Sistemul de numere se numește limba doar pentru. Sisteme numerice

În primele etape ale dezvoltării societății, oamenii aproape că nu știau să numere. Ei au făcut distincție între seturi de două și trei obiecte; orice colecție care conținea un număr mai mare de obiecte era unită în conceptul de „multe”. La numărare, obiectele erau de obicei comparate cu degetele de la mâini și de la picioare. Pe măsură ce civilizația a progresat, nevoia umană de a număra a devenit esențială. Inițial, numerele naturale erau reprezentate folosind un anumit număr de liniuțe sau bețișoare, apoi au început să fie folosite litere sau semne speciale pentru a le reprezenta. În Novgorod antic, se folosea sistemul slav, unde se foloseau literele alfabetului slav; la reprezentarea numerelor, semnul ~ (titlo) era plasat deasupra acestora.

Anticii romani foloseau o numerotare care s-a păstrat până în zilele noastre sub denumirea de „numerotare romană”, în care numerele sunt reprezentate de litere ale alfabetului latin. Acum este folosit pentru a desemna aniversări, numerotarea unor pagini ale unei cărți (de exemplu, paginile prefaței), capitole din cărți, strofe din poezii etc. În forma sa ulterioară, cifrele romane arată astfel:

i = 1; V = 5; x=10; L=50; C = 100; D=500; M = 1000.

Nu există informații sigure despre originea cifrelor romane. Numărul V ar putea servi inițial ca o imagine a mâinii, iar numărul X ar putea fi format din două cinci. În numerația romană, urmele sistemului de numere quinare afectează în mod clar. Toate numerele întregi (până la 5000) sunt scrise prin repetarea cifrelor de mai sus. În același timp, dacă numărul mai mare vine înaintea celui mai mic, atunci se adună, dar dacă cel mai mic vine înaintea celui mai mare (în acest caz nu se poate repeta), atunci cel mai mic se scade din cel mai mare. ). De exemplu, VI = 6, i.e. 5 + 1, IV = 4, adică. 5 - 1, XL = 40, adică 50 - 10, LX = 60, adică 50 + 10. Același număr se pune de cel mult trei ori la rând: LXX = 70; LXXX = 80; numărul 90 este scris XC (nu XLXXX).

Primele 12 numere sunt scrise cu cifre romane astfel:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Alte numere sunt scrise, de exemplu, ca:

XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Efectuarea operațiilor aritmetice pe numere cu mai multe cifre în această notație este foarte dificilă. Cu toate acestea, numerația romană a predominat în Italia până în secolul al XIII-lea și în alte țări din Europa de Vest până în secolul al XVI-lea.

În sistemul de numerotare slav, toate literele alfabetului au fost folosite pentru a scrie numere, totuși, cu o anumită încălcare a ordinii alfabetice. Litere diferite însemnau numere diferite de unități, zeci și sute. De exemplu, numărul 231 a fost scris ca ~ SLA (C - 200, L - 30, A - 1).

Aceste sisteme au două neajunsuri care au dus la înlocuirea lor cu altele: necesitatea de a un numar mare diverse semne, în special pentru imagine numere mari, și, mai important, inconvenientul efectuării operațiilor aritmetice.

Mai convenabil și general acceptat și cel mai comun este sistemul numeric zecimal, care a fost inventat în India, împrumutat acolo de arabi și apoi, după un timp, a venit în Europa. În sistemul numeric zecimal, baza este numărul 10.

Existau sisteme de calcul cu alte baze. În Babilonul antic, de exemplu, era folosit sistemul numeric sexagesimal. Găsim rămășițele ei în împărțirea încă conservată a unei ore sau a unui grad în 60 de minute și a unui minut în 60 de secunde.

Sistemul duozecimal a fost, de asemenea, răspândit în antichitate, a cărui origine, ca și sistemul zecimal, este probabil legată de numărarea pe degete: falangele (articulațiile individuale) a patru degete ale unei mâini au fost luate ca unitate de cont, care au fost mutat la numărătoare. deget mare aceeași mână. Rămășițele acestui sistem de numere au supraviețuit până în zilele noastre atât în ​​vorbirea orală, cât și în obiceiuri. Este bine cunoscut, de exemplu, numele unității din a doua categorie - numărul 12 - „duzină”. Obiceiul a supraviețuit de a număra multe articole nu în zeci, ci în zeci, de exemplu, tacâmuri într-un serviciu sau scaune într-un set de mobilier. Denumirea unității din a treia categorie în sistemul duozecimal - brut - este acum rar, dar în practica comercială de la începutul secolului a mai existat. De exemplu, într-o poezie scrisă în 1928 Plushkin V.V.Mayakovsky, ridiculizând oamenii care cumpără totul la rând, a scris: „... a cumpărat douăsprezece grosimi din bagheta de dirijor”. Printre un număr de triburi africane și în China antică s-a folosit sistemul numeric chinar. În America Centrală (dintre vechii azteci și maya) și printre locuitori Europa de Vest vechii celți foloseau sistemul vigesimal. Toate sunt asociate și cu numărarea pe degete.

Cel mai tânăr sistem de numere poate fi considerat pe drept binar. Acest sistem are o serie de calități care îl fac foarte avantajos pentru utilizarea în mașini de calcul și în calculatoarele moderne.

Sisteme numerice poziționale și nepoziționale.

Diverse sisteme diferite calculele care existau înainte și care sunt folosite în vremea noastră pot fi împărțite în nepozițional și pozițional. Caracterele folosite pentru a scrie numere se numesc cifre.

În sistemele de numere nepoziționale, valoarea pe care o denotă nu depinde de poziția cifrei în notația numărului. Un exemplu de sistem de numere non-pozițional este sistemul roman, care folosește litere latine ca cifre.

În sistemele de numere poziționale, valoarea indicată printr-o cifră într-o intrare numerică depinde de poziția acesteia. Numărul de cifre folosit se numește baza sistemului numeric. Locul fiecărei cifre într-un număr se numește poziție. Primul sistem cunoscut de noi pe baza principiului pozițional este babilonianul sexagesimal. Numerele din el erau de două tipuri, dintre care unul desemna unități, celălalt - zeci.

Cu toate acestea, cel mai comun a fost sistemul zecimal hindus-araba. Indienii au fost primii care au folosit zero pentru a indica semnificația pozițională a unei cantități dintr-un șir de numere. Acest sistem se numește zecimal. , deoarece are zece cifre.

Diferența dintre sistemele de numere poziționale și nepoziționale este cel mai ușor de înțeles prin compararea a două numere. În sistemul numeric pozițional, compararea a două numere are loc astfel: în numerele luate în considerare, cifrele din aceleași poziții sunt comparate de la stânga la dreapta. Cifra mai mare corespunde valorii mai mari a numărului. De exemplu, pentru numerele 123 și 234, 1 este mai mic decât 2, deci numărul 234 este mai mare decât numărul 123. Într-un sistem numeric non-pozițional, această regulă nu se aplică. Un exemplu în acest sens este compararea a două numere IX și VI. Deși I este mai mic decât V, IX este mai mare decât VI.

Sisteme numerice poziționale.

Baza sistemului numeric în care este scris numărul este de obicei indicată printr-un indice. De exemplu, 555 7 este un număr scris în sistemul numeric septal. Dacă numărul este scris în sistem zecimal, atunci baza, de regulă, nu este indicată. Baza sistemului este, de asemenea, un număr și îl vom indica în sistemul zecimal obișnuit. În general, numărul X poate fi reprezentat într-un sistem cu bază p, Cum X = un n· p n+un n- 1· p n–1 + A 1· p 1 + A 0· p 0, unde un n...A 0 - cifre în reprezentarea numărului dat. De exemplu,

1035 10 =1 10 3 + 0 10 2 + 3 10 1 + 5 10 0 ;

1010 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 10.

De cel mai mare interes atunci când lucrați la un computer sunt sistemele de numere cu bazele 2, 8 și 16. În general, aceste sisteme de numere sunt de obicei suficiente pentru munca cu drepturi depline atât a unei persoane, cât și a unui computer, dar uneori, din cauza diferitelor circumstanțe, mai trebuie să apelați la alte sisteme de numere, cum ar fi ternar, septimal sau baza 32.

Pentru a opera cu numere scrise în astfel de sisteme netradiționale, trebuie să rețineți că ele nu diferă în mod fundamental de zecimala obișnuită. Adunarea, scăderea, înmulțirea în ele se efectuează după aceeași schemă.

De ce nu se folosesc alte sisteme numerice? În principal pentru că în Viata de zi cu zi oamenii sunt obișnuiți să folosească sistemul numeric zecimal și nu este necesar altul. În mașinile de calcul se folosește sistemul de numere binar, deoarece este destul de simplu de utilizat cu numere scrise în formă binară.

Adesea în informatică se folosește sistemul hexazecimal, deoarece notația numerelor din acesta este mult mai scurtă decât notația numerelor în sistemul binar. Poate apărea întrebarea: de ce să nu folosiți un sistem numeric pentru a scrie numere foarte mari, de exemplu, baza 50? Pentru un astfel de sistem de numere, sunt necesare 10 cifre obișnuite plus 40 de cifre, care ar corespunde numerelor de la 10 la 49 și este puțin probabil ca cineva să vrea să lucreze cu aceste patruzeci de cifre. Prin urmare, în viata reala sistemele de numere de bază mai mari de 16 practic nu sunt utilizate.

Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul.

Cele mai comune sisteme de numere sunt binare, hexazecimale și zecimale. Cum sunt legate între ele reprezentările numerelor? diverse sisteme socoteala? Mânca diferite căi transfer de numere de la un sistem numeric la altul pe exemple specifice.

Să presupunem că trebuie să convertiți numărul 567 din zecimal în binar. În primul rând, se determină puterea maximă a doi, astfel încât doi la acea putere să fie mai mic sau egal cu numărul inițial. ÎN acest caz este 9 pentru că 2 9 = 512 și 2 10 = 1024, care este mai mult decât numărul inițial. Astfel, se obține numărul de cifre al rezultatului, acesta este egal cu 9 + 1 = 10, deci rezultatul va arăta ca 1 xxxxxxxxxx, unde în loc de X poate fi orice cifre binare. A doua cifră a rezultatului se găsește după cum urmează - doi este ridicat la puterea lui 9 și scade din numărul inițial: 567 - 2 9 \u003d 55. Restul este comparat cu numărul 2 8 \u003d 256. Deoarece 55 este mai mic de 256, atunci a noua cifră este zero, adică rezultatul arata ca 10 xxxxxxxxx. Luați în considerare a opta categorie. Deoarece 2 7 \u003d 128\u003e 55, atunci va fi, de asemenea, zero.

A șaptea cifră se dovedește a fi, de asemenea, zero. Notația binară dorită a numărului ia forma 1000 xxxxxxx. 2 5 = 32 xxxxx). Pentru restul 55 - 32 = 23, inegalitatea 2 4 = 16 este adevărată

567 = 1 2 9 + 0 2 8 + 0 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0

O altă modalitate de a traduce numerele este utilizarea operației de împărțire într-o coloană. Dacă luăm același număr 567 și îl împărțim la 2, obținem câtul 283 și restul 1. Aceeași operație se efectuează cu numărul 283. Coeficientul este 141, restul este 1. Din nou, câtul rezultat se împarte cu 2 și așa mai departe până când câtul nu devine mai mic decât divizorul. Acum, pentru a obține un număr în sistemul de numere binar, este suficient să scrieți ultimul coeficient, adică. 1 și atribuiți-i în ordine inversă toate resturile obținute în procesul de împărțire.

Rezultatul, desigur, nu s-a schimbat: 567 în binar este scris ca 1.000.110.111.

Aceste două metode sunt aplicabile la conversia unui număr dintr-un sistem zecimal într-un sistem cu orice bază. De exemplu, când convertiți numărul 567 într-un sistem numeric cu baza 16, numărul este mai întâi descompus în puteri ale bazei. Numărul dorit este format din trei cifre, deoarece 16 2 \u003d 256 xx, unde în loc de X poate fi orice cifră hexazecimală. Rămâne să distribuiți numărul 55 (567 - 512) peste următoarele cifre. 3 16 = 48

A doua metodă constă în împărțirea secvențială într-o coloană, singura diferență fiind că este necesară împărțirea nu la 2, ci la 16, iar procesul de împărțire se termină când coeficientul devine strict mai mic de 16.

Desigur, pentru a scrie un număr în hexazecimal, trebuie să înlocuiți 10 cu A, 11 cu B și așa mai departe.

Operația de conversie la sistemul zecimal pare mult mai simplă, deoarece orice număr zecimal poate fi reprezentat ca X = A 0· p n + A 1· p n–1 +... + un n-1· p 1 + un n· p 0, unde A 0 ... un n- acestea sunt cifrele unui număr dat într-un sistem numeric cu bază p.

De exemplu, așa puteți converti numărul 4A3F în sistemul zecimal. Prin definiție, 4A3F= 4 16 3 + A 16 2 + 3 16 + F. Înlocuirea lui A cu 10 și F cu 15 dă 4 16 3 + 10 16 2 + 3 16 + 15 = 19007 .

Cel mai simplu mod de a traduce numere din sistem binarîn sisteme cu o bază egală cu puteri de două (8 și 16) și invers. Pentru a scrie un întreg binar în sistemul numeric cu baza 2 n, trebuie să împărțiți acest număr binar de la dreapta la stânga în grupuri în funcție de n-numerele din fiecare; dacă ultimul grup din stânga conține mai puțin de n cifre, atunci completați-l cu zerouri până la numărul necesar de cifre; ia în considerare fiecare grup n-număr binar cu cifre și înlocuiți-l cu cifra corespunzătoare în sistemul numeric de bază 2 n .

Tabelul 1. Tabel binar-hexazecimal
Tabelul 1. TABEL BINAR-HEXADIMAL
al 2-lea 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
al 16-lea 0 1 2 3 4 5 6 7
al 2-lea 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
al 16-lea 8 9 A B C D E F

Celebrul astronom, matematician și fizician francez Pierre Simon Laplace (1749–1827) a scris despre dezvoltare istorica sisteme de numere că „Ideea de a exprima toate numerele cu nouă semne, dându-le, pe lângă valoarea în formă, și valoarea în loc, este atât de simplă încât tocmai din cauza acestei simplități este greu de înțeles. cât de uimitor este. Cât de greu a fost să ajungi la această metodă, vedem în exemplul celor mai mari genii ale învăţăturii greceşti, Arhimede şi Apollonius, cărora acest gând a rămas ascuns.

Compararea sistemului numeric zecimal cu alte sisteme poziționale a permis matematicienilor și inginerilor proiectanți să descopere posibilitățile uimitoare ale sistemelor moderne de numere non-zecimale, care au asigurat dezvoltarea tehnologiei informatice.

Anna Chugainova

Sistem numeric unitar (unar). Lista sistemelor numerice

Notaţie:

  • oferă reprezentări ale unui set de numere (întregi și/sau reale);
  • dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);
  • reflectă structura algebrică și aritmetică a numerelor.

Sistemele numerice sunt împărțite în pozițional, nepoziționalăȘi amestecat.

Sisteme numerice poziționale

În sistemele de numere poziționale, același semn numeric (cifră) în intrarea numărului are diverse sensuriîn funcţie de locul (descărcarea) în care se află. Invenția numerotării poziționale bazată pe semnificația locală a cifrelor este atribuită sumerienilor și babilonienilor; o astfel de numerotare a fost dezvoltată de hinduși și a avut consecințe inestimabile în istoria civilizației umane. Aceste sisteme includ sistemul de numere zecimal modern, a cărui apariție este asociată cu numărarea pe degete. În Europa medievală, a apărut prin negustorii italieni, care la rândul lor l-au împrumutat de la musulmani.

Sistemul de numere pozițional este de obicei înțeles ca sistem de numere -ary, care este definit printr-un număr întreg numit bază sisteme de numere. Un întreg fără semn în sistemul de numere -ary este reprezentat ca o combinație liniară finită de puteri ale numărului:

, unde sunt numite numerele întregi cifre, satisfacerea inegalitatii .

Fiecare grad dintr-o astfel de înregistrare se numește factor de ponderare al categoriei. Vechimea cifrelor și a cifrelor corespunzătoare acestora este determinată de valoarea indicatorului (numărul cifrei). De obicei, în numerele diferite de zero, zerourile din stânga sunt omise.

Dacă nu există discrepanțe (de exemplu, când toate cifrele sunt prezentate sub formă de caractere scrise unice), numărul este scris ca o secvență a cifrelor sale alfabetice, enumerate în ordinea descrescătoare a priorității cifrelor de la stânga la dreapta:

De exemplu, numărul o suta trei reprezentat în notație zecimală ca:

Cele mai frecvent utilizate sisteme poziționale sunt:

În sistemele poziționale, cu cât baza sistemului este mai mare, cu atât sunt necesari mai puțini biți (adică cifrele care trebuie scrise) atunci când scrieți un număr.

Sisteme de numere mixte

Sistem de numere mixt este o generalizare a sistemului numeric -ary și, de asemenea, se referă adesea la sisteme de numere poziționale. Baza sistemului de numere mixte este o succesiune crescătoare de numere, iar fiecare număr din acesta este reprezentat ca o combinație liniară:

, unde coeficienții sunt numiți ca mai înainte cifre, se aplică unele restricții.

Înregistrarea unui număr într-un sistem numeric mixt este enumerarea cifrelor acestuia în ordinea indicelui descrescător, începând de la primul diferit de zero.

În funcție de tipul, în funcție de sistemele de numere mixte, pot fi puteri, exponențiale etc. Când pentru unii, sistemul de numere mixte coincide cu sistemul de numere exponențial -ari.

Cel mai faimos exemplu de sistem numeric mixt este reprezentarea timpului ca număr de zile, ore, minute și secunde. În acest caz, valoarea „zile, ore, minute, secunde” corespunde valorii secundelor.

Sistemul numeric factorial

ÎN sistem de numere factoriale bazele sunt o succesiune de factoriali, iar fiecare număr natural este reprezentat ca:

, Unde .

Sistemul de numere factoriale este utilizat când decodificarea permutărilor prin liste de inversiuni: având un număr de permutare, îl puteți reproduce singur astfel: un număr cu unu mai mic decât numărul (numerotarea începe de la zero) se scrie în sistemul de numere factoriale, în timp ce coeficientul numărului i! va desemna numărul de inversiuni pentru elementul i + 1 din mulțimea în care se fac permutările (numărul de elemente mai mic decât i + 1, dar în dreapta acestuia în permutarea dorită)

Exemplu: luați în considerare un set de permutări a 5 elemente, sunt 5 în total! = 120 (de la numărul de permutare 0 - (1,2,3,4,5) la numărul de permutare 119 - (5,4,3,2,1)), găsiți a 101-a permutare: 100 = 4!* 4 + 3 !*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; să punem ti - coeficient la numărul i!, apoi t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, apoi: numărul de elemente mai mic decât 5, dar stând în dreapta este 4; numărul de elemente mai mic decât 4, dar în dreapta este 0; numărul de elemente mai mic de 3, dar în dreapta este 2; numărul de elemente mai mic decât 2, dar în dreapta este 0 (ultimul element din permutare este „pus” în singurul loc rămas) - astfel, a 101-a permutare va arăta astfel: (5,3,1,2, 4) Verificarea acestei metode se poate face prin numărarea directă a inversiilor pentru fiecare element de permutare.

Sistemul de numere Fibonacci bazat pe numerele Fibonacci. Fiecare număr natural din el este reprezentat ca:

, unde sunt numerele Fibonacci, , în timp ce coeficienții au un număr finit de unități și nu există două unități pe rând.

Sisteme numerice non-poziționale

În sistemele de numere non-poziționale, valoarea pe care o reprezintă o cifră nu depinde de poziția în număr. În acest caz, sistemul poate impune restricții asupra poziției numerelor, de exemplu, astfel încât acestea să fie aranjate în ordine descrescătoare.

Sistem de numere binomiale

Reprezentare folosind coeficienți binomi

, Unde .

Sistemul de clasă reziduală (SOC)

Reprezentarea unui număr în sistemul de clase de rest se bazează pe conceptul de reziduu și teorema chineză a restului. RNS este definit de un set de coprime module cu produsul astfel încât fiecare număr întreg din segment să fie asociat cu un set de reziduuri , unde

…

În același timp, teorema chineză a restului garantează unicitatea reprezentării pentru numerele din intervalul .

În RNS, operațiile aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) sunt efectuate component cu component dacă se știe că rezultatul este un număr întreg și se află și în .

Dezavantajele RNS sunt capacitatea de a reprezenta doar un număr limitat de numere, precum și lipsa algoritmilor eficienți pentru compararea numerelor reprezentate în RNS. Comparația se realizează de obicei prin conversia argumentelor din RNS într-un sistem de numere mixt în baze.

Sistemul numeric Stern–Brocot- o modalitate de a înregistra pozitiv numere rationale, bazat pe arborele Stern–Brocko.

Sisteme numerice ale diferitelor națiuni

Sistem de numere de unitate

Aparent, cronologic, primul sistem de numere al fiecărui popor care a stăpânit contul. Un număr natural este reprezentat prin repetarea aceluiași semn (liniuță sau punct). De exemplu, pentru a reprezenta numărul 26, trebuie să desenați 26 de linii (sau să faceți 26 de crestături pe un os, piatră etc.). Ulterior, de dragul confortului perceperii numerelor mari, aceste semne sunt grupate în trei sau cinci. Apoi grupurile de semne cu volum egal încep să fie înlocuite cu un semn nou - așa apar prototipurile numerelor viitoare.

Sistemul de numere egiptean antic

Sistemul de numere babilonian

Sisteme numerice alfabetice

Armenii antici, georgienii, grecii (sistemul de numere ionic), arabii (Abjadia), evreii (vezi gematria) și alte popoare din Orientul Mijlociu foloseau sisteme de numere alfabetice. În cărțile liturgice slave, sistemul alfabetic grecesc a fost tradus în litere chirilice.

Sistemul numeric ebraic

Sistemul de numere grecesc

Sistemul numeric roman

Exemplul canonic al unui sistem de numere aproape nepozițional este cel roman, în care literele latine sunt folosite ca cifre:
Eu reprezintă 1,
V - 5,
X - 10,
L-50
C-100
D-500
M-1000

De exemplu II = 1 + 1 = 2
aici simbolul I reprezintă 1 indiferent de locul său în număr.

De fapt, sistemul roman nu este complet non-pozițional, deoarece cifra mai mică care vine înaintea celei mai mari este scăzută din el, de exemplu:

IV = 4 în timp ce:
VI = 6

Sistemul numeric mayaș

Vezi si

Note

Legături

  • Gashkov S.B. Sistemele numerice și aplicațiile lor. - M .: MTsNMO, 2004. - (Biblioteca „Educația matematică”).
  • Fomin S.V. Sisteme numerice. - M .: Nauka, 1987. - 48 p. - (Prelegeri populare despre matematică).
  • Yaglom I. Sisteme numerice // Cuantic. - 1970. - Nr 6. - S. 2-10.
  • Numerale și sisteme de numere. Enciclopedie online în jurul lumii.
  • Stahov A. Rolul sistemelor numerice în istoria calculatoarelor.
  • Mikushin A.V. Sisteme numerice. Curs de prelegeri „Dispozitive digitale și microprocesoare”
  • Butler J. T., Sasao T. Sisteme numerice redundante cu valori multiple Articolul tratează sistemele numerice care folosesc numere mai mari decât unu și permit redundanța în reprezentarea numerelor

Fundația Wikimedia. 2010 .

Trimiteți-vă munca bună în baza de cunoștințe este simplu. Utilizați formularul de mai jos

Buna treaba la site">

Studenții, studenții absolvenți, tinerii oameni de știință care folosesc baza de cunoștințe în studiile și munca lor vă vor fi foarte recunoscători.

postat pe http://www.allbest.ru/

NUMELE FONDULUI STUDIULUI

” Varietăți de sisteme de numere ”

Conceptul de sistem de numere. Tipuri de sisteme numerice

Notaţie- o colecție de mai multe nume și semne care vă permite să scrieți orice număr și să îi dați un nume.

Notaţie:

oferă reprezentări ale unui set de numere (întregi și/sau reale);

dă fiecărui număr o reprezentare unică (sau cel puțin o reprezentare standard);

· reflectă structura algebrică și aritmetică a numerelor.

Sistemele numerice sunt împărțite în:

pozițional;

· Nonpozițional;

· Mixt.

Sisteme numerice poziționale

Sistemul numeric pozițional este un sistem în care valoarea fiecărei cifre depinde de echivalentul ei numeric și de locul (poziția) acesteia în număr, i.e. același simbol (număr) poate lua semnificații diferite.

Invenția numerotării poziționale, bazată pe semnificația locală a numerelor, este atribuită sumerienilor și babilonienilor. Această numerotare a fost dezvoltată de hinduși și a avut consecințe inestimabile în istoria civilizației umane.

Cel mai faimos sistem de numere poziționale este sistemul numeric zecimal, a cărui apariție este asociată cu numărarea pe degete. În Europa medievală, a apărut prin negustorii italieni, care la rândul lor l-au împrumutat de la musulmani.

Orice sistem numeric pozițional este caracterizat de o bază. Baza sau baza (n) a sistemului numeric pozițional natural este numărul de caractere sau simboluri utilizate pentru a reprezenta un număr în acest sistem. Prin urmare, un număr infinit de sisteme poziționale este posibil, deoarece orice număr natural n>1 poate fi luat ca bază, formând sistem nou socoteala.

Când reprezintă sau notează un anumit număr într-un sistem de numere poziționale, ei plasează cifrele corespunzătoare ale numărului în poziții dorite separate, care sunt de obicei numite cifrele numărului în acest sistem de numere poziționale. Numărul de cifre din notația unui număr se numește capacitatea numărului și coincide cu lungimea acestuia.

Sistemul general de numere poate fi definit ca o astfel de grupare de numere întregi și numere fracționale, în care fiecare dintre ele este reprezentată prin formula:

unde x este un număr arbitrar scris în sistemul numeric cu baza n; simbolul ai este coeficientul seriei, i.e. i este cifra intrării numărului; k, m -- numărul de cifre întregi și, respectiv, fracționale.

Fiecare grad de nk dintr-o astfel de notație se numește coeficient de ponderare al debitului. Vechimea cifrelor și a cifrelor corespunzătoare acestora este determinată de valoarea indicelui k (numărul cifrei). Numerele cifrelor din sistemul de numere pozițional sunt numărate în partea întreagă din stânga virgulei și în partea fracțională din dreapta virgulei. Mai mult, numerotarea cifrelor începe de la 0. Valoarea bazei sistemului numeric pozițional determină numele acestuia: pentru sistemul zecimal va fi 10, pentru octal - 8, pentru binar - 2 etc. De obicei, în locul numelui sistemului de numere se folosește termenul „cod numeric”. De exemplu, conceptul de cod binar înseamnă un număr reprezentat în sistemul de numere binar, conceptul de cod zecimal - într-un sistem de numere zecimal etc.

Dacă nu există discrepanțe (de exemplu, când toate cifrele sunt prezentate sub formă de caractere scrise unice), numărul x este scris ca o secvență a cifrelor sale n-are, enumerate în ordinea descrescătoare a priorității cifrelor de la stânga la dreapta :

Cele mai frecvent utilizate sisteme poziționale sunt:

2 - binar (la matematică discretă, informatică, programare);

3 - ternar (în computere ternare (de exemplu, Setun));

8 - octal (utilizat în programare, informatică);

10 - zecimală (folosită peste tot);

12 - duozecimal (numărând în zeci);

16 - hexazecimal (utilizat în programare, informatică);

· 60 -- sexagesimal (unități de timp, măsurare a unghiului și, în special, coordonate, longitudine și latitudine).

În sistemele poziționale, cu cât baza sistemului este mai mare, cu atât sunt necesari mai puțini biți (adică cifrele care trebuie scrise) atunci când scrieți un număr.

Sistem de numere binar-- sistem de numere poziționale cu baza 2. Datorită implementării directe în circuitele electronice digitale pe porți logice, sistemul binar este utilizat în aproape toate calculatoarele moderne și alte dispozitive electronice de calcul. În sistemul binar, numerele sunt scrise folosind două simboluri (0 și 1). Pentru a nu face confuzie în ce sistem numeric este scris numărul, acesta este prevăzut cu un indicator în dreapta jos. De exemplu, un număr în zecimală 510, în binar 1012. Uneori, un număr binar este notat cu prefixul 0b, de exemplu 0b101.

Reguli de traducere

Traducere de la orice sistem numeric la sistem de numere zecimal

Pentru a converti un număr întreg din orice sistem numeric în zecimal, trebuie să scrieți acest număr în formă generală:

anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0

De exemplu: să traducem numărul 12568 în sistemul numeric zecimal.

12568=1 8 3 +2 8 2 +5 8 1 +6 8 0 =1 512+2 64+5 8+6 1=68610.

Conversia unui număr dintr-un sistem numeric zecimal în alt sistem

1) Împărțiți acest număr la baza sistemului în care doriți să convertiți numărul.

2) Împărțiți numărul rezultat în mod similar la baza sistemului în care doriți să transferați numărul.

3) Pasul 2 se repetă până când coeficientul rezultat este mai mic decât baza.

4) Scriem restul împărțirii în ordine de la ultima la prima.

Regula pentru conversia numerelor din binar în octal

1) Împărțim numărul de trei cifre în grupuri începând de la cifra cea mai puțin semnificativă.

Dacă nu este suficient pentru un triplu întreg de cifre, adăugați numărul necesar de zerouri în stânga.

2) Înlocuim fiecare triplă de cifre primită cu un număr din sistemul de numere octale.

triade binare

Cifre octale

3) Împărțim partea fracțională în triple la dreapta virgulei.

Conversia numerelor din binar în hexazecimal

1) Împărțim numărul de patru cifre în grupuri începând de la cifra cea mai puțin semnificativă.

Dacă nu este suficient pentru toate cele patru cifre, atunci adăugați numărul necesar de zerouri din stânga.

2) Înlocuim fiecare patru cifre primite cu un număr din sistemul de numere octale.

3) Împărțim partea fracțională în patru la dreapta punctului zecimal.

Dacă nu sunt suficiente numere, atunci atribuim zerouri în dreapta.

Regula pentru conversia numerelor din octal în binar

1) Înlocuim fiecare cifră a numărului octal dat cu echivalentul său binar corespunzător.

2) Dacă nu există suficiente cifre la triplul complet, atunci în acest triplu adăugăm numărul de zerouri lipsă din stânga.

Conversia numerelor din hexazecimal în binar

1) Înlocuim fiecare cifră a numărului hexazecimal dat cu echivalentul său binar corespunzător.

2) Dacă nu există suficiente cifre pentru toate cele patru, atunci în aceste patru adăugăm numărul de zerouri care lipsește din dreapta.

Sisteme de numere poziționale neobișnuite

Numerările neobișnuite nu sunt utilizate pe scară largă, dar pot fi interesante din punct de vedere teoretic. Dintre sistemele de numere neobișnuite, se pot evidenția: semnul simbolic pozițional numeral

sisteme de numere cu baze nenaturale

o negativ,

o irațional,

o complex (ex: 1 + i);

sisteme de numere cu baze multiple;

o imbricat (binar-zecimal, zecimal-hexazecimal etc.)

Sisteme de numere cu seturi de numere non-standard:

cu un set de cifre simetrice în jurul zero.

Sisteme numerice cu baze negative

Bazele negative vă permit să exprimați numere negative fără a introduce un simbol suplimentar pentru semn. Pentru a exprima numere, se folosește același set de numere ca și pentru un sistem cu o bază naturală egală în valoare absolută. Astfel, cifrele impare ale unui număr au o pondere negativă.

Sisteme numerice cu bază irațională

Un număr irațional de formă poate fi exprimat într-un sistem numeric cu bază irațională, folosind numere.

Sisteme numerice cu bază complexă

Ca și sistemele cu baze negative, bazele complexe vă permit să exprimați numere complexe.

Pentru aceasta, baza sistemului numeric este luată după cum urmează:

satisfacerea condiției -- numărul de cifre din set.

Sisteme de fundație cu fundații imbricate

Dacă cifrele unui sistem numeric cu o bază mare sunt reprezentate prin numere într-un sistem numeric cu o bază mai mică, atunci se va obține un tip special de sistem de numere compus.

Cunoscutul sistem de numere zecimal-hexazecimal folosit pentru măsurarea timpului - ore, minute și secunde, scrise în sistem zecimal, apar aici ca cifre ale sistemului de numere sexagesimal. Acest sistem a venit din Babilon, unde sistemul sexagesimal a fost utilizat pe scară largă pentru a scrie numere, bazate pe doar trei caractere cuneiforme:

pană verticală - unitate de descărcare;

un colț de pene - o duzină de cifre;

Pană înclinată - zero, descărcare goală;

Sistemul de numere binar-zecimal este folosit în calcul. Cifrele binare sunt grupate în patru, unde fiecare patru (tetradă, nibble) codifică o cifră zecimală. Acest lucru vă permite să lucrați cu dispozitive care au o indicație zecimală și o intrare fără a converti sistemele de numere.

Seturi non-standard de cifre, seturi simetrice în jurul zero

O modalitate alternativă de a scrie numere negative fără a utiliza un semn minus (altul decât bazele negative) este să folosești cifre cu ponderi negative. Acest lucru nu necesită o creștere a numărului de cifre diferite pentru a scrie un număr - în loc de un set, puteți utiliza orice set al formularului.

Remarcabilă în acest sens este utilizarea unui set simetric de numere. Dacă luăm un sistem numeric cu o bază impară de forma 2 p+ 1, atunci setul de numere va arăta ca.

Această abordare și-a găsit aplicație în computerele ternare (de exemplu, „Setun”).

Sistem de numere mixt

Sistem de numere mixt este o generalizare a sistemului numeric n-ari și, de asemenea, se referă adesea la sisteme de numere poziționale. Baza sistemului de numere mixte este o succesiune crescătoare de numere, iar fiecare număr din acesta este reprezentat ca o combinație liniară:

În funcție de tipul de ni ca funcție, sistemele de numere mixte pot fi putere, exponențiale, factoriale, Fibonacci etc. Când pentru unele n, sistemul numeric mixt coincide cu sistemul de numere exponențial n-ari.

Cel mai izbitor exemplu de sistem numeric mixt este reprezentarea timpului ca număr de zile, ore, minute și secunde. În acest caz, valoarea „d zile, h ore, m minute, s secunde” corespunde valorii

Sisteme numerice non-poziționale

Sistem numeric non-pozițional-- este un sistem pentru care valoarea unui caracter, i.e. cifră, indiferent de poziția sa în număr. În acest caz, sistemul poate impune restricții asupra poziției numerelor, de exemplu, astfel încât acestea să fie aranjate în ordine descrescătoare.

Sistem de numere binomiale

În sistemul de numere binomiale, numărul x este reprezentat ca suma coeficienților binomiali:

Pentru orice valoare fixă ​​a lui n, fiecare număr natural este reprezentat într-un mod unic.

Sistemul de clasă reziduală (SOC)

Reprezentarea unui număr în sistemul de clase reziduale se bazează pe conceptul de reziduu și teorema chineză a restului. RNS este definit de un set de coprime perechi module cu produsul astfel încât fiecare număr întreg din segment să fie asociat cu un set de reziduuri, unde

RNS garantează unicitatea reprezentării numerelor din interval

În RNS, operațiile aritmetice (adunare, scădere, înmulțire, împărțire) sunt efectuate component cu component dacă se știe că rezultatul este un număr întreg și se află și în .

Dezavantajele RNS sunt capacitatea de a reprezenta doar un număr limitat de numere, precum și lipsa algoritmilor eficienți pentru compararea numerelor reprezentate în RNS.

Sisteme de numere istorice

Sistem de numere de unitate

Cronologic, primul sistem numeric al fiecărei națiuni care a stăpânit contul. Un număr natural este reprezentat prin repetarea aceluiași semn (liniuță sau punct). Ulterior, de dragul confortului perceperii numerelor mari, aceste semne sunt grupate în trei sau cinci. Apoi grupurile de semne cu volum egal încep să fie înlocuite cu un semn nou - așa apar prototipurile numerelor viitoare.

Sistem de numere în cinci ori (Numărând pe călcâiem)

A existat în Rusia. A fost folosit în rândul oamenilor cel puțin până la sfârșitul secolului XVIII - începutul XIX secole

Sistemul de numere egiptean antic

Sistemul egiptean antic de numere zecimale non-poziționale a apărut în a doua jumătate a mileniului al treilea î.Hr. e. Pentru a desemna numerele 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 s-au folosit numere speciale. Numerele din sistemul numeric egiptean au fost scrise ca combinații ale acestor cifre, în care fiecare dintre cifre a fost repetată de cel mult nouă ori. Valoarea unui număr este egală cu suma simplă a valorilor cifrelor implicate în înregistrarea acestuia.

Sisteme numerice alfabetice

Armenii antici, georgienii, grecii (sistemul de numere ionic), arabii (Abjadia), evreii și alte popoare din Orientul Mijlociu au folosit sisteme de numere alfabetice. În cărțile liturgice slave, sistemul alfabetic grecesc a fost tradus în litere chirilice.

Sistemul numeric roman

Exemplul canonic al unui sistem de numere aproape nepozițional este cel roman, în care literele latine sunt folosite ca cifre:

Eu reprezintă 1,

Sistemul roman nu este complet non-pozițional, deoarece din acesta se scade numărul mai mic care vine înaintea celui mai mare.

Sistemul numeric mayaș

Maya foloseau un sistem de numere cu 20 de zecimale cu o singură excepție: în a doua categorie nu erau 20, ci 18 pași, adică numărul 17 19 a fost urmat imediat de numărul 1 0 0. Acest lucru a fost făcut pentru a facilita calculele. al ciclului calendaristic, deoarece 1 0 0 = 360 aproximativ egal cu numărul de zile dintr-un an solar.

Pentru înregistrare, semnele principale au fost puncte (unități) și segmente (cinci).

Kipu al incasilor

Prototipul bazelor de date care au fost utilizate pe scară largă în Anzii Centrali (Peru, Bolivia) în scopuri de stat și publice în mileniul I-II d.Hr. e., exista scrisul înnodat al incașilor - quipu, care consta atât din intrări numerice în sistemul zecimal, cât și din intrări nenumerice în sistemul de codificare binar. Quipu-ul folosea chei primare și secundare, numere de poziție, coduri de culori și formarea unor serii de date repetate. Kipu a fost folosit pentru prima dată în istoria omenirii pentru a aplica o astfel de metodă de contabilitate precum intrarea dublă.

Bibliografie

1. A. G. Tsypkin. „Manual de matematică pentru școlile secundare”

Găzduit pe Allbest.ru

...

Documente similare

    Conceptul și conținutul matematic al sistemelor de numere, varietățile și domeniul lor de aplicare. Caracteristiciși caracteristicile sistemelor de numere poziționale și nepoziționale, binare și zecimale. Ordinea transferului numerelor de la un sistem la altul.

    prezentare, adaugat 11.10.2010

    Sistemul numeric folosit în matematica modernă, folosit în calculatoare. Scrie numere folosind cifre romane. Conversia numerelor zecimale în alte sisteme numerice. Translația numerelor binare fracționale și mixte. Aritmetica în sistemele numerice poziționale.

    rezumat, adăugat la 07.09.2009

    Studiul istoriei sistemelor de numere. Descrierea sistemelor de numere unitare și binare, numerotarea locală greacă veche, slavă, romană și babiloniană. Analiza codificării binare într-un computer. Conversia numerelor dintr-un sistem numeric în altul.

    lucrare de control, adaugat 11.04.2013

    Un set de tehnici și reguli pentru scrierea și citirea numerelor. Definirea conceptelor: sistem numeric, cifră, număr, cifră. Clasificarea și definirea bazei sistemelor numerice. Diferența dintre un număr și o cifră, sisteme de numere poziționale și nepoziționale.

    prezentare, adaugat 15.04.2015

    Conceptul de sistem de numere. Istoria dezvoltării sistemelor de numere. Conceptul de număr natural, relații ordinale. Caracteristicile sistemului numeric zecimal. Probleme generale studiind numerotarea numerelor întregi nenegative în curs primar matematică.

    lucrare de termen, adăugată 29.04.2017

    Teoria matematică a numerelor. Conceptul de sisteme numerice. Aplicații ale sistemului de numere binar. Echipamente informatice și tehnologii informaționale. Codare binară neuniformă alfabetică. Avantajele și dezavantajele sistemului de numere binar.

    rezumat, adăugat 25.12.2014

    Istoria dezvoltării sistemelor de numere. Sistem numeric non-pozițional, pozițional și zecimal. Utilizarea sistemelor numerice în tehnologia informatică și tehnologia de informație. Codarea binară a informațiilor într-un computer. Construirea codurilor binare.

    lucrare de termen, adăugată 21.06.2010

    Cunoașterea notării numerelor în sistemul numeric alfabetic. Caracteristici de stabilire a valorilor numerice ale literelor y popoarele slave. Luarea în considerare a notării numerelor mari în sistemul numeric slav. Denumirea de „teme”, „legiuni”, „leords” și „punți”.

    prezentare, adaugat 30.09.2012

    Definiții ale sistemului numeric, numere, numere, alfabet. Tipuri de sisteme numerice. Avantajele și dezavantajele codurilor binare. Conversia sistemului hexazecimal în octal și împărțirea lui în tetrade și triade. Rezolvarea problemei Basche prin metoda sistemului ternar echilibrat.

    prezentare, adaugat 20.06.2011

    Esența sistemelor de numere binare, octale și hexazecimale, lor trăsături distinctiveși relație. Un exemplu de algoritmi pentru transferul de numere de la un sistem la altul. Întocmirea unui tabel de adevăr și a unui circuit logic pentru funcții logice date.

După ce ați studiat acest subiect, veți învăța și veți repeta:

Ce sisteme numerice există;
Cum sunt traduse numerele dintr-un sistem numeric în altul?
Cu ce ​​sisteme numerice funcționează computerul?
- cum apar diverse numereîn memoria computerului.

Din cele mai vechi timpuri, oamenii s-au confruntat cu problema desemnării (codării) informațiilor numerice.

Copiii mici își arată vârsta pe degete. Pilotul a doborât avionul, i-au tras un asterisc, Robinson Crusoe a considerat zilele ca fiind crestături.

Numărul desemna niște obiecte reale, ale căror proprietăți erau aceleași. Când numărăm sau recalculăm ceva, depersonalizăm într-un fel obiectele, adică. Presupunem că proprietățile lor sunt aceleași. Dar cea mai importantă proprietate a unui număr este prezența unui obiect, adică. unitatea și absența acesteia, adică zero.

Ce este un număr?

Acesta este alfabetul numerelor, setul de simboluri cu care codificăm numerele. Numerele sunt un alfabet numeric.

Numerele și numerele sunt lucruri diferite! Luați în considerare două numere 5 2 și 2 5. Numerele sunt aceleași - 5 și 2.

Prin ce sunt diferite aceste numere?

Ordinea numărului? - Da! Dar este mai bine să spunem - poziția cifrei în număr.

Să ne gândim, ce este un sistem numeric?

Este o intrare de număr? Da! Dar nu putem scrie așa cum ne place - trebuie să fim înțeleși de alți oameni. Prin urmare, este, de asemenea, necesar să folosiți anumite reguli pentru înregistrarea acestora.

Conceptul de sistem de numere

Numerele sunt folosite pentru a înregistra informații despre numărul de obiecte. Numerele sunt scrise folosind sisteme speciale de semne numite sisteme numerice. Alfabetul sistemelor numerice este format din simboluri numite numere. De exemplu, în sistemul numeric zecimal, numerele sunt scrise folosind zece cifre binecunoscute: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Sistemul numeric este un sistem de semne în care numerele sunt scrise după anumite reguli folosind simbolurile unui anumit alfabet, numite numere.

Toate sistemele numerice sunt împărțite în două grupuri mari: pozițional și non-pozițional sisteme de numere. În sistemele de numere poziționale, valoarea unei cifre depinde de poziția sa în număr, iar în cele nepoziționale nu.

Sistemele de numere non-poziționale au apărut înaintea celor poziționale, așa că vom lua în considerare mai întâi diverse sisteme de numere non-poziționale.

Sisteme numerice non-poziționale

Un sistem numeric nepozițional este un sistem numeric în care echivalentul cantitativ („greutatea”) al unei cifre nu depinde de locația acesteia în intrarea numărului.

Sistemele nepoziționale includ: sistemul numeric roman, sistemele numerice alfabetice și altele.

La început, oamenii pur și simplu distingeau UN obiect în fața lor sau nu. Dacă subiectul nu era unul, atunci au spus „MULTE”.

Primele concepte ale matematicii au fost „mai puțin”, „mai mult”, „la fel”.

Dacă un trib a schimbat peștele prins cu cuțite de piatră făcute de oameni dintr-un alt trib, nu era necesar să se numere câți pești aduceau și câte cuțite. A fost suficient să pui câte un cuțit lângă fiecare pește pentru ca schimbul dintre triburi să aibă loc.

Contul a apărut atunci când o persoană trebuia să-și informeze colegii de trib despre numărul de articole pe care le-a găsit.

Și, din moment ce multe popoare din antichitate nu comunicau între ele, atunci popoare diferite au apărut diferite sisteme de numere și reprezentări ale numerelor și cifrelor.

Cifrele în multe limbi indică faptul că omul primitiv avea în principal degete ca instrument de numărare.

Degetele s-au dovedit a fi o mașină de calcul excelentă. Cu ajutorul lor, puteai număra până la 5, iar dacă iei două mâini, atunci până la 10. În antichitate, oamenii mergeau desculți. Prin urmare, ar putea folosi atât degetele de la mâini, cât și de la picioare pentru numărare. Există încă triburi în Polinezia care folosesc sistemul numeric al 20-lea.

Cu toate acestea, sunt cunoscute popoare ale căror unități de numărare nu erau degetele, ci articulațiile lor.

Sistemul de numere duozecimale era destul de răspândit. Originea sa este asociată cu numărarea pe degete. Falangele celor patru degete rămase au fost considerate cu degetul mare al mâinii: sunt 12 în total.

Elemente ale sistemului numeric duozecimal s-au păstrat în Anglia în sistemul de măsuri (1 picior = 12 inci) și în sistemul monetar (1 șiling = 12 pence). Adesea întâlnim în viața de zi cu zi un sistem de numere duozecimal: seturi de ceai și cină pentru 12 persoane, un set de batiste - 12 bucăți.

Numerele în engleză de la unu la doisprezece au propriul nume, următoarele numere sunt compuse:

Pentru numerele de la 13 la 19, terminația cuvântului este adolescentă. De exemplu, 15 înseamnă cincisprezece.

Numărarea degetelor a fost păstrată în unele locuri până astăzi. De exemplu, la cea mai mare bursă de cereale din lume din Chicago, ofertele și cererile, precum și prețurile, sunt anunțate de brokeri pe degete fără un singur cuvânt.

A fost dificil să memorezi numere mari, așa că la „mașina de numărat” a brațelor și picioarelor au început să fie adăugate diverse dispozitive. Era nevoie să se înregistreze numerele.

Numărul de obiecte a fost reprezentat prin desenarea liniuțelor sau serifilor pe o suprafață solidă: piatră, lut...

Sistem de numere unic ("stick")

Necesitatea înregistrării numerelor a apărut în vremuri foarte străvechi, de îndată ce oamenii au început să numere. Numărul de obiecte era reprezentat prin desenarea liniuțelor sau serifilor pe o suprafață solidă: piatră, lut, lemn (înainte de inventarea hârtiei, era încă foarte, foarte departe). Fiecare obiect dintr-o astfel de înregistrare corespundea unei liniuțe. Arheologii au găsit astfel de „înregistrări” în timpul săpăturilor din straturile culturale aparținând perioadei paleolitice (10 - 11 mii de ani î.Hr.).

Oamenii de știință au numit acest mod de scriere a numerelor sistem numeric unitar („stick”). În ea, se folosea un singur tip de semn pentru a scrie numere - „bățul”. Fiecare număr dintr-un astfel de sistem de numere a fost desemnat folosind un șir format din bețe, al cărui număr era egal cu numărul desemnat. Peruvenii foloseau snururi multicolore cu noduri legate de ele pentru a memora numerele. Un mod interesant de a scrie numere a fost folosit de civilizațiile indiene în jurul secolului al VIII-lea î.Hr. nouă eră. Ei au folosit " scrisoare de nod» - fire interconectate. Semnele de pe aceste fire erau noduri, adesea cu pietre sau scoici țesute în ele. Notarea nodulară a numerelor le-a permis incașilor să transmită informații despre numărul de războinici, să indice numărul de decese sau nașteri într-o anumită provincie și așa mai departe.


În jurul anului 1100 d.Hr e. rege englez Henric I a inventat unul dintre cele mai neobișnuite sisteme monetare din istorie, numit sistemul „șină de măsurare”. Acest sistem monetar a durat 726 de ani și a fost desființat în 1826.

O șipcă de lemn lustruită cu crestături care indică denumirea a fost despicată pe toată lungimea, astfel încât să păstreze crestăturile.

Inconvenientele unui astfel de sistem de scriere a numerelor și limitările aplicării lui sunt evidente: cu cât numărul de scris este mai mare, cu atât șirul de bețe este mai lung. Da, și atunci când scrieți un număr mare, este ușor să greșiți prin aplicarea unui număr suplimentar de bețe sau, dimpotrivă, fără a le adăuga.

Sistemul de numere zecimal egiptean antic (2,5 mii de ani î.Hr.)

În jurul mileniului al treilea î.Hr., egiptenii antici au venit cu propriul sistem de numere, în care să desemneze numere cheie 1, 10, 100 etc. folosite icoane speciale - hieroglife.

Toate celelalte numere au fost compilate din aceste numere cheie folosind operația de adunare. Sistemul numeric al Egiptului Antic este zecimal, dar nepozițional și aditiv.

Cifrele numărului au fost scrise începând de la valori mariși terminând cu altele mai mici. Dacă nu existau zeci, unități sau vreo altă cifră, atunci se trecea la următoarea cifră.

Încercați să adăugați aceste două numere, știind că nu pot fi folosite mai mult de 9 caractere identice și veți înțelege imediat că este nevoie de o persoană specială pentru a lucra cu acest sistem. O persoană obișnuită nu poate face asta.

Sistemul numeric zecimal roman (2 mii de ani î.Hr. până în prezent)

Cel mai comun dintre sistemele de numere nepoziționale este sistemul roman.

Principala problemă cu cifrele romane este că este greu să faci înmulțirea și împărțirea. Un alt dezavantaj al sistemului roman este: Scrierea numerelor mari necesită introducerea de noi simboluri. A numere fracționare poate fi scris doar ca raport de două numere. Cu toate acestea, ele au fost principalele până la sfârșitul Evului Mediu. Dar ele sunt încă folosite astăzi.

Îți amintești unde?

Valoarea unei cifre nu depinde de poziția sa în număr.

De exemplu, în numărul XXX (30), numărul X apare de trei ori și în fiecare caz denotă aceeași valoare - numărul 10, trei numere de 10 în total dau 30.

Valoarea unui număr în sistemul numeric roman este definită ca suma sau diferența cifrelor din număr. Dacă numărul mai mic este la stânga celui mai mare, atunci se scade; dacă este la dreapta, se adună.

Amintiți-vă: 5, 50, 500 nu se repetă!

Ce se poate repeta?

Dacă cea mai mică cifră este la stânga celei mai mari cifre, atunci se scade. Dacă cifra cea mai mică este la dreapta celei mai mari, atunci se adaugă - I, X, C, M pot fi repetate de până la 3 ori.

De exemplu:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (O sută - C, patruzeci - XL și nouă - IX) = CXLIX

De exemplu, scrierea numărului zecimal 1998 în sistemul numeric roman ar arăta astfel: МСМХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Sisteme numerice alfabetice
slavă chirilică alfabetică zecimală

Această numerotare a fost creată împreună cu sistemul alfabetic slav pentru traducerea cărților biblice sacre pentru slavi de către călugării greci frații Chiril și Metodie în secolul al IX-lea. Această formă de scriere a numerelor a fost utilizată pe scară largă datorită faptului că avea o asemănare completă cu notația greacă a numerelor. Până în secolul al XVII-lea, această formă de scriere a numerelor a fost oficială pe teritoriul Rusiei moderne, Belarusului, Ucrainei, Bulgariei, Ungariei, Serbiei și Croației. Până acum, cărțile bisericești ortodoxe folosesc această numerotare.

Numerele au fost notate din numere în același mod de la stânga la dreapta, de la cel mai mare la cel mai mic. Numerele de la 11 la 19 au fost scrise ca două cifre, una fiind înainte de zece:

Citim literal „paisprezece” - „patru și zece”. După cum auzim, așa scriem: nu 10 + 4, ci 4 + 10, - patru și zece. Numerele de la 21 și mai sus au fost scrise invers, mai întâi au scris semnul zecilor întregi.

Notația numerică folosită de slavi este aditivă, adică folosește numai adunare:

= 800+60+3

Pentru a nu confunda literele cu cifrele, s-au folosit titluri - linii orizontale deasupra numerelor, pe care le vedem în figură.

Pentru a desemna numere mai mari de 900, s-au folosit icoane speciale, care au fost desenate la literă. Iată cum au apărut cifrele:

Numerotarea slavă a existat până la sfârșitul secolului al XVII-lea, până când sistemul de numere zecimale poziționale a venit în Rusia din Europa odată cu reformele lui Petru I.

sisteme de numere indiene antice

Sistemul de numere Kharoshti a fost folosit în India între secolul al VI-lea î.Hr. și secolul al III-lea d.Hr. Acesta a fost un sistem de numere aditiv non-pozițional. Se știu puține despre ea, deoarece puține documente scrise din acea epocă au supraviețuit. Sistemul Kharoshti este interesant prin faptul că numărul patru este ales ca etapă intermediară între unu și zece. Numerele erau scrise de la dreapta la stânga.

Odată cu acest sistem, a existat un alt sistem de numere Brahmi în India.

Numerele Brahmi au fost scrise de la stânga la dreapta. Cu toate acestea, ambele sisteme aveau multe în comun. În special, primele trei cifre sunt foarte asemănătoare. Lucrul comun a fost că până la o sută se folosea o metodă aditivă, iar după una multiplicativă. O diferență importantă între numerele Brahmi a fost că numerele de la 4 la 90 erau reprezentate de un singur caracter. Această caracteristică a numerelor Brahmi a fost folosită mai târziu pentru a crea un sistem zecimal pozițional în India.

În India antică, exista și un sistem de numere verbal. Era multiplicativ, pozițional. Semnul zero a fost pronunțat ca „gol” sau „cer” sau „gaură”. Unul ca „lună” sau „pământ”. Doi ca „gemeni” sau „ochi” sau „nări” sau „buze”. Patru ca „oceane”, „părturi ale lumii”. De exemplu, numărul 2441 a fost pronunțat astfel: ochii oceanelor din direcția cardinală a lunii.

Dezavantajele sistemelor numerice non-poziționale:

1. Există o nevoie constantă de a introduce caractere noi pentru a scrie numere mari.

2. Este imposibil de reprezentat numere fracționare și negative.

3. Este dificil să se efectueze operații aritmetice, deoarece nu există algoritmi pentru implementarea lor. În special, toate popoarele, împreună cu sistemele de numere, aveau metode de numărare a degetelor, iar grecii aveau o tablă de numărare a abac - ceva ca conturile noastre.

Până la sfârșitul Evului Mediu, nu a existat un sistem universal de înregistrare a numerelor. Numai odată cu dezvoltarea matematicii, fizicii, tehnologiei, comerțului și a sistemului financiar a apărut necesitatea unui singur sistem de numere universal, deși chiar și acum multe triburi, națiuni și naționalități folosesc alte sisteme de numere.

Dar încă folosim elemente ale unui sistem de numere non-pozițional în vorbirea de zi cu zi, în special, spunem o sută, nu zece zeci, o mie, un milion, un miliard, un trilion.

Sisteme numerice poziționale

Un sistem numeric pozițional este un sistem numeric în care echivalentul cantitativ („greutatea”) al unei cifre depinde de locația acesteia în intrarea de număr.

Orice sistem numeric pozițional este caracterizat de baza sa.

Baza sistemului numeric pozițional - numărul de cifre diferite utilizate pentru a reprezenta numere într-un sistem de numere dat.

Orice număr natural poate fi luat ca bază - doi, trei, patru, ..., formând un nou sistem pozițional: binar, ternar, cuaternar etc.

Decimală babilonică / Sexagesimal

În Babilonul antic, în jurul mileniului al II-lea î.Hr., exista un astfel de sistem de numere - numerele mai mici de 60 erau indicate folosind două semne: pentru unul și pentru zece. Aveau un aspect în formă de pană, așa cum scriau babilonienii pe tăblițe de lut cu bețe triunghiulare. Aceste semne se repetă numărul potrivit ori, de exemplu

Se crede că sumerienii aveau un sistem zecimal, iar după ce au fost cuceriți de semiți, sistemul lor a fost adaptat la sistemul sexagesimal al semiților.

Notarea sexagezimală a numerelor întregi nu a fost utilizată pe scară largă în afara regatului asiro-babilonian, dar fracțiile sexagesimale sunt încă folosite în măsurarea timpului. De exemplu, un minut = 60 de secunde, o oră = 60 de minute.

zecimală chineză veche

Acest sistem este unul dintre cele mai vechi și mai progresive, deoarece conține aceleași principii ca și sistemul modern „arab” pe care îl folosim. Acest sistem a apărut acum aproximativ 4.000 de mii de ani în China.

Numerele din acest sistem, la fel ca ale noastre, au fost scrise de la stânga la dreapta, de la cel mai mare la cel mai mic. Dacă nu erau zeci, unități sau altă cifră, atunci la început nu au pus nimic și au trecut la următoarea cifră. (În timpul dinastiei Ming, a fost introdus un semn pentru o descărcare goală - un cerc - un analog al zeroului nostru). Pentru a nu confunda cifrele, s-au folosit mai multe hieroglife auxiliare, scrise după hieroglifa principală, și care arată ce semnificație ia numărul hieroglifului în această cifră.

Aceasta este o notație multiplicativă deoarece folosește înmulțirea. Este zecimal, are semn zero, pe lângă faptul că este pozițional. Acestea. aproape corespunde sistemului de numere „arabe”.

Sistem de numere Maya de bază 20 sau număr lung

Acest sistem este foarte interesant deoarece nici una dintre civilizațiile Europei și Asiei nu a influențat dezvoltarea lui. Acest sistem a fost folosit pentru observații calendaristice și astronomice. Trăsătura sa caracteristică a fost prezența lui zero (imaginea unei scoici). Baza acestui sistem a fost numărul 20, deși urme ale sistemului de cinci ori sunt puternic vizibile. Primele 19 numere au fost obținute prin combinarea punctelor (unu) și liniuțelor (cinci).

Numărul 20 era reprezentat de două cifre, zero și una în partea de sus și se numea uinalu. Numerele au fost scrise într-o coloană, cele mai mici cifre au fost situate în partea de jos, cele mai mari în partea de sus, ca urmare, s-a obținut un „whatnot” cu rafturi. Dacă numărul zero a apărut fără o unitate în partea de sus, atunci aceasta însemna că nu existau unități din această categorie. Dar, dacă cel puțin o unitate a fost în această categorie, atunci semnul zero a dispărut, de exemplu, numărul 21, va fi. De asemenea, în sistemul nostru de numere: 10 - cu zero, 11 - fără el. Iată câteva exemple de numere:

Există o excepție în sistemul antic de numărare vigesimal mayaș: merită să adăugați doar o unitate de ordinul întâi la numărul 359, deoarece această excepție intră imediat în vigoare. Esența sa se rezumă la următoarele: 360 este numărul inițial al ordinului al treilea și locul lui nu mai este pe al doilea, ci pe al treilea raft.

Dar apoi se dovedește că numărul inițial al ordinului al treilea este mai mare decât numărul inițial al celui de-al doilea nu de douăzeci de ori (20x20=400, nu 360!), ci doar optsprezece! Deci, principiul douăzeci este încălcat! În regulă. Aceasta este excepția.

Faptul este că, printre indienii Maya, 20 de zile rude au format o lună sau uinal. 18 luni uinal formate pe an sau tun (360 de zile pe an) și așa mai departe:

K "în \u003d 1 zi. Vinal \u003d 20 k" în \u003d 20 de zile. Tun = 18 Vinali = 360 de zile = aproximativ 1 an. K "atun = 20 tun = 7200 zile = aproximativ 20 ani. Bak" tun = 20 k "atun = 144000 zile = aproximativ 400 ani. Pictun = 20 bak" tun = 2880000 zile = aproximativ 8000 ani. Qalabtun = 20 pictuns = 57.600.000 de zile = aproximativ 160.000 de ani. K "inchiltun \u003d 20 kalabtun \u003d 1152000000 zile \u003d aproximativ 3200000 de ani. Alavtun \u003d 20 k" inchiltun \u003d 23040000000 zile \u003ani.

Acesta este un sistem numeric destul de complex, folosit în principal de preoți pentru observații astronomice, un alt sistem indian maya era aditiv, similar cu cel egiptean și era folosit în viața de zi cu zi.

Istoria numerelor „arabe”.

Istoria numerelor noastre familiare „arabe” este foarte confuză. Este imposibil să spunem exact și sigur cum s-au întâmplat. Iată o versiune a acestei povești a acestei origini. Un lucru se știe cu siguranță, că datorită vechilor astronomi, și anume calculelor lor exacte, avem numerele noastre.

După cum știm deja, în sistemul numeric babilonian există un semn care indică cifrele lipsă. În jurul secolului al II-lea î.Hr. Astronomii greci (de exemplu, Claudius Ptolemeu) s-au familiarizat cu observațiile astronomice ale babilonienilor. Ei și-au adoptat sistemul de numere poziționale, dar au scris numerele întregi nu cu ajutorul penei, ci în propria lor numerotare alfabetică, ci fracțiile în sistemul numeric șesagezimal babilonian. Dar pentru a indica valoarea zero a descărcării, astronomii greci au început să folosească simbolul „0” (prima literă a cuvântului grecesc Ouden - nimic).

Între secolele al II-lea și al VI-lea d.Hr Astronomii indieni s-au familiarizat cu astronomia greacă. Au adoptat sistemul sexagesimal și cel rotund zero grecesc. Indienii au combinat principiile numerotării grecești cu sistemul multiplicativ zecimal preluat din China. De asemenea, au început să desemneze numere cu un singur semn, așa cum era obișnuit în vechea numerotare indiană Brahmi. Acesta a fost pasul final în crearea unui sistem numeric zecimal pozițional.

Lucrarea strălucitoare a matematicienilor indieni a fost acceptată de matematicienii arabi și în secolul al IX-lea Al-Khwarizmi a scris cartea „Arta indiană a contabilității”, în care descrie sistemul numeric pozițional zecimal. Reguli simple și convenabile pentru adăugarea și scăderea unor numere arbitrar mari scrise în sistemul pozițional l-au făcut deosebit de popular în rândul comercianților europeni.

În secolul al XII-lea. Juan de Sevilla a tradus arta indiană a numărării în latină, iar sistemul indian de numărare s-a răspândit pe scară largă în toată Europa. Și din moment ce lucrarea lui Al-Khwarizmi a fost scrisă arabic, apoi nume greșit a fost atribuit numerotării indiene în Europa - „Araba”. Dar arabii înșiși numesc numerele indiene, iar aritmetica bazată pe sistemul zecimal - contul indian.

Forma numerelor „arabe” s-a schimbat foarte mult de-a lungul timpului. Forma în care le scriem a fost stabilită în secolul al XVI-lea.

Chiar și Pușkin și-a propus propria versiune a formei numerelor arabe. El a decis că toate cele zece cifre arabe, inclusiv zero, se potrivesc în pătratul magic.


Sistem de numere poziționale zecimale

Oamenii de știință indieni au făcut una dintre cele mai importante descoperiri în matematică - au inventat un sistem de numere poziționale, care este acum folosit de întreaga lume. Al-Khwarizmi a descris aritmetica indiană în detaliu în cartea sa.

Mohammed bin Musa al-Khorezm

Aproximativ în anul 850 d.Hr. a scris o carte despre reguli generale rezolvarea de probleme aritmetice folosind ecuații. Se numea „Kitab al-Jabr”. Această carte și-a dat numele științei algebrei.

Trei sute de ani mai târziu (în 1120) această carte a fost tradusă în limba latină, și a devenit primul manual de aritmetică „indian” pentru toate orașele europene.

Zero istorie.

Zero este diferit. În primul rând, zero este o cifră care este folosită pentru a indica un bit gol; în al doilea rând, zero este un număr neobișnuit, deoarece este imposibil de împărțit la zero și atunci când este înmulțit cu zero, orice număr devine zero; în al treilea rând, este necesar zero pentru scădere și adunare, în caz contrar, cât va fi dacă 5 se scade din 5?

Zero a apărut pentru prima dată în vechiul sistem de numere babilonian, a fost folosit pentru a desemna cifrele lipsă în numere, dar numere precum 1 și 60 au fost scrise în același mod, deoarece nu puneau zero la sfârșitul numărului. În sistemul lor, zero a servit ca spațiu în text.

Marele astronom grec Ptolemeu poate fi considerat inventatorul formei zero, deoarece în textele sale semnul spațiului este înlocuit cu litera greacă omicron, care amintește foarte mult de semnul zero modern. Dar Ptolemeu folosește zero în același sens ca și babilonienii. Pe o inscripție de perete din India în secolul al IX-lea d.Hr. prima dată când apare un caracter nul la sfârșitul unui număr. Aceasta este prima notație general acceptată pentru semnul zero modern. Matematicienii indieni au inventat zero în toate cele trei sensuri ale sale. De exemplu, matematicianul indian Brahmagupta din secolul al VII-lea d.Hr. a început în mod activ să folosească numere negative și operații cu zero. Dar el a susținut că un număr împărțit la zero este zero, ceea ce este cu siguranță o greșeală, dar o adevărată îndrăzneală matematică, care a dus la o altă descoperire remarcabilă a matematicienilor indieni. Și în secolul al XII-lea, un alt matematician indian Bhaskara face o altă încercare de a înțelege ce se va întâmpla atunci când este împărțit la zero. El scrie: "O cantitate împărțită la zero devine o fracție al cărei numitor este zero. Această fracție se numește infinit."

Leonardo Fibonacci, în Liber abaci (1202), numește semnul 0 în arabă zephirum. Cuvântul zephirum este cuvântul arab as-sifr, care provine din cuvântul indian sunya, adică gol, care era numele de zero. De la cuvântul zephirum provine cuvântul francez zero (zero) și cuvântul italian zero. Pe de altă parte, din arabă a venit cuvântul as-sifr cuvânt rusesc număr. Până la mijlocul secolului al XVII-lea, acest cuvânt a fost folosit în mod specific pentru a desemna zero. Cuvântul latin nullus (niciunul) a intrat în uz pentru zero în secolul al XVI-lea.

Zero este un personaj unic. Zero este pur concept abstract, una dintre cele mai mari realizări ale omului. Nu există în natura din jurul nostru. Puteți face fără zero în numărătoarea mentală, dar este imposibil să faceți fără pentru înregistrarea precisă a numerelor. În plus, zero este în contrast cu toate celelalte numere și simbolizează o lume fără sfârșit. Și dacă „totul este număr”, atunci nimic este totul!

Baze utilizate în prezent:

10 - sistemul de numere zecimal obișnuit (zece degete pe mâini). Alfabetul: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - inventat în Babilonul antic: împărțirea unei ore în 60 de minute, a unui minut în 60 de secunde, a unui unghi în 360 de grade.

12 - distribuit de anglo-saxoni: sunt 12 luni intr-un an, doua perioade de 12 ore intr-o zi, 12 inci intr-un picior

7 - folosit pentru a număra zilele săptămânii

Sistem de numere de unitate

Nevoia de a scrie numere a început să apară printre oameni în cele mai vechi timpuri, după ce au învățat să numere. Dovadă în acest sens sunt descoperiri arheologice în locurile taberelor de oameni primitivi, care aparțin perioadei paleolitice ($10$-$11$ mii de ani î.Hr.). Inițial, numărul de obiecte a fost reprezentat folosind anumite semne: liniuțe, crestături, cercuri aplicate pe pietre, lemn sau lut, precum și noduri pe frânghii.

Poza 1.

Oamenii de știință numesc acest sistem de notație singur (unar), deoarece numărul din el este format din repetarea unui semn, care simbolizează unitatea.

Dezavantaje ale sistemului:

    atunci când scrieți un număr mare, trebuie să utilizați un numar mare de bastoane;

    este ușor să faci o greșeală atunci când aplici bastoanele.

Mai târziu, pentru a ușura numărarea, oamenii au început să combine aceste semne.

Exemplul 1

Exemple de utilizare a sistemului de numere de unități pot fi găsite în viața noastră. De exemplu, copiii mici încearcă să înfățișeze câți ani au pe degete sau folosesc bețișoare pentru a învăța să numere în clasa întâi.

Sistem unic nu foarte convenabil, deoarece intrările par foarte lungi și aplicarea lor este destul de plictisitoare, așa că în timp au început să apară sisteme numerice mai practice.

Aici sunt cateva exemple.

Sistemul de numere nepozițional zecimal egiptean antic

Acest sistem numeric a apărut în jurul anului 3000 î.Hr. ca urmare a faptului că locuitorii Egiptului Antic au venit cu propriul sistem numeric, în care, la desemnarea numerelor cheie $1$, $10$, $100$ etc. S-au folosit hieroglife, ceea ce era convenabil atunci când scria pe tăblițe de lut care înlocuiau hârtia. Din ele s-au format alte numere folosind adunarea. Mai întâi a fost scris numărul de ordinul cel mai înalt, apoi cel mai mic. Egiptenii s-au înmulțit și s-au împărțit, dublând constant numerele. Fiecare cifră poate fi repetată de până la $9$ ori. Exemple de numere ale acestui sistem sunt date mai jos.

Figura 2.

Sistemul numeric roman

Acest sistem nu este în principiu foarte diferit de cel precedent și a supraviețuit până în zilele noastre. Se bazează pe semne:

    $I$ (un deget) pentru numărul $1$;

    $V$ (palma deschisă) pentru $5$;

    $X$ (două mâini cupa) pentru $10$;

    pentru a desemna numerele $100$, $500$ și $1000$, s-au folosit primele litere ale cuvintelor latine corespunzătoare ( Centum- o sută, Demimille- jumătate de mie Mille- mie).

La compilarea numerelor, romanii foloseau următoarele reguli:

    Numărul este egal cu suma valorilor mai multor „cifre” identice situate într-un rând, formând un grup de primul tip.

    Numărul este egal cu diferența dintre valorile a două „cifre”, dacă cea mai mică este la stânga celei mai mari. În acest caz, valoarea valorii mai mici este scăzută din valoarea mai mare. Împreună formează un grup de al doilea fel. În acest caz, „cifra” din stânga poate fi mai mică decât cea din dreapta cu o comandă de maxim $1$: $L(50)$ și $C(100$) dintre cele „inferioare” pot fi precedate doar de $X( 10$), înainte de $D(500$ ) și $M(1000$) - numai $C(100$), înainte de $V(5) - I(1)$.

    Numărul este egal cu suma valorilor grupurilor și „numerelor” care nu sunt incluse în grupele $1$ sau $2$ ale formularului.

Figura 3

Numerele romane au fost folosite din cele mai vechi timpuri: ele indică date, numere de volume, secțiuni, capitole. Obișnuiam să cred că obișnuit cifre arabe poate fi falsificat cu ușurință.

Sisteme numerice alfabetice

Aceste sisteme numerice sunt mai perfecte. Acestea includ greci, slavi, fenicieni, evrei și altele. În aceste sisteme, numerele de la $1$ la $9$, precum și numărul de zeci (de la $10$ la $90$), sute (de la $100$ la $900$) au fost notate cu litere ale alfabetului.

În sistemul de numere alfabetic grecesc antic, numerele $1, 2, ..., 9$ erau notate cu primele nouă litere ale alfabetului grecesc și așa mai departe. Următoarele litere $9$ au fost folosite pentru a desemna numerele $10, 20, ..., 90$, iar ultimele $9$ au fost folosite pentru a desemna numerele $100, 200, ..., 900$.

Printre popoarele slave valori numerice literele au fost stabilite în ordinea alfabetului slav, care a folosit inițial alfabetul glagolitic, iar apoi alfabetul chirilic.

Figura 4

Observație 1

Sistemul alfabetic a fost folosit și în Rusiei antice. Până la sfârșitul secolului al XVII-lea, literele chirilice de $27$ erau folosite ca numere.

Sistemele numerice non-poziționale au o serie de dezavantaje semnificative:

    Există o nevoie constantă de a introduce noi caractere pentru a scrie numere mari.

    Nu este posibil să se reprezinte numere fracționale și negative.

    Este dificil să se efectueze operații aritmetice, deoarece nu există algoritmi pentru a le efectua.

 

Ar putea fi util să citiți: