Številski sistem se imenuje jezik samo za. Številski sistemi

V zgodnjih fazah razvoja družbe ljudje skoraj niso znali šteti. Ločili so sklope dveh in treh predmetov; vsaka zbirka, ki vsebuje večje število predmetov, je bila združena v koncept "mnogo". Pri štetju so predmete običajno primerjali s prsti na rokah in nogah. Z razvojem civilizacije je človeška potreba po štetju postala nujna. Sprva so bila naravna števila upodobljena z določenim številom črtic ali paličic, nato so se za njihovo upodobitev začele uporabljati črke ali posebni znaki. V starodavnem Novgorodu so uporabljali slovanski sistem, kjer so uporabljali črke slovanske abecede; Pri upodabljanju številk je bil nad njimi postavljen znak ~ (naslov).

Stari Rimljani so uporabljali številčenje, ki je do danes ostalo pod imenom "rimsko številčenje", pri katerem so številke predstavljene s črkami latinske abecede. Danes se uporablja za označevanje obletnic, oštevilčenje nekaterih strani knjige (na primer strani predgovora), poglavij v knjigah, kitic v pesmih itd. V kasnejši obliki so rimske številke videti takole:

jaz = 1; V = 5; X = 10; L = 50; C = 100; D = 500; M = 1000.

Zanesljivih podatkov o izvoru rimskih številk ni. Številka V bi prvotno lahko služila kot podoba roke, številka X pa bi lahko bila sestavljena iz dveh petic. V rimskem številčenju so jasno vidne sledi petkratnega številskega sistema. Vsa cela števila (do 5000) zapišemo s ponavljanjem zgornjih števil. Poleg tega, če je večja številka pred manjšo, potem se seštejejo, če pa je manjša pred večjo (v tem primeru ni mogoče ponoviti), potem se manjša odšteje od večje). Na primer, VI = 6, tj. 5 + 1, IV = 4, tj. 5 – 1, XL = 40, tj. 50 – 10, LX = 60, tj. 50 + 10. Enako število je postavljeno največ trikrat zapored: LXX = 70; LXXX = 80; številka 90 je zapisana XC (ne LXXXX).

Prvih 12 številk je napisanih z rimskimi številkami takole:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Druge številke so zapisane na primer kot:

XXVIII = 28; ХХХIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Izvajanje aritmetičnih operacij z večmestnimi števili v tem zapisu je zelo težko. Vendar je rimsko številčenje prevladovalo v Italiji do 13. stoletja, v drugih zahodnoevropskih državah pa do 16. stoletja.

V slovanskem sistemu številčenja so bile za zapis številk uporabljene vse črke abecede, čeprav z nekaj kršitvami abecednega reda. Različne črke so pomenile različno število enot, desetic in stotic. Na primer, številka 231 je bila zapisana kot ~ SLA (C – 200, L – 30, A – 1).

Za te sisteme sta značilni dve pomanjkljivosti, zaradi katerih so jih drugi izpodrinili: potreba veliko število razna znamenja, zlasti za slike velike številke, in kar je še pomembneje, neprijetnosti pri izvajanju aritmetičnih operacij.

Bolj priročen in splošno sprejet ter najbolj razširjen je decimalni številski sistem, ki so ga izumili v Indiji, si ga tam izposodili Arabci in nato čez nekaj časa prišel v Evropo. V decimalnem številskem sistemu je osnova število 10.

Obstajali so računski sistemi z drugimi osnovami. V starem Babilonu so na primer uporabljali šestdesetinski številski sistem. Njene ostanke najdemo v delitvi ure ali stopinje na 60 minut, minute pa na 60 sekund, ki se je ohranila do danes.

V starih časih je bil razširjen tudi dvanajstniški sistem, katerega izvor je verjetno povezan tako kot desetiškega s štetjem na prste: vzeli so falange (posamezne sklepe) štirih prstov ene roke, ki so se pri štetju premikali. kot števno enoto. palec ista roka. Ostanki tega številčnega sistema so se ohranili do danes, tako v ustnem govoru kot v običajih. Dobro znano je na primer ime enote druge kategorije - številka 12 - "ducat". Ohranila se je navada štetja številnih predmetov ne na desetine, ampak na desetine, na primer jedilni pribor v servisu ali stoli v pohištvenem kompletu. Ime tretjemestne enote v dvanajstiškem sistemu - bruto - je zdaj redko, vendar je v trgovski praksi na začetku stoletja še vedno obstajalo. Na primer v pesmi, napisani leta 1928 Pljuškin V. V. Majakovski je v posmeh ljudem, ki kupujejo vse po vrsti, zapisal: "... Kupil sem dvanajst grosov palic." Številna afriška plemena in Starodavna Kitajska Uporabljen je bil petkratni številski sistem. V Srednji Ameriki (med starimi Azteki in Maji) in med tistimi, ki so naselili Zahodna Evropa Stari Kelti so uporabljali decimalni sistem. Vsi so povezani tudi s štetjem na prste.

Najmlajši številski sistem se lahko upravičeno šteje za binarni. Ta sistem ima številne lastnosti, zaradi katerih je zelo ugoden za uporabo v računalniških strojih in sodobnih računalnikih.

Pozicijski in nepozicijski številski sistemi.

Raznolikost različne sistemeŠtevilke, ki so obstajale prej in se uporabljajo v našem času, lahko razdelimo na nepozicijske in pozicijske. Znake, s katerimi pišemo številke, imenujemo števke.

V nepozicijskih številskih sistemih položaj števke v zapisu števila ni odvisen od vrednosti, ki jo predstavlja. Primer nepozicijskega številskega sistema je rimski sistem, ki kot številke uporablja latinične črke.

V pozicijskih številskih sistemih je vrednost, ki jo označuje števka v številu, odvisna od njenega položaja. Število uporabljenih števk se imenuje osnova številskega sistema. Mesto vsake števke v številu se imenuje položaj. Prvi nam znani sistem, ki temelji na pozicijskem principu, je babilonski seksagezimal. Številke v njem so bile dveh vrst, od katerih je ena označevala enote, druga pa desetice.

Vendar se je izkazalo, da je najpogosteje uporabljen indoarabski decimalni sistem. Indijci so bili prvi, ki so z ničlo označevali položajni pomen količine v številskem nizu. Ta sistem se imenuje decimalni , ker ima deset števk.

Razliko med pozicijskimi in nepozicijskimi številskimi sistemi najlažje razumemo s primerjavo dveh števil. V pozicijskem številskem sistemu se primerjava dveh števil zgodi na naslednji način: v obravnavanih številkah se od leve proti desni primerjajo števke na istih položajih. Večje število ustreza večji vrednosti števila. Na primer, za števili 123 in 234 je 1 manj kot 2, torej je 234 večje od 123. V nepozicijskem številskem sistemu to pravilo ne velja. Primer tega bi bila primerjava dveh števil IX in VI. Čeprav je I manjši od V, je IX večji od VI.

Pozicijski številski sistemi.

Osnova številskega sistema, v katerem je zapisano število, je običajno označena z indeksom. Na primer, 555 7 je število, zapisano v decimalnem številskem sistemu. Če je število zapisano v decimalnem sistemu, potem osnova običajno ni navedena. Osnova sistema je prav tako število, navedli pa ga bomo v običajnem decimalnem sistemu. Na splošno številka x lahko predstavimo v sistemu z bazo str, Kako x = a n· p n+a n- 1 · p n–1 + a 1· str 1 + a 0· str 0, kje a n...a 0 – števke v predstavitvi danega števila. na primer

1035 10 =1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;

1010 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 10.

Največje zanimanje pri delu na računalniku so številski sistemi z osnovami 2, 8 in 16. Na splošno so ti številski sistemi običajno dovolj za polno delo tako osebe kot računalnika, vendar včasih zaradi različnih okoliščin , se morate še vedno obrniti na druge številske sisteme, kot so trojni, septalni ali osnovni 32.

Če želite delati s številkami, zapisanimi v takih netradicionalnih sistemih, morate upoštevati, da se načeloma ne razlikujejo od običajnega decimalnega sistema. Seštevanje, odštevanje in množenje v njih se izvajajo po isti shemi.

Zakaj se ne uporabljajo drugi številski sistemi? Predvsem zato, ker v Vsakdanje življenje ljudje so navajeni uporabljati decimalni številski sistem in noben drug ni potreben. V računalnikih se uporablja binarni številski sistem, saj je s števili, zapisanimi v dvojiški obliki, zelo enostavno delati.

Šestnajstiški sistem se pogosto uporablja v računalništvu, saj je pisanje števil v njem veliko krajše od zapisovanja števil v dvojiškem sistemu. Lahko se pojavi vprašanje: zakaj ne bi uporabili številskega sistema, na primer osnove 50, za pisanje zelo velikih števil? Tak številski sistem zahteva 10 navadnih števk in 40 znakov, ki bi ustrezali številkam od 10 do 49, in malo verjetno je, da bi kdo želel delati s temi štiridesetimi znaki. Zato v resnično življenje Sistemi števil, ki temeljijo na bazah, večjih od 16, se praktično ne uporabljajo.

Pretvarjanje števil iz enega številskega sistema v drugega.

Najpogostejši številski sistemi so binarni, šestnajstiški in decimalni. Kako so predstavitve števil med seboj povezane? različne sisteme mrtev obračun? Jejte različne načine pretvarjanje števil iz enega številskega sistema v drugega na konkretnih primerih.

Recimo, da moramo število 567 pretvoriti iz decimalne v dvojiško. Najprej se določi največja potenca dvojke, tako da je dva na to potenco manjša ali enaka prvotnemu številu. IN v tem primeru to je 9, ker 2 9 = 512 in 2 10 = 1024, kar je večje od začetne številke. To daje število števk v rezultatu; enako je 9 + 1 = 10, tako da bo rezultat videti kot 1 xxxxxxxxxxxxx, kjer namesto X Lahko so poljubne binarne števke. Drugo števko rezultata najdemo takole - dve dvignemo na potenco števila 9 in odštejemo od prvotnega števila: 567 - 2 9 = 55. Ostanek primerjamo s številom 2 8 = 256. Ker je 55 manj kot 256, deveta številka je nič, tj. rezultat izgleda kot 10 xxxxxxxxxxx. Razmislimo o osmi kategoriji. Ker je 2 7 = 128 > 55, bo tudi nič.

Tudi sedma številka se izkaže za nič. Zahtevana binarna predstavitev števila ima obliko 1000 xxxxxxxx. 2 5 = 32 xxxxx). Za preostanek 55 – 32 = 23 velja naslednja neenakost: 2 4 = 16

567 = 1·2 9 + 0·2 8 + 0·2 7 + 0·2 6 + 1·2 5 + 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0

Druga metoda pretvorbe števil uporablja operacijo deljenja stolpcev. Če vzamete isto število 567 in ga delite z 2, dobite količnik 283 in preostanek je 1. Enako operacijo izvedete s številom 283. Količnik je 141, preostanek je 1. Spet dobljeni količnik delimo za 2 in tako naprej, dokler količnik ne bo manjši od delitelja. Zdaj, da bi dobili število v binarnem številskem sistemu, je dovolj, da zapišemo zadnji količnik, tj. 1, in mu v obratnem vrstnem redu dodajte vse ostanke, dobljene med postopkom delitve.

Rezultat se seveda ni spremenil: 567 je v dvojiškem številskem sistemu zapisano kot 1.000.110.111.

Ti dve metodi sta uporabni pri pretvorbi števila iz decimalnega sistema v sistem s katero koli osnovo. Na primer, pri pretvorbi števila 567 v osnovo 16 se število najprej razširi v potence osnove. Zahtevana številka je sestavljena iz treh števk, ker 16 2 = 256 xx, kjer je namesto X Lahko so poljubne šestnajstiške številke. Ostaja še razdelitev števila 55 (567 – 512) med naslednje števke. 3 16 = 48

Druga metoda je sestavljena iz zaporedne delitve v stolpec, pri čemer je edina razlika v tem, da ne morate deliti z 2, ampak s 16, postopek deljenja pa se konča, ko količnik postane strogo manjši od 16.

Seveda, če želite zapisati številko v šestnajstiški obliki, morate 10 zamenjati z A, 11 z B in tako naprej.

Operacija pretvorbe v decimalni sistem je videti veliko enostavnejša, saj je vsako decimalno število mogoče predstaviti kot x = a 0· p n + a 1· p n–1 +... + a n-1· str 1 + a n· str 0, kje a 0 ... a n– to so števke danega števila v številskem sistemu z osnovo str.

Na primer, tako lahko pretvorite število 4A3F v decimalni sistem. Po definiciji je 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. Če zamenjamo A z 10 in F s 15, dobimo 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007 .

Najlažji način za pretvorbo števil iz binarni sistem v sisteme z osnovo, ki je enaka potenci dvojke (8 in 16), in obratno. Za pisanje celega binarnega števila v številskem sistemu z osnovo 2 n, morate to binarno število razdeliti od desne proti levi v skupine glede na n- številke v vsakem; če zadnja leva skupina vsebuje manj kot n števk, potem zahtevanemu številu števk dodajte ničle; obravnavajte vsako skupino kot n-bitno binarno število in ga nadomestite z ustrezno števko v številskem sistemu z osnovo 2 n .

Tabela 1. Dvojiška šestnajstiška tabela
Tabela 1. BINARNA-HEX TABELA
2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16 0 1 2 3 4 5 6 7
2 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16 8 9 A B C D E F

Slavni francoski astronom, matematik in fizik Pierre Simon Laplace (1749–1827) je pisal o zgodovinski razvojštevilski sistemi, da je »Ideja, da bi vsa števila izrazili z devetimi znaki in jim dali poleg pomena v obliki tudi pomen na mestu, tako preprosta, da je prav zaradi te preprostosti težko razumeti, kako neverjetno je. Kako težko je bilo priti do te metode, vidimo na primeru največjih genijev grškega učenja, Arhimeda in Apolonija, ki jima je ta ideja ostala skrita.«

Primerjava decimalnega številskega sistema z drugimi pozicijskimi sistemi je matematikom in oblikovalcem omogočila, da so razkrili neverjetne zmožnosti sodobnih nedecimalnih številskih sistemov, ki so zagotovili razvoj računalniške tehnologije.

Anna Chugainova

Enotski (unarni) številski sistem Seznam številskih sistemov

Zapis:

  • daje predstavitve množice števil (cela in/ali realna);
  • daje vsakemu številu edinstveno predstavitev (ali vsaj standardno predstavitev);
  • odraža algebraično in aritmetično strukturo števil.

Številske sisteme delimo na pozicijski, nepozicijski in mešano.

Pozicijski številski sistemi

V pozicijskih številskih sistemih ima enak številski predznak (števka) v zapisu števila različne pomene odvisno od kraja (kategorije), kjer se nahaja. Izum pozicijskega številčenja, ki temelji na mestnem pomenu števk, pripisujejo Sumercem in Babiloncem; Takšno številčenje so razvili Hindujci in je imelo neprecenljive posledice v zgodovini človeške civilizacije. Takšni sistemi vključujejo sodobni decimalni številski sistem, katerega nastanek je povezan s štetjem na prste. V srednjeveški Evropi se je pojavil prek italijanskih trgovcev, ti pa so si ga izposodili od muslimanov.

Pozicijski številski sistem se običajno nanaša na -bogati številski sistem, ki ga določa klicano celo število osnovaštevilski sistemi. Celo število brez predznaka v -arnem številskem sistemu je predstavljeno kot končna linearna kombinacija potenc števila:

, kjer so klicana cela števila v številkah, ki izpolnjuje neenakost.

Vsaka stopnja v takem zapisu se imenuje utež ranga. Starost števk in njihovih ustreznih števk je določena z vrednostjo indikatorja (številka števke). Običajno so v številih, ki niso nič, leve ničle izpuščene.

Če ni odstopanj (na primer, ko so vse številke predstavljene v obliki edinstvenih pisnih znakov), je številka zapisana kot zaporedje svojih alfanumeričnih števk, navedenih v padajočem vrstnem redu števk od leve proti desni:

Na primer številka sto tri predstavljen v decimalnem številskem sistemu kot:

Najpogosteje uporabljeni pozicijski sistemi so:

V pozicijskih sistemih, večja kot je osnova sistema, manjše število števk (to je pisnih števk) je potrebno pri zapisu števila.

Mešani številski sistemi

Mešani številski sistem je posplošitev -rich številskega sistema in se pogosto nanaša tudi na pozicijske številske sisteme. Osnova mešanega številskega sistema je naraščajoče zaporedje števil, vsako število v njem pa je predstavljeno kot linearna kombinacija:

, kjer se koeficienti imenujejo kot prej v številkah veljajo nekatere omejitve.

Pisanje števila v mešanem številskem sistemu je navajanje njegovih števk v padajočem vrstnem redu indeksa, začenši s prvo, ki ni nič.

Glede na vrsto kot funkcijo so mešani številski sistemi lahko potenčni, eksponentni itd. Kadar za nekatere mešani številski sistem sovpada z eksponentno bogatim številskim sistemom.

Najbolj znan primer mešanega številskega sistema je predstavitev časa kot števila dni, ur, minut in sekund. V tem primeru vrednost "dnevi, ure, minute, sekunde" ustreza vrednosti sekund.

Faktorski številski sistem

IN faktorski številski sistem baze so zaporedje faktorielov in vsako naravno število je predstavljeno kot:

, Kje .

Faktorski številski sistem se uporablja, ko dekodiranje permutacij s seznami inverzij: če imate številko permutacije, jo lahko reproducirate na naslednji način: število, ki je za ena manjše od števila (številčenje se začne od nič), je zapisano v sistemu faktorskih števil, koeficient števila i! bo označeval število inverzij za element i+1 v množici, v kateri so narejene permutacije (število elementov, ki so manjši od i+1, vendar se nahajajo desno od njega v želeni permutaciji)

Primer: razmislite o nizu permutacij 5 elementov, skupaj jih je 5! = 120 (od permutacijske številke 0 - (1,2,3,4,5) do permutacijske številke 119 - (5,4,3,2,1)), poiščemo 101. permutacijo: 100 = 4!* 4 + 3!*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; naj bo ti koeficient pri številu i!, tedaj je t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, tedaj: število elementov, ki so manjši od 5, vendar se nahajajo desno, je 4; število elementov, manjše od 4, vendar na desni strani, je 0; število elementov manjše od 3, vendar na desni strani je 2; število elementov, ki je manjše od 2, vendar se nahaja desno, je 0 (zadnji element v permutaciji je "postavljen" na edino preostalo mesto) - tako bo 101. permutacija videti tako: (5,3,1,2 ,4) Preverjanje te metode je mogoče izvesti z neposrednim štetjem inverzij za vsak element permutacije.

Fibonaccijev številski sistem temelji na Fibonaccijevih številih. Vsako naravno število je predstavljeno v obliki:

, kjer so Fibonaccijeva števila, koeficienti pa imajo končno število enic in ni dveh zaporedoma.

Nepozicijski številski sistemi

V nepozicijskih številskih sistemih vrednost, ki jo označuje števka, ni odvisna od njenega položaja v številu. V tem primeru lahko sistem naloži omejitve glede položaja številk, na primer tako, da so razvrščene v padajočem vrstnem redu.

Binomski številski sistem

Predstavitev z binomskimi koeficienti

, Kje .

Sistem preostalih razredov (RSS)

Predstavitev števila v sistemu razredov ostankov temelji na konceptu ostanka in kitajskem izreku o ostankih. RNS je določen z nizom relativno praštevil moduli s produktom tako, da je vsako celo število iz segmenta povezano z nizom ostankov, kjer

…

Hkrati kitajski izrek o ostankih zagotavlja edinstvenost predstavitve števil iz intervala.

V RNS se aritmetične operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje) izvajajo po komponentah, če je znano, da je rezultat celo število in prav tako leži v .

Slabosti RNS so zmožnost predstavitve le omejenega števila števil, pa tudi pomanjkanje učinkovitih algoritmov za primerjavo števil, predstavljenih v RNS. Primerjava se običajno izvaja s prevajanjem argumentov iz RNS v mešani radix številski sistem.

Stern-Brocotov številski sistem- način beleženja pozitivnega racionalna števila, ki temelji na Stern–Brocotovem drevesu.

Številski sistemi različnih narodov

Številski sistem enot

Očitno kronološko prvi številski sistem vsakega naroda, ki je obvladal štetje. Naravno število predstavljamo s ponavljanjem istega znaka (pomišljaja ali pike). Če želite na primer prikazati številko 26, morate narisati 26 črt (ali narediti 26 zarez na kosti, kamnu itd.). Kasneje so ti znaki zaradi lažjega zaznavanja velikih števil združeni v skupine po tri ali pet. Nato se enake prostorninske skupine znakov začnejo nadomeščati z novim znakom - tako nastanejo prototipi prihodnjih številk.

Staroegipčanski številski sistem

Babilonski številski sistem

Abecedni številski sistemi

Abecedne številske sisteme so uporabljali stari Armenci, Gruzijci, Grki (jonski številski sistem), Arabci (abjadia), Judje (glej gematrija) in drugi narodi Bližnjega vzhoda. V slovanskih bogoslužnih knjigah je bil grški abecedni sistem preveden v cirilico.

Židovski številski sistem

Grški številski sistem

Rimski številski sistem

Kanonični primer skoraj nepozicijskega številskega sistema je rimski, ki kot številke uporablja latinske črke:
stojim za 1,
V - 5,
X - 10,
L - 50,
C - 100,
D - 500,
M - 1000

Na primer, II = 1 + 1 = 2
tukaj simbol I pomeni 1 ne glede na mesto v številu.

Pravzaprav rimski sistem ni popolnoma nepozicijski, saj se od njega odšteje manjša številka, ki je pred večjo, na primer:

IV = 4, medtem ko:
VI = 6

Majevski številski sistem

Poglej tudi

Opombe

Povezave

  • Gaškov S. B.Številski sistemi in njihove uporabe. - M.: MTsNMO, 2004. - (Knjižnica “Matematično izobraževanje”).
  • Fomin S.V.Številski sistemi. - M.: Nauka, 1987. - 48 str. - (Poljudna predavanja o matematiki).
  • Yaglom I.Številski sistemi // Kvantna. - 1970. - Št. 6. - Str. 2-10.
  • Števila in številski sistemi. Spletna enciklopedija okoli sveta.
  • Stakhov A. Vloga številskih sistemov v zgodovini računalnikov.
  • Mikushin A.V. Sistemi števil. Tečaj predavanj "Digitalne naprave in mikroprocesorji"
  • Butler J. T., Sasao T. Redundant Multiple-Valued Number Systems Članek obravnava številske sisteme, ki uporabljajo števke, večje od ena, in omogočajo redundanco v predstavitvi števil

Fundacija Wikimedia. 2010.

Pošljite svoje dobro delo v bazo znanja je preprosto. Uporabite spodnji obrazec

Dobro opravljeno na spletno mesto">

Študenti, podiplomski študenti, mladi znanstveniki, ki bazo znanja uporabljajo pri študiju in delu, vam bodo zelo hvaležni.

Objavljeno na http://www.allbest.ru/

NAZIV ŠTUDIJSKE HIPOTEKE

” Vrste številskih sistemov ”

Koncept številskega sistema. Vrste številskih sistemov

Notacija-- zbirka več imen in znakov, ki vam omogoča, da zapišete poljubno številko in jo poimenujete.

Zapis:

· daje predstavitve množice števil (cela in/ali realna);

· daje vsakemu številu edinstveno predstavitev (ali vsaj standardno predstavitev);

· odraža algebraično in aritmetično strukturo števil.

Številske sisteme delimo na:

· Položajni;

· Nepozicijski;

· Mešano.

Pozicijski številski sistemi

Pozicijski številski sistem je sistem, v katerem je pomen vsake števke odvisen od njenega številskega ekvivalenta in od njenega mesta (položaja) v številu, tj. isti simbol (številka) ima lahko različne pomene.

Izum pozicijskega številčenja, ki temelji na krajevnem pomenu števil, pripisujejo Sumercem in Babiloncem. Takšno številčenje so razvili Hindujci in je imelo neprecenljive posledice v zgodovini človeške civilizacije.

Najbolj znan pozicijski številski sistem je decimalni številski sistem, katerega izvor povezujemo s štetjem na prste. V srednjeveški Evropi se je pojavil prek italijanskih trgovcev, ti pa so si ga izposodili od muslimanov.

Za vsak pozicijski številski sistem je značilna osnova. Osnova ali osnova (n) naravnega pozicijskega številskega sistema je število znakov ali simbolov, ki se uporabljajo za predstavitev števila v danem sistemu. Zato je možnih neskončno število položajnih sistemov, ker vsako naravno število n>1 lahko vzamemo za osnovo, ki tvori nov sistem Obračun.

Pri predstavitvi ali zapisu določenega števila v pozicijskem številskem sistemu se ustrezne števke števila postavijo na posamezna zahtevana mesta, ki jih običajno imenujemo števke števila v danem pozicijskem številskem sistemu. Število števk v številu se imenuje bitna globina števila in sovpada z njegovo dolžino.

Splošni številski sistem lahko definiramo kot skupino celih in delnih števil, v kateri je vsako od njih predstavljeno s formulo:

kjer je x poljubno število, zapisano v številskem sistemu z osnovo n; simbol ai je koeficient serije, tj. i-ta številka zapisa številke; k, m -- število celih oziroma delnih števk.

Vsaka potenca nk v takem zapisu se imenuje utežni koeficient ranga. Seniornost števk in njihovih ustreznih števk je določena z vrednostjo indikatorja k (številka številke). Število števk v pozicijskem številskem sistemu se šteje v celem delu levo od decimalne vejice in v delnem delu - desno od decimalne vejice. Poleg tega se oštevilčenje števk začne od 0. Vrednost osnove pozicijskega številskega sistema določa njegovo ime: za decimalni sistem bo 10, za oktalni sistem bo 8, za binarni sistem bo 2 itd. Običajno se namesto imena številskega sistema uporablja izraz "številska koda". Na primer, koncept binarne kode pomeni število, predstavljeno v binarnem številskem sistemu, koncept decimalne kode pomeni število, predstavljeno v decimalnem številskem sistemu itd.

Če ni odstopanj (na primer, ko so vse številke predstavljene kot edinstveni pisni znaki), je število x zapisano kot zaporedje svojih n-arnih števk, navedenih v padajočem vrstnem redu števk od leve proti desni:

Najpogosteje uporabljeni pozicijski sistemi so:

· 2 -- binarno (v diskretni matematiki, računalništvu, programiranju);

· 3 - ternary (v ternary računalnikih (na primer "Setun"));

· 8 -- osmiško (uporablja se v programiranju, računalništvu);

· 10 -- decimalno (uporablja se povsod);

· 12 - dvanajstnik (štetje v desetinah);

· 16 -- šestnajstiško (uporablja se v programiranju, računalništvu);

· 60 -- sexagesimal (enote za čas, merjenje kotov in zlasti koordinat, dolžine in širine).

V pozicijskih sistemih, večja kot je osnova sistema, manjše število števk (to je pisnih števk) je potrebno pri zapisu števila.

Dvojiški številski sistem-- pozicijski številski sistem z osnovo 2. Zahvaljujoč neposredni izvedbi v digitalnih elektronskih vezjih z uporabo logičnih vrat se binarni sistem uporablja v skoraj vseh sodobnih računalnikih in drugih računalniških elektronskih napravah. V dvojiškem številskem sistemu so števila zapisana z dvema znakoma (0 in 1). V izogib zmedi glede tega, v katerem številskem sistemu je številka zapisana, je opremljena z indikatorjem spodaj desno. Število v decimalnem sistemu je na primer 510, v binarnem pa 1012. Včasih je binarno število označeno s predpono 0b, na primer 0b101.

Pravila prevajanja

Pretvarjanje iz poljubnega številskega sistema v decimalni številski sistem

Če želite pretvoriti celo število iz katerega koli številskega sistema v decimalno, morate to številko zapisati v splošni obliki:

anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0

Na primer: pretvorimo število 12568 v decimalni številski sistem.

12568=1·8 3 +2·8 2 +5·8 1 +6·8 0 =1·512+2·64+5·8+6·1=68610.

Pretvarjanje števila iz decimalnega številskega sistema v drug sistem

1) Dano število delite z osnovo sistema, v katerega je treba število pretvoriti.

2) Na podoben način razdelite dobljeno število z osnovo sistema, v katerega je treba število pretvoriti.

3) Ponavljajte točko 2, dokler dobljeni količnik ni manjši od osnove.

4) Izpiši ostanke pri deljenju po vrsti od zadnjega do prvega.

Pravilo za pretvorbo števil iz binarnih v oktalne

1) Trimestno število razdelimo v skupine, začenši z najnižjo števko.

Če manjkajo do tri števke, dodajte potrebno število ničel na levo.

2) Vsako nastalo trojko števk nadomestimo s števko iz osmiškega številskega sistema.

Binarne triade

Osmiške števke

3) Ulomek razdelimo na trojčke desno od decimalne vejice.

Pretvorba števil iz binarnih v šestnajstiška

1) Štirimestno število razdelimo v skupine, začenši z najnižjo števko.

Če manjkajo do cele štiri števke, dodajte potrebno število ničel na levo.

2) Vsako nastalo štiri števko nadomestimo s številko iz osmiškega številskega sistema.

3) Ulomek razdelimo na četverice desno od decimalne vejice.

Če je številk premalo, potem na desno pripišemo ničle.

Pravilo za pretvorbo števil iz osmiškega številskega sistema v dvojiški

1) Zamenjajte vsako števko danega osmiškega števila z ustreznim dvojiškim ekvivalentom.

2) Če ni dovolj števk, da dosežemo celotno trojko, potem tej trojki dodamo manjkajoče število ničel na levi strani.

Pretvarjanje števil iz šestnajstiškega v dvojiško

1) Zamenjajte vsako števko danega šestnajstiškega števila z ustreznim dvojiškim ekvivalentom.

2) Če ni dovolj številk, da bi dosegli polno štirico, potem tej štirici dodamo manjkajoče število ničel na desno.

Nenavadni pozicijski številski sistemi

Nenavadne številke niso pogosto uporabljene, vendar so lahko zanimive s teoretičnega vidika. Med nenavadnimi številskimi sistemi lahko izpostavimo: številko pozicijsko simbolno znamenje

· številski sistemi z nenaravnimi osnovami

o negativno,

o neracionalno,

o zapleteni (npr.: 1 + i);

· številski sistemi z več bazami;

o ugnezdeni (binarno-decimalno, decimalno-šestnajstiško itd.)

· številski sistemi z nestandardnimi nizi števil:

z množico števil, ki je simetrična glede na nič.

Številski sistemi z negativnimi osnovami

Negativne osnove vam omogočajo, da izrazite negativna števila brez dodajanja dodatnega znaka za znak. Za izražanje števil se uporablja isti nabor števil kot za sistem z naravno osnovo, ki je enaka absolutni vrednosti. Tako imajo lihe števke števila negativno težo.

Številski sistemi z iracionalno osnovo

Iracionalno število oblike lahko izrazimo v številskem sistemu z iracionalno osnovo s pomočjo števil.

Številski sistemi s kompleksno osnovo

Tako kot sistemi negativnih baz tudi kompleksne baze omogočajo izražanje kompleksnih števil.

Za to se osnova številskega sistema vzame na naslednji način:

ki izpolnjuje pogoj - število števk v nizu.

Osnovni sistemi z ugnezdenimi bazami

Če števke številskega sistema z večjo osnovo predstavimo s števili v številskem sistemu z manjšo osnovo, potem dobimo posebno sestavljeno vrsto številskega sistema.

Decimalno-šestnajstiški številski sistem, ki se uporablja za merjenje časa, je dobro znan - ure, minute in sekunde, zapisane v decimalnem sistemu, se tukaj pojavljajo kot številke šestdesetičnega številskega sistema. Ta sistem je prišel iz Babilona, ​​kjer se je za zapisovanje števil pogosto uporabljal šestdesetinski sistem, ki je temeljil le na treh klinopisnih črkah:

· navpični klin - enota izpusta;

· vogal klinov - deset rang;

· poševni klin - ničla, prazna cifra;

V računalništvu se uporablja binarni decimalni številski sistem. Binarne števke so združene v skupine po štiri, kjer vsaka tetrada (tetrad, nibble) kodira eno decimalno števko. To vam omogoča delo z napravami, ki imajo decimalni prikaz in vnos brez pretvorbe številskih sistemov.

Nestandardne množice števil, množice simetrične glede na ničlo

Alternativni način zapisovanja negativnih števil brez uporabe znaka minus (razen negativnih osnov) je uporaba negativno uteženih števk. V tem primeru ni treba povečati števila različnih števk za zapis števila - namesto niza lahko uporabite kateri koli tip niza.

V zvezi s tem je izjemna uporaba simetričnega nabora števil. Če vzamemo številski sistem z liho osnovo tipa 2 str+ 1, potem bo nabor števil videti takole.

Ta pristop je našel uporabo v trojnih računalnikih (na primer "Setun").

Mešani številski sistem

Mešani številski sistem je posplošitev n-arnega številskega sistema in se pogosto nanaša tudi na pozicijske številske sisteme. Osnova mešanega številskega sistema je naraščajoče zaporedje števil, vsako število v njem pa je predstavljeno kot linearna kombinacija:

Odvisno od vrste ni kot funkcije so mešani številski sistemi lahko potenčni, eksponentni, faktorialni, Fibonaccijevi itd. Ko je za nekaj n, mešani številski sistem sovpada z eksponentnim n-arnim številskim sistemom.

Najbolj presenetljiv primer mešanega številskega sistema je predstavitev časa kot števila dni, ur, minut in sekund. V tem primeru vrednost "d dni, h ur, m minut, s sekund" ustreza vrednosti

Nepozicijski številski sistemi

Nepozicijski številski sistem-- je sistem, za katerega pomen simbola, tj. števila, ni odvisna od njegovega položaja v številu. V tem primeru lahko sistem naloži omejitve glede položaja številk, na primer tako, da so razvrščene v padajočem vrstnem redu.

Binomski številski sistem

V binomskem številskem sistemu je število x predstavljeno kot vsota binomskih koeficientov:

Za vsako fiksno vrednost n je vsako naravno število predstavljeno na edinstven način.

Sistem preostalih razredov (RSS)

Predstavitev števila v sistemu rezidualnih razredov temelji na konceptu ostanka in kitajskem izreku o ostanku. RNS je določen z nizom po parih soprostih moduli s produktom tako, da je vsako celo število iz segmenta povezano z nizom ostankov, kjer

RNS zagotavlja edinstveno predstavitev števil iz intervala

V RNS se aritmetične operacije (seštevanje, odštevanje, množenje, deljenje) izvajajo po komponentah, če je znano, da je rezultat celo število in prav tako leži v .

Slabosti RNS so zmožnost predstavitve le omejenega števila števil, pa tudi pomanjkanje učinkovitih algoritmov za primerjavo števil, predstavljenih v RNS.

Zgodovinski številski sistemi

Številski sistem enot

Kronološko prvi številski sistem vsakega naroda, ki je obvladal štetje. Naravno število predstavljamo s ponavljanjem istega znaka (pomišljaja ali pike). Kasneje so ti znaki zaradi lažjega zaznavanja velikih števil združeni v skupine po tri ali pet. Nato se enake prostorninske skupine znakov začnejo nadomeščati z novim znakom - tako nastanejo prototipi prihodnjih številk.

Petkratni številski sistem (štetje s petamim)

Obstajal v Rusiji. Ljudje so ga uporabljali vsaj do konca 18. stoletja - začetku XIX stoletja

Staroegipčanski številski sistem

Starodavni egipčanski decimalni nepozicijski številski sistem je nastal v drugi polovici tretjega tisočletja pr. e. Za označevanje števil 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 so bile uporabljene posebne številke. Številke v egipčanskem številskem sistemu so bile zapisane kot kombinacije teh števk, pri čemer se je vsaka številka ponovila največ devetkrat. Vrednost števila je enaka preprosti vsoti vrednosti števk, vključenih v njegov zapis.

Abecedni številski sistemi

Abecedne številske sisteme so uporabljali stari Armenci, Gruzijci, Grki (jonski številski sistem), Arabci (Abjadiya), Judje in drugi narodi Bližnjega vzhoda. V slovanskih bogoslužnih knjigah je bil grški abecedni sistem preveden v cirilico.

Rimski številski sistem

Kanonični primer skoraj nepozicijskega številskega sistema je rimski, ki kot številke uporablja latinske črke:

stojim za 1,

Rimski sistem ni popolnoma nepozicijski, saj se od njega odšteje manjša cifra, ki je pred večjo.

Majevski številski sistem

Maji so uporabljali številski sistem z osnovo 20 z eno izjemo: druga številka ni imela 20, ampak 18 stopinj, to je, da je številu 17 19 takoj sledilo število 1 0 0. To je bilo storjeno za lažje izračune koledarja. cikla, saj je 1 0 0 = 360 približno enako številu dni v sončnem letu.

Za snemanje so bili glavni znaki pike (enote) in segmenti (petice).

Inkovski quipu

Prototip podatkovnih zbirk, ki so se pogosto uporabljale v osrednjih Andih (Peru, Bolivija) za državne in javne namene v 1.-2. tisočletju našega štetja. e., obstajala vozlasta pisava Inkov - quipu, ki je bila sestavljena iz številskih vnosov v decimalnem sistemu in neštevilčnih vnosov v binarnem kodirnem sistemu. Sklad je uporabljal primarne in sekundarne ključe, pozicijska števila, barvno kodiranje in serializacijo ponavljajočih se podatkov. Prvič v zgodovini človeštva je bil qipu uporabljen za uporabo takšne metode računovodstva kot dvojni vnos.

Bibliografija

1. A. G. Cipkin. "Priročnik za matematiko za srednje šole"

Objavljeno na Allbest.ru

...

Podobni dokumenti

    Koncept in matematična vsebina številskih sistemov, njihove sorte in področje uporabe. Lastnosti in značilnosti pozicijskih in nepozicijskih, binarnih in decimalnih številskih sistemov. Postopek pretvorbe števil iz enega sistema v drugega.

    predstavitev, dodana 10.11.2010

    Številski sistem, ki se uporablja v sodobni matematiki, uporablja se v računalnikih. Pisanje števil z rimskimi številkami. Pretvarjanje decimalnih števil v druge številske sisteme. Pretvarjanje ulomkov in mešanih binarnih števil. Aritmetika v pozicijskih številskih sistemih.

    povzetek, dodan 09.07.2009

    Študij zgodovine številskih sistemov. Opis enot in binarnih številskih sistemov, starogrško, slovansko, rimsko in babilonsko številčenje mest. Analiza binarnega kodiranja v računalniku. Pretvarjanje števil iz enega številskega sistema v drugega.

    test, dodan 11.4.2013

    Nabor tehnik in pravil za pisanje in branje številk. Opredelitev pojmov: številski sistem, številka, število, števka. Klasifikacija in določitev baze številskih sistemov. Razlika med številom in števko, pozicijskimi in nepozicijskimi številskimi sistemi.

    predstavitev, dodana 15.04.2015

    Koncept številskega sistema. Zgodovina razvoja številskih sistemov. Pojem naravnega števila, ordinalne relacije. Značilnosti decimalnega številskega sistema. Splošna vprašanja preučevanje številčenja nenegativnih celih števil v začetni tečaj matematika.

    tečajna naloga, dodana 29.04.2017

    Matematična teorija števil. Koncept številskih sistemov. Uporaba binarnega številskega sistema. Računalniška tehnologija in informacijska tehnologija. Abecedno neenotno binarno kodiranje. Prednosti in slabosti binarnega številskega sistema.

    povzetek, dodan 25.12.2014

    Zgodovina razvoja številskih sistemov. Nepozicijski, pozicijski in decimalni številski sistemi. Uporaba številskih sistemov v računalniški tehnologiji in Informacijska tehnologija. Binarno kodiranje informacij v računalniku. Konstrukcija binarnih kod.

    tečajna naloga, dodana 21.06.2010

    Seznanitev s pisanjem števil v abecednem številskem sistemu. Značilnosti določanja številčnih vrednosti črk y Slovanski narodi. Razmislek o zapisovanju velikih števil v slovanskem številskem sistemu. Oznake "teme", "legije", "leordi" in "palube".

    predstavitev, dodana 30.09.2012

    Definicije številskega sistema, števila, števila, abeceda. Vrste številskih sistemov. Prednosti in slabosti binarnih kod. Pretvarjanje šestnajstiškega sistema v osmiškega in njegovo razdeljevanje na tetrade in triade. Rešitev Bachetovega problema z metodo ternarnega uravnoteženega sistema.

    predstavitev, dodana 20.06.2011

    Bistvo binarnih, osmiških in šestnajstiških številskih sistemov, njihova značilne značilnosti in medsebojno povezovanje. Primer algoritmov za pretvorbo števil iz enega sistema v drugega. Sestavljanje tabele resnic in logičnega diagrama za dane logične funkcije.

Po študiju te teme se boste naučili in ponovili:

Kateri številski sistemi obstajajo;
- kako se števila pretvarjajo iz enega številskega sistema v drugega;
- s katerimi številskimi sistemi deluje računalnik;
- kako se predstavljajo različne številke v pomnilniku računalnika.

Že od antičnih časov so se ljudje soočali s problemom označevanja (kodiranja) numeričnih informacij.

Majhni otroci kažejo svojo starost na prstih. Pilot je sestrelil letalo, za to dobi zvezdico, Robinson Crusoe je štel dneve z zarezami.

Število je označevalo nekaj realnih predmetov, katerih lastnosti so bile enake. Ko nekaj štejemo ali pripovedujemo, se zdi, da predmete razosebimo, tj. impliciramo, da so njihove lastnosti enake. Toda najpomembnejša lastnost števila je prisotnost predmeta, tj. enota in njena odsotnost, tj. nič.

Kaj je številka?

To je abeceda številk, niz simbolov, s katerimi kodiramo števila. Številke so številska abeceda.

Številke in številke sta dve različni stvari! Razmislimo o dveh številih 5 2 in 2 5. Števili sta enaki - 5 in 2.

Kako se te številke razlikujejo?

Po vrstnem redu številk? - Da! Ampak bolje je reči - položaj števke v številki.

Pomislimo, kaj je številski sistem?

Je to pisanje številk? ja! Vendar ne moremo pisati, kot hočemo - drugi ljudje nas morajo razumeti. Zato je tudi za njihovo beleženje potrebno upoštevati določena pravila.

Koncept številskega sistema

Številke se uporabljajo za zapis informacij o številu predmetov. Številke pišemo s posebnimi znakovnimi sistemi, imenovanimi številski sistemi. Abeceda številskih sistemov je sestavljena iz simbolov, imenovanih števke. Na primer, v decimalnem številskem sistemu so številke zapisane z uporabo desetih dobro znanih števk: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Številski sistem je predznakovalni sistem, v katerem so števila zapisana po določenih pravilih z uporabo simbolov določene abecede, imenovanih števke.

Vsi številski sistemi so razdeljeni v dve veliki skupini: pozicijski in nepozicijskištevilski sistemi. V pozicijskih številskih sistemih je vrednost števke odvisna od njenega položaja v številu, v nepozicijskih številskih sistemih pa ni odvisna.

Nepozicijski številski sistemi so nastali prej kot pozicijski, zato bomo najprej obravnavali različne nepozicijske številske sisteme.

Nepozicijski številski sistemi

Nepozicijski številski sistem je številski sistem, v katerem kvantitativni ekvivalent (»teža«) števke ni odvisen od njene lokacije v številskem zapisu.

Nepozicijski sistemi vključujejo: rimski številski sistem, abecedni številski sistem in druge.

Sprva so ljudje preprosto razlikovali med ENIM predmetom pred seboj ali ne. Če je bilo več kot en predmet, so rekli "VEČ".

Prvi koncepti matematike so bili "manj", "več", "enako".

Če je eno pleme zamenjalo ujete ribe za kamnite nože, ki so jih izdelali ljudje drugega plemena, ni bilo treba šteti, koliko rib in koliko nožev so prinesli. Dovolj je bilo, da je k vsaki ribi položil nož, da je prišlo do izmenjave med plemeni.

Račun se je pojavil, ko je morala oseba obvestiti svoje soplemenike o številu predmetov, ki jih je našel.

In ker mnoga ljudstva v starih časih med seboj niso komunicirala, torej različni narodi Nastali so različni sistemi številčenja in predstavljanja številk in številk.

Številke v mnogih jezikih kažejo, da so bili štetje primitivnega človeka predvsem prsti.

Prsti so se izkazali za odličen računalniški stroj. Z njihovo pomočjo je bilo mogoče šteti do 5, in če vzamete dve roki, potem do 10. V starih časih so ljudje hodili bosi. Zato so lahko uporabljali prste na rokah in nogah za štetje. V Polineziji še vedno obstajajo plemena, ki uporabljajo 20. številski sistem.

Znana pa so ljudstva, katerih enote za štetje niso bili prsti, temveč sklepi.

Dvanajstiški številski sistem je bil precej razširjen. Njegov izvor je povezan s štetjem na prste. S palcem so prešteli falange ostalih štirih prstov: skupaj jih je 12.

Elementi dvanajstiškega številskega sistema so se v Angliji ohranili v sistemu mer (1 čevelj = 12 palcev) in v denarnem sistemu (1 šiling = 12 penijev). Pogosto se v vsakdanjem življenju srečamo z dvanajstiškim številskim sistemom: čajni in namizni servisi za 12 oseb, komplet robčkov - 12 kosov.

Številke v angleščini od ena do dvanajst imajo svoje ime, naslednje številke so sestavljene:

Za številke od 13 do 19 je konec besed teen. Na primer 15 -- petnajst.

Prstno štetje se je ponekod ohranilo do danes. Na največji žitni borzi na svetu v Chicagu na primer ponudbe in povpraševanja ter cene posredniki objavljajo na prstih brez ene same besede.

Težko si je bilo zapomniti velika števila, zato so "števnici" rok in nog dodali različne naprave. Treba je bilo zapisati številke.

Število predmetov smo upodabljali z risanjem črt ali serifov na poljubno trdo površino: kamen, glina...

Številski sistem enot ("palica").

Potreba po pisanju številk se je pojavila v zelo starih časih, takoj ko so ljudje začeli šteti. Število predmetov so upodabljali z risanjem črt ali serifov na katero koli trdo površino: kamen, glina, les (izum papirja je bil še zelo, zelo daleč). Vsak predmet v takem zapisu je ustrezal eni vrstici. Arheologi so našli takšne "zapise" med izkopavanji kulturnih plasti, ki segajo v obdobje paleolitika (10 - 11 tisoč let pr. n. št.).

Znanstveniki so ta način zapisovanja števil poimenovali enotni ("palični") številski sistem. V njem je bila za zapis številk uporabljena samo ena vrsta znaka - "palica". Vsako število v takem številskem sistemu je bilo označeno s črto, sestavljeno iz palic, katerih število je bilo enako označenemu številu. Perujci so uporabljali večbarvne vrvice z zavezanimi vozli, da so si zapomnili številke. Zanimiv način zapisovanja števil so uporabljale indijske civilizacije okoli 8. stoletja pr. novo obdobje. Uporabili so " pismo vozla"- medsebojno povezane niti. Simboli na teh nitih so bili vozli, pogosto z vtkanimi kamni ali školjkami. Zavezan zapis števil je Inkom omogočal prenos podatkov o številu bojevnikov, navedbo števila umrlih ali rojenih v posamezni provinci ipd.


Okoli leta 1100 našega štetja e. angleški kralj Henrik I. je izumil enega najbolj nenavadnih denarnih sistemov v zgodovini, imenovan sistem "merne palice". to denarni sistem je trajalo 726 let in je bilo leta 1826 ukinjeno.

Polirani lesen trak z zarezami, ki označujejo nominalno vrednost, je bil po vsej dolžini razcepljen, da so zareze ohranjene.

Neprijetnosti takšnega sistema za zapisovanje števil in omejitve njegove uporabe so očitne: večja kot je številka, ki jo je treba napisati, daljši je niz paličic. In pri zapisovanju velikega števila je enostavno narediti napako, tako da dodate dodatno število palic ali, nasprotno, da jih ne zapišete.

Staroegipčanski decimalni številski sistem (2,5 tisoč pr. n. št.)

Okoli tretjega tisočletja pr. n. št. so si stari Egipčani izmislili svoj numerični sistem, v katerem so označevali ključne številke 1, 10, 100 itd. uporabljene so bile posebne ikone - hieroglifi.

Vsa druga števila so bila sestavljena iz teh ključnih števil z uporabo operacije seštevanja. Številčni sistem starega Egipta je decimalni, vendar nepozicijski in aditivni.

Števke številke so bile zapisane od velike vrednosti in konča z manjšimi. Če ni bilo desetic, enot ali kakšne druge števke, smo prešli na naslednjo števko.

Poskusite sešteti ti dve številki, saj veste, da ne morete uporabiti več kot 9 enakih hieroglifov, in takoj boste razumeli, da je za delo s tem sistemom potrebna posebna oseba. Navaden človek tega ne zmore.

Rimski decimalni številski sistem (2 tisoč let pr. n. št. do danes)

Najpogostejši nepozicijski številski sistem je rimski sistem.

Glavna težava z rimskimi številkami je, da sta množenje in deljenje težavna. Druga pomanjkljivost rimskega sistema je: Pisanje velikih števil zahteva uvedbo novih simbolov. A ulomkov lahko zapišemo samo kot razmerje dveh števil. Vendar so bile osnovne do konca srednjega veka. Toda v našem času se še vedno uporabljajo.

Se spomniš kje?

Pomen števke ni odvisen od njenega položaja v številu.

Na primer, v številki XXX (30) se številka X pojavi trikrat in v vsakem primeru označuje isto vrednost - številka 10, tri številke od 10 seštejejo do 30.

Velikost števila v sistemu rimskih številk je definirana kot vsota ali razlika števk v številu. Če je manjše število levo od večjega, se odšteje, če je desno, sešteje.

Ne pozabite: 5, 50, 500 se ne ponavljajo!

Katere se lahko ponovijo?

Če je levo od glavne števke pomožna števka, se odšteje. Če je najnižja številka desno od najvišje, se doda - I, X, C, M se lahko ponovijo do 3-krat.

Na primer:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004

2) 149 = (Sto je C, štirideset je XL in devet je IX) = CXLIX

Zapis decimalne številke 1998 v sistemu rimskih številk bi na primer izgledal takole: MSMХСVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Abecedni številski sistemi
Slovanska cirilica decimalna abeceda

To številčenje sta skupaj s slovanskim abecednim sistemom za prevod svetopisemskih knjig za Slovane ustvarila grška meniha brata Ciril in Metod v 9. stoletju. Ta oblika zapisovanja števil je postala razširjena zaradi dejstva, da je bila popolnoma podobna grškemu zapisu števil. Do 17. stoletja je bila ta oblika zapisovanja številk uradna na ozemlju sodobne Rusije, Belorusije, Ukrajine, Bolgarije, Madžarske, Srbije in Hrvaške. Do sedaj pravoslavne cerkvene knjige uporabljajo to oštevilčenje.

Številke so bile zapisane iz številk na enak način od leve proti desni, od velikega proti majhnemu. Številke od 11 do 19 so bile zapisane dvomestno, pri čemer je bila enota pred desetico:

Beremo dobesedno "štirinajst" - "štiri in deset". Kot slišimo, pišemo: ne 10+4, ampak 4+10, - štiri in deset. Številke od 21 naprej so bile zapisane v obratni smeri, pri čemer je bil prvi znak polne desetice.

Zapis števil, ki ga uporabljajo Slovani, je aditiven, to pomeni, da uporablja samo seštevanje:

= 800+60+3

Da ne bi zamenjali črk in številk, so bili uporabljeni naslovi - vodoravne črte nad številkami, ki jih vidimo na sliki.

Za označevanje številk, večjih od 900, so bile uporabljene posebne ikone, ki so bile dodane črki. Takole so nastale številke:

Slovansko številčenje je obstajalo do konca 17. stoletja, dokler ni pozicijski decimalni številski sistem prišel v Rusijo iz Evrope z reformami Petra I.

Starodavni indijski številski sistemi

Številčni sistem Kharoshti je bil v Indiji v uporabi med 6. stoletjem pred našim štetjem in 3. stoletjem našega štetja. To je bil nepozicijski aditivni številski sistem. O njej je malo znanega, saj je ohranjenih le malo pisnih dokumentov iz tiste dobe. Sistem Kharoshti je zanimiv, ker je številka štiri izbrana kot vmesni korak med ena in deset. Številke so bile zapisane od desne proti levi.

Skupaj s tem sistemom je v Indiji obstajal še en številski sistem Brahmi.

Številke Brahmi so bile zapisane od leve proti desni. Oba sistema pa sta imela kar nekaj skupnega. Zlasti prve tri števke so si zelo podobne. Običajno je bilo, da se je do sto uporabljala aditivna metoda, nato pa multiplikativna metoda. Pomembna razlika med Brahmijevimi števili je bila ta, da so bila števila od 4 do 90 predstavljena samo z enim znakom. Ta značilnost Brahmi številk je bila kasneje uporabljena za ustvarjanje pozicijskega decimalnega sistema v Indiji.

Tudi starodavna Indija je imela verbalni številski sistem. Bil je multiplikativen in pozicijski. Znak ničle se je izgovarjal kot "prazno", "nebo" ali "luknja". Enota je kot "luna" ali "zemlja". Dva je kot "dvojčka", ali "oči", ali "nosnice" ali "ustnice". Štirje kot "oceani", "kardinalne smeri". Na primer, številka 2441 se je izgovarjala takole: oči oceanov so kardinalne smeri lune.

Slabosti nepozicijskih številskih sistemov:

1. Nenehno je treba uvesti nove simbole za zapisovanje velikih števil.

2. Nemogoče je predstaviti ulomljena in negativna števila.

3. Težko je izvajati aritmetične operacije, saj ni algoritmov za njihovo izvajanje. Zlasti vsi narodi so skupaj s številskimi sistemi imeli metode prstnega štetja, Grki pa so imeli abakusno štetje - nekaj podobnega našemu abakusu.

Vse do konca srednjega veka ni bilo univerzalnega sistema za zapisovanje števil. Šele z razvojem matematike, fizike, tehnologije, trgovine in finančnega sistema se je pojavila potreba po enotnem univerzalnem številskem sistemu, čeprav še danes mnoga plemena, narodi in narodnosti uporabljajo druge številske sisteme.

Še vedno pa v vsakdanjem govoru uporabljamo elemente nepozicijskega številskega sistema, zlasti rečemo sto, ne deset desetic, tisoč, milijon, milijarda, trilijon.

Pozicijski številski sistemi

Pozicijski številski sistem je številski sistem, v katerem je kvantitativni ekvivalent (»teža«) števke odvisen od njene lokacije v zapisu števila.

Za vsak pozicijski številski sistem je značilna njegova osnova.

Osnova pozicijskega številskega sistema - število različnih števk, ki se uporabljajo za predstavitev števil v danem številskem sistemu.

Za osnovo lahko vzamete poljubno naravno število - dve, tri, štiri, ... in tvorite novo položajni sistem: binarni, ternarni, kvartarni itd.

Babilonska decimalna/šestdesetinska

V starodavnem Babilonu okoli 2. tisočletja pred našim štetjem je obstajal tak sistem številk - številke, manjše od 60, so bile označene z dvema znakoma: za eno in za deset. Imele so klinast videz, saj so Babilonci pisali na glinene tablice s trikotnimi palicami. Ti znaki so se ponavljali prava številka krat, na primer

Menijo, da so Sumerci imeli decimalni sistem in potem, ko so jih osvojili Semiti, je bil njihov sistem prilagojen šestdesetemičnemu sistemu Semitov.

Šestdesetimalni zapis celih števil ni bil široko uporabljen zunaj asirsko-babilonskega kraljestva, vendar se šestdesetinski ulomki še vedno uporabljajo pri merjenju časa. Na primer, ena minuta = 60 sekund, ena ura = 60 minut.

Starodavna kitajska decimalka

Ta sistem je eden najstarejših in najnaprednejših, saj vsebuje enake principe kot sodobni "arabski", ki ga uporabljamo. Ta sistem je nastal pred približno 4000 tisoč leti na Kitajskem.

Številke so v tem sistemu, tako kot pri nas, zapisali od leve proti desni, od največjega do najmanjšega. Če ni bilo desetic, enot ali kakšne druge števke, potem najprej niso vnesli ničesar in so prešli na naslednjo števko. (V času dinastije Ming je bil uveden znak za prazno števko - krog - analog naše ničle). Da ne bi prišlo do zamenjave števk, je bilo uporabljenih več službenih hieroglifov, ki so bili napisani za glavnim hieroglifom in so prikazovali, kakšno vrednost ima hieroglif-številka v določeni števki.

To je multiplikacijski zapis, ker uporablja množenje. Je decimalna, ima predznak nič, poleg tega pa je pozicijska. Tisti. skoraj ustreza "arabskemu" številskemu sistemu.

Majevski osnovni številski sistem ali dolgo štetje

Ta sistem je zelo zanimiv, ker na njegov razvoj ni vplivala nobena od civilizacij Evrope in Azije. Ta sistem je bil uporabljen za koledarska in astronomska opazovanja. Njegova značilnost je bila prisotnost ničle (podoba lupine). Osnova tega sistema je bila številka 20, čeprav so sledi peternega sistema močno vidne. Prvih 19 številk smo dobili z združevanjem pik (ena) in pomišljajev (pet).

Število 20 je bilo upodobljeno z dvema števkama, ničlo in ena na vrhu, in se je imenovalo uinalu. Številke so bile zapisane v stolpec, pri čemer so bile najmanjše števke spodaj in največje zgoraj, tako da je nastala »knjižna omara« s policami. Če se je številka nič pojavila brez enote na vrhu, je to pomenilo, da za to števko ni enot. Toda, če je bila v tej številki vsaj ena enota, je znak nič izginil, na primer številka 21, to bo . Tudi v našem številskem sistemu: 10 - z ničlo, 11 - brez nje. Tukaj je nekaj primerov številk:

Obstaja izjema pri sistemu štetja starodavnih Majev z osnovo 20: če številu 359 dodate samo eno enoto prvega reda, ta izjema začne veljati takoj. Njeno bistvo je naslednje: 360 je štartna številka tretjega reda in ni več na drugi, temveč na tretji polici.

Potem pa se izkaže, da začetno število tretjega reda ni dvajsetkrat večje od začetnega števila drugega (20x20 = 400, ne 360!), ampak le osemnajst! To pomeni, da je kršeno načelo dvajsetkratnosti! Tako je. To je izjema.

Dejstvo je, da je pri majevskih Indijancih 20 kin dni tvorilo mesec ali uinal. 18 mesecev-uinalov je tvorilo leto ali tuna (360 dni v letu) in tako naprej:

K"in = 1 dan. Vinal = 20 k"in = 20 dni. Tun = 18 Vinal = 360 dni = približno 1 leto. K"atun = 20 tun = 7200 dni = približno 20 let. Bak"tun = 20 k"atun = 144.000 dni = približno 400 let. Pictun = 20 bak"tun = 2.880.000 dni = približno 8.000 let. Kalabtun = 20 piktunov = 57.600.000 dni = približno 160.000 let. K"inchiltun = 20 kalabtun = 1152000000 dni = približno 3200000 let. Alavtun = 20 k"inchiltun = 23040000000 dni = približno 64000000 let.

To je precej zapleten številski sistem, ki so ga uporabljali predvsem svečeniki za astronomska opazovanja; drugi majevski sistem je bil aditivni, podoben egipčanskemu, in so ga uporabljali v vsakdanjem življenju.

Zgodovina "arabskih" številk.

Zgodovina naših znanih "arabskih" številk je zelo zmedena. Nemogoče je natančno in zanesljivo reči, kako so se zgodile. Tukaj je ena različica te zgodbe o izvoru. Nekaj ​​je gotovo: zahvaljujoč starodavnim astronomom, namreč njihovim natančnim izračunom, imamo svoje številke.

Kot že vemo, je v babilonskem številskem sistemu znak za označevanje manjkajočih števk. Okoli 2. stoletja pr. Grški astronomi (npr. Klavdij Ptolomej) so se seznanili z astronomskimi opazovanji Babiloncev. Prevzeli so svoj pozicijski številski sistem, vendar so cela števila zapisovali ne s klini, temveč s svojim abecednim številčenjem, ulomke pa v babilonskem šestdesetemičnem številskem sistemu. Toda za označevanje ničelne vrednosti števke so grški astronomi začeli uporabljati simbol "0" (prva črka grške besede Ouden - nič).

Med 2. in 6. stoletjem našega štetja. Indijski astronomi so se seznanili z grško astronomijo. Sprejeli so šestdesetični sistem in krog Grška ničla. Indijci so načela grškega številčenja združili z decimalnim množilnim sistemom, prevzetim iz Kitajske. Številke so začeli označevati tudi z enim znakom, kot je bilo običajno v staroindijskem številčenju Brahmi. To je bil zadnji korak pri ustvarjanju pozicijskega decimalnega številskega sistema.

Briljantno delo indijskih matematikov so prevzeli arabski matematiki in Al-Hvarizmi je v 9. stoletju napisal knjigo »Indijska umetnost štetja«, v kateri opisuje decimalni pozicijski številski sistem. Zaradi preprostih in priročnih pravil za seštevanje in odštevanje poljubno velikih števil, zapisanih v pozicijskem sistemu, je bil še posebej priljubljen med evropskimi trgovci.

V 12. stoletju. Juan iz Seville je prevedel knjigo "Indijska umetnost štetja" v latinščino in indijski sistem štetja se je razširil po vsej Evropi. In odkar je bilo napisano delo Al-Hvarizmija arabsko, potem je bilo indijskemu številčenju v Evropi dodeljeno napačno ime »arabščina«. Toda sami Arabci številke imenujejo indijske, aritmetiko, ki temelji na decimalnem sistemu, pa indijsko štetje.

Oblika "arabskih" številk se je skozi čas močno spremenila. Oblika, v kateri jih pišemo, se je uveljavila v 16. stoletju.

Tudi Puškin je predlagal svojo različico oblike arabskih številk. Odločil se je, da vseh deset arabskih številk, vključno z ničlo, sodi v čarobni kvadrat.


Decimalni pozicijski številski sistem

Indijski znanstveniki so naredili eno najpomembnejših odkritij v matematiki - izumili so pozicijski številski sistem, ki ga zdaj uporablja ves svet. Al-Khwarizmi je v svoji knjigi podrobno opisal indijsko aritmetiko.

Mohamed bin Musa al-Khorezm

Okoli leta 850 po Kr. je napisal knjigo o splošna pravila reševanje aritmetičnih problemov z enačbami. Imenoval se je "Kitab al-Jabr". Ta knjiga je dala ime znanosti o algebri.

Tristo let kasneje (leta 1120) je bila ta knjiga prevedena v latinski jezik, in postal je prvi učbenik »indijske« aritmetike za vsa evropska mesta.

Zgodovina ničle.

Zero je lahko drugačen. Prvič, ničla je številka, ki se uporablja za označevanje praznega mesta; drugič, nič je nenavadno število, saj ne morete deliti z nič in ko je pomnoženo z nič, vsako število postane nič; tretjič, za odštevanje in seštevanje je potrebna ničla, sicer pa, koliko bo, če od 5 odšteješ 5?

Ničla se je prvič pojavila v starobabilonskem številskem sistemu; uporabljali so jo za označevanje manjkajočih števk v številih, vendar so bila števila, kot sta 1 in 60, zapisana na enak način, saj na koncu števila niso postavili ničle. V njihovem sistemu je ničla služila kot presledek v besedilu.

Velikega grškega astronoma Ptolemeja lahko štejemo za izumitelja oblike ničle, saj je v njegovih besedilih namesto znaka za presledek grška črka omikron, ki zelo spominja na sodobno ničlo. Toda Ptolomej uporablja ničlo v istem pomenu kot Babilonci. Na stenskem napisu v Indiji v 9. stoletju n. Simbol ničle se prvič pojavi na koncu številke. To je prva splošno sprejeta oznaka za sodobno ničlo. Indijski matematiki so izumili ničlo v vseh treh pomenih. Na primer, indijski matematik Brahmagupta v 7. stoletju našega štetja. aktivno začela uporabljati negativna števila in operacije z ničlo. Trdil pa je, da je število, deljeno z ničlo, nič, kar je seveda napaka, a prava matematična drznost, ki je pripeljala do še enega izjemnega odkritja indijskih matematikov. In v 12. stoletju drugi indijski matematik Bhaskara naredi še en poskus razumeti, kaj se bo zgodilo, če se deli z nič. Piše: "količina, deljena z nič, postane ulomek, katerega imenovalec je nič. Ta ulomek se imenuje neskončnost."

Leonardo Fibonacci v svojem delu “Liber abaci” (1202) imenuje znak 0 v arabščini zephirum. Beseda zephirum je arabska beseda as-sifr, ki izhaja iz indijske besede sunya, tj. prazen, ki je služila kot ime za ničlo. Iz besede zephirum izvira francoska beseda zero (nič) in italijanska beseda zero. Po drugi strani pa izhaja iz arabske besede as-sifr Ruska besedaštevilo. Do sredine 17. stoletja se je ta beseda uporabljala posebej za ničlo. Latinska beseda nullus (nič) se je v 16. stoletju začela uporabljati kot nič.

Ničla je edinstven znak. Zero je čista abstraktni koncept, eden največjih človekovih dosežkov. V naravi okoli nas ga ni. Z lahkoto lahko storite brez ničle pri miselnih izračunih, vendar je nemogoče storiti brez natančnega zapisovanja številk. Poleg tega je ničla v nasprotju z vsemi drugimi številkami in simbolizira neskončni svet. In če je »vse število«, potem nič ni vse!

Podlage, ki se uporabljajo danes:

10 - običajen decimalni številski sistem (deset prstov na rokah). Abeceda: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - iznajdba v starem Babilonu: razdelitev ene ure na 60 minut, minut na 60 sekund in kota na 360 stopinj.

12 - razširili Anglosasi: v letu je 12 mesecev, dve obdobji po 12 ur na dan, 12 palcev v čevlju

7 - uporablja se za štetje dni v tednu

Številski sistem enot

Potreba po pisanju številk se je med ljudmi začela pojavljati že v starih časih, potem ko so se naučili šteti. Dokaz za to so arheološke najdbe na mestih taborišč primitivnih ljudi, ki segajo v obdobje paleolitika ($10$-$11$ tisoč let pred našim štetjem). Sprva je bilo število predmetov prikazano z določenimi znaki: črtami, zarezami, krogi, označenimi na kamnih, lesu ali glini, pa tudi z vozli na vrveh.

Slika 1.

Znanstveniki ta sistem imenujejo zapisovanje števil enota (enotna), saj število v njem nastane s ponavljanjem enega znaka, ki simbolizira eno.

Slabosti sistema:

    pri pisanju velikega števila morate uporabiti veliko število palice;

    Pri nanašanju paličic je lahko enostavno narediti napako.

Kasneje so ljudje za lažje štetje začeli te znake kombinirati.

Primer 1

Primere uporabe številskega sistema enot lahko najdemo v našem življenju. Na primer, majhni otroci poskušajo na prste upodobiti, koliko so stari, ali pa se štetje uporablja za učenje štetja v prvem razredu.

Sistem enot ni povsem priročno, saj so vnosi videti zelo dolgi in je njihovo pisanje precej dolgočasno, zato so se sčasoma začeli pojavljati bolj praktični številski sistemi.

Tukaj je nekaj primerov.

Staroegipčanski decimalni nepozicijski številski sistem

Ta številski sistem se je pojavil okoli leta 3000 pr. kot posledica dejstva, da so si prebivalci starega Egipta izmislili svoj numerični sistem, v katerem so pri označevanju ključnih številk $1$, $10$, $100$ itd. uporabljali so hieroglife, kar je bilo priročno pri pisanju na glinene tablice, ki so nadomestile papir. Iz njih so s seštevanjem sestavili druga števila. Najprej je bila zapisana številka najvišjega reda, nato pa še nižjega. Egipčani so množili in delili ter zaporedno podvajali števila. Vsaka številka se lahko ponovi do $9$-krat. Spodaj so navedeni primeri številk tega sistema.

Slika 2.

Rimski številski sistem

Ta sistem se bistveno ne razlikuje veliko od prejšnjega in je preživel do danes. Temelji na naslednjih znakih:

    $I$ (en prst) za številko $1$;

    $V$ (odprta dlan) za številko $5$;

    $X$ (dve zloženi dlani) za $10$;

    za označevanje števil $100$, $500$ in $1000$ so bile uporabljene prve črke ustreznih latinskih besed ( Сentum- sto, Demimille- pol tisočaka, Mille- tisoč).

Pri sestavljanju številk so Rimljani uporabljali naslednja pravila:

    Število je enako vsoti vrednosti več enakih "števk", ki se nahajajo v vrsti in tvorijo skupino prve vrste.

    Število je enako razliki v vrednosti dveh "števk", če je manjša levo od večje. V tem primeru se vrednost manjšega odšteje od večje vrednosti. Skupaj tvorijo skupino druge vrste. V tem primeru je leva »cifra« lahko manjša od desne za največ $1$ reda: samo $X(10$) je lahko pred $L(50)$ in $C(100$), med “najnižjimi” je lahko samo $X(10$) pred $D(500$ ) in $M(1000$) – samo $C(100$), pred $V(5) – I( 1)$.

    Število je enako vsoti vrednosti skupine in "števk", ki niso vključene v skupini $1$ ali $2$.

Slika 3.

Rimske številke se uporabljajo že od antičnih časov: označujejo datume, številke zvezkov, razdelkov in poglavij. Včasih sem mislil, da je to običajno arabske številke zlahka ponarediti.

Abecedni številski sistemi

Ti številski sistemi so naprednejši. Sem spadajo grški, slovanski, feničanski, judovski in drugi. V teh sistemih so bile številke od $1$ do $9$, pa tudi število desetic (od $10$ do $90$), stotin (od $100$ do $900$) označene s črkami abecede.

V starogrškem abecednem številskem sistemu so bile številke $1, 2, ..., 9$ predstavljene s prvimi devetimi črkami grške abecede itd. Naslednjih $9$ črk je bilo uporabljenih za označevanje števil $10, 20, ..., 90$, zadnjih $9$ črk pa za označevanje števil $100, 200, ..., 900$.

Med slovanskimi narodi številske vrednostičrke so bile vzpostavljene v skladu z redom slovanske abecede, ki je sprva uporabljala glagolico, nato pa cirilico.

Slika 4.

Opomba 1

Abecedni sistem je bil uporabljen tudi v starodavna Rusija. Do konca 17. stoletja so se kot številke uporabljale $27$ črke cirilice.

Nepozicijski številski sistemi imajo številne pomembne pomanjkljivosti:

    Nenehno je treba uvesti nove simbole za zapisovanje velikih števil.

    Nemogoče je predstaviti ulomljena in negativna števila.

    Aritmetične operacije je težko izvajati, ker ni algoritmov za njihovo izvajanje.



 

Morda bi bilo koristno prebrati: