Системою числення називається мова лише для. Системи числення

На ранніх щаблях розвитку суспільства люди майже не вміли рахувати. Вони розрізняли сукупності двох та трьох предметів; всяка сукупність, що містила більшу кількість предметів, об'єднувалася в понятті «багато». Предмети за рахунку зіставлялися зазвичай із пальцями рук і ніг. З розвитком цивілізації потреба людини у рахунку стала необхідною. Спочатку натуральні числа зображувалися за допомогою деякої кількості рисок чи паличок, потім їх зображення стали використовувати літери чи спеціальні знаки. У Стародавньому Новгороді використовувалася слов'янська система, де застосовувалися літери слов'янського алфавіту; при зображенні чисел з них ставився знак ~ (титло).

Стародавні римляни користувалися нумерацією, що зберігається досі під ім'ям «римської нумерації», в якій цифри зображуються літерами латинського алфавіту. Наразі нею користуються для позначення ювілейних дат, нумерації деяких сторінок книги (наприклад, сторінок передмови), розділів у книгах, строф у віршах тощо. У пізнішому вигляді римські цифри виглядають так:

I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; З = 100; D = 500; M = 1000.

Про походження римських цифр достовірних відомостей немає. Цифра V могла спочатку служити зображенням руки, а цифра Х могла складатися з двох п'ятірок. У римській нумерації виразно позначаються сліди п'ятирічної системи числення. Всі цілі числа (до 5000) записуються за допомогою повторення наведених вище цифр. При цьому, якщо більша цифра стоїть перед меншою, то вони складаються, якщо ж менша стоїть перед більшою (у цьому випадку вона не може повторюватися), то менша віднімається від більшої). Наприклад, VI = 6, тобто. 5+1, IV = 4, тобто. 5 – 1, XL = 40, тобто 50 – 10, LX = 60, тобто. 50 + 10. Підряд одна й та сама цифра ставиться не більше трьох разів: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записується ХС (а чи не LXXXX).

Перші 12 чисел записуються в римських цифрах так:

І, ІІ, ІІІ, ІV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Інші числа записуються, наприклад, як:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Виконання арифметичних дій над багатозначними числами цього запису дуже важко. Проте, римська нумерація переважала Італії до 13 в., а інших країнах Західної Європи – до 16 в.

У слов'янській системі нумерації для запису чисел використовувалися всі літери алфавіту, щоправда, з деяким порушенням алфавітного порядку. Різні літери означали різну кількість одиниць, десятків та сотень. Наприклад, число 231 записувалося у вигляді ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).

Цим системам властиві два недоліки, які призвели до їх витіснення іншими: необхідність великої кількостірізних знаків, особливо для зображення великих чисел, і, що ще важливіше незручність виконання арифметичних операцій.

Більш зручною та загальноприйнятою та найбільш поширеною є десяткова система числення, яка була винайдена в Індії, запозичена там арабами і потім через деякий час прийшла до Європи. У десятковій системі числення основою є число 10.

Існували системи обчислення та з іншими підставами. У Стародавньому Вавилоні, наприклад, застосовувалася шістдесяткова система числення. Залишки її ми знаходимо в діленні години або градуса, що зберігся досі, на 60 хвилин, а хвилини - на 60 секунд.

Широке поширення мала в давнину і дванадцяткова система, походження якої, ймовірно, пов'язане, як і десяткової системи, з рахунком на пальцях: за одиницю рахунку приймалися фаланги (окремі суглоби) чотирьох пальців однієї руки, які за рахунку перебиралися великим пальцемтієї ж руки. Залишки цієї системи числення збереглися і до наших днів і в мовленні, і в звичаях. Відомо, наприклад, назва одиниці другого розряду – числа 12 – «дюжина». Зберігся звичай вважати багато предметів не десятками, а дюжинами, наприклад столові прилади в сервізі або стільці в меблевому гарнітурі. Назва одиниці третього розряду в дванадцятковій системі - грос - зустрічається тепер рідко, але в торговельній практиці початку століття воно ще існувало. Наприклад, у написаному 1928 вірші ПлюшкінВ.В.Маяковський, висміюючи людей, скуповують все поспіль, писав: «...купив дванадцять гроссів диригентських паличок». У ряду африканських племен і в Стародавньому Китаїбула уживана п'ятирічна система числення. У Центральній Америці (у стародавніх ацтеків і майя) і серед тих, що населяли Західну Європустародавніх кельтів було поширено двадцятеричну систему. Усі вони також пов'язані з рахунком на пальцях.

Наймолодшою ​​системою числення по праву вважатимуться двійкову. Ця система має ряд якостей, що робить її дуже вигідною для використання в обчислювальних машинах та в сучасних комп'ютерах.

Позиційні та непозиційні системи числення.

Різноманітність різні системиобчислення, які існували раніше і які використовуються в наш час, можна поділити на непозиційні та позиційні. Знаки, які використовуються під час запису чисел, називаються цифрами.

У непозиційних системах числення від становища цифри у записі числа залежить величина, що вона позначає. Прикладом непозиційної системи числення є римська система, в якій цифрами використовуються латинські літери.

У позиційних системах числення величина, що позначається цифрою запису числа, залежить від її позиції. Кількість використовуваних цифр називається основою системи числення. Місце кожної цифри у числі називається позицією. Перша відома нам система, заснована на позиційному принципі – шістдесяткова вавілонська. Цифри у ній були двох видів, одним із яких позначалися одиниці, іншим – десятки.

Проте найбільш уживаною виявилася індо-арабська десяткова система. Індійці першими використовували нуль для вказівки значущості позиційної величини в рядку цифр. Ця система отримала назву десяткової , тому що в ній десять цифр.

Відмінність між позиціоною та непозиційною систем обчислення найлегше зрозуміти на прикладі порівняння двох чисел. У позиційній системі числення порівняння двох чисел відбувається наступним чином: у числах, що розглядаються, зліва направо порівнюються цифри, що стоять в однакових позиціях. Більша цифра відповідає більшому значенню числа. Наприклад, для чисел 123 і 234 1 менше 2, тому число 234 більше, ніж число 123. У непозиційній системі числення це правило не діє. Прикладом цього може бути порівняння двох чисел IX та VI. Незважаючи на те, що I менше, ніж V, число IX більше, ніж VI.

Позиційні системи числення.

Основа системи числення, у якій записано число, зазвичай позначається нижнім індексом. Наприклад, 555 7 - число, записане в семирічній системі числення. Якщо число записано у десятковій системі, то підстава, зазвичай, не вказується. Основа системи – це теж число, і його ми будемо вказувати у звичайній десятковій системі. Взагалі, число xможе бути представлено в системі з основою p, як x = a n· p n+a n- 1 · p n–1 + a 1· p 1 + a 0· p 0, де a n...a 0 – цифри у поданні даного числа. Так, наприклад,

1035 10 = 1 · 10 3 + 0 · 10 2 + 3 · 10 1 + 5 · 10 0;

1010 2 = 1 · 2 3 + 0 · 2 2 + 1 · 2 1 + 0 · 2 0 = 10.

Найбільший інтерес при роботі на ЕОМ представляють системи числення з підставами 2, 8 і 16. Взагалі кажучи, цих систем числення зазвичай вистачає для повноцінної роботи як людини, так і обчислювальної машини, проте іноді через різні обставини все-таки доводиться звертатися до інших систем числення, наприклад до троїчної, семеричної або системи числення на підставі 32.

Щоб оперувати з числами, записаними в таких нетрадиційних системах, потрібно мати на увазі, що вони нічим не відрізняються від звичної десяткової. Додавання, віднімання, множення в них здійснюється за однією і тією ж схемою.

Чому ж не використовуються інші системи числення? В основному, тому, що в повсякденному життілюди звикли користуватися десятковою системою числення, і не потрібно жодної іншої. У обчислювальних машинах використовується двійкова система числення, так як оперувати числами, записаними в двійковому вигляді, досить просто.

Часто в інформатиці використовують шістнадцяткову систему, оскільки запис чисел у ній значно коротший за запис чисел у двійковій системі. Може виникнути питання: чому не використовувати для запису дуже великих чисел систему числення, наприклад на підставі 50? Для такої системи числення необхідні 10 звичайних цифр плюс 40 знаків, які б відповідали числам від 10 до 49 і навряд чи комусь сподобається працювати з цими сорока знаками. Тому в реального життясистеми числення на підставі, більшій за 16, практично не використовуються.

Переклад чисел із однієї системи числення до іншої.

Найбільш часто зустрічаються системи числення - це двійкова, шістнадцяткова і десяткова. Які ж пов'язані між собою уявлення числа в різних системахчислення? Є різні способипереведення чисел з однієї системи числення до іншої на конкретних прикладах.

Нехай потрібно перевести число 567 з десяткового до двійкової системи. Спочатку визначається максимальна ступінь двійки, така, щоб два в цьому ступені було менше або дорівнює вихідному числу. У даному випадкуце 9, т.к. 29 = 512, а 210 = 1024, що більше початкового числа. Таким чином виходить число розрядів результату, воно дорівнює 9 + 1 = 10, тому результат матиме вигляд 1 ххххххххх, де замість хможуть стояти будь-які двійкові цифри. Друга цифра результату так – двійка зводиться у ступінь 9 і віднімається з вихідного числа: 567 – 2 9 = 55. Залишок порівнюється з числом 2 8 = 256. Оскільки 55 менше 256, то дев'ятий розряд – нуль, тобто. результат має вигляд 10 хххххххх. Розглянемо восьмий розряд. Так як 27 = 128> 55, то і він буде нульовим.

Сьомий розряд також виявляється нульовим. Шуканий двійковий запис числа набуває вигляду 1000 хххххх. 2 5 = 32 ххххх). Для залишку 55 - 32 = 23 справедлива нерівність 2 4 = 16

567 = 1 · 2 9 + 0 · 2 8 + 0 · 2 7 + 0 · 2 6 + 1 · 2 5 + 1 · 2 4 + 0 · 2 3 + 1 · 2 2 + 1 · 2 1 + 1 · 2 0

При іншому способі переведення чисел використовується операція поділу в стовпчик. Якщо взяти те ж число 567 і розділити його на 2, виходить приватне 283 і залишок 1. Та ж операція проводиться і з числом 283. не поменшає дільника. Тепер, щоб одержати число у двійковій системі числення, достатньо записати останнє приватне, тобто. 1 і приписати до нього у зворотному порядку всі отримані в процесі розподілу залишки.

Результат, природно, не змінився: 567 у двійковій системі числення записується як 1000110111.

Ці два способи застосовні при переведенні числа з десяткової системи до системи з будь-якою основою. Наприклад, при переведенні числа 567 в систему числення з основою 16 число спочатку розкладається за ступенями основи. Потрібне число складається з трьох цифр, т.к. 16 2 = 256 хх, де замість хможуть стояти будь-які шістнадцяткові цифри. Залишається розподілити за такими розрядами число 55 (567 - 512). 3 · 16 = 48

Другий спосіб полягає в послідовному розподілі в стовпчик, з єдиною відмінністю в тому, що ділити треба не на 2, а на 16, і процес розподілу закінчується, коли приватне стає строго менше 16.

Звичайно, для запису числа в шістнадцятковій системі числення необхідно замінити 10 на A, 11 на B і так далі.

Операція переведення в десяткову систему виглядає набагато простіше, тому що будь-яке десяткове число можна подати у вигляді x = a 0· p n + a 1· p n–1 +... + a n-1 · p 1 + a n· p 0, де a 0 ... a n- Це цифри даного числа в системі числення з основою p.

Наприклад, можна перевести число 4A3F в десяткову систему. За визначенням, 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. При заміні A на 10, а F на 15, виходить 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007 .

Найпростіше перекладати числа з двійкової системиу системи з основою, що дорівнює ступеням двійки (8 і 16), і навпаки. Для того, щоб ціле двійкове число записати в системі числення з підставою 2 n, потрібно це двійкове число розбити праворуч наліво на групи по n-Цифр у кожній; якщо в останній лівій групі виявиться менше n розрядів, доповнити її нулями до потрібного числа розрядів; розглянути кожну групу, як n-розрядне двійкове число, та замінити її відповідною цифрою в системі числення з основою 2 n .

Таблиця 1. Двійково-шістнадцяткова таблиця
Таблиця 1. ДВІЙКОВО-ШОСТНАДЦЯТЕРІЧНА ТАБЛИЦЯ
2-а 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16-та 0 1 2 3 4 5 6 7
2-а 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16-та 8 9 A B C D E F

Відомий французький астроном, математик та фізик П'єр Сімон Лаплас (1749–1827) писав про історичному розвиткусистем числення, що «Думка висловлювати всі числа дев'ятьма знаками, надаючи їм, крім значення за формою, ще значення за місцем, настільки проста, що саме через цю простоту важко зрозуміти, наскільки вона дивовижна. Як нелегко було прийти до цього методу, ми бачимо на прикладі найбільших геніїв грецької вченості Архімеда та Аполлонія, від яких ця думка залишилася прихованою.

Порівняння десяткової системи числення з іншими позиційними системами дозволило математикам та інженерам-конструкторам розкрити дивовижні можливості сучасних десяткових систем числення, що забезпечили розвиток комп'ютерної техніки.

Ганна Чугайнова

Поодинока (унарна) система числення Список систем числення

Система числення:

  • дає уявлення безлічі чисел (цілих та/або речових);
  • дає кожному числу унікальну виставу (або, принаймні, стандартну виставу);
  • відображає алгебраїчну та арифметичну структуру чисел.

Системи числення поділяються на позиційні, непозиційніі змішані.

Позиційні системи числення

У позиційних системах числення один і той же числовий знак (цифра) у записі числа має різні значенняв залежності від місця (розряду), де він розташований. Винахід позиційної нумерації, заснованої на помісному значенні цифр, приписується шумерам та вавилонянам; розвинена була така нумерація індусами та мала неоціненні наслідки в історії людської цивілізації. До таких систем належить сучасна десяткова система числення , виникнення якої пов'язані з рахунком пальцями. У середньовічній Європі вона виникла через італійських купців, своєю чергою запозичували в мусульман.

Під позиційною системою числення зазвичай розуміється -річна система числення, яка визначається цілим числом основоюсистеми числення. Ціле число без знака в -річковій системі числення представляється у вигляді кінцевої лінійної комбінації ступенів числа:

де - це цілі числа, звані цифрами, що задовольняють нерівність .

Кожен ступінь у такому записі називається ваговим коефіцієнтом розряду. Старшинство розрядів і відповідних цифр визначається значенням показника (номером розряду). Зазвичай, у ненульових числах ліві нулі опускаються.

Якщо не виникає різночитань (наприклад, коли всі цифри подаються у вигляді унікальних письмових знаків), число записують у вигляді послідовності його -річних цифр, що перераховуються за спаданням старшинства розрядів зліва направо:

Наприклад, число сто триподається в десятковій системі числення у вигляді:

Найбільш вживаними нині позиційними системами є:

У позиційних системах чим більше основа системи, тим менша кількість розрядів (тобто цифр, що записуються) потрібно при записі числа.

Змішані системи числення

Змішана система численняє узагальненням -річкової системи числення і часто відноситься до позиційних систем числення. Підставою змішаної системи числення є зростаюча послідовність чисел, і кожне число в ній представляється як лінійна комбінація:

, де на коефіцієнти , звані як і раніше цифрами, накладаються деякі обмеження.

Записом числа у змішаній системі числення називається перерахування його цифр у порядку зменшення індексу, починаючи з першого ненульового.

Залежно від виду як функції від змішані системи числення можуть бути статечними, показовими тощо. Коли для деякого, змішана система числення збігається з показовою-річковою системою числення.

Найбільш відомим прикладом змішаної системи числення є уявлення часу у вигляді кількості діб, годин, хвилин та секунд. У цьому величина « днів, годин, хвилин, секунд» відповідає значенню секунд.

Факторіальна система числення

У факторіальній системі численняосновами є послідовність факторіалів, і кожне натуральне число подається у вигляді:

де .

Факторіальна система числення використовується при декодування перестановок списками інверсій: маючи номер перестановки, можна відтворити її так: число, на одиницю менше номера (нумерація починається з нуля) записується в факторіальной системі числення, причому коефіцієнт при числі i! буде позначати число інверсій для елемента i+1 у тому множині, в якому проводяться перестановки (кількість елементів менших i+1, але стоять правіше за нього в перестановці)

Приклад: розглянемо безліч перестановок із 5 елементів, всього їх 5! = 120 (від перестановки з номером 0 - (1,2,3,4,5) до перестановки з номером 119 - (5,4,3,2,1)), знайдемо 101 перестановку: 100 = 4!* 4 + 3! * 0 + 2! * 2 + 1! * 0 = 96 + 4; покладемо ti - коефіцієнт при числі i!, Тоді t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0 тоді: число елементів менших 5, але стоять правіше дорівнює 4; число елементів менших 4, але стоять правіше 0; число елементів менших 3, але які стоять правіше, дорівнює 2; число елементів менших 2, але стоять правіше дорівнює 0 (останній елемент у перестановці «ставиться» на єдине місце, що залишилося) - таким чином, 101-а перестановка матиме вигляд: (5,3,1,2,4) Перевірка даного методу може бути здійснена шляхом безпосереднього підрахунку інверсій кожного елемента перестановки.

Фібоначчієва система численняґрунтується на числах Фібоначчі. Кожне натуральне число в ній представляється у вигляді:

, де - Числа Фібоначчі, , при цьому в коефіцієнтах є кінцева кількість одиниць і не зустрічаються дві одиниці поспіль.

Непозиційні системи числення

У непозиційних системах числення величина, яку позначає цифра, залежить від становища в числе. При цьому система може накладати обмеження на положення цифр, наприклад, щоб вони були розташовані в порядку зменшення.

Біноміальна система числення

Подання, що використовує біномні коефіцієнти

де .

Система залишкових класів (СІК)

Уявлення числа в системі залишкових класів засноване на понятті відрахування та китайської теореми про залишки. СІК визначається набором взаємно простих модулівз твором так, що кожному цілому з відрізка ставиться у відповідність набір відрахувань , де

…

При цьому китайська теорема про залишки гарантує однозначність уявлення для чисел із відрізка.

У СІК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, поділ) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілим і також лежить в .

Недоліками СІК є можливість представлення лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, поданих у СІК. Порівняння зазвичай здійснюється через переведення аргументів із СОК у змішану систему числення на підставах.

Система числення Штерна-Броко- спосіб запису позитивних раціональних чисел, заснований на дереві Штерна-Броко.

Системи числення різних народів

Одинична система числення

Очевидно, хронологічно перша система числення кожного народу, що опанував рахунок. Натуральне число зображується шляхом повторення одного й того самого знака (риски або крапки). Наприклад, щоб зобразити число 26, потрібно провести 26 рисок (або зробити 26 засічок на кістки, камені тощо). Згодом, задля зручності сприйняття великих чисел ці знаки групуються по три або по п'ять. Потім рівнооб'ємні групи знаків починають замінюватись якимось новим знаком - так виникають прообрази майбутніх цифр.

Давньоєгипетська система числення

Вавилонська система числення

Алфавітні системи числення

Алфавітними системами числення користувалися давні вірмени, грузини, греки (іонічна система числення), араби (абджадія), євреї (див. гематрія) та інші народи Близького Сходу. У слов'янських богослужбових книгах грецьку алфавітну систему було переведено на літери кирилиці.

Єврейська система числення

Грецька система числення

Римська система числення

Канонічним прикладом майже непозиційної системи числення є римська, в якій як цифри використовуються латинські літери:
I позначає 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Наприклад, II = 1 + 1 = 2
тут символ I означає 1 незалежно від місця в числі.

Насправді, римська система не є повністю непозиційною, оскільки менша цифра, що йде перед більшою, віднімається від неї, наприклад:

IV = 4, тоді як:
VI = 6

Система числення майя

також

Примітки

Посилання

  • Гашков С. Б.Системи числення та їх застосування. – М.: МЦНМО, 2004. – (Бібліотека «Математичне просвітництво»).
  • Фомін С. В.Системи числення. – М.: Наука, 1987. – 48 с. - (популярні лекції з математики).
  • Яглом І.Системи числення // Квант. – 1970. – № 6. – С. 2-10.
  • Цифри та системи числення. Онлайн Енциклопедія Навколишній світ.
  • Стахов А.Роль систем числення історія комп'ютерів .
  • Мікушин А. В. Системи числення. Курс лекцій "Цифрові пристрої та мікропроцесори"
  • Butler JT, Sasao T

Wikimedia Foundation. 2010 .

Надіслати свою гарну роботу до бази знань просто. Використовуйте форму нижче

гарну роботуна сайт">

Студенти, аспіранти, молоді вчені, які використовують базу знань у своєму навчанні та роботі, будуть вам дуже вдячні.

Розміщено на http://www.allbest.ru/

НАЗВАННЯ НАВЧАЛЬНОГО ЗАКЛАДУ

” Різновиди систем числення ”

Поняття системи числення. Види систем числення

Система числення- Сукупність декількох назв і знаків, що дозволяє записати будь-яке число і дати йому ім'я.

Система числення:

· Дає уявлення безлічі чисел (цілих та/або речових);

· Надає кожному числу унікальне уявлення (або, принаймні, стандартне уявлення);

· Відображає алгебраїчну та арифметичну структуру чисел.

Системи числення поділяються на:

· Позиційні;

· Непозиційні;

· Змішані.

Позиційні системи числення

Позиційна система числення- Це система, в якій значення кожної цифри залежить від її числового еквівалента та від її місця (позиції) в числі, тобто. один і той же символ (цифра) може набувати різних значень.

Винахід позиційної нумерації, заснованої на помісному значенні цифр, приписується шумерам та вавилонянам. Розвинена була така нумерація індусами та мала неоціненні наслідки в історії людської цивілізації.

Найбільш відомою позиційною системою числення є десяткова система числення, виникнення якої пов'язане з рахунком на пальцях. У середньовічній Європі вона виникла через італійських купців, своєю чергою запозичували в мусульман.

Будь-яка позиційна система числення характеризується основою. Основа чи базис (n) природної позиційної системи числення - це кількість знаків чи символів, використовуваних зображення числа у цій системі. Тому, можливо безліч позиційних систем, т.к. за основу можна прийняти будь-яке натуральне число n>1, утворивши нову системуобчислення.

Коли представляють або записують, деяке число в позиційній системі числення, розміщують відповідні цифри числа окремих потрібних позиціях, які прийнято називати розрядами числа в даній позиційній системі числення. Кількість розрядів у записі числа називається розрядністю числа та збігається з його довжиною.

Загальна система числення може бути визначена як таке угруповання цілих і дробових чисел, при якій кожне з них представляється формулою:

де x - довільне число, записане в системі числення з основою n; символ ai - коефіцієнт низки, тобто. i-таю цифра запису числа; k, m - кількість цілих та дробових розрядів відповідно.

Кожен ступінь nk у такому записі називається ваговим коефіцієнтом розряду. Старшинство розрядів і відповідних цифр визначається значенням показника k (номери розряду). Номери розрядів у позиційній системі числення відраховуються в цілій частині вліво від коми, а в дробовій - вправо від коми. Причому нумерація розрядів починається з 0. Розмір основи позиційної системи числення визначає її назву: для десяткової системи це буде 10, для вісімкової - 8, для двійкової - 2 і т.д. Зазвичай замість назви системи числення використовують термін код числа. Наприклад, під поняттям двійковий код мається на увазі число, подане в двійковій системі числення, під поняттям десятковий код - у десятковій системі числення і т.д.

Якщо не виникає різночитань (наприклад, коли всі цифри подаються у вигляді унікальних письмових знаків), число x записують у вигляді послідовності його n-річних цифр, що перераховуються за спаданням старшинства розрядів зліва направо:

Найбільш вживаними нині позиційними системами є:

· 2 - двійкова (у дискретній математиці, інформатиці, програмуванні);

· 3 - трійкова (у трійкових ЕОМ (наприклад, «Сетунь»));

· 8 - вісімкова (використовується в програмуванні, інформатиці);

· 10 - десяткова (використовується повсюдно);

· 12 - дванадцяткова (рахунок дюжинами);

· 16 - шістнадцяткова (використовується в програмуванні, інформатиці);

· 60 - шістдесяткова (одиниці виміру часу, вимір кутів і, зокрема, координат, довготи і широти).

У позиційних системах чим більше основа системи, тим менша кількість розрядів (тобто цифр, що записуються) потрібно при записі числа.

Двійкова система числення- позиційна система числення з основою 2. Завдяки безпосередньої реалізації в цифрових електронних схемах на логічних вентилях, двійкова система використовується практично у всіх сучасних комп'ютерах та інших обчислювальних електронних пристроях. У двійковій системі числення числа записуються за допомогою двох символів (0 і 1). Щоб не плутати, в якій системі числення записано число, його постачають вказівником праворуч унизу. Наприклад, число в десятковій системі 510, двійковій 1012. Іноді двійкове число позначають префіксом 0b, наприклад 0b101.

Правила перекладів

Переведення з будь-якої системи числення до десяткової системи числення

Для переведення цілого числа з будь-якої системи числення до десяткової, необхідно записати це число в загальному вигляді:

anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0

Наприклад: переведемо число 12568 до десяткової системи числення.

12568 = 1 · 8 3 +2·8 2 +5·8 1 +6·8 0 = 1 · 512 +2 · 64 +5 · 8 +6 · 1 = 68610.

Переведення числа з десяткової системи числення до іншої системи

1) Ділимо це число на підставу тієї системи, в яку необхідно перевести число.

2) Отримане число ділимо аналогічно на основу системи, яку необхідно перевести число.

3) Пункт 2 повторюємо до тих пір, поки отримане приватне не буде менше підстави.

4) Виписуємо залишки від розподілу у порядку від останнього до першого.

Правило переведення чисел із двійкової системи числення у восьмеричну

1) Розбиваємо число по три цифри на групи, починаючи з молодшого розряду.

Якщо не вистачає до цілої трійки цифр, то додаємо потрібну кількість нулів зліва.

2) Кожну отриману трійку цифр замінюємо цифрою із вісімкової системи числення.

Двійкові тріади

Восьмеричні цифри

3) Дробну частину розбиваємо на трійки праворуч від коми.

Переклад чисел із двійкової системи числення до шістнадцяткової

1) Розбиваємо число по чотири цифри на групи, починаючи з молодшого розряду.

Якщо не вистачає до цілої четвірки цифр, то додаємо необхідну кількість нулів зліва.

2) Кожну отриману четвірку цифр замінюємо цифрою із вісімкової системи числення.

3) Дробну частину розбиваємо на четвірки праворуч від коми.

Якщо не вистачає цифр, то приписуємо нулі праворуч.

Правило переведення чисел із вісімкової системи числення до двійкової

1) Замінюємо кожну цифру цього восьмеричного числа відповідним їй двійковим еквівалентом.

2) Якщо до повної трійки не вистачає цифр, то в цій трійці додаємо нулів, що бракує, зліва.

Переклад чисел із шістнадцяткової системи числення в двійкову

1) Замінюємо кожну цифру цього шістнадцяткового числа відповідним їй двійковим еквівалентом.

2) Якщо до повної четвірки не вистачає цифр, то в цій четвірці додаємо нулів справа, що бракує.

Незвичайні позиційні системи числення

Незвичайні числення не знаходять широкого застосування, проте можуть бути цікавими з погляду теорії. Серед незвичайних систем числення можна виділити: числення позиційний символічний знак

· Системи числення з ненатуральними основами

o негативними,

o ірраціональними,

o комплексними (напр.: 1+i);

· Системи числення з декількома підставами;

o вкладеними (двійково-десяткова, десятково-шістдесяткова та ін.)

· Системи числення з нестандартними наборами цифр:

із набором цифр, симетричним щодо нуля.

Системи числення з негативними підставами

Негативні підстави дають змогу виражати негативні числа без введення додаткового символу для знака. Для виразу чисел використовується той самий набір цифр, що й системи з рівним по модулю натуральним основанием. Таким чином, непарні розряди числа мають негативну вагу.

Системи числення з ірраціональною основою

Ірраціональне число виду можна виразити в системі числення з ірраціональною основою, вживши цифри.

Системи числення з комплексною основою

Подібно до систем з негативним підставам, комплексні підстави дозволяють виражати комплексні числа.

Для цього основа системи числення береться до виду:

задовольняє умові - кількість цифр у наборі.

Системи основи з вкладеними основами

Якщо цифри системи числення з великою основою уявити числами в системі числення з меншою основою, то вийде особливий складовий рід системи числення.

Добре відома десятково-шістдесяткова система числення, що використовується для вимірювання часу - години, хвилини і секунди, записані десятковою системою тут постають як розряди шістдесяткової системи числення. Ця система прийшла з Вавилону, де широко використовувалася для запису чисел шістдесяткова система, заснована всього на трьох клинописних символах:

· Вертикальний клин - одиниця розряду;

· Куточок з клинів - десяток розряду;

· Похилий клин - нуль, порожній розряд;

Двійково-десяткова система числення використовують у обчислювальної техніки. Двійкові розряди групуються по чотири, де кожна четвірка (зошит, ніббл) кодує одну десяткову цифру. Це дозволяє працювати з приладами, що мають десяткову індикацію та введення без перетворення систем числення.

Нестандартні набори цифр, набори, симетричні щодо нуля

Альтернативним способом запису негативних чисел без використання знака мінуса (крім негативних підстав) є використання цифр із негативною вагою. При цьому не потрібно збільшувати кількість різних цифр для запису числа - замість набору можна використовувати будь-який набір виду.

Чудовим щодо цього є використання симетричного набору цифр. Якщо взяти систему числення з непарною основою виду 2 p+ 1, то набір цифр буде мати вигляд.

Такий підхід знайшов застосування у троїчних ЕОМ (наприклад, «Сетунь»).

Змішана система числення

Змішана система численняє узагальненням n-річної системи числення і часто відноситься до позиційних систем числення. Підставою змішаної системи числення є зростаюча послідовність чисел, і кожне число в ній представляється як лінійна комбінація:

Залежно від виду ni як функції змішані системи числення можуть бути статечними, показовими, факторіальними, фібоначчієвими тощо. Коли для деякого n, змішана система числення збігається з показовою n-річною системою числення.

Найяскравіший приклад змішаної системи числення - це час у вигляді кількості діб, годин, хвилин і секунд. При цьому величина d днів, h годин, m хвилин, s секунд відповідає значенням

Непозиційні системи числення

Непозиційна система числення-- це система, на яку значення символу, тобто. цифри, не залежить від його становища в числі. При цьому система може накладати обмеження на положення цифр, наприклад, щоб вони були розташовані в порядку зменшення.

Біноміальна система числення

У біноміальній системі числення число x подається у вигляді суми біномних коефіцієнтів:

При кожному фіксованому значенні n кожне натуральне число є унікальним чином.

Система залишкових класів (СІК)

Уявлення числа в системі залишкових класів засноване на понятті відрахування та китайської теореми про залишки. СІК визначається набором попарно взаємно простих модулівз твором так, що кожному цілому з відрізка ставиться у відповідність набір відрахувань, де

СІК гарантує однозначність подання для чисел з відрізка

У СІК арифметичні операції (додавання, віднімання, множення, поділ) виконуються покомпонентно, якщо про результат відомо, що він є цілим і також лежить в .

Недоліками СІК є можливість представлення лише обмеженої кількості чисел, а також відсутність ефективних алгоритмів для порівняння чисел, поданих у СІК.

Історичні системи числення

Одинична система числення

Хронологічно перша система числення кожного народу, що опанував рахунок. Натуральне число зображується шляхом повторення одного й того самого знака (риски або крапки). Згодом, задля зручності сприйняття великих чисел ці знаки групуються по три або по п'ять. Потім рівнооб'ємні групи знаків починають замінюватись якимось новим знаком - так виникають прообрази майбутніх цифр.

П'ятіркова система числення (Рахунок на п'ятим)

Існував у Росії. Застосовувався в народі як мінімум до кінця XVIII - початку XIXст.

Давньоєгипетська система числення

Давньоєгипетська десяткова непозиційна система числення виникла у другій половині третього тисячоліття до зв. е. Для позначення чисел 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 використовувалися спеціальні цифри. Числа в єгипетській системі числення записувалися як комбінації цих цифр, у яких кожна цифра повторювалася трохи більше дев'яти раз. Значення числа дорівнює простий сумі значень цифр, що у його записи.

Алфавітні системи числення

Алфавітними системами числення користувалися давні вірмени, грузини, греки (іонічна система числення), араби (абджадія), євреї та інші народи Близького Сходу. У слов'янських богослужбових книгах грецьку алфавітну систему було переведено на літери кирилиці.

Римська система числення

Канонічним прикладом майже непозиційної системи числення є римська, в якій як цифри використовуються латинські літери:

I позначає 1,

Римська система не є повністю непозиційною, тому що менша цифра, що йде перед більшою, віднімається від неї.

Система числення майя

Майя використовували 20-річну систему числення за одним винятком: у другому розряді було не 20, а 18 ступенів, тобто за числом 17 19 відразу було число 100. Це було зроблено для полегшення розрахунків календарного циклу, оскільки 100 = 360 приблизно дорівнює числу днів у сонячному році.

Для запису основними знаками були точки (одиниці) та відрізки (п'ятірки).

Кіпу інків

Прообразом баз даних, широко використовуваних у Центральних Андах (Перу, Болівія) у державних і громадських цілях у I-II тисячолітті зв. е.., була вузликова писемність Інків - стос, що складалася як із числових записів десяткової системи, так і не числових записів у двійковій системі кодування. У стос застосовувалися первинні і додаткові ключі, позиційні числа, кодування кольором і утворення серій даних, що повторюються. Кіпу вперше в історії людства використовувалося для застосування такого способу ведення бухгалтерського обліку як подвійний запис.

Список використаної літератури

1. А. Г. Ципкін. "Довідник з математики для середніх навчальних закладів"

Розміщено на Allbest.ru

...

Подібні документи

    Поняття та математичний зміст систем числення, їх різновиди та сфери застосування. Відмінні ознакита особливості позиційних та непозиційних, двійкових та десяткових систем числення. Порядок переведення чисел із однієї системи до іншої.

    презентація , додано 10.11.2010

    Система числення, що застосовується в сучасній математиці, що використовуються в ЕОМ. Запис чисел за допомогою римських цифр. Переклад десяткових чисел до інших систем числення. Переклад дробових та змішаних двійкових чисел. Арифметика у позиційних системах числення.

    реферат, доданий 09.07.2009

    Дослідження історії систем числення. Опис одиничної та двійкової систем числення, давньогрецької, слов'янської, римської та вавілонської помісної нумерації. Аналіз двійкового кодування у комп'ютері. Переклад чисел із однієї системи числення до іншої.

    контрольна робота , доданий 04.11.2013

    Сукупність прийомів та правил запису та читання чисел. Визначення понять: система числення, цифра, число, розряд. Класифікація та визначення основи систем числення. Різниця між числом та цифрою, позиційною та непозиційною системами числення.

    презентація , доданий 15.04.2015

    Поняття системи числення. Історія розвитку систем числення. Концепція натурального числа, порядкові відносини. Особливості десяткової системи числення. Загальні питаннявивчення нумерації цілих невід'ємних чисел в початковому курсіматематики.

    курсова робота , доданий 29.04.2017

    Математична теорія чисел. Поняття систем числення. Застосування двійкової системи числення. Комп'ютерна техніка та інформаційні технології. Алфавітне нерівномірне двійкове кодування. Переваги та недоліки двійкової системи числення.

    реферат, доданий 25.12.2014

    Історія розвитку систем числення. Непозиційна, позиційна та десяткова система числення. Використання систем числення в комп'ютерній техніці та інформаційних технологій. Двійкове кодування інформації на комп'ютері. Побудова двійкових кодів.

    курсова робота , доданий 21.06.2010

    Ознайомлення із записом чисел в алфавітній системі числення. Особливості встановлення числових значень букв у слов'янських народів. Розгляд запису великих чисел у слов'янській системі числення. Позначення "тем", "легіонів", "леордів" та "колод".

    презентація , доданий 30.09.2012

    Визначення системи числення, числа, цифри, алфавіту. Типи систем числення. Плюси та мінуси двійкових кодів. Переведення шістнадцяткової системи у вісімкову та розбиття її на зошити та тріади. Розв'язання задачі Баші методом потрійної врівноваженої системи.

    презентація , доданий 20.06.2011

    Сутність двійкової, вісімкової та шістнадцяткової систем числення, їх відмінні рисита взаємозв'язок. Приклад алгоритмів переведення чисел із однієї системи до іншої. Складання таблиці істинності та логічної схеми для заданих логічних функцій.

Вивчивши цю тему, ви дізнаєтесь і повторіть:

Які системи числення існують;
- як здійснюється переведення чисел з однієї системи числення до іншої;
- з якими системами числення працює комп'ютер;
- як видаються різні числау пам'яті комп'ютера.

З найдавніших часів перед людьми стояла проблема позначення (кодування) числової інформації.

Маленькі діти показують свій вік на пальцях. Льотчик збив літак, йому за це малюють зірку, Робінзон Крузо вважав дні зарубками.

Числом позначали деякі реальні об'єкти, властивості яких були однакові. Коли щось вважаємо чи перераховуємо, ми хіба що знеособлюємо предмети, тобто. маємо на увазі, що їхні властивості однакові. Але головною властивістю числа є наявність об'єкта, тобто. одиниця та її відсутність, тобто. нуль.

Що таке цифра?

Це алфавіт чисел, набір символів, за допомогою яких кодуємо числа. Цифри - числовий алфавіт.

Цифри та цифри – це різні речі! Розглянемо два числа 5 2 і 2 5. Цифри одні й самі – 5 і 2.

А чим ці цифри відрізняються?

Порядком цифр? – Так! Але краще сказати – позицією цифри у числі.

Давайте подумаємо, що це таке системи числення?

Це запис чисел? Так! Але ми не можемо писати так, як нам заманеться – нас мають розуміти інші люди. Тому необхідно використовувати і певні правила їх записи.

Поняття системи числення

Для запису інформації про кількість об'єктів використовуються цифри. Числа записуються з використанням спеціальних знакових систем, які називаються системами числення. Алфавіт систем числення складається із символів, які називаються цифрами. Наприклад, у десятковій системі числення числа записуються за допомогою десяти всім добре відомих цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Система числення - це знакова система, у якій числа записуються за певними правилами з допомогою символів деякого алфавіту, званих цифрами.

Усі системи числення діляться на великі групи: позиційні та непозиційнісистеми числення. У позиційних системах числення значення цифри залежить від її положення в числі, а в непозиційних - не залежить.

Непозиційні системи числення виникли раніше за позиційні, тому розглянемо спочатку різні непозиційні системи числення.

Непозиційні системи числення

Непозиційною системою числення називається така система числення, яка має кількісний еквівалент («вага») цифри не залежить від її розташування в записі числа.

До непозиційних систем належать: римська система числення, алфавітні системи числення та інші.

Спочатку люди просто розрізняли ОДИН предмет перед ними чи ні. Якщо предмет був не один, то говорили «Багато».

Першими поняттями математики були "менше", "більше", "стільки ж".

Якщо одне плем'я міняло пійманих риб на зроблені людьми іншого племені кам'яні ножі, не треба було рахувати, скільки принесли риб і скільки ножів. Достатньо було покласти поруч із кожною рибою по ножу, щоб обмін між племенами відбувся.

Рахунок виник тоді, коли людині знадобилося повідомляти своїм одноплемінникам про кількість знайдених їм предметів.

І, оскільки багато народів у давнину не спілкувалися один одним, то у різних народіввиникли різні системи числення та подання чисел та цифр.

Численні імена в багатьох мовах вказують, що у первісної людини знаряддям рахунку були переважно пальці.

Пальці виявилися чудовою обчислювальною машиною. З їхньою допомогою можна було рахувати до 5, а якщо взяти дві руки, то й до 10. У давнину люди ходили босоніж. Тому вони могли користуватися для рахунку пальцями як рук, так і ніг. До цих пір існують у Полінезії племена, які використовують із 20-у систему числення.

Проте відомі народи, у яких одиницями рахунку були пальці, які суглоби.

Доволі широке поширення мала дванадцяткова система числення. Походження її пов'язане з рахунком на пальцях. Вважали великим пальцем руки фаланги решти чотирьох пальців: їх 12.

Елементи дванадцятирічної системи числення збереглися в Англії у системі заходів (1 фут = 12 дюймів) та у грошовій системі (1 шилінг = 12 пенсів). Нерідко і ми стикаємося в побуті з дванадцятковою системою числення: чайні та столові сервізи на 12 персон, комплект носовичків - 12 штук.

Числа в англійській від одного до дванадцяти мають свою назву, наступні числа є складовими:

Для чисел від 13 до 19 - закінчення слів - teen. Наприклад, 15 - п'ятнадцять.

Пальцевий рахунок зберігся подекуди й досі. Наприклад, на найбільшій світовій хлібній біржі в Чикаго пропозиції та запити, як і ціни оголошуються маклерами на пальцях без жодного слова.

Запам'ятовувати великі числа було важко, тому до «лічильної машини» рук та ніг стали додавати різні пристрої. З'явилася потреба у записі чисел.

Кількість предметів зображувалася нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині.

Поодинока («палична») система числення

Потреба запису чисел з'явилася в дуже давні часи, як тільки люди почали рахувати. Кількість предметів зображалося нанесенням рисок або засічок на будь-якій твердій поверхні: камені, глині, дереві (до винаходу паперу було ще дуже і дуже далеко). Кожному об'єкту у такому записі відповідала одна рисочка. Археологами знайдено такі " записи " при розкопках культурних верств, які стосуються періоду палеоліту (10 - 11 тисяч років до н.е.).

Вчені назвали цей спосіб запису чисел одиничною ("паличною") системою числення. У ньому для запису чисел застосовувався лише одне вид знаків - " паличка " . Кожне число в такій системі числення позначалося за допомогою рядка, складеного з паличок, кількість яких і дорівнювала числу, що позначається. Перуанці використовували для запам'ятовування чисел різнокольорові шнури із зав'язаними ними вузлами. Цікавий спосіб для запису чисел використовувався індійськими цивілізаціями приблизно у VIII столітті до нової ери. Вони застосовували « вузликовий лист»- пов'язані між собою нитки. Знаками на цих нитках служили вузлики, часто з вплетеними в них камінням або мушлями. Вузликовий запис чисел дозволяв Інкам передавати інформацію про кількість воїнів, позначати кількість померлих або тих, хто народився в тій чи іншій провінції тощо.


Близько 1100 н. е. англійський корольГенріх I винайшов одну з найнезвичайніших фінансових систем в історії, названу системою «мірних рейок». Ця грошова системапротрималася 726 років і була скасована 1826 року.

Дерев'яна полірована рейка із зарубками, що позначають номінал, розщеплювалася по всій довжині так, щоб зберегти зарубки.

Незручності такої системи запису чисел і обмеженість її застосування очевидні: чим більше треба записати, тим довше рядок з паличок. Та й під час запису великої кількості легко помилитися, завдавши зайву кількість паличок чи, навпаки, не дописавши їх.

Давньоєгипетська десяткова система числення (2,5 тисячі років до н.е.)

Приблизно третьому тисячолітті до нашої ери стародавні єгиптяни придумали свою числову систему, у якій позначення ключових чисел 1, 10, 100 і т.д. використовувалися спеціальні значки – ієрогліфи.

Решта числа складалися з цих ключових з допомогою операції складання. Система числення Стародавнього Єгипту є десятковою, але непозиційною та адитивною.

Записувалися цифри числа з великих значеньі закінчуючи меншими. Якщо десятків, одиниць або якогось іншого розряду не було, то переходили до наступного розряду.

Спробуйте скласти ці два числа, знаючи, що більше 9 однакових ієрогліфів використовувати не можна, і ви одразу зрозумієте, що для роботи з цією системою потрібна спеціальна людина. Звичайній людині це не під силу.

Римська десяткова система числення (2 тисяч років до н.е. і до наших днів)

Найпоширенішою з непозиційних систем числення є римська система.

Головна проблема з римськими цифрами полягає в тому, що складно робити множення та розподіл. Іншим недоліком римської системи є: запис великих чисел вимагає введення нових символів. А дробові числаможна записувати лише як відношення двох чисел. Проте вони були основними до кінця середньовіччя. Але й у наш час їх використовують.

Згадайте де?

Значення цифри залежить від її становища в числе.

Наприклад, у числі XXX (30) цифра X зустрічається тричі і в кожному випадку позначає ту саму величину - число 10, три числа по 10 у сумі дають 30.

Величина числа в римській системі числення визначається як сума чи різниця цифр у числі. Якщо менша цифра стоїть ліворуч від більшої, вона віднімається, якщо справа - додається.

Запам'ятайте: 5, 50, 500 не повторюються!

А які можуть повторюватись?

Якщо ліворуч від старшої цифри стоїть молодша, вона віднімається. Якщо молодша цифра стоїть праворуч від старшої, вона додається - I, X, C, M можуть повторюватися до 3-х раз.

Наприклад:

1) MMIV = 1000 +1000 +5-1 = 2004

2) 149 = (Сто - C, сорок - XL, а дев'ять - IX) = CXLIX

Наприклад, запис десяткового числа 1998 р. в римській системі числення буде виглядати наступним чином: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Алфавітні системи числення
Слов'янська кирилична десяткова алфавітна

Ця нумерація була створена разом зі слов'янською алфавітною системою для перекладу священних біблійних книг для слов'ян грецькими ченцями братами Кирилом та Мефодієм у IX столітті. Ця форма запису чисел набула великого поширення у зв'язку з тим, що мала повну схожість із грецьким записом чисел. До XVII століття ця форма запису чисел була офіційною на території сучасної Росії, Білорусії, України, Болгарії, Угорщини, Сербії та Хорватії. Досі православні церковні книги використовують цю нумерацію.

Числа записували з цифр так само зліва, праворуч, від більших до менших. Числа від 11 до 19 записувалися двома цифрами, причому одиниця йшла перед десятком:

Читаємо дослівно "чотирнадцять" - "чотири та десять". Як чуємо, так і пишемо: не 10+4, а 4+10 - чотири та десять. Числа від 21 і від записувалися навпаки, спочатку писали знак повних десятків.

Запис числа, використаний слов'янами адитивний, тобто в ньому використовується тільки додавання:

= 800+60+3

Для того щоб не переплутати літери та цифри, використовувалися титли - горизонтальні рисочки над числами, що ми бачимо на малюнку.

Для позначення чисел більших, ніж 900, використовувалися спеціальні значки, які домальовувалися до літери. Так утворювалися числа:

Слов'янська нумерація проіснувала остаточно XVII століття, доки з реформами Петра I Росію з Європи прийшла позиційна десяткова система числення.

Давньоіндійські системи числення

Система числення кхарошті мала ходіння Індії між VI століттям до нашої ери і III століттям нашої ери. Це була непозиційна адитивна система числення. Про неї мало відомо, оскільки збереглося мало письмових документів тієї епохи. Система кхарошті цікава тим, що як проміжний етап між одиницею і десятьма вибирається число чотири. Числа записувалися праворуч наліво.

Поряд із цією системою існувала в Індії ще одна система числення брахмі.

Числа брахмі записувалися зліва направо. Однак у обох системах було чимало спільного. Зокрема, перші три цифри дуже схожі. Загальним було те, що до сотні застосовувався адитивний метод, а потім мультиплікативний. Важливою відмінністю цифр брахмі було те, що цифри від 4 до 90 були представлені тільки одним знаком. Ця особливість цифр брахмі надалі була використана при створенні в Індії десяткової позиційної системи.

У давній Індії так само була словесна система числення. Вона була мультиплікативною, позиційною. Знак нуля вимовлявся як «порожнє», чи «небо», чи «дірка». Одиниця як "місяць", або "земля". Двійка як «близнюки», чи «очі», чи «ніздрі», чи «губи». Чотири як "океани", "сторони світу". Наприклад, число 2441 вимовлялося так: очі океанів сторони світла місяця.

Недоліки непозиційних систем числення:

1. Існує постійна потреба запровадження нових знаків для запису великих чисел.

2. Неможливо представляти дробові та негативні числа.

3. Важко виконувати арифметичні операції, оскільки немає алгоритмів їх виконання. Зокрема, у всіх народів поряд із системами числення були способи пальцевого рахунку, а греки мали лічильну дошку абак – щось на зразок наших рахунків.

Аж до кінця середньовіччя не існувало жодної універсальної системи запису чисел. Тільки з розвитком математики, фізики, техніки, торгівлі, фінансової системи виникла потреба в єдиній універсальній системі числення, хоч і зараз багато племен, нації та народності використовують інші системи числення.

Але ми досі користуємося елементами непозиційної системи числення у повсякденному мовленні, зокрема, ми говоримо сто, а не десять десятків, тисяча, мільйон, мільярд, трильйон.

Позиційні системи числення

Позиційною системою числення називається така система числення, яка має кількісний еквівалент («вага») цифри залежить від її розташування в записі числа.

Будь-яка позиційна система числення характеризується своєю основою.

Заснування позиційної системи числення - кількість різних цифр, що використовуються для зображення чисел у цій системі числення.

За основу можна прийняти будь-яке натуральне число - два, три, чотири, ..., утворивши нову позиційну систему: двійкову, трійкову, четвіркову і т.д.

Вавилонська десяткова / шістдесяткова

У стародавньому Вавилоні приблизно II тисячоліття до нашої ери була така система числення - числа менше 60 позначалися з допомогою двох символів: для одиниці, й у десятка. Вони мали клиноподібний вигляд, тому що вавилоняни писали на глиняних табличках паличками трикутної форми. Ці знаки повторювалися потрібне числораз, наприклад

Вважається, що десяткова система була у шумерів, а після того, як їх завоювали семіти, їхня система була пристосована під шістдесяткову систему семітів.

Шістдесятковий запис цілих чисел не набув широкого поширення за межами Ассиро-вавилонського царства, але шістдесяткові дроби застосовуються досі при вимірі часу. Наприклад, одна хвилина = 60 секунд, одна година = 60 хвилин.

Давньокитайська десяткова

Ця система одна з найстаріших і найпрогресивніших, оскільки в неї закладені такі самі принципи, як і в сучасну арабську, якою ми з Вами користуємося. Виникла ця система близько 4 000 тисяч років тому у Китаї.

Числа в цій системі, як і в нас записувалися зліва направо, від великих до менших. Якщо десятків, одиниць або якогось іншого розряду не було, то спочатку нічого не ставили і переходили до наступного розряду. (За часів династії Мін було введено знак для порожнього розряду – гурток – аналог нашого нуля). Щоб не переплутати розряди, використовували кілька службових ієрогліфів, що писалися після основного ієрогліфа, і показують яке значення набуває ієрогліф-цифра в даному розряді.

Цей мультиплікативний запис, оскільки в ньому використовується множення. Вона десяткова, у ній є знак нуля, крім цього, вона позиційна. Тобто. вона майже відповідає «арабській» системі числення.

Двадцятерична система числення індіанців Майя або довгий рахунок

Ця система дуже цікава тим, що на її розвиток не вплинула жодна з цивілізацій Європи та Азії. Ця система застосовувалася для календаря та астрономічних спостережень. Характерною особливістю її була наявність нуля (зображення черепашки). Підставою цієї системи було число 20, хоча дуже помітні сліди п'ятирічної системи. Перші 19 чисел виходили шляхом комбінування точок (один) і рис (п'ять).

Число 20 зображувалося з двох цифр, нуль і один нагорі і називалося уіналу. Записувалися числа стовпчиком, унизу розташовувалися найменші розряди, вгорі найбільші, у результаті виходила «етажерка» з полицями. Якщо число нуль з'являлося без одиниці нагорі, це означало, що одиниць даного розряду немає. Але, якщо хоч одна одиниця була в цьому розряді, знак нуля зникав, наприклад, число 21, це буде . Також у нашій системі числення: 10 – з нулем, 11 – без нього. Ось кілька прикладів чисел:

У двадцятеричній системі рахунки стародавніх майя є виняток: варто додати до 359 тільки одну одиницю першого порядку, як це виняток негайно набирає чинності. Суть його зводиться до такого: 360 є початковим числом третього порядку та його місце вже не на другій, а на третій полиці.

Але тоді виходить, що початкове число третього порядку більше від початкового числа другого не в двадцять разів (20x20=400, а не 360!), а лише у вісімнадцять! Значить, принцип двадцятеричності порушено! Все правильно. Це і є виняток.

Справа в тому, що в індіанців Майя 20 днів-кінів утворювали місяць або уїнал. 18 місяців-уіналів утворювали рік або туну (360 днів на рік) і так далі:

К"ін = ​​1 день. Виналь = 20 к"ін = ​​20 днів. Тун = 18 виналь = 360 днів = близько 1 року. К"атун = 20 тун = 7200 днів = близько 20 років. Бак"тун = 20 к"атун = 144000 днів = близько 400 років. Піктун = 20 бак"тун = 2880000 днів = близько 8000 років. Калабтун = 20 піктуна = 57 600 000 днів = близько 160 000 років. К"інчільтун = 20 калабтун = 1152000000 днів = близько 3200000 років. Алавтун = 20 к"інчільтун = 23040000000 днів = близько 64000000 років.

Це досить складна система числення, переважно використовувалася жерцями для астрономічних спостережень, інша система індіанців Майя була адитивною, схожою на єгипетську і застосовувалася у повсякденному житті.

Історія «арабських» чисел.

Історія наших звичних «арабських» чисел дуже заплутана. Не можна сказати точно і достовірно, як вони сталися. Ось один із варіантів цієї історії цього походження. Одне точно відомо, що завдяки древнім астрономам, саме їх точним розрахункам ми маємо наші числа.

Як ми вже знаємо, у вавілонській системі числення є знак для позначення пропущених розрядів. Приблизно у II столітті до н. з астрономічними спостереженнями вавилонян познайомилися грецькі астрономи (наприклад, Клавдій Птолемей). Вони перейняли їхню позиційну систему числення, але цілі числа вони записували не за допомогою клинів, а у своїй алфавітній нумерації, а дроби у вавилонській шестидесятковій системі числення. Але для позначення нульового значення розряду грецькі астрономи почали використовувати символ "0" (перша літера грецького слова Ouden – ніщо).

Між II та VI століттями н.е. індійські астрономи познайомилися із грецькою астрономією. Вони перейняли шістдесяткову систему і круглий грецький нуль. Індійці поєднали принципи грецької нумерації з десятковою мультиплікативною системою, взятою з Китаю. Так само вони стали позначати цифри одним знаком, як було заведено в давньоіндійській нумерації брахмі. Це був завершальний крок у створенні позиційної десяткової системи числення.

Блискуча робота індійських математиків була сприйнята арабськими математиками і Аль-Хорезмі в IX столітті написав книгу "Індійське мистецтво рахунки", в якій описує десяткову позиційну систему числення. Прості та зручні правила складання та віднімання скільки завгодно великих чисел, записаних у позиційній системі, зробили її особливо популярною серед європейських купців.

У XII ст. Хуан із Севільї переклав на латину книгу "Індійське мистецтво рахунку", і індійська система рахунку широко поширилася по всій Європі. А оскільки праця Аль-Хорезмі була написана арабською мовою, то за індійською нумерацією в Європі закріпилася неправильна назва - "арабська". Але самі араби називають цифри індійськими, а арифметику, засновану на десятковій системі - індійським рахунком.

Форма «арабських» цифр згодом сильно змінювалася. Та форма, в якій ми їх пишемо, встановилася у XVI столітті.

Навіть Пушкін запропонував свій варіант форми арабських чисел. Він вирішив, що всі десять арабських цифр, включаючи нуль, містяться в магічному квадраті.


Десяткова позиційна система числення

Індійські вчені зробили одне з найважливіших у математиці відкриттів – винайшли позиційну систему числення, якою тепер користується весь світ. Ал-Хорезмі докладно описав індійську арифметику у своїй книзі.

Мухаммед бен Муса ал-Хорезм

Приблизно 850 року н.е. він написав книгу про загальних правилахрозв'язання арифметичних завдань за допомогою рівнянь. Вона називалася "Кітаб ал-Джебр". Ця книга дала ім'я науці алгебри.

Через триста років (1120 р.) цю книгу переклали на латинська мова, і вона стала першим підручником "індійської" арифметики для всіх європейських міст.

Історія нуля.

Нуль буває різний. По-перше, нуль – це цифра, що використовується позначення порожнього розряду; по-друге, нуль - це незвичайне число, так як на нуль ділити не можна і при множенні на нуль будь-яке число ставати нулем; по-третє, нуль потрібен для віднімання та додавання, інакше, скільки буде, якщо з 5 відняти 5?

Вперше нуль з'явився в давньовавилонській системі числення, він використовувався для позначення пропущених розрядів у числах, але такі числа як 1 і 60 вони записували однаково, оскільки нуль наприкінці числа вони ставився. У системі нуль виконував роль пробілу у тексті.

Винахідником форми нуля можна вважати великого грецького астронома Птолемея. Але Птолемей використовує нуль у тому сенсі, як і вавилоняни. На стінному написі в Індії в IX столітті н.е. вперше символ нуля зустрічається наприкінці числа. Це перше загальноприйняте позначення сучасного знака нуля. Саме індійські математики винайшли нуль у всіх його трьох сенсах. Наприклад, індійський математик Брахмагупта ще у VII ст. н.е. активно став використовувати негативні числа та дії з нулем. Але він стверджував, що число, ділене на нуль, є нуль, що звичайно помилка, але справжня математична зухвалість, яка призвела до іншого чудового відкриття індійських математиків. І в XII столітті інший індійський математик Бхаскар робить ще спробу зрозуміти, що ж буде при розподілі на нуль. Він пише: "кількість, поділена на нуль, стає дробом, знаменник якого дорівнює нулю. Цей дріб називають нескінченністю".

Леонардо Фібоначчі, у своєму творі "Liber abaci" (1202) називає знак 0 арабською zephirum. Слово zephirum – це арабське слово as-sifr, що походить від індійського слова sunya, тобто порожнє, що служило назвою нуля. Від слова zephirum походить французьке слово zero (нуль) та італійське слово zero. З іншого боку, від арабського слова as-sifr походить російське словоцифри. Аж до середини XVII століття це слово вживалося спеціально для позначення нуля. Латинське слово nullus (ніякий) узвичаїлося для позначення нуля в XVI столітті.

Нуль – це унікальний знак. Нуль – це чисто абстрактне поняття, одне з найбільших досягнень людини. Його немає в природі навколишнього нас. Без нуля можна спокійно обійтися в усному рахунку, але неможливо обійтися точного запису чисел. Крім цього, нуль перебуває на противагу решті, і символізує собою нескінченний світ. І якщо все є число, то ніщо є все!

Підстави, що використовуються в наші дні:

10 - Звична десяткова система числення (десять пальців на руках). Алфавіт: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - Вигадано в Стародавньому Вавилоні: розподіл години на 60 хвилин, хвилини - на 60 секунд, кута - на 360 градусів.

12 - розповсюдили англосакси: у році 12 місяців, на добу два періоди по 12 годин, у футі 12 дюймів

7 - використовується для рахунку днів тижня

Одинична система числення

Необхідність у запису чисел стала виникати в людей ще в давнину після того, як вони навчилися рахувати. Свідченням цього є археологічні знахідки у місцях стійбищ первісних людей, які відносяться до періоду палеоліту ($10$-$11$ тис. років до н.е.). Спочатку кількість предметів зображували, використовуючи певні знаки: рисочки, насічки, кружечки, нанесені на каміння, дерево чи глину, і навіть вузли на мотузках.

Малюнок 1.

Вчені цю систему запису чисел називають одиничної (унарної)оскільки число в ній утворено повторенням одного знака, який символізує одиницю.

Недоліки системи:

    при написанні великої кількості необхідно використовувати велика кількістьпаличок;

    можна легко помилитися при нанесенні паличок.

Згодом, щоб полегшити рахунок, ці знаки люди стали об'єднувати.

Приклад 1

З прикладами використання одиничної системи числення можна зустріти і нашому житті. Наприклад, маленькі діти намагаються зобразити на пальцях скільки їм років, або лічильні палички використовують для навчання рахунку в першому класі.

Поодинока системане зовсім зручна, так як записи виглядають дуже довго і їх нанесення досить стомлююче, тому з часом стали з'являтися більш практичні у використанні системи числення.

Ось деякі приклади.

Давньоєгипетська десяткова непозиційна система числення

Ця система числення з'явилася близько 3000 років до н. внаслідок того, що жителі Стародавнього Єгипту вигадали свою числову систему, в якій при позначенні ключових чисел $1$, $10$, $100$ і т.д. були використані ієрогліфи, що було зручним під час написання на глиняних дощечках, які замінювали папір. Інші числа складалися їх за допомогою складання. Спочатку записувалося число вищого порядку, та був нижчого. Примножували і ділили єгиптяни, послідовно подвоюючи числа. Кожна цифра могла повторюватися до $9$ разів. Приклади чисел цієї системи наведено нижче.

Малюнок 2.

Римська система числення

Дана система принципово не набагато відрізняється від попередньої та збереглася до наших днів. В її основі знаходяться знаки:

    $I$ (один палець) для числа $1$;

    $V$ (розкрита долоня) для числа $5$;

    $X$ (дві складені долоні) для $10$;

    для позначення чисел $100$, $500$ і $1000$ використовувалися перші літери відповідних латинських слів ( Сентум- Сто, Demimille– половина тисячі, Мілле- Тисяча).

При складанні чисел римляни використовували такі правила:

    Число дорівнює сумі значень розташованих поспіль декількох однакових "цифр", що утворюють групу першого виду.

    Число дорівнює різниці значень двох «цифр», якщо ліворуч від більшої стоїть менша. У цьому випадку від значення більшого віднімається значення меншого. Разом вони утворюють групу другого виду. При цьому ліва «цифра» може бути меншою за праву максимально на $1$ порядок: перед $L(50)$ і $C(100$) з «молодших» може стояти лише $Х(10$), перед $D(500$) ) і $ M (1000 $) - тільки $ C (100 $), перед $ V (5) – I (1) $.

    Число дорівнює сумі значень груп і «цифр», які не увійшли до груп $1$ або $2$ виду.

Малюнок 3.

Римськими цифрами користуються з давніх-давен: ними позначаються дати, номери томів, розділів, розділів. Раніше вважав, що звичайні арабські цифриможна легко підробити.

Алфавітні системи числення

Дані системи числення досконаліші. До них відносяться грецька, слов'янська, фінікійська, єврейська та інші. У цих системах числа від $1$ до $9$, а також кількість десятків (від $10$ до $90$), сотень (від $100$ до $900$) були позначені літерами алфавіту.

У давньогрецькій алфавітній системі числення $1, 2, ..., 9$ позначалися першими дев'ятьма літерами грецького алфавіту, і т.д. Для позначення чисел $10, 20, ..., 90$ застосовувалися наступні $9$ літер а позначення чисел $100, 200, ..., 900$ – останні $9$ букв.

У слов'янських народів числові значеннялітер встановлювалися відповідно до порядку слов'янського алфавіту, який спочатку використовував глаголицю, а потім кирилицю.

Малюнок 4.

Зауваження 1

Алфавітна система використовувалася і в давньої Русі. До кінця $XVII$ століття як цифри використовувалися $27$ букв кирилиці.

Непозиційні системи числення мають низку істотних недоліків:

    Існує постійна потреба запровадження нових знаків для запису великих чисел.

    Неможливо представляти дробові та негативні числа.

    Важко виконувати арифметичні операції, оскільки немає алгоритмів їх виконання.



 

Можливо, буде корисно почитати: