Sanoq tizimi faqat uchun til deb ataladi. Sanoq tizimlari

Jamiyat taraqqiyotining dastlabki bosqichlarida odamlar hisoblashni deyarli bilmas edilar. Ular ikki va uchta ob'ekt to'plamini ajratdilar; ko'proq ob'ektlarni o'z ichiga olgan har qanday to'plam "ko'p" tushunchasida birlashtirilgan. Hisoblashda ob'ektlar odatda barmoqlar va oyoq barmoqlari bilan taqqoslanardi. Sivilizatsiya rivojlanib borar ekan, insonning hisoblashga bo'lgan ehtiyoji muhim bo'lib qoldi. Dastlab, tabiiy raqamlar ma'lum miqdordagi tire yoki tayoq yordamida tasvirlangan, keyin ularni ifodalash uchun harflar yoki maxsus belgilar ishlatila boshlandi. Qadimgi Novgorodda slavyan tizimi ishlatilgan, bu erda slavyan alifbosining harflari ishlatilgan; raqamlarni tasvirlashda ularning ustiga ~ (titlo) belgisi qo'yilgan.

Qadimgi rimliklar "Rim raqamlash" nomi ostida bugungi kungacha saqlanib qolgan raqamlashdan foydalanganlar, unda raqamlar lotin alifbosi harflari bilan ifodalanadi. Endi u yubileylarni belgilash, kitobning ba'zi sahifalarini (masalan, so'zboshi sahifalarini), kitoblardagi boblarni, she'rlardagi baytlarni va hokazolarni raqamlash uchun ishlatiladi. Keyingi shaklda rim raqamlari quyidagicha ko'rinadi:

i = 1; V = 5; x=10; L=50; C = 100; D=500; M = 1000.

Rim raqamlarining kelib chiqishi haqida ishonchli ma'lumot yo'q. V raqami dastlab qo'lning tasviri bo'lib xizmat qilishi mumkin, X raqami esa ikkita beshdan iborat bo'lishi mumkin. Rim raqamlarida kvinar sanoq tizimining izlari aniq ta'sir qiladi. Barcha butun sonlar (5000 gacha) yuqoridagi raqamlarni takrorlash orqali yoziladi. Shu bilan birga, agar katta raqam kichikdan oldin kelgan bo'lsa, ular qo'shiladi, lekin agar kichikroq kattaroqdan oldin kelsa (bu holda uni takrorlash mumkin emas), u holda kattaroq raqamdan kichiki ayiriladi. ). Masalan, VI = 6, ya'ni. 5 + 1, IV = 4, ya'ni. 5 - 1, XL = 40, ya'ni 50 - 10, LX = 60, ya'ni. 50 + 10. Xuddi shu raqam ketma-ket uch martadan ko'p bo'lmagan holda qo'yiladi: LXX = 70; LXXX = 80; 90 raqami XC deb yoziladi (LXXXX emas).

Dastlabki 12 ta raqam rim raqamlari bilan quyidagicha yoziladi:

I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.

Boshqa raqamlar, masalan, quyidagicha yoziladi:

XXVIII = 28; XXXIX = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.

Bu belgida ko'p xonali sonlar ustida arifmetik amallarni bajarish juda qiyin. Shunga qaramay, Italiyada 13-asrgacha, Gʻarbiy Yevropaning boshqa mamlakatlarida esa 16-asrgacha rim raqamlari hukmronlik qilgan.

Slavyan raqamlash tizimida alifboning barcha harflari raqamlarni yozish uchun ishlatilgan, ammo alifbo tartibini biroz buzish bilan. Turli harflar birliklarning turli sonlarini, o'nlab va yuzliklarni anglatadi. Masalan, 231 raqami ~ SLA (C - 200, L - 30, A - 1) sifatida yozilgan.

Ushbu tizimlar ikkita kamchilikka ega bo'lib, ularni boshqalar bilan almashtirishga olib keldi: zarurat katta raqam turli belgilar, ayniqsa tasvir uchun katta raqamlar, va eng muhimi, arifmetik amallarni bajarishdagi noqulaylik.

Eng qulay va umumiy qabul qilingan va eng keng tarqalgan o'nlik sanoq tizimi Hindistonda ixtiro qilingan bo'lib, u erda arablar tomonidan qarzga olingan va bir muncha vaqt o'tgach, Evropaga kelgan. O'nlik sanoq sistemasida asos 10 soni hisoblanadi.

Boshqa asoslar bilan hisoblash tizimlari mavjud edi. Masalan, qadimgi Bobilda kichik-kichik sanoq sistemasidan foydalanilgan. Biz uning qoldiqlarini haligacha saqlanib qolgan soat yoki darajani 60 daqiqaga va daqiqani 60 soniyaga bo'lishda topamiz.

Antik davrda o'n ikkilik tizim ham keng tarqalgan bo'lib, uning kelib chiqishi o'nli tizim kabi, ehtimol, barmoqlarda sanash bilan bog'liq: hisob birligi sifatida bir qo'lning to'rt barmog'ining falanjlari (alohida bo'g'inlari) olingan. hisoblaganda tepaga siljiydi. bosh barmog'i xuddi shu qo'l. Bu sanoq sistemasining qoldiqlari og'zaki nutqda ham, urf-odatlarda ham bugungi kungacha saqlanib qolgan. Ma'lumki, masalan, ikkinchi toifa birligining nomi - 12 raqami - "o'nlab". Ko'p narsalarni o'nlab emas, balki o'nlab sanash odatlari saqlanib qolgan, masalan, xizmat ko'rsatishdagi pichoqlar yoki mebel to'plamidagi stullar. O'n ikkilik tizimdagi uchinchi toifali birlikning nomi - yalpi - hozir kamdan-kam uchraydi, ammo asr boshidagi savdo amaliyotida u hali ham mavjud edi. Masalan, 1928 yilda yozilgan she’rda Pelushkin V.V.Mayakovskiy hamma narsani ketma-ket sotib oladigan odamlarni masxara qilib, shunday deb yozgan edi: “...o‘n ikki gross dirijyorlik tayoqchasini sotib oldim”. Bir qator Afrika qabilalari orasida va Qadimgi Xitoy kvinar sanoq sistemasidan foydalanilgan. Markaziy Amerikada (qadimgi Azteklar va Mayyalar orasida) va aholi orasida G'arbiy Yevropa qadimgi keltlar vigesimal tizimdan foydalanganlar. Ularning barchasi barmoqlar bilan hisoblash bilan ham bog'liq.

Eng yosh sanoq tizimini haqli ravishda ikkilik deb hisoblash mumkin. Ushbu tizim hisoblash mashinalarida va zamonaviy kompyuterlarda foydalanish uchun juda foydali bo'lgan bir qator fazilatlarga ega.

Pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari.

Turli xil turli tizimlar oldin mavjud bo'lgan va bizning zamonamizda qo'llaniladigan hisoblarni nopozitsion va pozitsionga bo'lish mumkin. Raqamlarni yozish uchun ishlatiladigan belgilar raqamlar deb ataladi.

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemalarida u bildiradigan qiymat sonning yozuvidagi raqamning o'rniga bog'liq emas. Nopozitsion sanoq sistemasiga misol sifatida lotin harflarini raqam sifatida ishlatadigan Rim tizimini keltirish mumkin.

Pozitsion sanoq sistemalarida son yozuvidagi raqam bilan belgilangan qiymat uning pozitsiyasiga bog‘liq. Ishlatilgan raqamlar soni sanoq tizimining asosi deyiladi. Raqamdagi har bir raqamning o'rni pozitsiya deyiladi. Bizga ma'lum bo'lgan birinchi tizim pozitsion printsipga asoslangan bobillik jinsidir. Undagi raqamlar ikki xil bo'lib, ulardan biri birliklarni, ikkinchisi esa o'nlikni bildirgan.

Biroq, eng keng tarqalgani hind-arab o'nlik tizimi edi. Hindlar birinchi bo'lib raqamlar qatoridagi miqdorning pozitsion ahamiyatini ko'rsatish uchun noldan foydalanganlar. Bu tizim o'nlik deb ataladi. , chunki u o'nta raqamga ega.

Pozitsion va pozitsion bo'lmagan sanoq tizimlari o'rtasidagi farqni ikkita raqamni taqqoslash orqali tushunish oson. Pozitsion sanoq sistemasida ikki sonni solishtirish quyidagicha sodir bo‘ladi: ko‘rib chiqilayotgan raqamlarda bir xil pozitsiyadagi raqamlar chapdan o‘ngga taqqoslanadi. Kattaroq raqam raqamning kattaroq qiymatiga mos keladi. Masalan, 123 va 234 raqamlari uchun 1 2 dan kichik, shuning uchun 234 soni 123 sonidan katta. Nopozitsion sanoq sistemasida bu qoida amal qilmaydi. Bunga misol qilib ikkita IX va VI sonlarni solishtirish mumkin. I V dan kichik bo'lsa-da, IX VI dan katta.

Pozitsion sanoq sistemalari.

Raqam yoziladigan sanoq tizimining asosi odatda pastki chiziq bilan ko'rsatiladi. Masalan, 555 7 - septal sanoq sistemasida yozilgan son. Agar raqam o'nlik tizimda yozilgan bo'lsa, unda baza, qoida tariqasida, ko'rsatilmaydi. Tizimning asosi ham raqam bo'lib, biz uni odatiy o'nli tizimda ko'rsatamiz. Umuman olganda, raqam x asosli tizimda ifodalanishi mumkin p, Qanaqasiga x = a n· p n+a n- 1· p n–1 + a 1· p 1 + a 0· p 0, qayerda a n...a 0 - berilgan raqamni ko'rsatishdagi raqamlar. Masalan,

1035 10 =1 10 3 + 0 10 2 + 3 10 1 + 5 10 0;

1010 2 = 1 2 3 + 0 2 2 + 1 2 1 + 0 2 0 = 10.

Kompyuterda ishlashda 2, 8 va 16 asosli sanoq tizimlari katta qiziqish uyg'otadi. Umuman olganda, bu sanoq tizimlari odatda odamning ham, kompyuterning ham to'liq ishlashi uchun etarli bo'ladi, lekin ba'zida turli holatlar tufayli siz hali ham boshqa tizimlar, masalan, uchlik, septimal yoki 32 tayanch tizimiga murojaat qilishingiz kerak.

Bunday noan'anaviy tizimlarda yozilgan raqamlar bilan ishlash uchun ular odatdagi o'nlikdan tubdan farq qilmasligini yodda tutish kerak. Ularda qo'shish, ayirish, ko'paytirish xuddi shu sxema bo'yicha amalga oshiriladi.

Nima uchun boshqa sanoq sistemalari ishlatilmaydi? Asosan, chunki ichida Kundalik hayot odamlar o'nlik sanoq tizimidan foydalanishga odatlangan va boshqa hech narsa talab qilinmaydi. Hisoblash mashinalarida ikkilik sanoq tizimi qo'llaniladi, chunki ikkilik shaklda yozilgan raqamlar bilan ishlash juda oddiy.

Ko'pincha informatikada o'n oltilik tizim qo'llaniladi, chunki undagi raqamlarning yozuvi ikkilik tizimdagi raqamlarning yozuviga qaraganda ancha qisqa. Savol tug'ilishi mumkin: nega juda katta raqamlarni yozish uchun sanoq tizimidan foydalanmaslik kerak, masalan, 50 ta asos? Bunday sanoq tizimi uchun 10 ta oddiy raqam va 40 ta raqam kerak bo'ladi, bu 10 dan 49 gacha bo'lgan raqamlarga to'g'ri keladi va bu qirq raqam bilan ishlashni hech kim yoqtirishi dargumon. Shuning uchun, in haqiqiy hayot 16 dan katta tayanch sanoq sistemalari amalda qo'llanilmaydi.

Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o‘tkazish.

Eng keng tarqalgan sanoq sistemalari ikkilik, oʻn oltilik va oʻnlik sistemalardir. Raqamlarning ko'rinishlari bir-biri bilan qanday bog'liq? turli tizimlar hisob? Yemoq turli yo'llar bilan aniq misollar bo'yicha raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o'tkazish.

Aytaylik, siz 567 raqamini o'nlikdan ikkilikka aylantirishingiz kerak. Birinchidan, ikkitaning maksimal kuchi aniqlanadi, shuning uchun bu kuchga ikkitasi asl raqamdan kichik yoki teng bo'ladi. IN bu holat chunki 9 2 9 = 512 va 2 10 = 1024, bu dastlabki raqamdan ko'p. Shunday qilib, natijaning raqamlari soni olinadi, u 9 + 1 = 10 ga teng, shuning uchun natija 1 ga o'xshaydi. xxxxxxxxxx, oʻrniga qayerda X har qanday ikkilik raqamlar bo'lishi mumkin. Natijaning ikkinchi raqami quyidagicha topiladi - ikkitasi 9 ning darajasiga ko'tariladi va asl raqamdan chiqariladi: 567 - 2 9 \u003d 55. Qolganlari 2 8 \u003d 256 soni bilan taqqoslanadi. 55 bo'lgani uchun 256 dan kam bo'lsa, to'qqizinchi raqam nolga teng, ya'ni. natija 10 ga o'xshaydi xxxxxxxxx. Sakkizinchi toifani ko'rib chiqing. 2 7 \u003d 128\u003e 55 dan beri, u ham nolga teng bo'ladi.

Ettinchi raqam ham nolga aylanadi. Raqamning kerakli ikkilik yozuvi 1000 shaklini oladi xxxxxxx. 2 5 = 32 xxxxx). Qolgan 55 - 32 = 23 uchun 2 4 = 16 tengsizlik haqiqatdir.

567 = 1 2 9 + 0 2 8 + 0 2 7 + 0 2 6 + 1 2 5 + 1 2 4 + 0 2 3 + 1 2 2 + 1 2 1 + 1 2 0

Raqamlarni tarjima qilishning yana bir usuli - ustunga bo'lish operatsiyasidan foydalanish. Agar biz bir xil 567 sonni olib, uni 2 ga bo'lsak, biz 283 bo'linmasini va qolgan 1 ni olamiz. Xuddi shu operatsiya 283 raqami bilan bajariladi. Bo'linma 141, qolgan qismi 1. Yana natijada bo'linma bo'linadi. 2 ga va shunga o'xshash bo'linma bo'luvchidan kichik bo'lmaguncha. Endi, ikkilik sanoq sistemasida raqamni olish uchun oxirgi qismni yozish kifoya, ya'ni. 1 va unga bo'linish jarayonida olingan barcha qoldiqlarni teskari tartibda tayinlang.

Natija, albatta, o'zgarmadi: ikkilik tizimda 567 1 000 110 111 deb yoziladi.

Bu ikki usul sonni o'nlik sistemadan istalgan asosli tizimga o'tkazishda qo'llaniladi. Masalan, 567 raqamini asosi 16 bo‘lgan sanoq tizimiga o‘tkazishda birinchi navbatda raqam asosning darajalariga ajratiladi. Kerakli raqam uchta raqamdan iborat, chunki 16 2 \u003d 256 xx, buning o'rniga X har qanday o'n oltilik raqam bo'lishi mumkin. 55 (567 - 512) raqamini quyidagi raqamlarga taqsimlash qoladi. 3 16 = 48

Ikkinchi usul ustunga ketma-ket bo'linishdan iborat bo'lib, yagona farq shundaki, uni 2 ga emas, balki 16 ga bo'lish kerak va bo'linish jarayoni 16 dan kam bo'lganda tugaydi.

Albatta, sonni o'n oltilik tizimda yozish uchun 10 ni A bilan, 11ni B bilan va hokazolarni almashtirish kerak.

O'nli tizimga o'tkazish jarayoni ancha sodda ko'rinadi, chunki har qanday o'nlik son sifatida ifodalanishi mumkin x = a 0· p n + a 1· p n–1 +... + a n-1· p 1 + a n· p 0, qayerda a 0 ... a n- bular asosli sanoq sistemasidagi berilgan sonning raqamlari p.

Misol uchun, 4A3F raqamini o'nlik sistemaga o'zgartirishingiz mumkin. Ta'rifga ko'ra, 4A3F= 4 16 3 + A 16 2 + 3 16 + F. A ni 10 va F ni 15 bilan almashtirsak, 4 16 3 + 10 16 2 + 3 16 + 15 = 19007 hosil bo'ladi.

Raqamlarni tarjima qilishning eng oson usuli ikkilik tizim bazasi ikkita (8 va 16) quvvatiga teng bo'lgan tizimlarga va aksincha. 2 asosli sanoq sistemasida ikkilik butun sonni yozish uchun n, bu ikkilik sonni o'ngdan chapga ko'ra guruhlarga bo'lishingiz kerak n-har birida raqamlar; agar oxirgi chap guruhda n dan kam raqam bo'lsa, uni kerakli raqamlar sonigacha nol bilan to'ldiring; har bir guruhni ko'rib chiqing n-raqamli ikkilik son va uni 2 ta asosiy sanoq sistemasidagi mos keladigan raqam bilan almashtiring n .

Jadval 1. Ikkilik-on oltilik jadval
1-jadval. BINAR-OLTINTILI JADVAL
2 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
16 0 1 2 3 4 5 6 7
2 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111
16 8 9 A B C D E F

Mashhur frantsuz astronomi, matematigi va fizigi Per Simon Laplas (1749-1827) tarixiy rivojlanish sanoq tizimlarida “Barcha raqamlarni to‘qqizta belgi bilan ifodalash, ularga shakldagi qiymatdan tashqari, o‘z o‘rnidagi qiymatni ham berish g‘oyasi shunchalik soddaki, aynan shu soddaligi tufayli uni tushunish qiyin. qanchalik ajoyib. Bu usulga kelish qanchalik qiyin bo'lganini biz yunon ilmining eng buyuk daholari Arximed va Apolloniy misolida ko'ramiz, bu fikr ulardan yashiringan.

O'nlik sanoq sistemasini boshqa pozitsion tizimlar bilan solishtirish matematiklar va muhandis-konstruktorlarga zamonaviy o'nlik bo'lmagan sanoq sistemalarining ajoyib imkoniyatlarini kashf qilish imkonini berdi, bu esa kompyuter texnikasining rivojlanishini ta'minladi.

Anna Chugainova

Birlik (unar) sanoq sistemasi Sanoq tizimlari ro'yxati

Belgilash:

  • raqamlar to'plamining (butun va/yoki real) tasvirlarini beradi;
  • har bir raqamning o'ziga xos ko'rinishini (yoki hech bo'lmaganda standart vakillikni) beradi;
  • sonlarning algebraik va arifmetik tuzilishini aks ettiradi.

Sanoq tizimlari quyidagilarga bo'linadi pozitsion, pozitsiyali bo'lmagan Va aralashgan.

Pozitsion sanoq sistemalari

Pozitsion sanoq sistemalarida son yozuvida bir xil son belgisi (raqam) mavjud turli ma'nolar joylashgan joyiga (oqimiga) qarab. Raqamlarning mahalliy ma'nosiga asoslangan pozitsion raqamlashning ixtirosi shumerlar va bobilliklarga tegishli; bunday raqamlash hindular tomonidan ishlab chiqilgan va insoniyat sivilizatsiyasi tarixida bebaho oqibatlarga olib kelgan. Bu tizimlarga zamonaviy o'nlik sanoq sistemasi kiradi, uning paydo bo'lishi barmoqlarda sanash bilan bog'liq. O'rta asrlarda Evropada italiyalik savdogarlar orqali paydo bo'lgan, ular o'z navbatida musulmonlardan qarz olgan.

Pozitsion sanoq sistemasi deganda odatda -ary sanoq sistemasi tushuniladi, u butun son bilan aniqlanadi. asos sanoq tizimlari. -ary sanoq sistemasidagi ishorasiz butun son son darajalarining cheklangan chiziqli birikmasi sifatida ifodalanadi:

, butun sonlar qayerda deyiladi raqamlar, tengsizlikni qondirish.

Bunday rekorddagi har bir daraja toifaning vazn koeffitsienti deb ataladi. Raqamlar va ularga mos keladigan raqamlarning kattaligi indikatorning (raqamli raqam) qiymati bilan belgilanadi. Odatda, nolga teng bo'lmagan raqamlarda chap nollar qoldiriladi.

Agar nomuvofiqliklar bo'lmasa (masalan, barcha raqamlar noyob yozma belgilar shaklida taqdim etilganda), raqam chapdan o'ngga raqamlar ustunligining kamayish tartibida keltirilgan alifbo raqamlari ketma-ketligi sifatida yoziladi:

Masalan, raqam bir yuz uch kasrli yozuvda quyidagicha ifodalanadi:

Eng ko'p ishlatiladigan pozitsion tizimlar:

Pozitsion tizimlarda sistemaning asosi qanchalik katta bo‘lsa, raqam yozishda shunchalik kam bit (ya’ni yoziladigan raqamlar) talab qilinadi.

Aralash sanoq sistemalari

Aralash sanoq sistemasi-ary sanoq sistemasining umumlashmasi bo'lib, ko'pincha pozitsion sanoq sistemalariga ham tegishli. Aralash sanoq sistemasining asosi sonlarning ortib borayotgan ketma-ketligidir va undagi har bir raqam chiziqli birikma sifatida ifodalanadi:

, bu erda koeffitsientlar avvalgidek chaqiriladi raqamlar, ba'zi cheklovlar qo'llaniladi.

Raqamni aralash sanoq sistemasida yozish uning raqamlarini indeksning kamayish tartibida birinchi nolga teng bo‘lmagandan boshlab sanab o‘tishdir.

Turiga qarab aralash sanoq sistemalarining funksiyasi sifatida kuch, ko'rsatkichli va hokazo bo'lishi mumkin. Ba'zilar uchun aralash sanoq sistemasi ko'rsatkichli -ariy sanoq sistemasiga to'g'ri keladi.

Aralash sanoq sistemasining eng mashhur namunasi vaqtni kunlar, soatlar, daqiqalar va soniyalar soni sifatida tasvirlashdir. Bu holda "kunlar, soatlar, daqiqalar, soniyalar" qiymati soniyalar qiymatiga mos keladi.

Faktoriy sanoq sistemasi

IN faktoriy sanoq sistemasi asoslar faktoriallar ketma-ketligidir va har bir natural son quyidagicha ifodalanadi:

, Qayerda.

Faktoriy sanoq sistemasi qachon ishlatiladi inversiyalar ro'yxati bo'yicha almashtirishlarni dekodlash: almashtirish raqamiga ega bo'lgan holda, siz uni quyidagicha ko'paytirishingiz mumkin: raqamdan bir kichik raqam (raqamlash noldan boshlanadi) faktoriy sanoq tizimida yoziladi, i sonining koeffitsienti esa! almashtirishlar amalga oshirilgan to'plamdagi i + 1 elementi uchun inversiyalar sonini bildiradi (i + 1 dan kichik elementlar soni, lekin kerakli almashtirishda uning o'ng tomonida)

Misol: 5 ta elementning almashtirishlar to'plamini ko'rib chiqing, jami 5 tasi bor! = 120 (0 - (1,2,3,4,5) almashtirish raqamidan 119 - (5,4,3,2,1) almashtirish), 101- almashtirishni toping: 100 = 4!* 4 + 3 !*0 + 2!*2 + 1!*0 = 96 + 4; ti - koeffitsientini i! soniga qo'yamiz, keyin t4 = 4, t3 = 0, t2 = 2, t1 = 0, keyin: elementlar soni 5 dan kichik, lekin o'ng tomonda turgan 4; elementlar soni 4 dan kichik, lekin o'ngda 0; elementlar soni 3 dan kam, lekin o'ngda 2; elementlar soni 2 dan kichik, lekin o'ng tomonda 0 (o'zgartirishdagi oxirgi element qolgan yagona joyga "qo'yiladi") - shuning uchun 101-o'rin almashtirish quyidagicha ko'rinadi: (5,3,1,2, 4) Ushbu usulni tekshirish har bir almashtirish elementi uchun inversiyalarni to'g'ridan-to'g'ri hisoblash orqali amalga oshirilishi mumkin.

Fibonachchi sanoq tizimi Fibonachchi raqamlariga asoslangan. Undagi har bir natural son quyidagicha ifodalanadi:

, Fibonachchi raqamlari qayerda, , koeffitsientlar esa chekli sonli birliklarga ega va ketma-ket ikkita birlik yo'q.

Nopozitsion sanoq sistemalari

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq sistemalarida raqamni bildiradigan qiymat sondagi o'ringa bog'liq emas. Bunday holda, tizim raqamlarning joylashuviga cheklovlar qo'yishi mumkin, masalan, ular kamayish tartibida joylashtiriladi.

Binam sanoq sistemasi

Binom koeffitsientlari yordamida tasvirlash

, Qayerda.

Qoldiq sinf tizimi (SOC)

Qolgan sinf tizimida sonning tasviri qoldiq tushunchasiga va xitoycha qoldiq teoremasiga asoslanadi. RNS koprimlar to'plami bilan aniqlanadi modullar mahsulot bilan shunday qilib segmentdagi har bir butun son qoldiqlar to'plami bilan bog'liq bo'ladi , qaerda

…

Shu bilan birga, xitoycha qoldiq teoremasi intervalgacha bo'lgan raqamlarni ko'rsatishning o'ziga xosligini kafolatlaydi.

RNS da arifmetik amallar (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish) komponent bo'yicha bajariladi, agar natija butun son ekanligi ma'lum bo'lsa va unda ham yotsa.

RNS ning kamchiliklari faqat cheklangan miqdordagi raqamlarni ifodalash qobiliyati, shuningdek, RNSda ifodalangan raqamlarni taqqoslash uchun samarali algoritmlarning yo'qligi. Taqqoslash odatda argumentlarni RNS dan bazalarda aralash sanoq tizimiga aylantirish orqali amalga oshiriladi.

Stern-Brokot sanoq tizimi- ijobiy qayd etish usuli ratsional sonlar, Stern-Brocko daraxtiga asoslangan.

Turli xalqlarning sanoq tizimlari

Birlik sanoq tizimi

Ko'rinishidan, xronologik jihatdan, hisobni o'zlashtirgan har bir xalqning birinchi sanoq tizimi. Natural son bir xil belgini takrorlash orqali tasvirlanadi (tire yoki nuqta). Masalan, 26 raqamini tasvirlash uchun siz 26 ta chiziq chizishingiz kerak (yoki suyak, tosh va boshqalarga 26 ta tirqish). Keyinchalik, katta raqamlarni idrok etishda qulaylik uchun bu belgilar uch yoki beshta guruhlangan. Keyin teng hajmli belgilar guruhlari qandaydir yangi belgi bilan almashtirila boshlaydi - kelajakdagi raqamlarning prototiplari shunday paydo bo'ladi.

Qadimgi Misr sanoq tizimi

Bobil sanoq tizimi

Alifbo tartibidagi sanoq sistemalari

Qadimgi armanlar, gruzinlar, yunonlar (ionik sanoq sistemasi), arablar (abjadiya), yahudiylar (qarang Gematriya) va boshqa Yaqin Sharq xalqlari alifbo sanoq sistemalaridan foydalanganlar. Slavyan liturgik kitoblarida yunon alifbosi tizimi kirill harflariga tarjima qilingan.

Ibroniy raqamlar tizimi

Yunon sanoq tizimi

Rim raqamlar tizimi

Deyarli pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimining kanonik misoli lotin harflari raqam sifatida ishlatiladigan Rim tizimidir:
Men 1 ga turaman,
V - 5,
X - 10,
L-50
C-100
D-500
M-1000

Masalan, II = 1 + 1 = 2
bu yerda I belgisi raqamdagi o'rnidan qat'iy nazar 1 ni bildiradi.

Aslida, Rim tizimi to'liq pozitsiyali emas, chunki undan kattasidan oldin keladigan kichikroq raqam ayiriladi, masalan:

IV = 4 esa:
VI = 6

Mayya sanoq tizimi

Shuningdek qarang

Eslatmalar

Havolalar

  • Gashkov S.B. Sanoq tizimlari va ularning qo‘llanilishi. - M .: MTsNMO, 2004. - ("Matematik ta'lim" kutubxonasi).
  • Fomin S.V. Sanoq tizimlari. - M .: Nauka, 1987. - 48 b. - (Matematika bo'yicha mashhur ma'ruzalar).
  • Yaglom I. Raqam tizimlari // Kvant. - 1970. - No 6. - S. 2-10.
  • Raqamlar va sanoq tizimlari. Dunyo bo'ylab onlayn ensiklopediya.
  • Staxov A. Hisoblash tizimlarining kompyuterlar tarixidagi o‘rni.
  • Mikushin A.V. Sanoq tizimlari. "Raqamli qurilmalar va mikroprotsessorlar" ma'ruza kursi
  • Butler J. T., Sasao T. Ortiqcha ko'p qiymatli sanoq tizimlari Maqolada birdan katta raqamlardan foydalanadigan va raqamlarni ifodalashda ortiqcha bo'lishga imkon beruvchi sanoq tizimlari haqida gap boradi.

Wikimedia fondi. 2010 yil.

Yaxshi ishingizni bilimlar bazasiga yuborish oddiy. Quyidagi shakldan foydalaning

Yaxshi ish saytga">

Talabalar, aspirantlar, bilimlar bazasidan o‘z o‘qishlarida va ishlarida foydalanayotgan yosh olimlar sizdan juda minnatdor bo‘lishadi.

E'lon qilingan http://www.allbest.ru/

TADQIQ QO'YISHNING NOMI

” Sanoq sistemalarining xilma-xilligi ”

Sanoq sistemasi haqida tushuncha. Sanoq sistemalarining turlari

Belgilash- har qanday raqamni yozish va unga nom berish imkonini beruvchi bir nechta nomlar va belgilar to'plami.

Belgilash:

raqamlar to'plamining (butun va/yoki haqiqiy) tasvirlarini beradi;

har bir raqamning o'ziga xos ko'rinishini (yoki hech bo'lmaganda standart vakillikni) beradi;

· sonlarning algebraik va arifmetik tuzilishini aks ettiradi.

Sanoq tizimlari quyidagilarga bo'linadi:

pozitsion;

· Pozitsiyasiz;

· Aralashgan.

Pozitsion sanoq sistemalari

Pozitsion sanoq sistemasi har bir raqamning qiymati uning raqamli ekvivalentiga va raqamdagi o'rniga (joyiga) bog'liq bo'lgan tizimdir, ya'ni. bir xil belgi (raqam) turli ma'nolarni olishi mumkin.

Raqamlarning mahalliy ma'nosiga asoslangan pozitsion raqamlashning ixtirosi shumerlar va bobilliklarga tegishli. Bu raqamlash hindular tomonidan ishlab chiqilgan va insoniyat tsivilizatsiyasi tarixida beqiyos oqibatlarga olib kelgan.

Eng mashhur pozitsion sanoq tizimi o'nlik sanoq sistemasi bo'lib, uning paydo bo'lishi barmoqlarda sanash bilan bog'liq. O'rta asrlarda Evropada italiyalik savdogarlar orqali paydo bo'lgan, ular o'z navbatida musulmonlardan qarz olgan.

Har qanday pozitsion sanoq sistemasi baza bilan tavsiflanadi. Natural pozitsion sanoq sistemasining asosi yoki asosi (n) bu sistemada sonni ifodalash uchun foydalaniladigan belgilar yoki belgilar sonidir. Shuning uchun cheksiz sonli pozitsion tizimlar mumkin, chunki har qanday natural son n>1 asos qilib olinadi, hosil qiladi yangi tizim hisoblash.

Pozitsion sanoq sistemasida ma'lum bir sonni ifodalaganda yoki yozganda, ular raqamning mos raqamlarini alohida kerakli joylarga joylashtiradilar, ular odatda ushbu pozitsion sanoq sistemasidagi sonning raqamlari deb ataladi. Raqamning yozuvidagi raqamlar soni raqamning sig'imi deb ataladi va uning uzunligiga to'g'ri keladi.

Umumiy sanoq sistemasini butun sonlar va kasr sonlar guruhi sifatida aniqlash mumkin, bunda ularning har biri quyidagi formula bilan ifodalanadi:

bu yerda x - n asosli sanoq sistemasida yozilgan ixtiyoriy son; ai belgisi qatorning koeffitsienti, ya'ni. i - raqam kiritilishining raqami; k, m -- mos ravishda butun va kasr raqamlari soni.

Bunday yozuvdagi nk ning har bir darajasi razryadning tortish koeffitsienti deb ataladi. Raqamlar va ularga mos keladigan raqamlarning kattaligi k (raqamli raqam) ko'rsatkichining qiymati bilan belgilanadi. Pozitsion sanoq sistemasidagi raqamlar sonlari vergulning chap tomonidagi butun son qismida, vergulning o‘ng tomonidagi kasr qismida sanaladi. Bundan tashqari, raqamlarni raqamlash 0 dan boshlanadi. Pozitsion sanoq sistemasi asosining qiymati uning nomini belgilaydi: o'nlik sanoq sistemasi uchun u 10, sakkizlik uchun - 8, ikkilik uchun - 2 va hokazo bo'ladi. Odatda sanoq sistemasi nomi o`rniga “raqam kodi” atamasi qo`llaniladi. Masalan, ikkilik kod tushunchasi ikkilik sanoq sistemasida ifodalangan sonni, oʻnlik sanoq sistemasida ifodalangan sonni, oʻnlik sanoq sistemasida va hokazolarni bildiradi.

Agar nomuvofiqliklar bo'lmasa (masalan, barcha raqamlar noyob yozma belgilar ko'rinishida taqdim etilganda), x soni chapdan o'ngga raqamlar ustunligining kamayish tartibida sanab o'tilgan n-raqamli raqamlar ketma-ketligi sifatida yoziladi. :

Eng ko'p ishlatiladigan pozitsion tizimlar:

2 - ikkilik (diskret matematika, informatika, dasturlashda);

3 - uchlik (uchlik kompyuterlarda (masalan, Setun));

8 - sakkizlik (dasturlashda, informatikada qo'llaniladi);

10 - kasr (hamma joyda ishlatiladi);

12 - o'n ikkilik (o'nlab sanash);

16 - o'n oltilik (dasturlashda, informatikada qo'llaniladi);

· 60 -- sexagesimal (vaqt birliklari, burchak o'lchovi va, xususan, koordinatalar, uzunlik va kenglik).

Pozitsion tizimlarda sistemaning asosi qanchalik katta bo‘lsa, raqam yozishda shunchalik kam bit (ya’ni yoziladigan raqamlar) talab qilinadi.

Ikkilik sanoq sistemasi-- asosli pozitsion sanoq tizimi 2. Raqamli elektron sxemalarda mantiqiy shlyuzlarda to'g'ridan-to'g'ri amalga oshirilishi tufayli ikkilik tizim deyarli barcha zamonaviy kompyuterlarda va boshqa elektron hisoblash qurilmalarida qo'llaniladi. Ikkilik tizimda raqamlar ikkita belgi (0 va 1) yordamida yoziladi. Raqam qaysi sanoq sistemasida yozilishini chalkashtirib yubormaslik uchun pastki o'ng tomonda ko'rsatgich bilan ta'minlangan. Masalan, o'nlik 510, ikkilik 1012. Ba'zan ikkilik son 0b prefiksi bilan belgilanadi, masalan, 0b101.

Tarjima qoidalari

Har qanday sanoq sistemasidan o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazish

Butun sonni har qanday sanoq sistemasidan o‘nlik songa o‘tkazish uchun bu sonni umumiy shaklda yozish kerak:

anbn+an-1bn-1+an-2bn-2+...+a2b2+a1b1+a0b0

Masalan: 12568 sonini o‘nlik sanoq sistemasiga o‘tkazamiz.

12568=1 8 3 +2 8 2 +5 8 1 +6 8 0 =1 512+2 64+5 8+6 1=68610.

Sonni o‘nlik sanoq sistemasidan boshqa sistemaga o‘tkazish

1) Ushbu raqamni raqamni aylantirmoqchi bo'lgan tizim bazasiga bo'ling.

2) Olingan raqamni xuddi shunday raqamni o'tkazmoqchi bo'lgan tizim bazasiga bo'ling.

3) 2-bosqich, natijada olingan qism asosdan kichik bo'lguncha takrorlanadi.

4) Biz bo'linishning qolgan qismini oxirgidan birinchisiga qadar yozamiz.

Raqamlarni ikkilikdan sakkizlikka o'tkazish qoidasi

1) Biz uchta raqam sonini eng muhim raqamdan boshlab guruhlarga ajratamiz.

Agar butun uchlik raqamlar uchun etarli bo'lmasa, chap tomonda kerakli miqdordagi nollarni qo'shing.

2) Har bir qabul qilingan uchlik sonni sakkizlik sanoq sistemasidagi raqam bilan almashtiramiz.

ikkilik triadalar

Sakkizlik raqamlar

3) Kasr qismini vergulning o'ng tomonida uchga ajratamiz.

Raqamlarni ikkilikdan o'n oltilik tizimga o'tkazish

1) Biz to'rtta raqam sonini eng muhim raqamdan boshlab guruhlarga ajratamiz.

Agar butun to'rtta raqam etarli bo'lmasa, chap tomonda kerakli miqdordagi nollarni qo'shing.

2) Olingan har bir to‘rtta raqamni sakkizlik sanoq sistemasidagi raqam bilan almashtiramiz.

3) Kasr qismini kasrning o'ng tomonida to'rtga ajratamiz.

Agar raqamlar etarli bo'lmasa, biz o'ng tomonga nol qo'yamiz.

Sonlarni sakkizlikdan ikkilik sistemaga o'tkazish qoidasi

1) Berilgan sakkizlik sonning har bir raqamini uning mos keladigan ikkilik ekvivalenti bilan almashtiramiz.

2) Agar to'liq uchlik uchun raqamlar etarli bo'lmasa, bu uchlikda biz chap tomonda etishmayotgan nol sonini qo'shamiz.

Raqamlarni o‘n oltilik sistemadan ikkilik tizimga o‘tkazish

1) Berilgan o'n oltilik sonning har bir raqamini uning mos keladigan ikkilik ekvivalenti bilan almashtiramiz.

2) Agar to'liq to'rttagacha raqamlar etarli bo'lmasa, bu to'rttaga o'ngdagi etishmayotgan nol sonini qo'shamiz.

Noodatiy pozitsion sanoq sistemalari

G'ayrioddiy raqamlar keng qo'llanilmaydi, lekin ular nazariy nuqtai nazardan qiziqarli bo'lishi mumkin. G'ayrioddiy sanoq tizimlari orasida quyidagilarni ajratib ko'rsatish mumkin: raqamli pozitsion ramziy belgi

natural bo'lmagan asosli sanoq tizimlari

o salbiy,

o mantiqsiz,

o kompleks (masalan: 1 + i);

bir nechta asosli sanoq tizimlari;

o ichki (ikkilik o'nlik, o'nlik o'n oltilik va boshqalar)

Nostandart raqamlar to'plamiga ega sanoq tizimlari:

nolga yaqin simmetrik raqamlar to'plami bilan.

Manfiy asosli sanoq sistemalari

Salbiy asoslar belgi uchun qo'shimcha belgi kiritmasdan salbiy raqamlarni ifodalash imkonini beradi. Raqamlarni ifodalash uchun tabiiy asosi mutlaq qiymatga teng bo'lgan tizim uchun bir xil sonlar to'plamidan foydalaniladi. Shunday qilib, sonning toq raqamlari manfiy vaznga ega.

Irratsional asosli sanoq sistemalari

Shaklning irratsional sonini irratsional asosli sanoq sistemasida raqamlar yordamida ifodalash mumkin.

Murakkab bazaga ega sanoq sistemalari

Manfiy asosli tizimlar kabi kompleks asoslar ham murakkab sonlarni ifodalashga imkon beradi.

Buning uchun sanoq tizimining asosi quyidagicha olinadi:

shartni qondirish -- to'plamdagi raqamlar soni.

Yuvalangan poydevorli poydevor tizimlari

Agar asosi katta bo lgan sanoq sistemasining raqamlari asosi kichikroq sanoq sistemasida raqamlar bilan ifodalansa, u holda sanoq sistemasining maxsus kompozitsion turi olinadi.

Vaqtni o'lchash uchun ishlatiladigan taniqli o'nlik o'n oltilik sanoq sistemasi - o'nlik tizimda yozilgan soatlar, daqiqalar va soniyalar bu erda kichik kichik sanoq sistemasining raqamlari sifatida paydo bo'ladi. Bu tizim Bobildan kelib chiqqan bo'lib, u erda faqat uchta mixxat belgisiga asoslangan raqamlarni yozish uchun sexagesimal tizim keng qo'llanilgan:

vertikal takoz - tushirish birligi;

takozlar burchagi - o'nlab raqam;

Eğimli xanjar - nolga teng, bo'sh tushirish;

Hisoblashda ikkilik-o‘nlik sanoq sistemasi qo‘llaniladi. Ikkilik raqamlar to'rtta guruhlangan, bu erda har to'rtta (tetrad, nibble) bitta o'nlik raqamni kodlaydi. Bu sizga sanoq tizimlarini o'zgartirmasdan o'nlik ko'rsatkich va kiritishga ega bo'lgan qurilmalar bilan ishlash imkonini beradi.

Nostandart raqamlar to'plami, nolga yaqin simmetrik to'plamlar

Salbiy raqamlarni minus belgisidan foydalanmasdan yozishning muqobil usuli (salbiy asoslardan tashqari) manfiy og'irlikdagi raqamlardan foydalanishdir. Bu raqam yozish uchun turli raqamlar sonini ko'paytirishni talab qilmaydi - to'plam o'rniga siz shaklning istalgan to'plamidan foydalanishingiz mumkin.

Shu nuqtai nazardan, nosimmetrik raqamlar to'plamidan foydalanish diqqatga sazovordir. Agar asosi toq bo‘lgan sanoq sistemasini 2 ko‘rinishda olsak p+ 1, keyin raqamlar to'plami o'xshash bo'ladi.

Ushbu yondashuv uchlik kompyuterlarda qo'llanilishini topdi (masalan, "Setun").

Aralash sanoq sistemasi

Aralash sanoq sistemasi n-ar sanoq sistemasining umumlashmasi boʻlib, koʻpincha pozitsion sanoq sistemalariga ham tegishli. Aralash sanoq sistemasining asosi sonlarning ortib borayotgan ketma-ketligidir va undagi har bir raqam chiziqli birikma sifatida ifodalanadi:

Funktsiya sifatida ni turiga qarab, aralash sanoq sistemalari darajali, ko'rsatkichli, faktoriy, Fibonachchi va boshqalar bo'lishi mumkin. Ba'zi n uchun aralash sanoq sistemasi eksponensial n-ariy sanoq sistemasiga to'g'ri kelganda.

Aralash sanoq sistemasining eng yorqin misoli vaqtni kunlar, soatlar, daqiqalar va soniyalar soni sifatida tasvirlashdir. Bunday holda, "d kun, h soat, m daqiqa, s soniya" qiymati qiymatga mos keladi

Nopozitsion sanoq sistemalari

Nopozitsion sanoq sistemasi-- bu tizim bo'lib, u uchun belgining qiymati, ya'ni. raqam, uning raqamdagi o'rnidan qat'i nazar. Bunday holda, tizim raqamlarning joylashuviga cheklovlar qo'yishi mumkin, masalan, ular kamayish tartibida joylashtiriladi.

Binam sanoq sistemasi

Binomli sanoq sistemasida x soni binom koeffitsientlarining yig'indisi sifatida ifodalanadi:

n ning istalgan sobit qiymati uchun har bir natural son o'ziga xos tarzda ifodalanadi.

Qoldiq sinf tizimi (SOC)

Sonni qoldiq sinflar tizimida tasvirlash qoldiq tushunchasi va xitoycha qoldiq teoremasiga asoslanadi. RNS juft-juft ko'rsatkichlar to'plami bilan aniqlanadi modullar mahsulot bilan shunday qilib segmentdagi har bir butun son qoldiqlar to'plami bilan bog'lanadi, bu erda

RNS intervaldan raqamlar uchun vakillikning o'ziga xosligini kafolatlaydi

RNS da arifmetik amallar (qo'shish, ayirish, ko'paytirish, bo'lish) komponent bo'yicha bajariladi, agar natija butun son ekanligi ma'lum bo'lsa va unda ham yotsa.

RNS ning kamchiliklari faqat cheklangan miqdordagi raqamlarni ifodalash qobiliyati, shuningdek, RNSda ifodalangan raqamlarni taqqoslash uchun samarali algoritmlarning yo'qligi.

Tarixiy sanoq tizimlari

Birlik sanoq tizimi

Xronologik jihatdan, hisobni o'zlashtirgan har bir xalqning birinchi sanoq tizimi. Natural son bir xil belgini takrorlash orqali tasvirlanadi (tire yoki nuqta). Keyinchalik, katta raqamlarni idrok etishda qulaylik uchun bu belgilar uch yoki beshta guruhlangan. Keyin teng hajmli belgilar guruhlari qandaydir yangi belgi bilan almashtirila boshlaydi - kelajakdagi raqamlarning prototiplari shunday paydo bo'ladi.

Besh karrali sanoq tizimi (To'piqda hisoblashm)

Rossiyada mavjud. U xalq orasida kamida XVIII asr oxirigacha ishlatilgan - XIX boshi asrlar

Qadimgi Misr sanoq tizimi

Qadimgi Misrning oʻnlik nopozitsion sanoq sistemasi miloddan avvalgi III ming yillikning ikkinchi yarmida paydo boʻlgan. e. 0, 1, 10, 102, 103, 104, 105, 106, 107 raqamlarini belgilash uchun maxsus raqamlar ishlatilgan. Misr sanoq tizimidagi raqamlar ushbu raqamlarning kombinatsiyasi sifatida yozilgan bo'lib, unda har bir raqam to'qqiz martadan ko'p bo'lmagan takrorlanadi. Raqamning qiymati uni yozishda ishtirok etadigan raqamlar qiymatlarining oddiy yig'indisiga teng.

Alifbo tartibidagi sanoq sistemalari

Qadimgi armanlar, gruzinlar, yunonlar (ionik sanoq sistemasi), arablar (abjadiya), yahudiylar va boshqa Yaqin Sharq xalqlari alifbo sanoq sistemalaridan foydalanganlar. Slavyan liturgik kitoblarida yunon alifbosi tizimi kirill harflariga tarjima qilingan.

Rim raqamlar tizimi

Deyarli pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimining kanonik misoli lotin harflari raqam sifatida ishlatiladigan Rim tizimidir:

Men 1 ga turaman,

Rim tizimi to'liq pozitsiyali emas, chunki undan kattasidan oldin kelgan kichik son ayiriladi.

Mayya sanoq tizimi

Mayyaliklar bitta istisno bilan 20 o‘nlik sanoq sistemasidan foydalanganlar: ikkinchi toifada 20 emas, 18 ta qadam bor edi, ya’ni 17 19 raqamidan keyin darhol 1 0 0 raqami keldi. Bu hisob-kitoblarni osonlashtirish uchun qilingan. kalendar tsiklining, chunki 1 0 0 = 360 taxminan quyosh yilidagi kunlar soniga teng.

Yozish uchun asosiy belgilar nuqtalar (birliklar) va segmentlar (beshta) edi.

Inkalarning Kipu

Miloddan avvalgi I-II ming yilliklarda Markaziy And togʻlarida (Peru, Boliviya) davlat va jamoat maqsadlarida keng qoʻllanilgan maʼlumotlar bazalarining prototipi. e., Inkalarning tugunli yozuvi - quipu mavjud bo'lib, u o'nlik tizimdagi raqamli yozuvlardan va ikkilik kodlash tizimidagi raqamli bo'lmagan yozuvlardan iborat edi. Quipu asosiy va ikkilamchi kalitlardan, pozitsion raqamlardan, ranglarni kodlashdan va takroriy ma'lumotlar seriyasini shakllantirishdan foydalangan. Kipu insoniyat tarixida birinchi marta buxgalteriya hisobining ikki tomonlama yozuv kabi usulini qo'llash uchun ishlatilgan.

Bibliografiya

1. A. G. Tsipkin. "Umumta'lim maktablari uchun matematika qo'llanma"

Allbest.ru saytida joylashgan

...

Shunga o'xshash hujjatlar

    Sanoq sistemalari tushunchasi va matematik mazmuni, ularning turlari va qo'llanish sohasi. Xususiyatlari va pozitsion va nopozitsion, ikkilik va o‘nlik sanoq sistemalarining xususiyatlari. Raqamlarni bir tizimdan ikkinchisiga o'tkazish tartibi.

    taqdimot, 2010 yil 11/10 qo'shilgan

    Zamonaviy matematikada ishlatiladigan, kompyuterlarda qo'llaniladigan sanoq tizimi. Rim raqamlari yordamida raqamlarni yozing. O'nlik sonlarni boshqa sanoq sistemalariga o'tkazish. Kasr va aralash ikkilik sonlarning tarjimasi. Pozitsion sanoq sistemalarida arifmetika.

    referat, 07/09/2009 qo'shilgan

    Sanoq sistemalari tarixini o'rganish. Birlik va ikkilik sanoq sistemalarining tavsifi, qadimgi yunon, slavyan, rim va bobil mahalliy raqamlash. Kompyuterda ikkilik kodlashni tahlil qilish. Raqamlarni bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga o‘tkazish.

    nazorat ishi, qo'shilgan 11/04/2013

    Raqamlarni yozish va o'qish texnikasi va qoidalari to'plami. Tushunchalarga ta'rif: sanoq sistemasi, raqam, son, raqam. Sanoq sistemalarining tasnifi va asoslarini aniqlash. Raqam va raqam o'rtasidagi farq, pozitsion va nopozitsion sanoq sistemalari.

    taqdimot, 04/15/2015 qo'shilgan

    Sanoq sistemasi haqida tushuncha. Sanoq sistemalarining rivojlanish tarixi. Natural son tushunchasi, tartib munosabatlari. O'nlik sanoq sistemasining xususiyatlari. Umumiy masalalar da manfiy bo'lmagan butun sonlarni raqamlashni o'rganish asosiy kurs matematika.

    muddatli ish, 29.04.2017 qo'shilgan

    Raqamlarning matematik nazariyasi. Sanoq sistemalari haqida tushuncha. Ikkilik sanoq tizimining qo'llanilishi. Kompyuter texnikasi va axborot texnologiyalari. Alfavit tartibida bir xil bo'lmagan ikkilik kodlash. Ikkilik sanoq tizimining afzalliklari va kamchiliklari.

    referat, 25/12/2014 qo'shilgan

    Sanoq sistemalarining rivojlanish tarixi. Nopozitsion, pozitsion va o‘nlik sanoq sistemasi. Hisoblash texnikasida sanoq sistemalaridan foydalanish va axborot texnologiyalari. Kompyuterda axborotni ikkilik kodlash. Ikkilik kodlarni qurish.

    muddatli ish, 2010-06-21 qo'shilgan

    Alifbo sanoq sistemasida sonlarning belgilanishi bilan tanishish. Y harflarining raqamli qiymatlarini o'rnatish xususiyatlari slavyan xalqlari. Slavyan sanoq sistemasida katta sonlarning belgilanishini ko'rib chiqish. "Mavzular", "legionlar", "leordlar" va "pastki" larning belgilanishi.

    taqdimot, 30.09.2012 qo'shilgan

    Sanoq sistemasiga ta'riflar, sonlar, sonlar, alifbo. Sanoq sistemalarining turlari. Ikkilik kodlarning ijobiy va salbiy tomonlari. O‘n oltilik sistemani sakkizlik sistemaga aylantirish va uni tetrada va triadalarga ajratish. Bashe muammosini uchlik muvozanatli sistema usulida yechish.

    taqdimot, 2011-06-20 qo'shilgan

    Ikkilik, sakkizlik va o‘n oltilik sanoq sistemalarining mohiyati, ularning o'ziga xos xususiyatlar va munosabatlar. Raqamlarni bir tizimdan ikkinchisiga o'tkazish algoritmlariga misol. Berilgan mantiqiy funksiyalar uchun haqiqat jadvali va mantiqiy sxemani tuzish.

Ushbu mavzuni o'rganib chiqqandan so'ng, siz o'rganasiz va takrorlaysiz:

Qanday sanoq sistemalari mavjud;
Raqamlar bir sanoq sistemasidan ikkinchisiga qanday tarjima qilinadi?
Kompyuter qanday sanoq sistemalari bilan ishlaydi?
- ular qanday paydo bo'ladi turli raqamlar kompyuter xotirasida.

Qadim zamonlardan beri odamlar raqamli ma'lumotlarni belgilash (kodlash) muammosiga duch kelishgan.

Yosh bolalar barmoqlarida yoshini ko'rsatadilar. Uchuvchi samolyotni urib tushirdi, ular buning uchun yulduzcha chizishdi, Robinzon Kruzo kunlarni notinch deb hisobladi.

Raqam xususiyatlari bir xil bo'lgan ba'zi haqiqiy ob'ektlarni bildirgan. Biz biror narsani hisoblaganimizda yoki qayta hisoblaganimizda, biz ob'ektlarni shaxsiyatsizlantiramiz, ya'ni. Biz ularning xossalari bir xil deb taxmin qilamiz. Ammo raqamning eng muhim xususiyati ob'ektning mavjudligi, ya'ni. birlik va uning yo'qligi, ya'ni. nol.

Raqam nima?

Bu raqamlar alifbosi, biz raqamlarni kodlaydigan belgilar to'plami. Raqamlar raqamli alifbodir.

Raqamlar va raqamlar boshqa narsalar! Ikkita raqamni ko'rib chiqing 5 2 va 2 5. Raqamlar bir xil - 5 va 2.

Bu raqamlar qanday farq qiladi?

Raqam tartibi? - Ha! Lekin aytish yaxshiroq - raqamdagi raqamning o'rni.

O‘ylab ko‘raylik, sanoq sistemasi nima?

Bu raqam kiritishmi? Ha! Ammo biz xohlagancha yoza olmaymiz - bizni boshqalar tushunishi kerak. Shuning uchun ularni yozib olish uchun ma'lum qoidalardan ham foydalanish kerak.

Sanoq sistemasi haqida tushuncha

Raqamlar ob'ektlar soni haqidagi ma'lumotlarni yozish uchun ishlatiladi. Raqamlar sanoq sistemalari deb ataladigan maxsus belgilar tizimlari yordamida yoziladi. Sanoq sistemalarining alifbosi raqamlar deb ataladigan belgilardan iborat. Masalan, o'nlik sanoq tizimida raqamlar o'nta taniqli raqam yordamida yoziladi: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Sanoq sistemasi - raqamlar deb ataladigan ma'lum bir alifboning belgilaridan foydalangan holda ma'lum qoidalarga muvofiq raqamlar yoziladigan belgilar tizimi.

Barcha sanoq tizimlari ikkita katta guruhga bo'lingan: pozitsion va pozitsiyasiz sanoq tizimlari. Pozitsion sanoq sistemalarida raqamning qiymati uning sondagi o'rniga bog'liq, nopozitsion raqamlarda esa bog'liq emas.

Nopozitsion sanoq sistemalari pozitsion sistemalardan oldin vujudga kelgan, shuning uchun avvalo turli nopozitsion sanoq sistemalarini ko'rib chiqamiz.

Nopozitsion sanoq sistemalari

Nopozitsion sanoq sistemasi - bu raqamning miqdoriy ekvivalenti (“og'irligi”) uning raqam yozuvidagi joylashuviga bog'liq bo'lmagan sanoq sistemasidir.

Nopozitsion tizimlarga quyidagilar kiradi: rim raqamlari tizimi, alifbo raqamlari va boshqalar.

Avvaliga odamlar o'zlarining oldidagi BIR ob'ektni yoki yo'qligini shunchaki farqlashdi. Agar mavzu bitta bo'lmasa, ular "KO'P" deyishdi.

Matematikaning dastlabki tushunchalari "kamroq", "ko'proq", "bir xil" edi.

Agar bir qabila ovlangan baliqni boshqa qabila odamlari yasagan tosh pichoqlarga almashtirsa, ular qancha baliq olib kelganini va qancha pichoqni sanash shart emas edi. Qabilalar o'rtasida almashinish sodir bo'lishi uchun har bir baliq yoniga pichoq qo'yish kifoya edi.

Hisobot odam o'z qabiladoshlariga topilgan narsalar soni haqida xabar berishi kerak bo'lganda paydo bo'ldi.

Va antik davrda ko'plab xalqlar bir-biri bilan aloqa qilmaganligi sababli turli xalqlar turli sanoq sistemalari va raqamlar va raqamlarning tasvirlari paydo bo'ldi.

Ko'pgina tillardagi raqamlar ibtidoiy odamning hisoblash vositasi sifatida asosan barmoqlari bo'lganligini ko'rsatadi.

Barmoqlar ajoyib hisoblash mashinasi bo'lib chiqdi. Ularning yordami bilan siz 5 tagacha hisoblashingiz mumkin, agar siz ikkita qo'lni olsangiz, 10 tagacha. Qadim zamonlarda odamlar yalangoyoq yurishgan. Shuning uchun ular hisoblash uchun ikkala barmoq va oyoq barmoqlaridan foydalanishlari mumkin edi. Polineziyada hali ham 20-son tizimidan foydalanadigan qabilalar mavjud.

Biroq, sanash birliklari barmoqlar emas, balki ularning bo'g'inlari bo'lgan xalqlar ma'lum.

O'n ikkilik sanoq sistemasi ancha keng tarqalgan edi. Uning kelib chiqishi barmoqlarda hisoblash bilan bog'liq. Qolgan to'rt barmoqning falanjlari qo'lning bosh barmog'i bilan ko'rib chiqildi: jami 12 tasi bor.

O'n ikkilik sanoq tizimining elementlari Angliyada o'lchovlar tizimida (1 fut = 12 dyuym) va pul tizimida (1 shilling = 12 pens) saqlanib qolgan. Ko'pincha biz kundalik hayotda o'n ikkilik sanoq tizimi bilan duch kelamiz: 12 kishilik choy va kechki ovqat, ro'mollar to'plami - 12 dona.

Ingliz tilidagi birdan o'n ikkigacha bo'lgan raqamlar o'z nomiga ega, quyidagi raqamlar kompozitdir:

13 dan 19 gacha bo'lgan raqamlar uchun so'z tugashi o'smirdir. Masalan, 15 - o'n besh.

Barmoqlarni sanash ba'zi joylarda bugungi kungacha saqlanib qolgan. Misol uchun, Chikagodagi dunyodagi eng yirik don birjasida taklif va so‘rovlar, narxlar ham brokerlar tomonidan bir og‘iz so‘zsiz barmoq bilan e’lon qilinadi.

Katta raqamlarni yodlash qiyin edi, shuning uchun qo'l va oyoqlarning "sanoq mashinasi" ga turli xil qurilmalar qo'shila boshladi. Raqamlarni yozib olish kerak edi.

Ob'ektlar soni qandaydir qattiq sirtga tire yoki serif chizish orqali tasvirlangan: tosh, loy ...

Yagona (“tayoq”) sanoq sistemasi

Raqamlarni yozib olish zarurati juda qadimgi davrlarda, odamlar hisoblashni boshlaganlarida paydo bo'lgan. Ob'ektlar soni qandaydir qattiq yuzalarga tire yoki serif chizish orqali tasvirlangan: tosh, loy, yog'och (qog'oz ixtiro qilinishidan oldin u juda va juda uzoq edi). Bunday yozuvdagi har bir ob'ekt bitta chiziqchaga to'g'ri keldi. Arxeologlar paleolit ​​davriga oid (miloddan avvalgi 10 – 11 ming yillar) madaniy qatlamlarni qazish jarayonida bunday “yozuvlar”ni topishgan.

Olimlar raqamlarni yozishning bunday usulini birlik (“tayoq”) sanoq sistemasi deb atashgan. Unda raqamlarni yozish uchun faqat bitta turdagi belgi - "tayoq" ishlatilgan. Bunday sanoq sistemasidagi har bir raqam tayoqlardan tashkil topgan qator yordamida belgilandi, ularning soni belgilangan raqamga teng edi. Peruliklar raqamlarni yodlash uchun ularga tugunlar bog'langan ko'p rangli kordonlardan foydalanganlar. Raqamlarni yozishning qiziqarli usuli hind tsivilizatsiyalari tomonidan miloddan avvalgi 8-asrda ishlatilgan. yangi davr. Foydalanishdi" tugun xati» - o'zaro bog'langan iplar. Ushbu iplardagi belgilar tugunlar bo'lib, ko'pincha ularga toshlar yoki qobiqlar to'qilgan. Raqamlarning nodulyar yozuvi Inkalarga jangchilar soni to'g'risida ma'lumot etkazish, ma'lum bir viloyatda o'lganlar yoki tug'ilganlar sonini ko'rsatish va hokazo.


Miloddan avvalgi 1100 yillar atrofida e. Ingliz qiroli Genrix I tarixdagi eng g'ayrioddiy pul tizimlaridan birini ixtiro qildi, bu "o'lchov relslari" tizimi deb ataladi. Bu pul tizimi 726 yil davom etdi va 1826 yilda tugatildi.

Nominal nomini ko'rsatadigan tirqishlari bo'lgan sayqallangan yog'och lata tishlarni saqlab qolish uchun butun uzunligi bo'ylab bo'lingan.

Raqamlarni yozishning bunday tizimidagi noqulayliklar va uni qo'llashning cheklovlari aniq: yozilishi kerak bo'lgan raqam qancha ko'p bo'lsa, tayoqchalar qatori shunchalik uzun bo'ladi. Ha, va ko'p sonni yozishda, qo'shimcha sonli tayoqlarni qo'yish yoki aksincha, ularni qo'shmasdan xato qilish oson.

Qadimgi Misrning oʻnlik sanoq sistemasi (miloddan avvalgi 2,5 ming yil)

Miloddan avvalgi uchinchi ming yillikda qadimgi misrliklar o'zlarining raqamlar tizimini yaratishgan. asosiy raqamlar 1, 10, 100 va boshqalar. maxsus piktogrammalardan - ierogliflardan foydalanilgan.

Qolgan barcha raqamlar ushbu kalit raqamlardan qo'shish amali yordamida tuzilgan. Qadimgi Misrning sanoq tizimi o'nli, ammo pozitsiyali va qo'shimchali emas.

Raqamning raqamlari dan boshlab yozildi katta qiymatlar va kichikroqlari bilan tugaydi. Agar o'nlik, birlik yoki boshqa raqam bo'lmasa, ular keyingi raqamga o'tdilar.

9 dan ortiq bir xil belgilarni ishlatib bo'lmasligini bilib, ushbu ikkita raqamni qo'shishga harakat qiling va siz ushbu tizim bilan ishlash uchun maxsus odam kerakligini darhol tushunasiz. Oddiy odam buni qila olmaydi.

Rim o'nlik sanoq tizimi (miloddan avvalgi 2 ming yildan hozirgi kungacha)

Nopozitsion sanoq sistemalarining eng keng tarqalgani Rim tizimidir.

Rim raqamlari bilan bog'liq asosiy muammo shundaki, ko'paytirish va bo'lish qiyin. Rim tizimining yana bir kamchiligi: Katta sonlarni yozish yangi belgilar kiritishni talab qiladi. A kasr sonlar faqat ikkita sonning nisbati sifatida yozilishi mumkin. Biroq, ular o'rta asrlarning oxirigacha asosiy bo'lgan. Ammo ular bugungi kunda ham qo'llanilmoqda.

Esingizdami, qayerda?

Raqamning qiymati uning raqamdagi o'rniga bog'liq emas.

Masalan, XXX (30) raqamida X soni uch marta uchraydi va har bir holatda bir xil qiymatni bildiradi - 10 raqami, jami 10 dan uchta raqam 30 ni beradi.

Rim raqamlar tizimidagi raqamning qiymati sondagi raqamlarning yig'indisi yoki farqi sifatida aniqlanadi. Agar kichikroq raqam kattasining chap tomonida bo'lsa, u ayiriladi, agar u o'ngda bo'lsa, u qo'shiladi.

Esingizda bo'lsin: 5, 50, 500 takrorlanmaydi!

Nimani takrorlash mumkin?

Agar eng past raqam eng yuqori raqamning chap tomonida bo'lsa, u ayiriladi. Agar eng past raqam eng yuqorining o'ng tomonida bo'lsa, u qo'shiladi - I, X, C, M 3 martagacha takrorlanishi mumkin.

Masalan:

1) MMIV = 1000+1000+5-1 = 2004 yil

2) 149 = (Yuz - C, qirq - XL va to'qqiz - IX) = CXLIX

Masalan, rim sanoq sistemasida 1998 o'nlik sonini yozish quyidagicha bo'ladi: MSMXSVIII = 1000 + (1000 - 100) + (100 - 10) + 5 + 1 + 1 + 1.

Alifbo tartibidagi sanoq sistemalari
Slavyan kirill o'nlik alifbosi

Ushbu raqamlash slavyan alifbo tizimi bilan birgalikda 9-asrda yunon rohiblari aka-uka Kiril va Metyus tomonidan slavyanlar uchun muqaddas Injil kitoblarini tarjima qilish uchun yaratilgan. Raqamlarni yozishning bu shakli yunoncha raqamlar yozuviga to'liq o'xshashligi tufayli keng qo'llanilgan. 17-asrga qadar raqamlarni yozishning ushbu shakli zamonaviy Rossiya, Belorussiya, Ukraina, Bolgariya, Vengriya, Serbiya va Xorvatiya hududida rasmiy bo'lgan. Hozirgacha pravoslav cherkov kitoblarida bu raqamlash qo'llaniladi.

Raqamlar raqamlardan xuddi shu tarzda chapdan o'ngga, kattadan kichikga yozildi. 11 dan 19 gacha bo'lgan raqamlar ikkita raqam sifatida yozilgan, biri o'ndan oldin keladi:

Biz tom ma'noda "o'n to'rt" - "to'rt va o'n" deb o'qiymiz. Eshitganimizdek, biz yozamiz: 10 + 4 emas, balki 4 + 10, - to'rt va o'n. 21 va undan yuqori raqamlar aksincha yozildi, avval ular to'liq o'nlik belgisini yozdilar.

Slavlar tomonidan qo'llaniladigan raqam yozuvi qo'shimcha hisoblanadi, ya'ni u faqat qo'shimchadan foydalanadi:

= 800+60+3

Harflar va raqamlarni chalkashtirmaslik uchun sarlavhalar ishlatilgan - biz rasmda ko'rib turgan raqamlar ustidagi gorizontal chiziqlar.

900 dan katta raqamlarni belgilash uchun harfga chizilgan maxsus piktogrammalardan foydalanilgan. Raqamlar shunday paydo bo'ldi:

Slavyan raqamlash 17-asrning oxirigacha, pozitsion o'nlik sanoq tizimi Rossiyaga Pyotr I islohotlari bilan Evropadan kelguniga qadar mavjud edi.

qadimgi hind sanoq tizimlari

Xaroshti sanoq sistemasi Hindistonda miloddan avvalgi 6-asr va milodiy III asrlarda qoʻllanilgan. Bu pozitsiyali bo'lmagan qo'shimchali sanoq tizimi edi. U haqida kam narsa ma'lum, chunki o'sha davrning bir nechta yozma hujjatlari saqlanib qolgan. Xaroshti tizimi qiziqarli, chunki to'rt raqam bir va o'n o'rtasidagi oraliq bosqich sifatida tanlangan. Raqamlar o'ngdan chapga yozildi.

Bu tizim bilan bir qatorda Hindistonda yana bir Brahmi sanoq tizimi mavjud edi.

Brahmi raqamlari chapdan o'ngga yozildi. Biroq, ikkala tizimning umumiy jihatlari ko'p edi. Xususan, birinchi uchta raqam juda o'xshash. Umumiy narsa shundaki, yuzga qadar qo'shimcha usul ishlatilgan va ko'paytiruvchidan keyin. Brahmi raqamlari orasidagi muhim farq shundaki, 4 dan 90 gacha raqamlar faqat bitta belgi bilan ifodalangan. Brahmi raqamlarining bu xususiyati keyinchalik Hindistonda pozitsion o'nli tizimni yaratish uchun ishlatilgan.

Qadimgi Hindistonda og'zaki sanoq tizimi ham mavjud edi. Bu multiplikativ, pozitsiyali edi. Nol belgisi "bo'sh" yoki "osmon" yoki "teshik" deb talaffuz qilindi. Biri "oy" yoki "yer". Ikkisi "egizaklar" yoki "ko'zlar" yoki "burunlar" yoki "lablar". To'rtta "okeanlar", "dunyoning tomonlari". Masalan, 2441 raqami shunday talaffuz qilindi: Oyning asosiy yo'nalishidagi okeanlarning ko'zlari.

Nopozitsion sanoq sistemalarining kamchiliklari:

1. Katta raqamlarni yozish uchun doimiy ravishda yangi belgilarni kiritish zarurati mavjud.

2. Kasr va manfiy sonlarni ifodalash mumkin emas.

3. Arifmetik amallarni bajarish qiyin, chunki ularni bajarish algoritmlari mavjud emas. Jumladan, barcha xalqlarda sanoq sistemalari bilan bir qatorda barmoq bilan sanash usullari, yunonlar esa abaklarni hisoblash taxtasi bo‘lgan - bu bizning hisoblarimiz kabi.

O'rta asrlarning oxirigacha raqamlarni yozishning universal tizimi mavjud emas edi. Faqat matematika, fizika, texnika, savdo va moliya tizimining rivojlanishi bilan yagona universal sanoq sistemasiga ehtiyoj paydo bo‘ldi, garchi hozir ham ko‘plab qabilalar, millatlar va elatlar boshqa sanoq sistemalaridan foydalanmoqda.

Lekin biz hali ham kundalik nutqda nopozitsion sanoq sistemasi elementlaridan foydalanamiz, xususan, o‘n emas, yuz o‘n, ming, million, milliard, trillion deymiz.

Pozitsion sanoq sistemalari

Pozitsion sanoq sistemasi - bu raqamning miqdoriy ekvivalenti ("vazn") uning raqamlar yozuvidagi joylashuviga bog'liq bo'lgan sanoq tizimi.

Har qanday pozitsion sanoq sistemasi o'zining asosi bilan tavsiflanadi.

Pozitsion sanoq sistemasining asosi - berilgan sanoq sistemasidagi raqamlarni ifodalash uchun foydalaniladigan turli raqamlar soni.

Har qanday natural son asos sifatida olinishi mumkin - ikki, uch, to'rt, ..., yangisini hosil qiladi pozitsion tizim: ikkilik, uchlik, toʻrtlamchi va boshqalar.

Bobil oʻnlik/seksagesimal

Qadimgi Bobilda miloddan avvalgi 2-ming yillikda shunday sanoq tizimi mavjud edi - 60 dan kam raqamlar ikkita belgi yordamida ko'rsatilgan: bitta va o'nta. Bobilliklar uchburchak tayoqchalar bilan loy lavhalarga yozganidek, ular xanjar shaklidagi ko'rinishga ega edi. Bu belgilar takrorlanadi to'g'ri raqam marta, masalan

Shumerlarda oʻnlik sanoq sistemasi boʻlgan, ular semitlar tomonidan bosib olingandan soʻng, ularning tizimi semitlarning seksagesimal tizimiga moslashtirilgan deb ishoniladi.

Butun sonlarning kichik jinsli belgilari Ossuriya-Bobil podsholigidan tashqarida keng qoʻllanilmagan, biroq vaqtni oʻlchashda haligacha sexagesimal kasrlardan foydalaniladi. Masalan, bir daqiqa = 60 soniya, bir soat = 60 daqiqa.

qadimgi xitoy kasri

Ushbu tizim eng qadimgi va eng ilg'or tizimlardan biridir, chunki u biz foydalanadigan zamonaviy "arabcha" tizim bilan bir xil tamoyillarni o'z ichiga oladi. Ushbu tizim taxminan 4000 ming yil oldin Xitoyda paydo bo'lgan.

Bu sistemadagi raqamlar xuddi biznikiga o'xshab chapdan o'ngga, kattadan kichigiga qarab yozilgan. Agar o'nlik, birlik yoki boshqa raqam bo'lmasa, dastlab ular hech narsa qo'yishmadi va keyingi raqamga o'tishdi. (Ming sulolasi davrida bo'sh oqim uchun belgi - doira - bizning nolimizning analogi kiritilgan). Raqamlarni chalkashtirib yubormaslik uchun asosiy ieroglifdan keyin yozilgan bir nechta yordamchi ierogliflardan foydalanilgan va bu raqamda ieroglif-raqam qanday ma'no anglatishini ko'rsatgan.

Bu multiplikativ yozuv, chunki u ko'paytirishdan foydalanadi. Bu o'nlik, u nol belgisiga ega, bundan tashqari u pozitsiondir. Bular. u deyarli "arabcha" sanoq tizimiga mos keladi.

Maya asosi 20 sanoq tizimi yoki uzun sanash

Bu tizim juda qiziq, chunki Yevropa va Osiyo tsivilizatsiyalarining hech biri uning rivojlanishiga ta'sir qilmagan. Ushbu tizim kalendar va astronomik kuzatishlar uchun ishlatilgan. Uning xarakterli xususiyati nol (qobiq tasviri) mavjudligi edi. Ushbu tizimning asosi 20 raqami edi, garchi besh qavatli tizimning izlari kuchli ko'rinadi. Dastlabki 19 ta raqam nuqta (bitta) va tire (beshta) birlashtirib olingan.

20 raqami ikkita raqam, nol va tepada bitta raqam bilan ifodalangan va uinalu deb nomlangan. Raqamlar ustunga yozilgan, eng kichik raqamlar pastda, eng kattasi tepada joylashgan, natijada javonlar bilan "nima" olingan. Agar nol raqami tepada birliksiz paydo bo'lsa, bu ushbu toifadagi birliklar yo'qligini anglatadi. Ammo, agar kamida bitta birlik ushbu turkumda bo'lsa, unda nol belgisi yo'qoladi, masalan, 21 raqami, u bo'ladi. Shuningdek, bizning sanoq sistemamizda: 10 - nol bilan, 11 - unsiz. Mana bir nechta raqamlarga misollar:

Qadimgi Mayya vigesimal hisoblash tizimida istisno mavjud: 359 raqamiga birinchi tartibning faqat bitta birligini qo'shishga arziydi, chunki bu istisno darhol kuchga kiradi. Uning mohiyati quyidagilarga to'g'ri keladi: 360 - uchinchi tartibning boshlang'ich raqami va uning o'rni endi ikkinchi emas, balki uchinchi javonda.

Ammo keyin ma'lum bo'ladiki, uchinchi tartibning boshlang'ich soni ikkinchisining boshlang'ich sonidan yigirma marta emas (20x20=400, 360 emas!), faqat o'n sakkiz marta kattaroqdir! Demak, yigirmalik tamoyili buzilgan! Hammasi to'g'ri. Bu istisno.

Gap shundaki, mayya hindulari orasida 20 qarindoshlik kun bir oy yoki uinaldan iborat edi. Bir yil yoki tun (yiliga 360 kun) hosil bo'lgan 18 uinal oy va boshqalar:

K "\u003d 1 kunda. Vinal \u003d 20 k" \u003d 20 kun ichida. Tun = 18 Vinal = 360 kun = taxminan 1 yil. K "atun = 20 tun = 7200 kun = taxminan 20 yil. Bak" tun = 20 k "atun = 144000 kun = taxminan 400 yil. Pictun = 20 bak" tun = 2880000 kun = taxminan 8000 yil. Qalabtun = 20 piktun = 57 600 000 kun = taxminan 160 000 yil. K "inchiltun \u003d 20 kalabtun \u003d 1152000000 kun \u003d taxminan 3200000 yil. Alavtun \u003d 20 k" inchiltun \u003d 23040000000 kun \u003d taxminan 000 yil.

Bu juda murakkab sanoq tizimi bo'lib, asosan ruhoniylar tomonidan astronomik kuzatishlar uchun foydalaniladi, boshqa Maya hind tizimi qo'shimcha bo'lib, Misrga o'xshash va kundalik hayotda ishlatilgan.

"Arab" raqamlari tarixi.

Bizga tanish “arab” raqamlari tarixi juda chalkash. Ular qanday sodir bo'lganligini aniq va ishonchli aytish mumkin emas. Mana shu kelib chiqishi haqidagi hikoyaning bir versiyasi. Bir narsa aniq ma'lumki, qadimgi astronomlar, ya'ni ularning aniq hisob-kitoblari tufayli bizda raqamlar mavjud.

Bizga ma'lumki, Bobil sanoq tizimida etishmayotgan raqamlarni ko'rsatadigan belgi mavjud. Miloddan avvalgi 2-asr atrofida. Yunon astronomlari (masalan, Klavdiy Ptolemey) bobilliklarning astronomik kuzatishlari bilan tanishdilar. Ular o'zlarining pozitsion sanoq tizimini qabul qilishdi, lekin ular butun sonlarni takozlar yordamida emas, balki o'zlarining alifbo tartibida raqamlashda emas, balki Bobil oltita kichik sanoq tizimidagi kasrlarni yozdilar. Ammo tushirishning nol qiymatini belgilash uchun yunon astronomlari "0" (yunoncha Ouden so'zining birinchi harfi - hech narsa) belgisidan foydalanishni boshladilar.

Milodiy 2—6-asrlar oraligʻida Hindiston astronomlari yunon astronomiyasi bilan tanishdilar. Ular sexagesimal tizim va dumaloqni qabul qildilar Yunoncha nol. Hindlar yunoncha raqamlash tamoyillarini Xitoydan olingan o'nlik multiplikativ tizim bilan birlashtirdilar. Ular, shuningdek, qadimgi hind Brahmi raqamlashda odatiy bo'lganidek, raqamlarni bitta belgi bilan belgilashni boshladilar. Bu pozitsion o'nlik sanoq sistemasini yaratishning yakuniy bosqichi edi.

Hind matematiklarining ajoyib ishi arab matematiklari tomonidan qabul qilindi va 9-asrda Al-Xorazmiy "Hindlarning hisob-kitob san'ati" kitobini yozdi va unda o'nlik pozitsion sanoq sistemasi tasvirlangan. Pozitsion tizimda yozilgan o'zboshimchalik bilan katta sonlarni qo'shish va ayirishning oddiy va qulay qoidalari uni Yevropa savdogarlari orasida ayniqsa mashhur qildi.

XII asrda. Xuan Sevilyalik hind sanash sanʼatini lotin tiliga tarjima qildi va hindlarning sanoq tizimi butun Yevropaga keng tarqaldi. Va Al-Xorazmiy asari yozilganidan beri arabcha, keyin noto'g'ri nom Evropada hind raqamlashiga tayinlangan - "arabcha". Ammo arablarning o'zlari raqamlarni hind deb atashadi va o'nlik tizimga asoslangan arifmetik - hind hisobi.

Vaqt o'tishi bilan "arab" raqamlarining shakli juda o'zgargan. Biz ularni yozish shakli 16-asrda o'rnatilgan.

Hatto Pushkin ham arab raqamlari shaklining o'ziga xos versiyasini taklif qildi. U o'nta arab raqamlari, shu jumladan nol ham sehrli kvadratga mos kelishiga qaror qildi.


O‘nlik pozitsion sanoq sistemasi

Hindiston olimlari matematikaning eng muhim kashfiyotlaridan birini amalga oshirdilar - ular hozirda butun dunyo tomonidan qo'llanilayotgan pozitsion sanoq tizimini ixtiro qildilar. Al-Xorazmiy oʻz kitobida hind arifmetikasini batafsil bayon qilgan.

Muhammad bin Muso al-Xorazm

Taxminan milodiy 850 yilda. haqida kitob yozgan umumiy qoidalar tenglamalar yordamida arifmetik masalalarni yechish. U “Kitob al-jabr” deb atalgan. Bu kitob algebra faniga o'z nomini berdi.

Uch yuz yildan keyin (1120 yilda) bu kitob tarjima qilingan lotin tili, va u Yevropaning barcha shaharlari uchun birinchi “Hind” arifmetika darsligiga aylandi.

Tarix nol.

Nol boshqacha. Birinchidan, nol - bo'sh bitni ko'rsatish uchun ishlatiladigan raqam; ikkinchidan, nol noodatiy son, chunki uni nolga bo'lish mumkin emas va nolga ko'paytirilganda har qanday son nolga aylanadi; uchinchidan, ayirish va qo'shish uchun nol kerak, aks holda, 5 dan 5 ayirilsa, qancha bo'ladi?

Nol birinchi marta qadimgi Bobil sanoq tizimida paydo bo'lgan, u raqamlarda etishmayotgan raqamlarni belgilash uchun ishlatilgan, ammo 1 va 60 kabi raqamlar xuddi shu tarzda yozilgan, chunki ular sonning oxiriga nol qo'ymagan. Ularning tizimida nol matnda bo'sh joy vazifasini bajargan.

Buyuk yunon astronomi Ptolemeyni nol shaklining ixtirochisi deb hisoblash mumkin, chunki uning matnlarida fazo belgisi zamonaviy nol belgisini juda eslatuvchi yunoncha omikron harfi bilan almashtirilgan. Ammo Ptolemey nolni bobilliklar bilan bir xil ma'noda ishlatadi. Milodiy 9-asrda Hindistondagi devor yozuvida. birinchi marta null belgi sonning oxirida paydo bo'ladi. Bu zamonaviy nol belgisi uchun umumiy qabul qilingan birinchi belgi. Bu uchta ma'noda nolni ixtiro qilgan hind matematiklari edi. Misol uchun, hind matematigi Brahmagupta eramizning 7-asrida. manfiy sonlar va nol bilan operatsiyalardan faol foydalana boshladi. Ammo u nolga bo'lingan raqam nolga teng ekanligini ta'kidladi, bu, albatta, xato, lekin haqiqiy matematik jasorat, bu hind matematiklari tomonidan yana bir ajoyib kashfiyotga olib keldi. Va XII asrda boshqa hind matematiki Bxaskara nolga bo'linganda nima bo'lishini tushunishga yana bir urinish qiladi. U shunday deb yozadi: "Nolga bo'lingan miqdor maxraji nolga teng bo'lgan kasrga aylanadi. Bu kasr cheksizlik deb ataladi".

Leonardo Fibonachchi o'zining Liber abaci (1202) asarida arabcha zefirumda 0 belgisini chaqiradi. Zefirum so'zi arabcha as-sifr so'zi bo'lib, u hindcha sunya, ya'ni bo'sh, nolning nomi edi. Zefirum so'zidan frantsuzcha nol (nol) va italyancha nol so'zlari kelib chiqqan. Boshqa tomondan, arabcha as-sifr so'zidan kelib chiqqan Ruscha so'z raqam. 17-asrning o'rtalariga qadar bu so'z nolni bildirish uchun maxsus ishlatilgan. Lotincha nullus (yo'q) so'zi 16-asrda nol uchun ishlatilgan.

Nol - noyob belgi. Nol toza mavhum tushuncha, insonning eng katta yutuqlaridan biri. Bu bizning atrofimizdagi tabiatda mavjud emas. Siz aqliy hisoblashda nolsiz ishonch hosil qilishingiz mumkin, ammo raqamlarni aniq qayd qilmasdan qilish mumkin emas. Bundan tashqari, nol boshqa barcha raqamlardan farqli o'laroq, cheksiz dunyoni anglatadi. Va agar "hamma narsa raqam" bo'lsa, unda hech narsa hamma narsa emas!

Hozirda foydalanilayotgan bazalar:

10 - odatiy o'nlik sanoq tizimi (qo'lda o'n barmoq). Alifbo: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0

60 - qadimgi Bobilda ixtiro qilingan: soatni 60 daqiqaga, daqiqani 60 soniyaga, burchakni 360 darajaga bo'lish.

12 - Anglo-sakslar tomonidan taqsimlangan: bir yilda 12 oy, kuniga 12 soatdan iborat ikkita davr, oyoqda 12 dyuym

7 - haftaning kunlarini sanash uchun ishlatiladi

Birlik sanoq tizimi

Raqamlarni yozish zarurati qadimgi davrlarda odamlar hisoblashni o'rganganlaridan keyin paydo bo'lgan. Bunga paleolit ​​davriga oid ibtidoiy odamlar qarorgohlaridagi arxeologik topilmalar (miloddan avvalgi 10$-$11$ ming yillar) dalilidir. Dastlab, ob'ektlar soni ma'lum belgilar yordamida tasvirlangan: chiziqlar, tirqishlar, toshlarga, yog'ochga yoki loyga qo'llaniladigan doiralar, shuningdek arqonlardagi tugunlar.

1-rasm.

Olimlar buni nota tizimi deb atashadi yagona (birlik), chunki undagi raqam birlikni bildiruvchi bir belgining takrorlanishidan hosil bo'ladi.

Tizimning kamchiliklari:

    katta raqamni yozishda siz foydalanishingiz kerak katta miqdorda tayoqchalar;

    tayoqlarni qo'llashda xato qilish oson.

Keyinchalik, hisoblashni osonlashtirish uchun odamlar bu belgilarni birlashtira boshladilar.

1-misol

Birlik sanoq sistemasidan foydalanish misollarini hayotimizda uchratish mumkin. Misol uchun, kichik bolalar barmoqlarida necha yoshda ekanligini tasvirlashga harakat qilishadi yoki birinchi sinfda hisoblashni o'rgatish uchun hisoblash tayoqlaridan foydalanadilar.

Yagona tizim unchalik qulay emas, chunki yozuvlar juda uzun ko'rinadi va ularni qo'llash ancha zerikarli, shuning uchun vaqt o'tishi bilan ko'proq amaliy sanoq tizimlari paydo bo'la boshladi.

Mana bir nechta misollar.

Qadimgi Misrning oʻnlik nopozitsion sanoq sistemasi

Bu sanoq tizimi miloddan avvalgi 3000-yillarda paydo bo'lgan. Natijada, Qadimgi Misr aholisi o'zlarining raqamli tizimini ishlab chiqdilar, unda kalit raqamlarni belgilashda $1$, $10$, $100$ va hokazo. ierogliflar qo'llanilgan, bu qog'oz o'rnini bosuvchi gil planshetlarga yozishda qulay edi. Ulardan qo'shish yordamida boshqa raqamlar hosil qilingan. Birinchidan, eng yuqori tartib raqami, keyin esa eng pasti yozildi. Misrliklar ko'payib, bo'linib, raqamlarni doimiy ravishda ikki barobarga oshirdilar. Har bir raqam $9$ gacha takrorlanishi mumkin. Ushbu tizimning raqamlariga misollar quyida keltirilgan.

2-rasm.

Rim raqamlar tizimi

Bu tizim avvalgisidan tubdan farq qilmaydi va hozirgi kungacha saqlanib qolgan. U quyidagi belgilarga asoslanadi:

    $1$ raqami uchun $I$ (bir barmoq);

    $V$ (ochiq kaft) $5$ uchun;

    $X$ (ikki chashka qo'l) $10$;

    $100$, $500$ va $1000$ raqamlarini belgilash uchun tegishli lotincha soʻzlarning birinchi harflari ishlatilgan ( Centum- yuz, Demimilla- yarim ming Mille- ming).

Raqamlarni tuzishda rimliklar quyidagi qoidalardan foydalanganlar:

    Raqam birinchi turdagi guruhni tashkil etuvchi qatorda joylashgan bir nechta bir xil "raqamlar" qiymatlari yig'indisiga teng.

    Raqam ikkita "raqam" qiymatlari orasidagi farqga teng, agar kichikroq kattaroqning chap tomonida bo'lsa. Bunday holda, kattaroq qiymatdan kichikroq qiymatning qiymati chiqariladi. Ular birgalikda ikkinchi turdagi guruhni tashkil qiladi. Bunday holda, chap "raqam" maksimal $1$ buyurtma bo'yicha o'ngdan kamroq bo'lishi mumkin: "pastki"lardan $L(50)$ va $C(100$) oldidan faqat $X( 10$), $D(500$ ) va $M(1000$) dan oldin - faqat $C(100$), $V(5) dan oldin - I(1)$.

    Raqam shaklning $1$ yoki $2$ guruhlariga kiritilmagan guruhlar va "raqamlar" qiymatlarining yig'indisiga teng.

3-rasm

Rim raqamlari qadim zamonlardan beri qo'llanilgan: ular sana, jildlar, bo'limlar, boblar sonini bildiradi. Men buni oddiy deb o'ylardim Arab raqamlari osongina soxtalashtirish mumkin.

Alifbo tartibidagi sanoq sistemalari

Bu sanoq sistemalari mukammalroqdir. Bularga yunon, slavyan, finikiya, yahudiy va boshqalar kiradi. Bu tizimlarda $1$ dan $9$ gacha boʻlgan raqamlar, shuningdek, oʻnlar soni (10$ dan 90$ gacha), yuzlab (100$ dan 900$ gacha) alifbo harflari bilan belgilangan.

Qadimgi yunon alifbo sanoq sistemasida $1, 2, ..., 9$ raqamlari yunon alifbosining birinchi toʻqqizta harfi bilan belgilangan va hokazo. Quyidagi $9$ harflari $10, 20, ..., 90$ raqamlarini belgilash uchun ishlatilgan va oxirgi $9$ harflari $100, 200, ..., 900$ raqamlarini belgilash uchun ishlatilgan.

Slavyan xalqlari orasida raqamli qiymatlar harflar dastlab glagolit alifbosidan, keyin esa kirill alifbosidan foydalanilgan slavyan alifbosi tartibiga muvofiq o'rnatildi.

4-rasm

Izoh 1

Alifbo tizimidan ham foydalanilgan qadimgi rus. $17-asr oxirigacha $27$ kirill harflari raqam sifatida ishlatilgan.

Pozitsiyali bo'lmagan sanoq tizimlari bir qator muhim kamchiliklarga ega:

    Katta raqamlarni yozish uchun doimiy ravishda yangi belgilarni kiritish zarurati mavjud.

    Kasr va manfiy sonlarni ifodalash mumkin emas.

    Arifmetik amallarni bajarish qiyin, chunki ularni bajarish algoritmlari mavjud emas.

 

O'qish foydali bo'lishi mumkin: