başlayarak gruplara ayırıyoruz.

Dört basamağa kadar eksikse, gerekli sayıda sıfırı sola ekleyin.

2) Ortaya çıkan her dört rakamı sekizli sayı sisteminden bir sayıyla değiştiririz.

3) Kesirli kısmı virgülün sağında dörtlü olarak bölüyoruz.

Yeterli sayı yoksa sağa sıfır atarız.

Sayıları sekizli sayı sisteminden ikili sayı sistemine dönüştürme kuralı

1) Belirli bir sekizli sayının her basamağını karşılık gelen ikili eşdeğeriyle değiştirin.

2) Tam üçlüye ulaşmak için yeterli rakam yoksa, bu üçlüde soldaki eksik sıfır sayısını ekliyoruz.

Sayıları onaltılıdan ikiliye dönüştürme

1) Belirli bir onaltılık sayının her basamağını karşılık gelen ikili eşdeğeriyle değiştirin.

2) Tam dörde ulaşmak için yeterli sayı yoksa, bu dördün içinde eksik olan sıfır sayısını sağa ekleriz.

Olağandışı konumsal sayı sistemleri

Olağandışı sayılar yaygın olarak kullanılmaz ancak teorik açıdan ilgi çekici olabilirler. Olağandışı sayı sistemleri arasında şunları vurgulayabiliriz: sayı konumsal sembolik işaret

· doğal olmayan temellere sahip sayı sistemleri

ya olumsuz,

ah mantıksız,

o karmaşık (örneğin: 1 + i);

· çeşitli tabanlı sayı sistemleri;

o iç içe geçmiş (ikili-ondalık, ondalık-onaltılı vb.)

· standart olmayan sayı kümelerine sahip sayı sistemleri:

sıfıra yakın simetrik bir sayı kümesiyle.

Negatif tabanlı sayı sistemleri

Negatif tabanlar, işarete ek bir karakter eklemeden negatif sayıları ifade etmenize olanak tanır. Sayıları ifade etmek için, doğal tabanı mutlak değere eşit olan bir sistem için kullanılan aynı sayı kümesi kullanılır. Bu nedenle bir sayının tek rakamları negatif ağırlığa sahiptir.

İrrasyonel temelli sayı sistemleri

İrrasyonel bir sayı, irrasyonel tabanlı bir sayı sisteminde sayılar kullanılarak ifade edilebilir.

Karmaşık tabanlı sayı sistemleri

Negatif tabanlı sistemler gibi karmaşık tabanlar da karmaşık sayıları ifade etmenize olanak tanır.

Bunun için sayı sisteminin tabanı şu şekilde alınır:

koşulu karşılayan - kümedeki basamak sayısı.

İç içe tabanlara sahip taban sistemleri

Daha büyük tabanlı bir sayı sistemindeki rakamlar, daha küçük tabanlı bir sayı sistemindeki sayılarla temsil edilirse, özel bir bileşik türde sayı sistemi elde edilecektir.

Zamanı ölçmek için kullanılan ondalık-onaltılık sayı sistemi iyi bilinmektedir; ondalık sistemde yazılan saat, dakika ve saniyeler burada altmışlık sayı sisteminin rakamları olarak görünür. Bu sistem, sayıları yazmak için yalnızca üç çivi yazısı karakterine dayanan altmışlık sistemin yaygın olarak kullanıldığı Babil'den geldi:

· dikey kama - boşaltma ünitesi;

· takozların köşesi - on sıra;

· eğimli takoz - sıfır, boş rakam;

Hesaplamalarda ikili ondalık sayı sistemi kullanılır. İkili rakamlar dörtlü gruplar halinde gruplandırılır; burada her tetrad (dörtlü, yarım bayt) bir ondalık rakamı kodlar. Bu, sayı sistemlerini dönüştürmeden ondalık gösterim ve girişe sahip cihazlarla çalışmanıza olanak tanır.

Standart olmayan sayı kümeleri, sıfıra göre simetrik kümeler

Negatif sayıları eksi işareti kullanmadan (negatif tabanlar dışında) yazmanın alternatif bir yolu, negatif ağırlıklı rakamları kullanmaktır. Bu durumda bir sayı yazmak için farklı basamakların sayısını artırmaya gerek yoktur; bir küme yerine herhangi bir küme türünü kullanabilirsiniz.

Bu bağlamda dikkat çekici olan simetrik bir sayı kümesinin kullanılmasıdır. Eğer 2 tipi tek tabanlı bir sayı sistemi alırsak P+1, o zaman sayı kümesi şöyle görünecektir.

Bu yaklaşım üçlü bilgisayarlarda (örneğin “Setun”) uygulama alanı bulmuştur.

Karışık sayı sistemi

Karışık sayı sistemi N'li sayı sisteminin bir genellemesidir ve aynı zamanda sıklıkla konumsal sayı sistemlerine de atıfta bulunur. Karışık sayı sisteminin temeli artan bir sayı dizisidir ve içindeki her sayı doğrusal bir kombinasyon olarak temsil edilir:

Bir fonksiyon olarak ni'nin türüne bağlı olarak karışık sayı sistemleri kuvvet, üstel, faktöriyel, Fibonacci vb. olabilir. Bazı n'ler için karışık sayı sistemi üstel n-ary sayı sistemiyle çakışır.

Karışık sayı sisteminin en çarpıcı örneği zamanın gün, saat, dakika ve saniye sayısı olarak gösterilmesidir. Bu durumda “d gün, h saat, m dakika, s saniye” değeri şu değere karşılık gelir:

Konumsal olmayan sayı sistemleri

Konumsal olmayan sayı sistemi-- bir sembolün anlamının olduğu bir sistemdir, yani. sayılar, sayı içindeki konumuna bağlı değildir. Bu durumda sistem, örneğin sayıların azalan sırada düzenlenmesi için sayıların konumuna kısıtlamalar getirebilir.

Binom sayı sistemi

Binom sayı sisteminde x sayısı, binom katsayılarının toplamı olarak temsil edilir:

N'nin herhangi bir sabit değeri için her doğal sayı benzersiz bir şekilde temsil edilir.

Artık Sınıf Sistemi (RSS)

Artık sınıf sisteminde sayının temsili, kalıntı kavramına ve Çin kalan teoremine dayanmaktadır. RNS, bir dizi ikili eş asal sayı ile belirlenir modüllerürünle, segmentteki her bir tamsayı bir kalıntı kümesiyle ilişkilendirilecek şekilde ilişkilendirilir; burada

RNS, aralıktaki sayılar için benzersiz temsili garanti eder

RNS'de aritmetik işlemler (toplama, çıkarma, çarpma, bölme), sonucun bir tam sayı olduğu biliniyorsa ve aynı zamanda içinde yer alıyorsa bileşen bazında gerçekleştirilir.

RNS'nin dezavantajları, yalnızca sınırlı sayıda sayıyı temsil etme yeteneğinin yanı sıra, RNS'de sunulan sayıları karşılaştırmak için etkili algoritmaların bulunmamasıdır.

Tarihsel sayı sistemleri

Birim numarası sistemi

Kronolojik olarak her milletin sayma konusunda ustalaşmış ilk sayı sistemi. Bir doğal sayı aynı işaretin (çizgi veya nokta) tekrarlanmasıyla temsil edilir. Daha sonra büyük sayıların algılanmasında kolaylık sağlamak amacıyla bu işaretler üçlü veya beşli gruplar halinde gruplandırılır. Daha sonra eşit hacimli işaret grupları yeni bir işaretle değiştirilmeye başlar - gelecekteki sayıların prototipleri bu şekilde ortaya çıkar.

Beş katlı sayı sistemi (Topuklarla sayma)M)

Rusya'da mevcuttu. En azından 18. yüzyılın sonuna kadar halk tarafından kullanıldı. XIX'in başı yüzyıllar

Eski Mısır sayı sistemi

Eski Mısır'ın konumsal olmayan ondalık sayı sistemi, MÖ 3. binyılın ikinci yarısında ortaya çıktı. e. 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 rakamlarını belirtmek için özel sayılar kullanıldı. Mısır sayı sistemindeki sayılar, her bir rakamın en fazla dokuz kez tekrarlandığı bu rakamların birleşimi olarak yazılıyordu. Bir sayının değeri, kaydında yer alan rakamların değerlerinin basit toplamına eşittir.

Alfabetik sayı sistemleri

Alfabetik sayı sistemleri eski Ermeniler, Gürcüler, Yunanlılar (İyonik sayı sistemi), Araplar (Abjadiya), Yahudiler ve Ortadoğu'nun diğer halkları tarafından kullanılıyordu. Slav ayin kitaplarında Yunan alfabetik sistemi Kiril harflerine çevrildi.

Roma sayı sistemi

Neredeyse konumsal olmayan sayı sisteminin kanonik örneği, sayı olarak Latin harflerini kullanan Roma sistemidir:

Ben 1'i temsil ediyorum,

Roma sistemi tamamen konumsal olmayan bir sistem değildir, çünkü büyük olandan önce gelen küçük rakam ondan çıkarılır.

Maya sayı sistemi

Mayalar bir istisna dışında 20 tabanlı sayı sistemi kullandılar: İkinci rakamda 20 değil 18 derece vardı, yani 17 19 rakamının hemen ardından 1 0 0 rakamı geliyordu. Bu, takvim hesaplamalarını kolaylaştırmak için yapıldı. 1 0 0 = 360 olduğundan yaklaşık olarak bir güneş yılındaki gün sayısına eşittir.

Kayıt için ana karakterler noktalar (birimler) ve segmentlerdi (beşli).

İnka kipu

MS 1.-2. binyılda Orta And Dağları'nda (Peru, Bolivya) devlet ve kamu amaçları için yaygın olarak kullanılan veritabanlarının prototipi. yani, hem ondalık sistemdeki sayısal girişlerden hem de ikili kodlama sistemindeki sayısal olmayan girişlerden oluşan İnkalar - quipu'nun düğümlü bir yazısı vardı. Yığın, birincil ve ikincil anahtarları, konum numaralarını, renk kodlamasını ve tekrarlanan verilerin serileştirilmesini kullandı. İnsanlık tarihinde ilk kez çift yanlı kayıt gibi bir muhasebe yönteminin uygulanması için qipu kullanıldı.

Kaynakça

1. A.G. Tsypkin. "Ortaokullar için matematik el kitabı"

Allbest.ru'da yayınlandı

...

Benzer belgeler

    Sayı sistemlerinin kavramı ve matematiksel içeriği, çeşitleri ve uygulama alanları. Özellikler konumsal ve konumsal olmayan, ikili ve ondalık sayı sistemlerinin özellikleri. Sayıları bir sistemden diğerine dönüştürme prosedürü.

    sunum, 11/10/2010 eklendi

    Bilgisayarlarda kullanılan, modern matematikte kullanılan sayı sistemi. Romen rakamlarını kullanarak sayıların yazılması. Ondalık sayıları diğer sayı sistemlerine dönüştürme. Kesirli ve karışık ikili sayıları dönüştürme. Konumsal sayı sistemlerinde aritmetik.

    özet, 07/09/2009 eklendi

    Sayı sistemlerinin tarihçesinin incelenmesi. Birim ve ikili sayı sistemlerinin tanımı, eski Yunan, Slav, Roma ve Babil yer numaralandırması. Bilgisayardaki ikili kodlamanın analizi. Sayıları bir sayı sisteminden diğerine dönüştürme.

    test, 11/04/2013 eklendi

    Sayıları yazmak ve okumak için bir dizi teknik ve kural. Kavramların tanımı: sayı sistemi, şekil, sayı, rakam. Sayı sistemlerinin sınıflandırılması ve temellerinin belirlenmesi. Sayı ve rakam, konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri arasındaki farklar.

    sunum, 15.04.2015 eklendi

    Sayı sistemi kavramı. Sayı sistemlerinin gelişiminin tarihi. Doğal sayı kavramı, sıra bağıntıları. Ondalık sayı sisteminin özellikleri. Genel Konular Negatif olmayan tam sayıların numaralandırılmasının incelenmesi başlangıç ​​kursu matematik.

    kurs çalışması, eklendi 29.04.2017

    Matematiksel sayı teorisi. Sayı sistemleri kavramı. İkili sayı sisteminin uygulamaları. Bilgisayar teknolojisi ve bilgi teknolojisi. Alfabetik tekdüze olmayan ikili kodlama. İkili sayı sisteminin avantajları ve dezavantajları.

    özet, 25.12.2014 eklendi

    Sayı sistemlerinin gelişiminin tarihi. Konumsal olmayan, konumsal ve ondalık sayı sistemleri. Sayı sistemlerinin bilgisayar teknolojisinde kullanımı ve Bilişim teknolojisi. Bilgisayardaki bilgilerin ikili kodlanması. İkili kodların oluşturulması.

    kurs çalışması, eklendi 06/21/2010

    Alfabetik sayı sisteminde sayıların yazılmasına aşinalık. Y harflerinin sayısal değerlerini belirleme özellikleri Slav halkları. Büyük sayıların Slav sayı sisteminde yazılmasının değerlendirilmesi. "Temalar", "lejyonlar", "leordlar" ve "desteler"in tanımlanması.

    sunum, 30.09.2012 eklendi

    Sayı sisteminin tanımları, sayılar, sayılar, alfabe. Sayı sistemi türleri. İkili kodların artıları ve eksileri. Onaltılık sistemi sekizli sisteme dönüştürmek ve onu dörtlü ve üçlülere bölmek. Bachet probleminin üçlü dengeli sistem yöntemiyle çözümü.

    sunum, 20.06.2011 eklendi

    İkili, sekizli ve onaltılı sayı sistemlerinin özü, bunların özellikleri ayırt edici özellikleri ve ara bağlantı. Sayıları bir sistemden diğerine dönüştürmek için kullanılan algoritmalara bir örnek. Verilen mantıksal fonksiyonlar için doğruluk tablosu ve mantık diyagramının hazırlanması.

Bu konuyu inceledikten sonra şunları öğrenecek ve tekrarlayacaksınız:

Hangi sayı sistemleri mevcut;
- sayıların bir sayı sisteminden diğerine nasıl dönüştürüldüğü;
- bilgisayarın hangi sayı sistemleriyle çalıştığı;
- kendilerini nasıl tanıtıyorlar farklı sayılar bilgisayarın belleğinde.

Antik çağlardan beri insanlar sayısal bilgileri belirleme (kodlama) sorunuyla karşı karşıya kalmıştır.

Küçük çocuklar yaşlarını parmaklarıyla gösterirler. Bir pilot uçağı düşürdü, bunun için yıldız işareti aldı, Robinson Crusoe günleri çentiklerle saydı.

Sayı, özellikleri aynı olan bazı gerçek nesneleri ifade ediyordu. Bir şeyi saydığımızda veya anlattığımızda, nesneleri kişiliksizleştiriyor gibiyiz. özelliklerinin aynı olduğunu ima ediyoruz. Ancak bir sayının en önemli özelliği bir nesnenin varlığıdır. birim ve onun yokluğu, yani. sıfır.

Sayı nedir?

Bu, sayıları kodladığımız bir dizi sembol olan sayıların alfabesidir. Sayılar – sayısal alfabe.

Sayılar ve sayılar iki farklı şeydir! İki sayıyı ele alalım: 5 2 ve 2 5. Sayılar aynı - 5 ve 2.

Bu sayılar nasıl farklı?

Sayı sırasına göre mi? - Evet! Ancak rakamın sayıdaki konumunu söylemek daha iyidir.

Bu sayı sistemlerinin ne olduğunu düşünelim mi?

Bu rakam mı yazıyor? Evet! Ama istediğimiz gibi yazamayız; diğer insanların bizi anlaması gerekir. Bu nedenle bunları kaydederken de belirli kuralların kullanılması gerekir.

Sayı sistemi kavramı

Sayılar nesnelerin sayısı hakkındaki bilgileri kaydetmek için kullanılır. Sayılar, sayı sistemi adı verilen özel işaret sistemleri kullanılarak yazılır. Sayı sistemlerinin alfabesi rakam adı verilen sembollerden oluşur. Örneğin ondalık sayı sisteminde sayılar bilinen on rakam kullanılarak yazılır: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Sayı sistemi, sayıların belirli kurallara göre rakam adı verilen belirli bir alfabenin sembolleri kullanılarak yazıldığı işaretli bir sistemdir.

Tüm sayı sistemleri iki büyük gruba ayrılır: konumsal ve konumsal olmayan sayı sistemleri. Konumsal sayı sistemlerinde bir rakamın değeri sayı içindeki konumuna bağlıdır, ancak konumsal olmayan sayı sistemlerinde bu bağlı değildir.

Konumsal olmayan sayı sistemleri konumsal olanlardan daha önce ortaya çıkmıştır, bu nedenle öncelikle çeşitli konumsal olmayan sayı sistemlerini ele alacağız.

Konumsal olmayan sayı sistemleri

Konumsal olmayan sayı sistemi, bir rakamın niceliksel eşdeğerinin (“ağırlık”) sayı kaydındaki konumuna bağlı olmadığı bir sayı sistemidir.

Konumsal olmayan sistemler şunları içerir: Roma sayı sistemi, alfabetik sayı sistemleri ve diğerleri.

İlk başta, insanlar önlerindeki TEK nesneyi basitçe ayırt edebiliyorlardı. Birden fazla madde varsa “ÇOK” dediler.

Matematiğin ilk kavramları “az”, “çok”, “aynı” idi.

Bir kabile, yakaladığı balığı başka bir kabilenin insanlarının yaptığı taş bıçaklarla takas ederse, kaç balık ve kaç bıçak getirdiklerini saymaya gerek kalmıyordu. Kabileler arası alışverişin gerçekleşmesi için her balığın yanına bir bıçak koymak yeterliydi.

Hesap, bir kişinin bulduğu nesnelerin sayısı hakkında kabile arkadaşlarına bilgi vermesi gerektiğinde ortaya çıktı.

Ve eski zamanlarda birçok halk birbiriyle iletişim kurmadığından, o zaman farklı uluslar Sayıların ve şekillerin farklı numaralandırma ve temsil sistemleri ortaya çıktı.

Pek çok dildeki rakamlar, ilkel insanın sayma araçlarının öncelikle parmaklardan oluştuğunu gösteriyor.

Parmakların mükemmel bir bilgi işlem makinesi olduğu ortaya çıktı. Onların yardımıyla 5'e kadar sayılabilir, iki elinizi tutarsanız 10'a kadar sayabilirsiniz. Eski zamanlarda insanlar çıplak ayakla yürürdü. Bu nedenle saymak için el ve ayak parmaklarını kullanabiliyorlardı. Polinezya'da hâlâ 20'nci sayı sistemini kullanan kabileler var.

Ancak sayma birimi parmak değil eklem olan halklar da bilinmektedir.

Onikilik sayı sistemi oldukça yaygındı. Kökeni parmakla saymakla bağlantılıdır. Diğer dört parmağın falankslarını başparmakla saydılar: Toplamda 12 tane var.

On ikilik sayı sisteminin unsurları İngiltere'de ölçü sisteminde (1 ayak = 12 inç) ve para sisteminde (1 şilin = 12 peni) korundu. Günlük yaşamda sıklıkla on ikilik sayı sistemiyle karşılaşırız: 12 kişilik çay ve masa takımları, bir mendil seti - 12 adet.

İngilizce'de birden on ikiye kadar olan sayıların kendi adları vardır, sonraki sayılar bileşiktir:

13'ten 19'a kadar olan sayılar için kelimelerin sonları Teen'dir. Örneğin 15-15.

Parmak sayımı bazı yerlerde günümüze kadar korunmuştur. Örneğin Chicago'daki dünyanın en büyük tahıl borsasında teklifler, talepler ve fiyatlar tek kelime etmeden brokerlerin parmaklarıyla duyuruluyor.

Büyük sayıları ezberlemek zordu, bu nedenle kolların ve bacakların "sayma makinesine" çeşitli cihazlar eklendi. Rakamların yazılması gerekiyordu.

Nesnelerin sayısı herhangi bir sert yüzeye tire veya serif çizilerek tasvir ediliyordu: taş, kil...

Birim (“çubuk”) sayı sistemi

Sayı yazma ihtiyacı çok eski zamanlarda, insanlar saymaya başlar başlamaz ortaya çıktı. Nesnelerin sayısı herhangi bir sert yüzey üzerine çizgiler veya serifler çizilerek tasvir ediliyordu: taş, kil, ahşap (kağıdın icadı hâlâ çok ama çok uzaktaydı). Böyle bir kayıttaki her nesne bir satıra karşılık geliyordu. Arkeologlar, Paleolitik döneme (MÖ 10 - 11 bin yıl) kadar uzanan kültürel katmanların kazıları sırasında bu tür "kayıtlar" buldular.

Bilim adamları bu sayıları yazma yöntemine birim (“çubuk”) sayı sistemi adını verdiler. İçinde sayıları kaydetmek için yalnızca bir tür işaret kullanıldı - "çubuk". Böyle bir sayı sistemindeki her sayı, sayısı belirlenen sayıya eşit olan çubuklardan oluşan bir çizgi kullanılarak belirlendi. Perulular sayıları hatırlamak için üzerlerine düğümler atılmış çok renkli ipler kullanıyorlardı. Sayıları yazmanın ilginç bir yolu, MÖ 8. yüzyılda Hint uygarlıkları tarafından kullanıldı. yeni Çağ. Kullandılar " düğüm mektubu"- birbirine bağlı konular. Bu ipliklerin üzerindeki semboller, genellikle içlerine taş veya deniz kabuğu dokunmuş düğümlerdi. Sayıların düğümlü kaydı, İnkaların savaşçı sayısı hakkında bilgi iletmesine, belirli bir eyaletteki ölüm veya doğum sayısını belirtmesine vb. olanak sağladı.


MS 1100 civarında e. İngiliz kralı Henry I, "ölçüm çubuğu" sistemi adı verilen, tarihteki en sıra dışı para sistemlerinden birini icat etti. Bu para sistemi 726 yıl sürdü ve 1826'da kaldırıldı.

Mezhebi gösteren çentiklere sahip cilalı ahşap şerit, çentikleri korumak için tüm uzunluğu boyunca bölündü.

Böyle bir sayı yazma sisteminin sakıncaları ve uygulamasının sınırlamaları açıktır: Yazılması gereken sayı ne kadar büyükse, çubuk dizisi de o kadar uzun olur. Ve büyük bir sayıyı yazarken, fazladan çubuk ekleyerek veya tam tersine bunları yazmayarak hata yapmak kolaydır.

Eski Mısır ondalık sayı sistemi (MÖ 2,5 bin)

MÖ 3. binyıl civarında, eski Mısırlılar kendi sayısal sistemlerini geliştirdiler. anahtar sayılar 1, 10, 100 vb. özel simgeler kullanıldı - hiyeroglifler.

Diğer tüm sayılar bu anahtar sayılardan toplama işlemi kullanılarak oluşturulmuştur. Eski Mısır'ın sayı sistemi ondalıktır ancak konumsal değildir ve toplamsaldır.

Numaranın rakamları 'dan başlayarak kaydedildi. büyük değerler ve daha küçük olanlarla bitiyor. Onlar, birlikler veya başka bir rakam yoksa bir sonraki rakama geçtik.

9'dan fazla aynı hiyeroglifi kullanamayacağınızı bilerek bu iki sayıyı eklemeyi deneyin ve bu sistemle çalışmak için özel bir kişiye ihtiyaç olduğunu hemen anlayacaksınız. Sıradan bir insan bunu yapamaz.

Roma ondalık sayı sistemi (MÖ 2 bin yıldan günümüze)

Konumsal olmayan sayı sistemlerinden en yaygın olanı Roma sistemidir.

Romen rakamlarıyla ilgili temel sorun çarpma ve bölmenin zor olmasıdır. Roma sisteminin bir diğer dezavantajı ise şudur: Büyük sayıları yazmak yeni sembollerin kullanılmasını gerektirir. A kesirli sayılar yalnızca iki sayının oranı olarak yazılabilir. Ancak Orta Çağ'ın sonuna kadar temel düzeydeydiler. Ancak zamanımızda hala kullanılıyorlar.

Nerede olduğunu hatırlıyor musun?

Bir rakamın anlamı sayı içindeki konumuna bağlı değildir.

Örneğin, XXX (30) sayısında, X sayısı üç kez görünür ve her durumda aynı değeri belirtir - 10 sayısı, 10'un üç sayısının toplamı 30'a eşittir.

Romen rakamı sisteminde bir sayının büyüklüğü, sayıdaki rakamların toplamı veya farkı olarak tanımlanır. Küçük sayı büyük sayının solundaysa çıkarılır, sağındaysa eklenir.

Unutmayın: 5, 50, 500 tekrarlanmaz!

Hangileri tekrarlanabilir?

Büyük rakamın solunda küçük rakam varsa çıkarılır. En düşük rakam en yüksek rakamın sağındaysa eklenir - I, X, C, M 3 defaya kadar tekrarlanabilir.

Örneğin:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (Yüz C, kırk XL ve dokuz ise IX) = CXLIX

Örneğin, 1998 ondalık sayısını Romen rakamı sisteminde yazmak şu şekilde görünecektir: MSMХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Alfabetik sayı sistemleri
Slav Kiril ondalık alfabetik

Bu numaralandırma, 9. yüzyılda Yunan keşiş kardeşler Cyril ve Methodius tarafından Slavlar için kutsal İncil kitaplarının tercüme edilmesi amacıyla Slav alfabe sistemi ile birlikte oluşturulmuştur. Bu sayı yazma biçimi, Yunanca sayı gösterimine tamamen benzemesi nedeniyle yaygınlaştı. 17. yüzyıla kadar sayıların bu şekilde kaydedilmesi modern Rusya, Beyaz Rusya, Ukrayna, Bulgaristan, Macaristan, Sırbistan ve Hırvatistan topraklarında resmiydi. Şimdiye kadar Ortodoks kilise kitapları bu numaralandırmayı kullanıyordu.

Sayılar rakamlardan soldan sağa, büyükten küçüğe aynı şekilde yazılıyordu. 11'den 19'a kadar olan sayılar, birimi ondan önce gelecek şekilde iki haneli olarak yazılmıştır:

Kelimenin tam anlamıyla "on dört" - "dört ve on" okuyoruz. Duyduğumuz gibi yazıyoruz: 10+4 değil, 4+10, - dört ve on. 21 ve üzeri sayılar tersten yazıldı ve tam onlar işareti ilk sırada yer aldı.

Slavların kullandığı sayı gösterimi toplamsaldır, yani yalnızca toplamayı kullanır:

= 800+60+3

Harfleri ve sayıları karıştırmamak için, şekilde gördüğümüz sayıların üzerinde yatay çizgiler olan başlıklar kullanıldı.

900'den büyük sayıları belirtmek için mektuba eklenen özel simgeler kullanıldı. Rakamlar şu şekilde oluştu:

Slav numaralandırması 17. yüzyılın sonuna kadar, konumsal ondalık sayı sistemi Peter I'in reformlarıyla Avrupa'dan Rusya'ya gelene kadar mevcuttu.

Eski Hint sayı sistemleri

Kharoshti sayı sistemi Hindistan'da MÖ 6. yüzyıl ile MS 3. yüzyıl arasında kullanılıyordu. Bu konumsal olmayan bir toplamsal sayı sistemiydi. O döneme ait çok az yazılı belge günümüze ulaştığı için onun hakkında çok az şey biliniyor. Kharoshti sistemi, dört sayısının bir ile on arasında bir ara adım olarak seçilmesi açısından ilginçtir. Sayılar sağdan sola yazılıyordu.

Hindistan'da bu sistemle birlikte bir Brahmi sayı sistemi daha vardı.

Brahmi sayıları soldan sağa yazılmıştır. Ancak her iki sistemin de oldukça ortak noktaları vardı. Özellikle ilk üç rakam birbirine çok benziyor. Ortak nokta yüze kadar toplama yönteminin kullanılması, bundan sonra ise çarpım yönteminin kullanılmasıydı. Brahmi sayıları arasındaki önemli bir fark, 4'ten 90'a kadar olan sayıların yalnızca bir işaretle temsil edilmesiydi. Brahmi rakamlarının bu özelliği daha sonra Hindistan'da konumsal bir ondalık sistem oluşturmak için kullanıldı.

Eski Hindistan'da da sözlü bir sayı sistemi vardı. Çarpımsal ve konumsaldı. Sıfır işareti "boş", "gökyüzü" veya "delik" olarak telaffuz ediliyordu. Birim “ay” veya “dünya” gibidir. İki, “ikizler”, “gözler”, “burun delikleri” veya “dudaklar” gibidir. Dört tanesi “okyanuslar”, “ana yönler”. Örneğin 2441 sayısı şu şekilde telaffuz ediliyordu: Okyanusların gözleri ayın ana yönleridir.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinin dezavantajları:

1. Büyük sayıların kaydedilmesi için yeni sembollerin kullanılmasına sürekli bir ihtiyaç vardır.

2. Kesirli ve negatif sayıları temsil etmek imkansızdır.

3. Aritmetik işlemleri gerçekleştirmek zordur çünkü bunları gerçekleştirecek algoritmalar yoktur. Özellikle, sayı sistemleriyle birlikte tüm ulusların parmak sayma yöntemleri vardı ve Yunanlıların bizim abaküsümüze benzeyen bir abaküs sayma tahtası vardı.

Orta Çağ'ın sonuna kadar sayıların kaydedilmesi için evrensel bir sistem yoktu. Ancak matematik, fizik, teknoloji, ticaret ve finansal sistemin gelişmesiyle birlikte tek bir evrensel sayı sistemine ihtiyaç ortaya çıktı, ancak şimdi bile birçok kabile, ulus ve milliyet başka sayı sistemleri kullanıyor.

Ancak günlük konuşmada hala konumsal olmayan sayı sisteminin unsurlarını kullanıyoruz, özellikle yüz diyoruz, on onluk değil, bin, bir milyon, bir milyar, bir trilyon.

Konumsal sayı sistemleri

Konumsal sayı sistemi, bir rakamın niceliksel eşdeğerinin (“ağırlık”) sayı gösterimindeki konumuna bağlı olduğu bir sayı sistemidir.

Herhangi bir konumsal sayı sistemi tabanıyla karakterize edilir.

Konumsal sayı sisteminin temeli - Belirli bir sayı sistemindeki sayıları temsil etmek için kullanılan farklı basamakların sayısı.

Herhangi bir doğal sayıyı taban olarak alabilirsiniz - iki, üç, dört, ..., yeni bir sayı oluşturur konum sistemi: ikili, üçlü, dörtlü vb.

Babil ondalık / altmışlık

Antik Babil'de MÖ 2. binyıl civarında böyle bir sayı sistemi vardı - 60'tan az sayılar iki işaretle gösteriliyordu: bir ve on için. Babillilerin kil tabletler üzerine üçgen çubuklarla yazdıklarından dolayı kama şeklinde bir görünüme sahiplerdi. Bu işaretler tekrarlandı doğru numaraörneğin bir kez

Sümerlerin ondalık sayı sistemine sahip oldukları, Samilerin eline geçtikten sonra ise Samilerin altmışlık sistemine uyarlandığı sanılmaktadır.

Tam sayıların altmışlık gösterimi Asur-Babil krallığı dışında yaygın olarak kullanılmıyordu, ancak altmışlık kesirler hala zamanı ölçmede kullanılıyor. Örneğin bir dakika = 60 saniye, bir saat = 60 dakika.

Antik Çin ondalık sayısı

Bu sistem, kullandığımız modern "Arap" sistemiyle aynı ilkeleri içerdiğinden en eski ve en ilerici sistemlerden biridir. Bu sistem yaklaşık 4.000 bin yıl önce Çin'de ortaya çıktı.

Bu sistemde sayılar tıpkı bizimki gibi soldan sağa, büyükten küçüğe doğru yazılıyordu. Onlar, birlikler veya başka bir rakam yoksa, ilk başta hiçbir şey koymadılar ve bir sonraki rakama geçtiler. (Ming Hanedanlığı döneminde, boş rakam için bir işaret tanıtıldı - bir daire - sıfırımızın bir benzeri). Rakamları karıştırmamak için, ana hiyerogliften sonra yazılan ve belirli bir rakamda hiyeroglif rakamının hangi değeri aldığını gösteren birkaç hizmet hiyeroglifi kullanıldı.

Bu çarpımlı gösterimdir çünkü çarpmayı kullanır. Ondalık sayıdır, sıfır işareti vardır ve bunun yanında konumsaldır. Onlar. neredeyse “Arapça” sayı sistemine karşılık gelmektedir.

Maya temel sayı sistemi veya uzun sayma

Bu sistem çok ilginçtir çünkü gelişimi Avrupa ve Asya'daki hiçbir medeniyetten etkilenmemiştir. Bu sistem takvim ve astronomik gözlemler için kullanıldı. Karakteristik özelliği sıfırın (kabuk görüntüsü) varlığıydı. Bu sistemin temeli 20 sayısıydı, ancak beşli sistemin izleri de oldukça belirgindi. İlk 19 sayı, noktalar (bir) ve tirelerin (beş) birleştirilmesiyle elde edildi.

20 sayısı üstte sıfır ve bir olmak üzere iki rakamla tasvir ediliyordu ve uinalu olarak adlandırılıyordu. Sayılar, en küçük rakamlar altta ve en büyük rakamlar üstte olacak şekilde bir sütuna yazıldı ve sonuçta raflı bir "kitaplık" ortaya çıktı. Sıfır rakamı üstte birimsiz görünüyorsa bu, bu rakam için birim olmadığı anlamına geliyordu. Ancak bu rakamda en az bir birim varsa, sıfır işareti kayboldu, örneğin 21 sayısı, bu olacaktır. Ayrıca sayı sistemimizde: 10 – sıfırla, 11 – onsuz. İşte bazı örnek numaralar:

Antik Maya'nın 20 tabanlı sayma sisteminin bir istisnası vardır: 359 sayısına yalnızca birinci dereceden bir birim eklerseniz, bu istisna hemen geçerli olur. Özü şu şekilde özetlenebilir: 360, üçüncü dereceden bir başlangıç ​​sayısıdır ve yeri artık ikinci değil, üçüncü raftır.

Ancak daha sonra üçüncü derecenin ilk sayısının ikincinin ilk sayısından yirmi kat daha büyük olmadığı (20x20 = 400, 360 değil!), yalnızca on sekiz olduğu ortaya çıktı! Bu, yirmi kat ilkesinin ihlal edildiği anlamına gelir! Bu doğru. Bu istisnadır.

Gerçek şu ki, Maya Kızılderilileri arasında ayda 20 akraba günü veya uinal oluştu. Bir yılda 18 aylık bir dönem veya ton balığı (yılda 360 gün) oluşur ve bu şekilde devam eder:

K"in = 1 gün. Vinal = 20 k"in = 20 gün. Tun = 18 Vinal = 360 gün = yaklaşık 1 yıl. K"atun = 20 bak"tun = 7200 gün = yaklaşık 20 yıl. Bak"tun = 20 k"atun = 144.000 gün = yaklaşık 400 yıl. Pictun = 20 bak"tun = 2.880.000 gün = yaklaşık 8.000 yıl. Kalabtun = 20 piktun = 57.600.000 gün = yaklaşık 160.000 yıl. K"inçiltun = 20 kalabtun = 1152000000 gün = yaklaşık 3200000 yıl. Alavtun = 20 k"inçiltun = 23040000000 gün = yaklaşık 64000000 yıl.

Bu oldukça karmaşık bir sayı sistemidir ve esas olarak rahipler tarafından astronomik gözlemler için kullanılır; başka bir Maya sistemi, Mısır'dakine benzer şekilde toplayıcıydı ve günlük yaşamda kullanılıyordu.

"Arapça" sayıların tarihi.

Tanıdık “Arapça” rakamlarımızın tarihi oldukça kafa karıştırıcıdır. Nasıl olduklarını tam ve güvenilir bir şekilde söylemek imkansızdır. İşte bu başlangıç ​​hikayesinin bir versiyonu. Kesin olan bir şey var: Eski gökbilimciler, yani onların kesin hesaplamaları sayesinde sayılarımıza ulaşabiliyoruz.

Zaten bildiğimiz gibi Babil sayı sisteminde eksik rakamları gösteren bir işaret var. MÖ 2. yüzyıl civarında. Yunan gökbilimciler (örneğin Claudius Ptolemy) Babillilerin astronomik gözlemleriyle tanıştı. Konumsal sayı sistemini benimsediler, ancak tam sayıları takozlar kullanarak değil, kendi alfabetik numaralandırmalarıyla ve kesirleri Babil'in altmışlık sayı sistemiyle yazdılar. Ancak rakamın sıfır değerini belirtmek için Yunan gökbilimciler “0” sembolünü (Yunanca Ouden kelimesinin ilk harfi - hiçbir şey) kullanmaya başladılar.

MS 2. ve 6. yüzyıllar arasında. Hintli gökbilimciler Yunan astronomisiyle tanıştı. Altmışlık sistemi benimsediler ve yuvarlak Yunan sıfır. Hintliler, Yunan numaralandırma ilkelerini Çin'den aldıkları ondalık çarpım sistemiyle birleştirdiler. Ayrıca eski Hint Brahmi numaralandırmasında alışılageldiği gibi sayıları tek işaretle göstermeye başladılar. Bu, konumsal ondalık sayı sistemini oluşturmanın son adımıydı.

Hintli matematikçilerin parlak çalışmaları Arap matematikçiler tarafından benimsendi ve 9. yüzyılda Harezmi, ondalık konumsal sayı sistemini tanımladığı “Hint Sayma Sanatı” kitabını yazdı. Konumsal sistemde yazılan keyfi büyük sayıların toplanması ve çıkarılmasına ilişkin basit ve kullanışlı kurallar, onu özellikle Avrupalı ​​​​tüccarlar arasında popüler hale getirdi.

12. yüzyılda. Sevillalı Juan, “Hint Sayma Sanatı” kitabını Latince'ye çevirdi ve Hint sayma sistemi Avrupa'ya geniş bir şekilde yayıldı. Ve Harizmi'nin eseri yazıldığından beri Arapça, daha sonra Avrupa'daki Hint numaralandırmasına yanlış "Arapça" adı verildi. Ancak Arapların kendileri sayılara Hint diyorlar ve ondalık sisteme dayalı aritmetik - Hint sayımı.

"Arap" rakamlarının biçimi zamanla büyük ölçüde değişti. Bunları yazdığımız biçim 16. yüzyılda kuruldu.

Puşkin bile Arap sayıları biçiminin kendi versiyonunu önerdi. Sıfır dahil on Arap rakamının tamamının sihirli bir kareye sığmasına karar verdi.


Ondalık konumsal sayı sistemi

Hintli bilim adamları matematikteki en önemli keşiflerden birini yaptılar; şu anda tüm dünyanın kullandığı konumsal sayı sistemini icat ettiler. El-Harizmi kitabında Hint aritmetiğini detaylı bir şekilde anlatmıştır.

Muhammed bin Musa el-Harezm

MS 850 civarında. hakkında bir kitap yazdı Genel kurallar Denklemleri kullanarak aritmetik problemlerini çözme. Buna "Kitab el-Jabr" adı verildi. Bu kitap cebir bilimine adını vermiştir.

Üç yüz yıl sonra (1120'de) bu kitap Türkçeye çevrildi. Latin dili ve tüm Avrupa şehirleri için “Hint” aritmetiğinin ilk ders kitabı oldu.

Sıfırın tarihi.

Sıfır farklı olabilir. Birincisi, sıfır, boş bir yeri belirtmek için kullanılan bir rakamdır; ikincisi, sıfır olağandışı bir sayıdır, çünkü sıfıra bölünemezsiniz ve sıfırla çarpıldığında herhangi bir sayı sıfır olur; üçüncüsü, çıkarma ve toplama için sıfıra ihtiyaç vardır, aksi takdirde 5'ten 5'i çıkarırsanız ne kadar olur?

Sıfır ilk olarak eski Babil sayı sisteminde ortaya çıktı; sayılardaki eksik rakamları belirtmek için kullanıldı ancak 1 ve 60 gibi sayılar, sayının sonuna sıfır konulmadığı için aynı şekilde yazılıyordu. Onların sisteminde sıfır, metinde boşluk görevi görüyordu.

Büyük Yunan gökbilimci Ptolemy, sıfır formunun mucidi olarak kabul edilebilir, çünkü metinlerinde uzay işareti yerine, modern sıfır işaretini çok anımsatan Yunanca omikron harfi vardır. Ancak Batlamyus sıfırı Babillilerle aynı anlamda kullanıyor. MS 9. yüzyılda Hindistan'da bir duvar yazıtı. Sıfır sembolü ilk kez bir sayının sonunda ortaya çıkar. Bu, modern sıfır işaretinin genel olarak kabul edilen ilk tanımıdır. Sıfırın üç anlamını da icat edenler Hintli matematikçilerdi. Örneğin, MS 7. yüzyılda Hintli matematikçi Brahmagupta. Negatif sayıları ve sıfırla işlemleri aktif olarak kullanmaya başladım. Ancak sıfıra bölünen bir sayının sıfır olduğunu, bunun elbette bir hata olduğunu, ancak Hintli matematikçilerin başka bir dikkate değer keşfine yol açan gerçek bir matematiksel cesaret olduğunu savundu. Ve 12. yüzyılda başka bir Hintli matematikçi Bhaskara, sıfıra bölündüğünde ne olacağını anlamak için başka bir girişimde bulunur. Şöyle yazıyor: "Sıfıra bölünen bir miktar, paydası sıfır olan bir kesir haline gelir. Bu kesire sonsuz denir."

Leonardo Fibonacci, “Liber abaci” (1202) adlı eserinde Arapçadaki 0 ​​işaretini zephirum olarak adlandırır. Zephirum kelimesi, Hintçe sunya yani boş kelimesinden gelen ve sıfırın adı olarak kullanılan Arapça as-sifr kelimesidir. Zephirum kelimesinden Fransızca sıfır (sıfır) kelimesi ve İtalyanca sıfır kelimesi gelir. Öte yandan Arapça es-sifr kelimesinden gelir. Rusça kelime sayı. 17. yüzyılın ortalarına kadar bu kelime özellikle sıfırı ifade etmek için kullanılıyordu. Latince nullus (hiçbir şey) kelimesi 16. yüzyılda sıfır anlamında kullanılmaya başlandı.

Sıfır benzersiz bir işarettir. Sıfır saftır soyut kavram, insanoğlunun en büyük başarılarından biri. Çevremizdeki doğada bulunmaz. Zihinsel hesaplamalarda sıfır olmadan kolaylıkla yapabilirsiniz, ancak sayıları doğru bir şekilde kaydetmeden yapmak imkansızdır. Ayrıca sıfır, diğer tüm rakamlarla zıtlık teşkil eder ve sonsuz dünyayı simgelemektedir. Ve eğer “her şey sayıysa”, o zaman hiçbir şey her şey değildir!

Bugün kullanılan bazlar:

10 - olağan ondalık sayı sistemi (ellerde on parmak). Alfabe: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - Eski Babil'de icat edildi: Bir saati 60 dakikaya, dakikayı 60 saniyeye ve bir açıyı 360 dereceye bölmek.

12 - Anglo-Saksonlar tarafından yayıldı: yılda 12 ay, günde 12 saatlik iki dönem, 12 inç

7 - haftanın günlerini saymak için kullanılır

Birim numarası sistemi

Antik çağlarda insanlar arasında saymayı öğrendikten sonra sayıları yazma ihtiyacı ortaya çıkmaya başladı. Bunun kanıtı, ilkel insanların kamp yerlerinde bulunan ve Paleolitik döneme (MÖ 10$-11$ bin yıl) kadar uzanan arkeolojik buluntulardır. Başlangıçta, nesnelerin sayısı belirli işaretler kullanılarak tasvir ediliyordu: çizgiler, çentikler, taş, ahşap veya kil üzerine işaretlenmiş daireler ve ayrıca iplerdeki düğümler.

Resim 1.

Bilim adamları bu sayıları not etme sistemini adlandırıyor birim (tekli)Çünkü içindeki sayı, onu simgeleyen bir işaretin tekrarından oluşur.

Sistemin dezavantajları:

    büyük bir sayı yazarken kullanmanız gerekir çok sayıdaçubuklar;

    Çubukları uygularken hata yapmak kolay olabilir.

Daha sonra saymayı kolaylaştırmak için insanlar bu işaretleri birleştirmeye başladı.

örnek 1

Birim sayı sisteminin kullanımına dair örnekler hayatımızda bulunabilir. Örneğin, küçük çocuklar kaç yaşında olduklarını parmaklarıyla tasvir etmeye çalışırlar veya birinci sınıfta saymayı öğretmek için sayma çubukları kullanılır.

Birim sistemi girişler çok uzun göründüğünden ve yazımı oldukça sıkıcı olduğundan, zamanla daha pratik sayı sistemleri ortaya çıkmaya başladı.

İşte bazı örnekler.

Eski Mısır ondalık konumsal olmayan sayı sistemi

Bu sayı sistemi MÖ 3000 civarında ortaya çıktı. Eski Mısır sakinlerinin kendi sayısal sistemlerini geliştirmelerinin bir sonucu olarak, anahtar sayıları belirlerken $1$, $10$, $100$, vb. Kağıdın yerini alan kil tabletlere yazarken uygun olan hiyeroglifler kullanıldı. Toplama kullanılarak onlardan başka sayılar yapıldı. Önce en yüksek sıranın numarası, ardından en düşük sıranın numarası yazıldı. Mısırlılar sayıları art arda ikiye katlayarak çoğaldı ve bölündü. Her rakam $9$ katına kadar tekrarlanabilir. Bu sisteme ait sayı örnekleri aşağıda verilmiştir.

Şekil 2.

Roma sayı sistemi

Bu sistem temelde öncekinden pek farklı değildir ve günümüze kadar gelmiştir. Aşağıdaki işaretlere dayanmaktadır:

    $1$ sayısı için $I$ (tek parmak);

    $5$ sayısı için $V$ (açık avuç içi);

    $10$ karşılığında $X$ (iki katlanmış avuç içi);

    $100$, $500$ ve $1000$ rakamlarını belirtmek için karşılık gelen Latince kelimelerin ilk harfleri kullanıldı ( Kentum- yüz, Demimil- yarım bin, Mille- bin).

Romalılar sayıları oluştururken aşağıdaki kuralları kullandılar:

    Sayı, birinci türden bir grup oluşturan, arka arkaya yerleştirilmiş birkaç aynı "rakamın" değerlerinin toplamına eşittir.

    Sayı, küçük olanın büyük olanın solunda olması durumunda iki "basamağın" değerleri arasındaki farka eşittir. Bu durumda büyük değerden küçük olanın değeri çıkarılır. Birlikte ikinci türden bir grup oluştururlar. Bu durumda soldaki “rakam” sağdaki rakamdan en fazla $1$ sırası kadar küçük olabilir: $L(50)$ ve $C(100$) rakamlarının önünde yalnızca $X(10$) olabilir, “en düşük” olanlar arasında, yalnızca $X(10$), $D(500$ ) ve $M(1000$)'ın önünde olabilir – yalnızca $C(100$), $V(5)'ten önce – I( 1)$.

    Sayı, $1$ veya $2$ gruplarına dahil olmayan grup değerlerinin ve “rakamların” toplamına eşittir.

Figür 3.

Roma rakamları eski çağlardan beri kullanılmaktadır: tarihleri, cilt numaralarını, bölümleri ve bölümleri belirtirler. Ben bunu sıradan sanıyordum Arap rakamları kolaylıkla sahtesi yapılabilir.

Alfabetik sayı sistemleri

Bu sayı sistemleri daha gelişmiştir. Bunlara Yunan, Slav, Fenike, Yahudi ve diğerleri dahildir. Bu sistemlerde, $1$'dan $9$'a kadar olan sayıların yanı sıra onlar (10$'dan $90$'a kadar), yüzlerce (100$'dan $900$'a kadar) sayıları da alfabenin harfleriyle belirtildi.

Antik Yunan alfabetik sayı sisteminde $1, 2, ..., 9$ sayıları Yunan alfabesinin ilk dokuz harfiyle temsil ediliyordu. Aşağıdaki $9$ harfleri $10, 20, ..., 90$ rakamlarını belirtmek için kullanıldı ve son $9$ harfleri $100, 200, ..., 900$ rakamlarını belirtmek için kullanıldı.

Slav halkları arasında sayısal değerler Harfler, başlangıçta Glagolitik alfabenin ardından Kiril alfabesinin kullanıldığı Slav alfabesi sırasına göre oluşturulmuştur.

Şekil 4.

Not 1

Alfabetik sistem de kullanıldı eski Rus'. 17. yüzyılın sonuna kadar sayı olarak 27$ Kiril harfleri kullanılıyordu.

Konumsal olmayan sayı sistemlerinin bir takım önemli dezavantajları vardır:

    Büyük sayıların kaydedilmesi için yeni sembollerin tanıtılmasına sürekli bir ihtiyaç vardır.

    Kesirli ve negatif sayıları temsil etmek imkansızdır.

    Aritmetik işlemleri gerçekleştirmek zordur çünkü bunları gerçekleştirecek algoritmalar yoktur.



 

Şunu okumak yararlı olabilir: